CC BY
38
УДК 621.311.6
ГА. БЕЛОВ, Г.В. МАЛИНИН
ИМПУЛЬСНЫЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ КАК РЕЛЕЙНАЯ СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМ ВНЕШНИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ*
Ключевые слова: импульсный преобразователь, релейная система, фазовые траектории, функции последования, устойчивость, моделирование.
Проведен анализ импульсного преобразователя как релейной системы с несимметричной характеристикой. Получены аналитические соотношения для расчета фазовых траекторий системы и функций последования. Результаты проиллюстрированы расчетами и моделированием в среде Simulink.
G.A. BELOV, G.V. MALININ PULSE CONVERTER AS RELAY SYSTEM WITH PERIODIC EXTERNAL ACTION Key words: pulse converter, relay system, phase trajectories,first return functions, stability, simulation.
The analysis of a pulse DC converter as relay system with the nonsymmetric characteristic is carried out. The analytical relations for account ofphase trajectories of the system and first return functions are obtained. The results are illustrated by accounts and simulation in the Simulink.
Обоснование математической модели. Понижающий импульсный преобразователь при постоянном входном напряжении (uBX=const) может рассматриваться как релейная система (рис. 1, а) с несимметричной характеристикой релейного элемента (рис. 1, б), в котором кроме задающего воздействия g(t) имеется периодическое пилообразное внешнее воздействие Нп(0 (рис. 1, в) с периодом Т=Тп1 + Тп2 и амплитудой ип ; iL - ток дросселя; uC - напряжение на выходном конденсаторе. Передаточные функции силовой непрерывной части G(p) и регулятора тока WPj(p) определяются выражениями
G(p) - 1
г (Л, p + ^ W-рТ (p) =
г ( л (1)
К рт т p +1)
Р
где Т\=Ыг - постоянная времени силовой части; КРТ и її - коэффициент усиления и постоянная времени регулятора тока.
В соответствии с выражениями (1) справедливы следующие уравнения для непрерывной части системы
Т1 +Іь =1 (1 -ис
т г
du у
= R- К РТ
d T - iL )
dt
(2)
где у, - выходной сигнал релейного элемента РЭ1.
Т1
iL
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках проекта № 08-08-97014 <Ф_поволжье_а» по теме «Динамика, анализ и синтез систем управления энергосберегающими импульсными преобразователями электроэнергии»
Интегрируя уравнение (2) за период внешнего воздействия Т и деля на Т, получаем равенства
Т А'ь (Т) + *'ь.ср = 1 (уЮр - ис.ср ), (3)
Ап у (Т) = Ядт КрТ (т, [ (Т) - Мь (Т)]+] ср - ^,р ),
где Д/Ь(Т), Дпу(Т), Ag(T) - приращения мгновенных значений величин /Ь, пу, ^(^) за период Т; 7Ь.ср, пс.ср, gср - средние за время Т значения соответствующих величин; у=^/Т - относительная длительность импульсов на выходе РЭ1.
Рис. 1. Структурная схема понижающего импульсного преобразователя (а), статическая характеристика РЭ1 (б), графики пилообразного напряжения и„(Г) и импульсов на выходе РЭ1 (в)
В стационарном режиме, когда в системе устанавливаются колебания с частотой 1/Т внешнего воздействия, имеем Д/Ь(Т)=0, Дпу(Т)=0, Дg(T)=0, и из (3) вытекают соотношения для установившихся средних значений переменных
У1.ср.уст ПС.ср.уст + Г^Ь.ср.уст ,
^Ь. ср. уст g ср.уст .
