CC BY
42
Технологія та конструювання радіоапаратури
УДК 681.2.082
ІМПЕДАНС ПЛАСКОЇ КОТУШКИ ІНДУКТИВНОСТІ
Закревський О.Ф., аспірант
Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут, м. Київ, Україна
Вступ
Розповсюдження ультразвукових технологій висуває ряд вимог до якості вимірювання та контролю основного параметру ультразвукового випромінювача (УЗВ) - амплітуди механічних коливань торця накладки УЗВ [1]. Застосування вихрострумового методу обумовлено тим, що торець накладки УЗВ виготовляють зі сплавів металу. Котушки індуктивності вихрострумового перетворювача (ВСП), які застосовують для вимірювання механічних коливань ультразвукового частотного діапазону, живлять змінним ВЧ струмом і виготовляють на друкованих платах, що технологічно [2].
Постановка задачі
Проектуючи котушки індуктивності, наприклад, котушки ВСП, необхідно вибрати їх конструкцію та провести попередній розрахунок їх параметрів, згідно вимог технічного завдання. Точність розрахунку параметрів ВСП суттєво скорочує час затрачений на проектування вимірювального пристрою в цілому, тому постає проблема підвищення точності розрахунку котушок індуктивності ВСП, а саме таких її параметрів як активний та реактивний опір, добротність. Розрахунок перерахованих параметрів дозволяє в подальшому вибрати оптимальне схемо-технічне рішення вимірювального пристрою в цілому. Оскільки, наприклад, у випадку низько добротної котушки індуктивності доцільним представляється застосування мостової схеми у вимірювальному пристрої, у випадку високо добротної котушки - коливальний контур [3].
Огляд стану проблеми
Пласку котушку індуктивності можна розрахувати аналітичним методом, який базується на теорії електромагнітного поля. Аналітичний розрахунок індуктивності представлено в літературних джерелах [4, 5], які дозволяють наближено розрахувати реактивний опір ВСП. Урахування впливу частоти змінного струму, що живить котушку ВСП, проводять наближено, розділяючи частотну область на три діапазони, в межах яких приймають певні припущення стосовно розподілу струму в поперечному перерізі провідника. Точність розрахунку за наближеними методами [5] складає 10% - 40%.
Розрахунок активного опору провідника, що живиться постійним струмом, визначається добутком довжини провідника на його питомий опір та
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" 53
Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2012.-№50
Технологія та конструювання радіоапаратури
поділений на площу поперечного перерізу. У випадку змінного струму визначати активний опір за такою формулою не коректно, оскільки струм у поперечному перерізі розподілений не рівномірно.
Перетворення Ханкеля при розв’язуванні рівнянь Максвела з метою визначення індуктивності котушки дозволяє отримати розв’язок, який представляє собою функцію Г ріна, тобто розглядають випадок, коли виток із струмом представлено нескінченно тонким. Відомо, що магнітний потік прямо пропорційний струму, при цьому магнітне поле зовні провідника прямо пропорційне поверхневому струму провідника, а, отже, заміна провідника нескінченно тонким призводить до нескінченного зростання поверхневого струму і, як наслідок, отримуємо нескінченне значення магнітного поля тобто магнітного потоку, що за скінченного значення струму призводить до нескінченного значення індуктивності. Такий підхід використовують з метою визначення внесеного імпедансу котушки індуктивності електропровідним об’єктом контролю, що розміщено над котушкою [6, 7].
Застосування методу скінченних елементів, наприклад російського програмного продукту ELCUT, для визначення індуктивності витка із струмом теж неефективно, оскільки, щоб врахувати вплив поверхневого ефекту, крок сітки розбиття мусить бути досить малим та нерівномірним, особливо в області провідника, що призводить до невиправданих затрат машинного часу. Визначити активний опір, з огляду на вказані вище обмеження, теж складно.
Визначення повного імпедансу котушки індуктивності, як зазначено вище, представляє певний інтерес при виборі схемо-технічного рішення вимірювального пристрою в цілому, отже, постає завдання визначити повний імпеданс пласкої котушки індуктивності ВСП, що живиться змінним синусоїдальним струмом, оцінити її добротність.
