Индивидуальное тестирование бесповторных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 151, кн. 2

Физико-математические пауки

2009

УДК 519.718

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ БЕСПОВТОРНЫХ ФУНКЦИЙ

A.A. Ворoii,eiто, Д.В. Чистиков

Аннотация

В работе исследуются специальные свойства графов, связанных с бесповторпыми функциями и их индивидуальным тестированием. Доказана основная теорема, характеризующая множество всевозможных проверяющих тестов, продемонстрировано ее применение к задаче тестирования относительно бесповторпой альтернативы в базисе всех функций двух переменных: получены индивидуальные верхние оценки минимальной длины тестов, приведен пример последовательности легко тестируемых функций.

Ключевые слова: бесповторпая функция, тест, бесповторпая альтернатива, индивидуальное тестирование, несвязный граф.

1. Постановка задачи тестирования относительно бесповторной альтернативы

Пусть В - функциональный базис в Р2 . Формула Г над В называется бесповторной, если символы переменных в Г не повторяются. Булева функция

В

В

В

ственно зависящей от всех своих переменных функции /(х\,..., хп) требуется по-

В

сящих, не обязательно существенным образом, от переменных х1,... ,х„. Данная задача была названа в [1] тестированием относительно бесповторной альтернативы.

Тестом для бесповторной в В функции / (х1:..., хп), существенно зависящей от всех своих переменных, естественно в этой постановке называть множество наборов, на котором / отличается от всевозможных бесповторных в В функций, зависящих от переменных х1,... ,хп произвольным образом.

2. ^-графы и их тестирование

Рассмотрим неориентированные графы без петель и кратных ребер с множеством вершин X = |х1?..., х„} и множеством ребер Е. Напомним, что порожденным подграфом (пли, точнее, подграфом, порожденным множеством вершин X') называется подграф с множеством вершин X' и множеством ребер Е' - всеми ребрами исходного графа, инцидентными в точности двум вершинам множества X'. Подграф графа С, порожденный тожеством вершин X', обозначается символом С^'].

Граф С = (X, Е) назовем наследственно несвязным по дополнению, или V-графом (ранее [1] использовался термин «связно-несвязный»), если любой его подграф, порожденный произвольным подмножеством из но менее чем двух вершин, либо несвязен, либо имеет несвязное дополнение. Отметим, что граф является

v-графом тогда и только тогда, когда в нем отсутствует порожденный подграф, изоморфный графу P4 = ({а, b, c, d}, |(а, b), (b, c), (c, d)}). Данный критерий активно используется в работах [2 6].

Рассмотрим корневое дерево D, внутренние вершины которого имеют не менее двух сыновей и раскрашены правильным образом в два цвета: 0 и 1, а листьям приписаны попарно различные элементы множества вершин V (помеченно-раскрашенное дерево). Определим отображение у, действующее по следующему-правилу. Для заданного дерева D образ y(D) - это граф с множеством вершин V; ребр о (u, v) принадлежит множеств у ребер y(D) тогда и только тогда, когда последняя общая вершина на пути из корпя дерева в вершины u и v помечена единицей.

Предложение 1 (см., например, [1]). Отображение у множества помеченно-раекрашенных деревьев с множеством листьев V на множество v-

V

D

назовем пару множеств листьев Wi,W2 допустимой, если Wi и W2 являются множествами всех листьев двух поддеревьев, корни которых являются различными сыновьями одной внутренней вершины дерева.

Пусть пара множеств Wi, W2 допустима, поддерево с множеств ом листьев Wi имеет набор корневых поддеревьев с множествами листьев W/,..., Wf, а поддере-

W2

W21,..., Wq. Если при этом некоторое мпожество Wj - лист, то считается, что Wi1 состоит из этого листа.

Пусть, далее, T - произвольный граф та множестве вершин графа G = = y(D). Введем в рассмотрение граф (T, Wi,W2): множеством его вершин {wj,..., wf, wj,..., } является множество корней поддеревьев дерева D, множества листьев которых составляют множества Wj,..., Wp, W22,..., W2q соответственно, а ребра есть между теми вершинами wj и wj, для которых в графе T есть хотя бы одно ребро между вершинами множеств Wj и W| соответственно, и только между ними. Образом пары листьев дерева D (пары вершин графа y(D)) ( T, W , W2 )

Граф T называется покрывающим для дерева D (графа y(D)), если для любых допустимых пар W2, W2 граф (T, W2, W2) связен. Покрывающий граф T называется тупиковым, если никакой его собственный подграф на тех же вершинах не является покрывающим. Отмстим, что всякий покрывающий граф является связным по определению.

