Индекс Хеде-Баккера в терминах производящей функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

В конце занятия преподаватель подводит итоги и объясняет студентам домашнее задание. Анализ результатов выполнения студентами-стоматологами заданий, предлагаемых на занятии по теме «Основные понятия механики. Напряжения и деформации», показывает, что организация занятий проблемно ориентированного характера способствует формированию познавательного интереса у студентов, повышению качества усвоения студентами знаний раздела «Механические свойства твердых тел».

Список литературы

1. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Специальность 040100 Лечебное дело. Квалификация врач. М., 2000.

2. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Специальность 040200 Педиатрия. Квалификация врач. М., 2000.

3. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Специальность 040400 Стоматология. Квалификация Врач-стоматолог. М., 2003.

4. Ливенцев Н.М. Курс физики: учеб. для вузов. М: Высшая школа, 1978. 336с.

5. Основная образовательная программа подготовки врача-стоматолога. Ч. 2. М. 2003

6. Программа по медицинской и биологической физике для студентов медицинских вузов (специальности 040100, 040200, 040300). М., 2000.

7. Примерный учебный план. Специальность 040100 Лечебное дело. Квалификация врач. М., 2000.

8. Примерный учебный план. Специальность 040200 Педиатрия. Квалификация врач. М., 2000.

9. Примерный учебный план. Специальность 040400 Стоматология. Квалификация Врач-стоматолог. М.,

2000.

10. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика: учеб. для мед. спец. вузов. М: Высшая школа, 1999. 616 с.

11. Ремизов А.Н., Максина А.Я. Медицинская и биологическая физика: учеб. для вузов. М Дрофа, 2003. 560 с.

УДК 517.9 ББК В 161.6

А. М. Калугина

Индекс Хеде-Баккера в терминах производящей функции

В статье рассмотрен индекс Хеде-Баккера и обобщенный индекс Хеде-Баккера. Впервые представлен в явном виде оператор перехода от векторов предпочтения к векторам решения. Рассматривается метод представления этих индексов в терминах производящей функции для частного случая.

Ключевые слова: индекс Хеде-Баккера, производящая функция.

A. M. Kalugina

Hoede-Bakker index in the terms of generating function

In the paper we conceder the Hoede-Bakker index and generalized Hoede-Bakker index. For the first time is submitted in an obvious kind the operator of transition from vectors of inclination to vectors of the decision. We consider the method of representation of these indexes in the terms of generating function for a special case.

Key words: Hoede-Bakker index, generating function.

Понятие «индекс Хеде-Баккера» было введено в 1982 г. Хеде и Баккером (Hoede C., Bakker R., 1982, c. 309-322). Некоторые свойства индекса Хеде-Баккера были исследованы А. Русиновской и Де Свар-том (De Swart), ими было предложено несколько модификаций этого индекса (Rusinowska A., De Swart, 2006, c. 60-88), (Rusinowska A., De Swart, 2006, forthcoming).

Хеде и Баккером были введены и другие понятия. Рассмотрим ситуацию, в которой п > 1 игроков должны одобрить (принять) или отклонить (не принять) то или иное решение. Пусть N = {1,..., п} набор всех игроков. Предположим, что каждый игрок имеет предпочтение проголосовать «за» (обозначим 1) или проголосовать «против» (обозначим 0). Пусть i - вектор предпочтения, он состоит из n компонент, 1 и 0, и указывает предпочтения игроков, и пусть I - набор всех векторов предпочтений. |/| = 2п. Первоначальное решение игрока - это его предпочтение. Предположим, что в процессе игры

одни игроки могут влиять на других, поэтому окончательное решение некоторых игроков может отличаться от их первоначального решения.

В результате, каждый вектор предпочтения ¡ е i переходит в вектор решения b, который состоит из П компонент (0 и 1) и показывает, какие окончательные решения были сделаны игроками. В литературе [Bilbao J.M., Fernandez J.R., Jimenes A., Lopez J.J., 2000, c. 191-213] рассмотрен оператор B: I ^ B(I), то есть, b = Bi, где B(I) - набор всех векторов решения.

Введем групповое решение, которое является функцией, определенной на векторах решения b. Пусть она принимает значение +1, если число игроков, проголосовавших «за», превышает q, и -1 -иначе; q - это число голосов, достаточное для проведения решения (квота).

Пусть ic = ^ic,..., icn ) обозначает дополнение i е I, то есть для каждого к = {1,..., п}

,с _ (1, если ¿к =0

lfc = (0, если ¿к = 1.

Кроме того, пусть

i < i' » {к е N\ik = l} с {к е N\i’k = l}.