Рассмотрим случай, когда задающее g(t) и возмущающее пс(0 воздействия постоянны во времени. Тогда уравнения (2) преобразуются к виду
Т — + е = -1 у1 - пс - ^X
(4)
&
&ы у &
&Є
X,-------------+ Є
1 &
где e=g-iЬ - ошибка регулирования тока. Это преобразование соответствует переносу точки приложения воздействия g в системе (рис. 1, а) назад через звено О(р). Тогда в преобразованной системе (рис. 2, а) постоянные воздействия пс и g можно учесть сдвигом статической характеристики РЭ вниз на значение пс +rg (рис. 2, б). Параметры преобразованной статической характе-
а
ы
кх
0
X
б
ристики РЭ: С0=ивх - ис - rg, С2= -(ис +г^); передаточная функция линейной части
К і (і! р +1)
Ж (р) = ■
Р(ті Р + 0 ’
(5)
где К1=ЯдтКРТ/г - коэффициент усиления линейной части.
РЭ
- Ж(р)
Сі
0
у=т
С 2.
а б
Рис. 2. Преобразованная структурная схема понижающего импульсного преобразователя (а), преобразованная статическая характеристика РЭ1 (б)
Представив передаточную функцию Ж(р) в виде суммы простых дробей:
( 1 Т - т. 1 ^
Ж (р) = К
Л. Т -Т1
V Р
Т р + 1/Т ,
преобразуем структурную схему системы (рис. 2, а) к канонической форме (рис. 3). Из этой схемы следуют уравнения
ёх:
dx2
= - У, і
dt Ті
Х2 - У =
и у = Кі Хі - Кі
( т ^ і-Т-Т
V 7і У
Х0
где У =F(x').
(6)
Для установления связи новых координат системы XI и х2 со старыми и иу запишем уравнения (4) через переменные состояния:
ёв 1 1
& т гТ: у ,
^ = /г кРТ в, (7)
dt
дт РТ
и у = иС1 + ^дт К РТ т1е,
и
у
X
где у = у1 - ис - г%, - выходной сигнал преобразованного релейного элемента; иС1 -напряжение на конденсаторе интегратора, входящего в состав регулятора тока РТ. Уравнения (7) можно записать в матричной форме
— = AY + By,
&
иу =CY,
где Y =
і 0 і
е
; A = Т1 ; в = гТ
иС1 ^дт к РТ 0 1 0
; C = кдткртті Ц.
Аналогично могут быть представлены преобразованные уравнения (6):
&x . „
—— = ЛX + B1у, аґ
и у = ^ X,
0 0 -1 -1 Ґ _ л
X = Х1 ; л = 0 1 ; в1 = ; ^ = к і к 1—^
х2 -Т1 ■ 1 ■ 1 1 1 1 Т1 V
Сравнивая второе уравнение (6) и первое уравнение (7), видим, что
1
е = ■
гТ
(8)
1
0
ТТ\
к 1 -к1
сравнивая правые части третьих уравнений систем (6) и (7) с учетом (8), приходим к равенству
ис1=К1(Х1-Х2). (9)
Из равенств (8) и (9) вытекает матричное соотношение
Y = PX,
где P - матрица преобразования координат, определяемая выражением:
P
Нетрудно убедиться в том, что выполняется стандартное для подобных преобразований соотношение между матрицами A и Л:
Л =
а также равенства B = PB1, C = C1P-1.
Расчет фазовых траекторий системы. Деля второе уравнение системы (6) на первое и разделяя переменные с учетом равенства у = F(x), получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий
^1 = ^2 (10) Т1 F(х) х2 + Т1 F(х) , (
аналогичное уравнениям обычных релейных систем. Интегрируя уравнение (10) на интервалах постоянства функции F(x), найдем соотношение для расчета фазовых траекторий в явном виде
X
2
X - х(^)
= іи.
х2 + Т1Р (х)
(11)
TlF(х) | Х2(Го) + Т^(х)| ’
где F(x) = С1 при х >0 и F(x) = С2 при х <0.