Пусть int D - множество внутренних вершин помеченно-раскрашенного дерева D, а deg v - количество сыновей вершины v (для листа полагаем deg v = 1). Обозначим символом vf множество вершин — сыновей v и положим

Лемма 1. Любой тупиковый покрывающий граф для помеченно-раскрашенного дерева В содержит ровно ^(В) ребер.

Доказательство. Пусть Т - тупиковый покрывающий граф. Для каждой пары допустимых множеств "1, тупиковым связным подграфом в графе (Т, "2} является дерево, содержащее degV 1 + deg— 1 ребро, где V 1,г>2 -корни поддеревьев с множествами листьев соответственно. Общее число

ребер тупикового покрывающего графа Т для всех пар вершин г>1, - сыновей одной внутренней вершины V равно

Пусть ж^, ж^ - произвольная пара листьев, V - последняя общая вершина на пути из корня П в ж^ и ж ^. Заметим, что среди всех пар поддеревьев, имеющих по одному листу из множества {ж^ж^-}, множества листьев лишь одной образуют допустимую пару (корпи соответствующих поддеревьев являются сыновьями V). Поэтому, просуммировав полученную величину по всем внутренним вершинам дерева П, получим утверждение леммы. □

Тест-графом для V-графа О назовем граф Т с тем же множеством вершин такой, что для любого отличного от О V-графа О' та тех же вершинах в Т найдется ребро е, присутствующее ровно в одном из графов О и О'. Тест-граф будем называть тупиковым, если при удалении любого ребра он перестает быть тест-графом.

Лемма 2. Для любого помеченно-раскрашенного дерева П любой покрывающий граф является тест-графом для V-графа у>(П).

Доказательство. Проведем индукцию по глубине дерева. Для деревьев глубины 1 покрывающим является лишь полный граф.

Пусть утверждение выполнено для всех деревьев глубины не более £ — 1. Докажем его для произвольного дерева глубины Пусть для определенности корень дерева П помечен единицей. Пусть Т - покрывающий граф. По предположению индукции информации о наличии ребер между парами вершин, связанных ребрами в Т, достаточно для восстановления всех ребер графа у>(П) между вершинами из любого одного корневого поддерева дерева П. Пусть - произволь-

П

По условию граф (Т, "ь"2} связен. Для всех пар вершин, образ которых является ребром графа (Т, "2}, в графе у>(П) имеется ребро. Графы ^(П)["1 ] и <^>(П)["2] имеют связное дополнение, а граф у(П)["1 и "2] связен. Наличие ребер между вершинами прообразов ребер графа (Т, "2} доказывает связность тестируемого подграфа. В силу того что у(П) - v-гpaф, в нем имеются ребра, соединяющие каждую вершину множества "1 со всеми вершинами множества "2. Лемма доказана. □

П

v-гpa<)5a у>(П) является покрывают,им для П.

Доказательство. Пусть некоторый граф (Т, "1,"2} несвязен. Изменим номера его вершин, добавив к ним дополнительный индекс из множества {1, 2} так, что вершины, помеченные различными индексами, не соединены ребрами, причем каждый индекс приписан хотя бы одной вершине. Кроме того, мы можем предположить, что вершины, помеченные общим дополнительным индексом, идут подряд, то есть новая нумерация имеет вид

Для сокращения перебора рассмотрим величины Р = р'(р — р') и ( = — д') и предположим, что P ^ (. Возможны три случая:

1) Р = 0; 2) Р> 0, ( =0; 3) (> 0.