Пусть gd (B) - композиция B и gd. Хеде и Баккер приняли следующие аксиомы:

A1: Vi е I gd (Bi )c = - gd (Bi)

A2: Vi е I Vi' е I [i < i' ^ gd (Bi) < gd (Bi')].

При данном gd (B) индекс Хеде-Баккера игрока к е N определен как

НВ„ (gd Wb-L X gd (№).

1п

2 {і:ік =!}

В указанной литературе не указан оператор В в явном виде. Мы воспользуемся тем же алгоритмом, что и в литературе [Hoede С, Bakker R., 1982, с 309-322], но для линейного оператора В.

Ь = В • і,

где В = ( В \ - матрица влияния.

У ]к> ік=і,п

0, если к не влияет на у, _Ґ0, если у подвержен влиянию,

Ґ0, если к не влияет на j, _ Ґ0,

^;к 1 1, если к влияет на у. \

если к влияет на у. ( 1, иначе.

Отметим, что каждую ситуацию можно представить в виде графа (без циклов), показывающего влияние одних игроков на других. Назовем такой граф общественной сетью. При этом мы не рассматриваем случаи одновременного влияния нескольких игроков на одного. По заданному графу

строим матрицу B .

Для нахождения числа проголосовавших «за» найдем скалярное произведение

е = (1,1,...,1)

b • е, где i „ i.

П

Теперь определим групповое решение как

gd(B)=(+1,при ?•';«,

5 (—1, при b • е < q.

Пусть Ik = {i е i : ik = 1}, 1 = {i е I: ik = 0}.

Тогда индекс Хеде-Баккера игрока к е N будет выглядеть как

HBk (gd (B ))=i Z gd (Bi) •

2 iеIl

Выше мы рассмотрели способ нахождения индекса Хеде-Баккера, предложенный в литературе [Bilbao J.M., Fernandez J.R., Jimenes A., Lopez J.J., 2000, c. 191-213], для которого необходимо определить все i е 11 и суммировать gd(Bi). Однако этот способ не всегда удобен. В некоторых ситуациях проще

определить число векторов i е l\'. gd (Bi) = +1.

Предложение 1.

Пусть I1+ = {i е I1: gd (Bi) = +1}, 4- = {i е I1: gd (Bi) = -1},

|4+| = ч • (1)

Тогда индекс Хеде-Баккера игрока к равен

Г

HBk =—V -12

Доказательство.

Так как (1), то I/Н = 2n—1 — т, ■ Далее,

HBk =^Ц X gd(Bi)^Т7—Г X gd(Bi)+ X gd(Bi)

2n—1 \ /

(.. л! 2

ioeV

у (i:ie/i

—1.

^Г1 \ V / Л V / \ Л / / Г^-2

Рассмотрим обобщенный индекс Хеде-Баккера, введенный в литературе [Rusinowska A., De

Swart, 2006, c. 60-88]. Вместо аксиомы (А1) в литературе [Rusinowska A., De Swart, 2006, c. 60-88] были

введены следующие аксиомы:

Л3: gd(Bi) = +1, если ifc = 1 для Vi = (1,... ,n),

Л4: gd(Bi) = — 1, если ifc = 0 для Vi = (1,... ,n),.

Тогда при выполнении (А2)-(А4) обобщенный индекс Хеде-Баккера имеет виц:

Г ( '

GHB (gd (B)) = -г X gd (Bi)—X gd (Bi)

Vi: 'k =V i: 'k =0

Предложение 2.

Пусть 4°+ = { e 4° : gd(Bi) = +1}, /Г = {i e /k0 : gd(Bi) = —1},

|40+| = Г, (2)

тогда обобщенный индекс Хеде-Баккера игрока k равен

GHBk ( gd (B)) = “^ГГ—Г

Доказательство.

/0

Из (2) имеем, /0 = 2n 1 — г ■ Получим

1 (

GHBk (gd (B)) = - X gd (Bi) — X gd (Bi)

V i:ike/k i:ike/k?

2'

= ^(((+1К + (_1)(2”4 “тк))- ((+1К + (_!)(2”4 _ тк)))= 2,

Предположим, что множество всех игроков N = {1,...,п} можно разделить на 3 подмножества: множество игроков, имеющих влияние на других игроков - в; множество игроков, подверженных влиянию - £; множество независимых игроков - I.

Введем символ у - «метку» игрока j. Метки не имеют числового значения и несут информационную функцию. Запись у означает, что игрок к не находится ни под чьим влиянием. Запись ук означает, что игрок к влияет на игрока j. Пусть 1 -у = у, 1 • ук = ук. Как было показано ранее, для определения индекса Хеде-Баккера игрока к достаточно найти |у|+1.