Принимая х = иу - ип(0 = 0, с учетом третьего равенства системы (6) получим уравнение линии переключения РЭ
к1х1 - к1
( т ^ 1 -Т
V
Т
х2 - иї (ґ) = 0,
(12)
/
где при отсчете времени * от момента начала спадающего участка пилообразного сигнала этот сигнал описывается выражениями:
и п (ґ) = <
■ґ,0 < ґ < Тп
п1
Цп - Ц
2 Тп1
- %+(ґ - Тп1) Тп1 < ґ < Т, 2 Т - Тп1
% - ^ ґґ - Т), Т < ґ < Т + Тп1 ;
2 Тп1
(13)
ип - амплитуда (размах) пилообразного (треугольного) напряжения; Тп1=51Т -длительность его спадающего участка.
Время * в уравнении (12) необходимо выразить через одну из фазовых координат. Для этого используются решения уравнений (6)
Х(0 = х(^) - F(х)(* - *0), (14)
Х2<*) = [Х2(*0) + T1F(х)]^-0-T1F(х), (15)
где *0 - момент переключения РЭ в состояние F(x).
Как видно, проще всего * выражается через координату х1, соответствующую нулевому полюсу передаточной функции линейной части (5) [3]:
Х - х(0
ґ = ґ0 -'
Согласно (16) до начала импульса на выходе РЭ, когда F(x) = С2, имеем
Х - Х1(0)
ґ = --
С
во время импульса
ґ = ґ0 -
после импульса
ґ = ґ0 + ґ1 -
х1 - х1(ґ0> С1 :
х1 - х1(ґ0 + ґ1)
с :
0 < ґ < ґ0
ґ0 < ґ < ґ0 + ґ1
ґ0 + ґ1 < ґ < ґ0 + ґ1 + ґ2
(16)
м
(17)
(18) (19)
Исключая время * из уравнения (12) с помощью соотношений (13), (17)-(19), получаем уравнения линии переключения в начале импульса
к1 х1 - к1
и,
и
—^-^Г^~ [х1 - х(0)]= 0:
2 ТС
^ п1 2
(20)
х
2
в конце импульса
К1 х1 - К1
Т
Х2 +
1 У
Цп
2
и„
Т-Т
* - Т -
0 п1
Х1 - Х1 (* 0)
С,
= 0, (21)
в конце паузы (в начале следующего импульса) К,Х, - К Г- т' ^ Ц
1 - т1
Т1
* + "
2Т
п1
* 0 + *1 - Т -
Х1 - Х1 (*0 + *1 ) С 2
= 0 . (22)
Расчет фазовой траектории целесообразно начинать в момент генерации очередного выходного импульса РЭ1, т.е. от точки (х1(*0), х2(*0)), находящейся на линии переключения (20). Подставив в (20) и (17) * = *0, х1 = х1(*0), х2 = х2(*0), получим соотношения, связывающие значения Х1(*0), Х2(*0) и Х1(0), *0:
Х1 (*0) = Х1 (0) - С2*0,
Х1 (*0) + Цп-
Х2 (*0 ) = ■
К1
1
V Тп1
(23)
1 -т^ Т1
Расчет проводится в следующем порядке.
1. Задаемся значениями *0/Т и х1(*0), по формуле (23) рассчитываем значение Х2(*0).
2. Задаваясь значениями х2 и вычисляя по формуле (11) значения х1, либо в параметрической форме, задаваясь значением * и вычисляя по формулам (14) и (15) (при F(x) = С1) значения х1 и х2, рассчитываем отрезок фазовой траектории до ее пересечения с линией переключения (21). Преимущество параметрического способа расчета фазовой траектории состоит в возможности контроля моментов времени процесса в системе.
3. Для определения точки пересечения фазовой траектории с линией переключения (21) необходимо решить относительно длительности импульса *1 нелинейное алгебраическое уравнение, получающееся из (21) при подстановке х1 = х1(*0+ *1), х2 = х2(*0+ *1), где согласно формулам (14) и (15)
Х1(*0 + *1) = Х^) - С^
Х2 (*0 + *1) = [ (*0) + ТС1 ]е- ТС ,
После этой подстановки получим уравнение относительно *1
" и " Г т1 > г 1
С + п _ 1 К1 (Т - ТП1 )_ *1 - 1 —^ [ТС (1 -е
1 Т V А1 11
= Х1 (*0) +
К1
(
* 0 - Тп1
2 Т - Тп
(24)
п1 У
4. Рассчитывается отрезок фазовой траектории от точки (х1(*0+ *1), х2(*0+ +*0) до точки пересечения с линией переключения (22).