Рассмотрим граф С, получаемый из г рафа у (В) инверсией всех ребер вида (ад—, ад-2) и (ад- 2, ад—). Во всех трех случаях граф С отличен от у(В). Пусть в дереве В вершины и>1 и и>2 _ сыновья вершины ад - являются корнями поддеревьев с множествами листьев "1 и соответственно. Пусть они соединены с вер-

ственно, являющимися корнями поддеревьев с множествами листьев ЭД^1,..., и "!,...,"2-

В

рассматриваются аналогично с некоторыми упрощениями). Расщепим вершину ад на две: ад и ад', где ад' — сын ад. Присоединим к ад' в качестве сыновей Vl и V2, а к ним - Vlд, V2 д и Vl,2, V2 , 2 соответственно (все — новые). К последним вершиВ

же нижними индексами. Раскрасим новое дерево в два цвета, сохранив цвет вершины ад. Новое дерево те будет помечеппо-раскрашенным, лишь если вершина ад в исходном дереве имела ровно двух сыновей. В этом случае удалим вершину ад из дерева, склеив вершину ад' с ее отцом, если таковой имелся в исходном дереве. Получено дерево В'. Нетрудно убедиться, что С = у(В'). Лемма доказана. □

В

СВ

является тест-графом для V-графа у(В);

(2) всякий покрывающий (удовлетворяющий условию (1)) граф является тупиковым. в том и только в том случае, когда он является тупиковым, тест-графом;

(3) любой удовлетворяющий условию (2) граф содержит, ровно v(D) ребер. Доказательство вытекает из лемм 1 3.

3. Тестирование в базисе всех функций двух переменных

Обозначим символом В2 базис всех функций, зависящих от не более чем двух переменных. В [1] доказано, что для всякой бесповторной в В2 и существенно зависящей от всех своих переменных функции / (х1,..., хп) найдется тест, состоящий

ляет точное значение длины теста для дизъюнкции Х1 V ... V хп и, следовательно, соответствующей функции Шеннона. Настоящий раздел посвящен построению индивидуальных тестов относительно бесповторной альтернативы в этом базисе.

Напомним некоторые введенные в [1] понятия.

Каноническим деревом будем называть всякое помеченное корневое дерево, удовлетворяющее следующим условиям:

1) константой (0 или 1) может быть помечена лишь вершина, являющаяся единственной в дереве:

2) листья дерева помечены переменными или их отрицаниями (литералами), причем различные листья литералами, соответствующими различным переменным:

3) внутренние вершины помечены либо линейными (Ф, Ф), либо нелинейными (&, V) символами;

4) смежные вершины не могут быть помечены одинаковыми символами, а также различными линейными символами:

5) вершина, лежащая над помеченной линейным символом вершиной и смежная с ней, не может быть помечена символом & или отрицанием переменной.

наборов: в [7] эта оценка понижена до

+п+1, что состав-

Функция, реализуемая каноническим деревом, определяется индуктивно от листьев к корню естественным образом. Нетрудно убедиться, что для произвольной бесповторной в В2 функции /(ж1,...,жп) существует реализующее ее каноническое дерево.

Склейкой канонического дерева будем называть корневое дерево, получаемое из канонического путем последовательного выполнения следующих трех операций:

1) замена всех линейных символов на 0. а всех нелинейных на 1:

2) стягивание смежных внутренних вершин, помеченных символом 1:

3) замена всех литералов вида ж та литералы ж^.

Множество из четырех наборов аргументов, различающихся только в компонентах с номерами г и назовем квадратом существенности переменных ж4 и ж^ фупкции / (ж1,..., жп), если остаточная подфункция па этом множестве существенно зависит от обеих своих переменных. Для всякого же графа О = (X, Е) на множестве вершин X = {ж1;..., жп} редуцированным, на граф О множеством квадратов существенности функции / назовем произвольное множество наборов, которое для каждой пары переменных (ж^ж^-) из Е содержит некоторый квадрат их существенности.

Пусть теперь /(ж1?..., жп) - произвольная бесповторная в В2 функция, существенно зависящая от всех своих переменных. Займемся построением индивидуального теста относительно бесповторной альтернативы для /, воспользовавшись схемой рассуждений из [1]. Докажем следующий факт:

Лемма 4 (о склейке). Склейка П произвольного канонического дерева любой бесповторной в В2 функции /(ж1,...,жп) единственна и однозначно определяется значениями / на произвольном множестве ее квадратов существенности, редуцированном на любой тест-граф для у>(П).