Пусть I = ,...,4 ). Для построения множества коалиций введем взаимнооднозначное соответст-

вие у : I ^ 2N, переводящее множество векторов предпочтения во множество коалиций, такое, что

/(|)= Пу, .

}:0- =1

Например, в игре трех лиц запись уу2у соответствует вектору предпочтения (1,1,1) и коалиции

(1,2,3), а запись ууз - вектору (1,0,1) и коалиции (1,3). Кроме того, 1 соответствует {0} (пустой коалиции).

Построим описание индекса Хеде-Баккера в терминах производящей функции.

Производящей функцией некоторой последовательности {ап} называется сумма:

Г—1

0(х) = а0 + щх + а2х2 +... + апх" +...

Разобьем множество всех коалиций на группы коалиций, состоящих из , игроков:

к = К %,

где И1=, •

Каждой группе можно поставить в соответствие последовательность меток

Пг,

где

(3)

Составим производящую функцию для последовательности групп (3).

п

°(х)='ЕК}х1 =

і=о

=1 + (Уі + ••• + Уп )х + (УУ + ••• + Уп-іУп )х2 +

+ (Гі/2Гз + •• • + Гп-2/п-іГп )х3 + ••• + Г1Г2Г3 • •• • • Уп-2Гп-іГпхП =

= П(і + Ух)

ІєН

Зафиксируем игрока к,

С(х) = (і + Укх)П (і + Гіх) = П (і + Уіх)+УкхП (і + Уіх) =

І*к ]фк ]фк

= О>0)(.х)+ОЇ>(х),

С(х ) = П(і + ух),

І*к

с{к)(х )=УкхП(і+Уіх) .

}*к

ок0,(*) состоит из слагаемых, которые соответствуют коалициям, не содержащим игрока к (векторам предпочтения і: і є 10), а ^[^(х) - коалициям, содержащим игрока к (векторам предпочтения і: і є ІІ).

Построим последовательность коалиций, соответствующую векторам решения, путем преобразования последовательности (3) по следующему правилу:

У к переходит в у^^ук для любых к є В,

Ут переходит в ут для любых т є I, у І переходит в 1 для любых і є £. Обозначим новую последовательность (4).

Элементы последовательности (3) Элементы последовательности (4)

1 1

Ук Ук Пу І є5

Ут Ут

Уі 1

УкУт У Ут ПУІ і єS

УкУі УкПуІ І є5

і=і

У т У і Ут

у і, у 2 1

У к Ут У і У к У т П У і і єS

УкУі, У І2 УкП у) І є5

у т У1 У І2 т

Уі, Уі2 УіЗ 1

У кУі, ••• УУт

У кУт Пу;

І єS

Из таблицы можно заметить, что в последовательности (4) некоторые элементы повторяются. Определим число повторов. Зафиксируем в последовательности (3) игрока к £ В и посмотрим, в какие элементы последовательности (4) переходят элементы последовательности (3), содержащие и

не содержащие метку к .

С меткой у к :

г к ^У П у ) встречается 1 = с0 раз,

ІєЯ

У к У т ^ У к У т П Увстречается 1 = С|°| раз для любого т £ I, Ук У: ^ Ук О У < встречается раз,

У к У т У / ^ Ук Ут П УУ встречается 01 раз для любого т £ I,

/є*

Таким образом, Ук П уі встречается С0 + См + + = 2^ раз и уку т П у/ встречается 2‘

Н Н Н є

раз.

Аналогично, проследив количество повторений остальных элементов последовательности, при-

І5І

ходим к выводу, что все они встречаются 21 1 раз.

Отметим, что для фиксированного игрока j є 5 все элементы повторяются 2^ раз (2 5-і + 2 5 -1 = 25).

Таким образом, одинаковые элементы в последовательности (4) повторяются 25 раз для всех игроков.

Получим последовательность (4). Из нее можно выделить п +1 последовательность по числу меток в элементах. Каждой такой последовательности поставим в соответствие группу коалиций, состоящих из такого же числа игроков:

П у,

С

^К/

к і=К І

—і

К,

Для полученной группы коалиций построим производящую функцию, учитывая, что для к £ I:

у к = у к П У *. Обозначим ее ^(х).

£

t=1

*(* )=!