5. Для определения последней точки пересечения необходимо решить относительно *2 нелинейное алгебраическое уравнение, получающееся из (22) при подстановке х1 = х1(*0+ *1+ *2), х2 = х2(*0+ *1+ *2), где в соответствии с формулами (14) и (15) имеем
*
0
2
1
х1 (*0 + *1 + *2) = х1 (*0 + *1) - С2*2.
Х2(*0 + *1 + *2 ) = [Х2(*0 + *1) + Т1С2 ]е ] 1 Т1С2 . Тогда из равенства (22) получим уравнение относительно *2
и„
V К1Тп1
* 2 -
+ Х1(*0 + *1) --2КГ + К Т Т0 + *1 -Т)= 0,
2К1 К1Тп1
где величины *1, х1(*0+ *1) и х2(*0+ *1) вычислены в предыдущем пункте.
Выражая х2(*0+ *1) из уравнения (21) при * = *0+ *1 и подставляя в (25)), получаем другую форму уравнения для определения *2:
и
V КТп1
* 2 +
Х1(0)+
ип
2 К1
+
+
ип
К1 (Т - Тп1)
1 -^-
V Т1 У
(*0 + *1 -Тп1) е"2'Т - Кт
К
Т1С 2 - С 2 * 0 - С1*1
(1 - е 21Т )-
ип Г. Т - *0 - *1 ^
(26)
1+
Т
= 0.
п1 У
Для более обобщенного представления полученных результатов введем относительные величины: переменные состояния х1=х1/(мвхТ), х2=х2/(мвхТ^; параметры С1 = С1/ивх , С2 = С2/ивх , 51=Тп1/Т; К0=К1ивхТ/ип - коэффициент усиления разомкнутого контура, Т1/Т, т1/Т - постоянные времени, характеризующие силовую часть и регулятор тока, * = */Т - относительное время.
На рис. 4, а для С1 =0,9, С2 =-0,1, 51=0,5, Т1/Т=100, т1/Т=0,2 и К0=100 показан пример фазового портрета. В качестве начальных условий были заданы *0 = 0,4 и х1(*0 )= 0,2 (т. 1). На рис. 4, а Ь1 и Ь2 (Ь'2) - подвижные линии переключения РЭ, описываемые уравнениями (21) и (22) соответственно (линия Ь\ не показана в связи с близостью с линией Ь1), т. 2 соответствует положению точки на фазовой плоскости в конце импульса, т. 3 - в конце паузы (в начале следующего импульса). Прямолинейность участков фазовых траекторий обусловлена большой постоянной времени Т1. Представленный фазовый портрет отражает ход фазовых траекторий по истечении 50 периодов и соответствует устойчивому Г-периодическому режиму (колебаниям с периодом внешнего пилообразного напряжения) - отображению т. 1' в т. 2' и наоборот.
Результаты моделирования. С целью проверки получаемых результатов на основе структурной схемы импульсного преобразователя (рис. 3) разработана Б/ши/шк-модель релейной системы (рис. 5). Для заданных выше начальных условиях и параметрах рассчитан переходной процесс (рис. 4, б), соответствующий представленному на рис. 4, а фазовому портрету.
Для определения фазовых координат Г-периодического режима в момент переключения *0 воспользуемся уравнением (14). Для момента *0, соответствующего началу нового импульса на выходе РЭ, будем иметь
Х1 (*0 )= х1 (*0 )- *1 С1 + (*1 - 1)С2 .