Доказательство. Склейка любого канонического дерева единственна и по

П1

произвольное каноническое дерево /, а П1 - его склейка. Воспользуемся тем фактом, что для всевозможных а^, ст^, а € {0,1} линейность существенно зависящей от двух переменных функции (х-* о х^3) , где о е {&, V, ф, ф}, совпадает с линейностью функции ж^ о ж^ (символа о). Это означает, что ребро (ж^, ж^) принадлежит множеству ребер графа ^>(П 1) тогда и только тогда, когда на всяком квадрате существенности переменных ж^ и ж^ реализуется нелинейная подфункция, что и

доказывает единственность склейки. Тем самым П = П 1, графы у(П) и у>(П 1) сов/

редуцированном на любой тест-граф для V-графа однозначно определяют

граф (р{Ё>) и, в силу предложения 1, саму склейку Лемма доказана. □

Пусть корневое поддерево Б' канонического дерева Б удовлетворяет следующим условиям:

1) В' имеет хотя бы одну внутреннюю вершину;

2) либо корень Б' совпадает с корнем Б, либо смежная с корнем Б' и лежащая под ним вершина является линейной;

3) все вершины Б' лежат в Б над корнем поддерева Б';

4) все принадлежащие Б' линейные вершины Б являются в Б' листьями;

5) все принадлежащие Б' нелинейные вершины Б являются в Б' внутренними вершинами.

В этом случае будем называть Б' фрагментом канонического дерева.

Лемма 5 (о фрагменте). Пусть известна Б - склейка канонического дерева П произвольной бесповторной в В2 функци и /. Пусть помеченная единицей

вершина V склейки, соответствующая неизвестному фрагменту В' дерев а В, не имеет потомков - внутренних вершин В. Тогда неизвестный фрагмент В' однозначно определяется значениями / на произвольном множестве ее квадратов существенности, редуцированном на любой тест-граф для V-графа у(В'), если дерево Ь 'получается из В' заменой всех пом еток & на 0 и V на 1.

Доказательство. Восстановление неизвестного фрагмента будем проводить поэтапно. Вначале восстановим, с точностью до двух вариантов, пометки листьев В'. Рассмотрим листья, помеченные литералами х4 % и х^3 (степени и а считаем неизвестными). В силу монотонности булевых конъюнкции и дизъюнкции на любом квадрате существенности переменных х^ и х^ в корне фрагмента В' реализуется функция х1 ъ о х^3, где о е {&, V}, а в корне дерева В - она же либо ее

/

существенности х^ и х^- монотонна либо антимонотонна по обеим своим существенным переменным, то необходимо а г = o^j, в противном же случае а г = а^.

В силу связности произвольного тест-графа для у(В') получим, рассуждая таким

'

Выберем один из полученных вариантов и восстановим, предполагая его спра-

'

помечены литералами х1 г и х^-3 соответственно. Определим пометку о е {&, V} первой общей вершины на пути из этих листьев в корень В (В'). Остаточная подфункция функции / та любом квадрате существенности переменных х^ и х^ в случае о = & выделяет набор (сг.^о^), а в случае о = V набор (ст^ст^), что и позволяет восстановить при сделанных предположениях весь неизвестный фрагмент.

Обратим теперь внимание на то, что противоположный набор степеней пометок листьев восстанавливает такое же дерево фрагмента с двойственными пометками.

В силу правил де Моргана реализуемые в корне двух вариантов неизвестного фраг-

'

корием (единственной внутренней вершиной) П, то выбор между этими двумя ва-

/

'

мечен символом &, а потому один из рассматриваемых вариантов исключается. Лемма доказана. □

Пусть В' - фрагмент канонического дерева В бесповторной в В2 функции /(х1,...,хп), X' и X — множества листьев В' и В соответствеппо, X0 - множество листьев В, лежащих в В над корнем В'. Определим па X0 оператор проектирования р, переводящий каждый лист х е X0 дерева В в лист р(х) фрагмента В', лежащий на пути из х в корень В. Пусть теперь Е - произвольное множество пар вида (х^х^-), где х^х^- е X, а множество р(Е) состоит из всевозможных пар вида (р(хг),р(х^)) таких, ч то х^х^- е X0, (х^х^-) е Ей р(х^) = р(х^). Пусть, как и раньше, дерево Б 'получается из В' заменой пометок & па 0 и V па 1. Тогда, в случае если граф С = (X',р(Е)) является