X )= > К/Xі =

=

і=0

1 +1 у, Пу + ••• +у її Пу) Iх+••• + П Уі Пу) •Х"

і'є8 )є8 ) ^N¡8 )є8

( \

>51 гт і , ..т~и

ІєЩ

2 5 П 1+уіхП уЦ-

ієХ

Для игрока к г 5

К{х) = 218 11 + УкхП УІХ І П I 1 + УіхП у‘іх

= 28

ПІ1 + уіхПуіх і + УкхПу^х •ПІ1 + уіхПуі

іе^8 У і'є8 ) тє8 ^N¡8 У і'є8

її к її к

Пусть

ПІ1 + УіхП У)х I = В*){Х),

^N¡8 у ^є8 )

і їк

УкХП УктХ • Пр + УіХП уі)х1 = к()(х) .

тє8 ^N¡8 У і є 8 )

Тогда

К(х )= 2151 (лк0)(-х)+ Я<'>(х)),

где с помощью д(0)(х) перечисляются все векторы решения ^, к которым привели векторы

предпочтения 1: £ 11, а с помощью 41}(х) - Ьк : ¿к £ 1к0 •

Пусть к £ 5 .

Как было отмечено ранее, набор элементов последовательности (4) не зависит от мнения игрока к , тогда

К(х ) = 2 5-1 (<'(х )+ 4>(х)),

^»(х ) = Д«(х).

После получения вида производящих функций д(0)(х), _кР(х) для игрока к, метки можно опустить и далее работать с многочленами вида

а0 + а х + а2 х2 +... (5)

п

Причем '^|аi соответствует числу векторов предпочтения, приведших к групповому решению

}=Ч

+1 (Т для я(^(х) и т для ,^0)(х)), то есть числу выигрывающих коалиций.

Пример. Пусть дана общественная сеть из пяти игроков (рис. 1). Игрок 1 составляет множество В, игрок 2 составляет множество 5, игроки 3-5 - множество I. Пусть квота q = 3.

Рис. 1. Общественная сеть пяти игроков

Найдем индекс Хеде-Баккера и обобщенный индекс Хеде-Баккера способом, предложенным в литературе [2]. Для этого составим 32 вектора предпочтения, и, учитывая отношения между игроками, заданные графом, составим 32 вектора решения. Для каждого игрока суммируем групповые решения, которые получаются в случаях, когда 1 = 1 (а для обобщенного индекса отдельно посчитаем сумму групповых решений при 1 = 0).

Результаты представлены в табл. 1.

Таблица 1

q Игрок 1 Игрок 2 Игроки 3-5

X gd k= 12 0 4

X gd -12 0 -4

3

3 l

HB 0

4 4

GHB 3 0 l

4 4

Таким образом,

HB = | 3,0,1,1,1 , GHB = 3,0,1,!,! ,4 4 4 4) 14444

Определив значения индекса Хеде-Бакера и обобщенного индекса Хеде-Баккера с помощью производящих функций, приходим к тем же значениям, что и выше.

Игрок 1.

Л® (х) = 2у ху1 х (1 + у х )(1 + у х )(1 + у х) = 2х2 + 6 х3 + бх4 + 2х5,

Л(0) (х) = 2 (1 + ух)(1 + у х)(1 + ух) = 2 + бх + бх2 + 2х3,

Т = 14, Т = 2, НВ1 = Т -1 = 2, ОНВ1 =11^11 = 2.

1 7 7 1 2п - 2 ^ 1 2п - 4

Игрок 2.

R1 (x) = R0 (x) = 2 (l + у x )(l + у x )(l + у x) = 2 + 6x + 6 x2 + 2x3, T2= 2, T2 = 2, HB = 0, GHB = 0.

Игроки 3-5.

R(1) (x) = у x (l + у xy1 x )(l + у x )(l + у x) = 2x + 4x2 + 4x3 + 4x4 + 2x5, R(0) (x) = (l + у x/l x )(l + у x )(l + у x) = 2 + 4x + 4x2 + 4x3 + 2 x4,

T3 = T4 = T5 = l0, Тз = T4 = T5 = 6,

HB = HBA = HB, = 2, GHB, = GHB = GHB, = 2.

3 4 5 4 3 4 5 4

Список литературы

1. Bilbao J. M., Fernandez J. R., Jimenes A., Lopez J. J. 2000: Generating functions for computing power indices efficiently/ / Top, № 8 (2).

2. Hoede C., Bakker R., 1982: A theory of decisional power// Journal of Mathematical Sociology, № 8.

3. Rusinowska A., De Swart, 2006:Generalizing and modifying the Hoede-Bakker index/ / Theory and Applications of Relational Structures as Knowledge Instruments, Springer's Lecture Notes in Artificial Intelligence (LNAI) № 4342.

4. Rusinowska A, De Swart H. 2006: On some properties of the Hoede-Bakker index// Journal of Mathematical Sociology, X.