Х2
0,2
0,15
0,1
0,05
-0,05
-0,1
1
л
1/ 3
2 У
-0,05
0,05
0,1
0,15
Х1
Рис. 4. Фазовый портрет (а), переходной процесс (б)
Оаіп2 іпіедгаїогі
0
0
а
Рис. 5. Зітиіітк-модель релейной системы
Приравнивая фазовые координаты %1 в моменты ‘0 и (0, определим относительную длительность импульса 11 в установившемся режиме работы:
*1у = С2/( с2 - С1 ). (27)
Действуя аналогичным образом и учитывая, что для Г-периодического режима выполняется равенство ‘1 +‘2 = 1, из уравнения (15) определим переменную состояния %2у:
X 2 у = Х 2
Т_ е ~т/т [с1
- е
гТТ
(С1 - С2)] - ]
т 1 - е-т/т
Из уравнений (20) и (17) имеем в относительных единицах
С Т ^ 1 -^ т1
Х2у -Х1у
+
2
(28)
(29)
Подставляя полученное равенство в уравнение (24), получим переменную состояния х1у:
Х1у Х1 (‘0 у ) (1 §1,
С 1
С1 +
К 0 (1 -§1)
*1у -
С т > 1 -^ т
V А1 У
-Х 2 у е
‘1 уТТ
1
К
К 0 §1
1 - т1 т
Л
Х2у -§^2
1 У
1-§
(30)
Для приведенных выше параметров в установившемся режиме будем иметь Х1у =0,0409, Х2у =0,0449, I36 =0,4455, =0,1.
В уравнениях (20)-(22) учтено, что в основном режиме работы импульсного преобразователя формирование выходного импульса РЭ1 завершается в момент пересечения кривой выходного напряжения регулятора тока иу с очередным нарастающим участком пилообразного сигнала (рис. 1, в), а следующий импульс появляется в момент пересечения кривой иу(‘) с очередным спадающим участком графика ип(‘). В общей теории релейных систем допускается возможность повторного пересечения (в обратном направлении) кривой иу(‘) с одними и теми же (нарастающими и убывающими) участками пилообразного сигнала [4]. В этом случае равенства (27)-(30) несправедливы. Для ограничения области проводимых исследования, связанных с повторными пересечениями, путем моделирования релейной системы в среде БтиНпк выявлены границы областей однократных пересечений (располагаются ниже граничных кривых) (рис. 6) для различных относительных длительностей импульсов у1 = ‘1. Моделирование соответствовало начальным условиям, определяемым из равенств (27)-(30). Граничный коэффициент усиления соответствует двукратному пересечению на спадающем или нарастающем участке пилообразного напряжения.
Рис. 6. Область проводимых исследований
Анализ устойчивости Г-периодического режима работы возможен по аналитическим выражениям, приведенным в [1]. Как правило, нарушение устойчивости периодического режима в области проводимых исследований обусловлено превышением корня характеристического уравнения системы по абсолютной величине значения -1, что приводит к возникновению периодических колебаний с удвоенным периодом. Рис. 7 для приведенных выше параметров и К0=510 (нарушение устойчивости соответствует К0=506) иллюстрирует новый режим работы исследуемой релейной системы.
Рис. 7. Периодические колебания с удвоенным периодом
Расчет функции последования. Определим функцию последования, рассматривая точечное преобразование подвижной линии переключения РЭ Ь0, описываемой уравнением (20), в подвижную линию переключения Ь'0, описываемую уравнением (22), (рис. 4). Для этого введем обобщенные координаты *0 и *0 точек фазовых траекторий, находящихся на этих линиях. Из уравнений (20) и (17) при подстановке х1 = х1(*0), х2 = х2(*0), *= *0 получим
т
*о = К1 —
о 1 и
1----1
т
X2 (*о ) - Х1 (*о )
1 У
+ -
Аналогично из уравнений (22) и (19) при подстановке х1 = х1(*0+ *1+ *2), Х2 = Х2(*о+ *1+ *2), *= *0+ *1+ *2 найдем
1 -^
т1
* о = * о + *1 + * 2 - т =
X2 (*о + *1 + *2 ) — Х1 (*о + *1 + *2 )
+
Тп1
2
Из рис. 1, в видно, что в рассматриваемом режиме работы импульсного преобразователя величины *о и *'0 должны находиться в интервале [о, Тп1].