тест-графом для V-графа Ь'), будем называть граф С = (X, Е) тест-графом '

Лемма 6. Если функция /(х1;..., хп) бесповторна в В2, В - (некоторое) ее

каноническое дерево, а В - его склейка, то всякий тест-граф для V-графа _0)

'

Доказательство. Пусть Т = (X, Е) - какой-либо тест-граф для v-гpaфa _0), В' - некоторый фрагмент В, X' — множество листьев В', р определенный выше оператор проектирования. Покажем, что Т' = (X', р(Е)) — полный граф

на множестве вершин X', тогда условие из определения тест-графа для фрагмента будет выполнено автоматически. Пусть V — соответствующая фрагменту П' вершина склейки. Заметим, что каждый лист П' является вершиной П с родителем V. Поскольку граф Т является, то лемме 3, покрывающим для дерева П, то для каждой пары V1,V2 € X 'в Е найдется ребро между множествами листьев поддеревьев П с корнями г^ и уо , что и доказывает утверждение леммы. □

Докажем теперь основной результат настоящего раздела:

Теорема 2. Пусть /(ж1;..., жп) - произвольная бесповторная в В2 функ-

П

каноническое дерево. Пусть множество наборов М содержит, некоторое мно-

/

для V-графа у(П), г<?е П - склей ко П. Тогда значения / но наборах из М одно-

П

Доказательство. Сначала по лемме о склейке восстанавливается дерево П. После этого для каждой помеченной единицей внутренней вершины склейки, не имеющей потомков - внутренних вершин П, применяется лемма о фрагменте (выполнение ее посылок гарантируется утверждением предыдущей леммы). Если после этого в склейке остаются нерассмотренные линейные вершины, то для каждой такой вершины V, в случае если все ее сыновья - листья ж^,..., ж^р и (или) уже восстановленные фрагменты, реализующие функции /^,..., /^ , выполняется замена переменных жг = ж^ © ... © ж^ © /^ © ... © /^ (здесь £ - новый для каждой такой вершины номер) и процесс последовательного применения леммы о фрагменте продолжается. Всякий квадрат существенности произвольных переменных ж^ и ж^- либо «схлопывается» в отрезок и выводится из рассмотрения, либо, в силу явного вида задания функции ж4, индуцирует новый квадрат существенности для полученной в результате замены функции. Если при дальнейшем применении леммы о фрагменте выясняется, что лист ж4 должен быть помечен отрицанием переменной, то соответствующая V вершина в П получает пометку ©, иначе

пометку ©. Если же вершина V — корень дерева П, то выбор пометки корпя П

/

на любом наборе. Теорема доказана. □

В2

/

Следствие 2. Для минимальной длины ТВ2 (/) индивидуального теста относительно бесповторной альтернативы в базисе всех функций двух переменных справедлива оценка

Тв2(/) < 4

где И - склейка канонического дерева /.

4. Пример последовательности легко тестируемых функций, бесповторных в базисе {©, V}

Напомним некоторые определения и обозначения, введенные в [5]. Функции, выразимые бесповторными формулами в базисе {©, V}, назовем функциям,и типа Я. Каноническое дерево всякой функции типа Я не имеет листьев, помеченных отрицаниями переменных, а его внутренние вершины помечены чередующимися символами © и V.

В [5, 6] показано, что если каноническое дерево функции f (xi,..., xn) типа Е является бинарным, то для f существует тест относительно бесповторной альтернативы в базисе B2 > имеющий длину 3n — 2. Приведем существенно более короткое доказательство этого факта, использующее технику настоящей работы.

Как ив [5], символом ej обозначим набор с единственной единицей в г-й компоненте, а символом 0 - нулевой набор. Набор а назовем 0 -изолированным для функции f, если f (а) = 0 и при этом f (а © ej) = 1 для всякого допустимого г. Имеет место следующий факт:

0

для бесповторной в B2 функции, существенно зависящей от всех своих переменных, тогда и только тогда, когда функция имеет тип Е.