Вычисление значения *о в ходе расчета фазовой траектории неудобно тем, что требует решения нелинейных алгебраических уравнений (24) и (25)). С целью упрощения расчета графика функции последования уравнение (24) для определения длительности импульса *1 с учетом равенств (23) преобразуется к виду
* о =-
Цп _х_
К т—Тп
с +
и п
1 К (т—Тп1)
и
т
№ т—Тп1
— С 2 +
х1 (о)—
ип
2 К1
1 — Т1
т1
тс
11
(1 — е -*11т )
ип
т
ктП1 т—тп
кт
которое решено относительно *о.
Для определения длительности паузы между импульсами *2 необходимо решить уравнение (25)) или (26), после чего определяются значения х1(*о+ *1+ +*2) и Х2(*о+ *1+ *2).
По предложенному алгоритму для вышеприведенных параметров построены функции последования в относительных единицах при Ко=1оо (рис. 8, а) и Ко=3оо (рис. 8, б). Величина х1(о) выступает параметром функции
последования. На рис. 6 функции последования * о (* о) построены для различных значений х1(о) и установившегося значения х1у(о).Как и следовало ожидать, точка пересечения диагонали с функцией последования (неподвижная точка) численно характеризует Г-периодический режим. Иначе обстоит дело с анализом устойчивости неподвижной точки. Согласно рис. 6,б в окрестности неподвижной точки А при х1у(о) |ё*о /ё*о | > 1, что свидетельствует о неустойчивости неподвижной точки. Однако рассматриваемая релейная система относится к системам с неограниченной памятью [2], поэтому даже при
+
+
|й10 /01 > 1 система может быть устойчивой, что подтверждается анализом неподвижной точки [1].
Рис. 8. Функции последования
Выводы
1. Рассмотрение широтно-импульсной системы (ШИС) как релейной расширяет возможности исследования ШИС в непрерывном фазовом пространстве.
2. Полученные вместо многомерного отображения последования функции последования позволяют обнаруживать Г-периодические режимы, но не дают возможность исследовать их устойчивость.
3. Возможность неоднократного срабатывания релейного элемента на периоде внешнего периодического воздействия сужает область устойчивости преобразователя и требует дальнейших исследований, а также принятия мер, исключающих многократные срабатывания ШИМ.
Литература
1. Белов Г.А. Устойчивость импульсного преобразователя с двусторонней ШИМ-2 / ГА. Белов, Д.С. Лукиян // Электротехника. 2008. № 6. С. 59-64.
2. Кипнис М.М. Фазовые портреты широтно-импульсных систем / М.М. Кипнис // Автоматика и телемеханика. 1990. № 12. С. 105-115.
3. Петров В.В. Нелинейные сервомеханизмы / В.В. Петров, А.А. Гордеев. М.: Машиностроение, 1979. 471 с.
4. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы / Я.З. Цыпкин. М.: Наука, 1974. 576 с.
БЕЛОВ ГЕННАДИИ АЛЕКСАНДРОВИЧ родился в 1937 г. Окончил Московский энергетический институт. Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой промышленной электроники Чувашского государственного университета. Автор более 150 научных работ в области силовой электроники и автоматического управления.
МАЛИНИН ГРИГОРИИ ВЯЧЕСЛАВОВИЧ родился в 1974 г. Окончил Чувашский государственный университет. Кандидат технических наук, доцент кафедры промышленной электроники Чувашского университета. Область научных интересов - методы исследования полупроводниковых преобразователей электроэнергии. Автор 17 научных публикаций.