Заметим, что если существенно зависящая от всех своих переменных функция f (xi,..., xn) является функцией типа Е, то для любой пары ее переменных xj и ж.,- четверка наборов 0, ej, e. и ej © ej образует квадрат существенности. Это дает способ тестирования функций типа Е в базисе B2: сначала убедиться при помощи значений на наборах веса ноль и один, что она действительно являетЕ

два, соответствующих ребрам какого-нибудь тест-графа для v-графа ¥>(D), если помеченно-раскрашенное дерево D получается из канонического заменой всех пометок © на 0 и V на 1.

Теорема 3. Пусть существенно зависящая от всех своих переменных функция f (xi;..., xn) является функцией типа Е, а ее каноническое дерево является f

нативы в базисе B2, имеющий дл ину 3n — 2.

Доказательство. Пусть функция f (xi,... ,xn) удовлетворяет условиям теоремы. Построим для нее проверяющий тест относительно бесповторной альтернативы в базисе {©, V}, имеющий длину 2n — 3, тогда утверждение теоремы выте-

B2 D

из канонического для f заменой всех пометок © на 0 и V на 1. Ограничившись рассмотрением наборов второго слоя, получим верхнюю оценку Т{ф , v|(f) ^ v(D) для минимальной длины искомого теста. Поскольку бинарное дерево с n листьями имеет n — 1 внутреннюю вершину, то

v(D) = £ — (2) +(2 — 1) £ vJ = —(n — 1)+ £ degvj — degvo,

veint D\ ^ ' vi9_v\ ) ViEV(D)

где V(D) - множество вершин, a vo — корень D, причем дая всех листьев v' полагается deg v' = 1. Отсюда cpазу v(D) = —(n — 1) + 2(n — 2) + n = 2n — 3, что и дает необходимые значения длин тестов. Теорема доказана. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты Х- 09-01-00701, 09-01-00817И 07-01-00444).

Summary

A.A. Voronenko, D.V. Chistikov. Learning Read-Once Functions Individually. The paper considers special properties of graphs linked to read-once functions and the task of learning them individually. A main theorem characterizing the set of all checking tests is

proved: t.lie results are applied to the problem of learning with respect to read-once alternatives

in the basis of all two-variable functions. Individual upper bounds for minimal test length are

obtained and a sequence of easily learned functions is constructed.

Key words: read-once functions, tests, learning, read-once alternative, individual learning.

disconnected graph.

Литература

1. Вороненке А,А, О проверяющих тестах для бесповторпых функций // Матем. вопр. кибернетики. М.: Физматлит, 2002. Вып. 11. С. 163 176.

2. Гурвич В.А. О бесповторпых булевых функциях // Усп. матем. паук. 1977. Т. 32.

1. С. 183 184.

3. Гурвич В.А. Критерии бесповторпости функций алгебры логики // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318, Л» 3. С. 532 537.

4. Golumbic М.С., Mintz A., Ratios U. Factoring and recognition of read-once functions using cograplis and normality and the readability of functions associated with partial k-trees // Discrete Appl. Math. 2006. V. 154. P. 1465 1677.

5. Вороненке А.А. Об оценке длины проверяющего теста для некоторых бесповторпых функций // Прикл. матем. и ипформ. М.: Макс Пресс, 2003. Т. 15. С. 85 97.

6. Вороненко А.А. Методы представления дискретных функций в задачах подсчета, тестирования и распознавания свойств: Дне. ... д-ра физ.-мат. паук. М., 2007. 154 с.

7. Рябец Л.В. Сложность проверяющих тестов для бесповторпых булевых функций / Сер.: Дискретная математика и информатика. Вып. 18. Иркутск: Изд-во Ирк. гос. пед. ун-та, 2007. 30 с.

Поступила в редакцию 12.03.09

Вороненко Андрей Анатольевич доктор физико-математических паук, доцепт факультета ВМК Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Е-шаП: тк в си. т.ч и. и

Чистиков Дмитрий Викторович студент факультета ВМК Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Е-шаП: (Ы1етайвдтаИ.сот