Основна частина
Застосування дискретного перетворення Ханкеля при розв’язуванні рівняння Гельмгольца потребує точно задати розподіл густини струму, як функції просторових координат провідника. Більш детальний аналіз рівняння електричного кола, яке містить джерело живлення та котушку індуктивності, вказує на те, що функція розподілу густини струму буде комплексною (паралельне з’єднання активного та реактивного елементів). Підставивши дійсну частину функції розподілу густини струму у рівняння Г ельмгольца, визначаємо реактивний опір провідника, уявну частину - активний опір. Більш детальний аналіз вказує на те, що зміна частоти струму призводить до зміни розподілу активної та реактивної складової повного струму котушки індуктивності ВСП.
Зобразимо електричне коло так (рис. 1): до джерела напруги E, що змінюється в часі за синусоїдальним законом, підключено послідовно котушку індуктивності, модель якої представлено у вигляді послідовного
54
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2012.-№50
Технологія та конструювання радіоапаратури
з’єднання активного опору та ідеальної котушки індуктивності. Оскільки опір такого кола комплексний, то й напруга, що падає на котушці, згідно
• Е
закону Ома, теж комплексна функція U = І0 (R + /соЛ), де /0 = . ---
V«2+m2
- повний струм кола; R - активний опір; L - індуктивність; ю - кругова частота; j = >/_!.
Послідовне з’єднання активного та реактивного елементів, замість паралельного, дозволяє спростити подальші розрахунки, оскільки у такому разі струм буде однаковим в обох елементах, що дозволить розглянути процеси у кожному з них окремо.
Оскільки розглядається котушка індуктивності без осердя, тобто її можна вважати лінійною, то можна розглянути окремо розв’язок рівняння Гельмгольца для розрахунку індуктивності котушки та окремо визначити її опір за функцією розподілу густини струму. Це дозволяє окремо визначити активний та реактивний опори.
Приймемо функцію розподілу густини струму в провіднику аналогічно функції поширення пласкої змінної електромагнітної хвилі в електропровідному середовищі, що падає нормально до границі розділу не електропровідного та електропровідного середовищ, за координатою г так:
Рис. 1. Котушка індуктивності в електричному колі
/ФМіЛ) =
-у (г Є 14 -Яі)+єу(г-л2)
2
(1)
де у = /соjllвjll(,ств ; цв - відносна магнітна проникність матеріалу витка зі
_7
струмом; ц0 = 4л10 Гн/м; ав - питома електропровідність матеріалу витка; R - внутрішній радіус витка зі струмом; R - зовнішній радіус витка
зі струмом.
Функція розподілу густини струму в провіднику за координатою z така ж, як і функція (1), де координату r слід замінити координатою z та R на h , а R2 на h + Ah, де Ah - товщина провідника за координатою z.
Таку функцію прийнято з огляду на зворотність явищ у природі, тобто змінне електромагнітне поле створює струм в електропровідному середовищі, а такий же змінний струм в електропровідному середовищі створює таке ж електромагнітне поле в не електропровідному.
Індуктивність витка у такому випадку записується так:
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2012.-№50
55
Технологія та конструювання радіоапаратури
ґ
\
L = ^^1^0 £
П =1
X
Й+0.5А/,
j eXnZ fz(z,h- 0.5Ah,h + 0.5Ah)dz:
h-0.5А/, h+0.5 A^
x J e~XnZ fz(z,h- 0.5 Ah,h + 0.5 Ah}dzx
h-0.5Aa
R„ -\-0.5 A.r
X
j r\fr{гъК-°-5\’К+°-5\)МКг\)dr\
\—в -0.5Ar
(2)
^nP2R^02 иPRe )
Активний опір можна розрахувати згідно відомого розподілення густини струму в поперечному перерізі (1), розрахувавши його еквівалентну площу так:
^ = Я|Kfr {ГЛPipzfz {z^z2)\drdz
Активний опір розраховується як [8]:
R= Pi
(3)
де р - питомии опір провідника, і - довжина провідника. Добротність котушки розраховується так [8]:
ю L (ю)
Q
R (ю)
(4)
Отже, формули (2-4) дозволяють розрахувати як активний, так і реактивний опори котушки індуктивності ВСП, оцінити його добротність.
Числові розрахунки
Оскільки актуальним є розробити математичну модель розрахунку повного імпедансу пласкої котушки індуктивності з прямокутним поперечним перерізом провідника, як функцію частоти струму живлення ВСП, запишемо імпеданс пласкої круглої котушки індуктивності з урахуванням (2) та (3) так:
56
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2012.-№50
Технологія та конструювання радіоапаратури
Z(co) =
Ґ N-1 Л
2пр NRB + ARB ^ п
V_______п=О у
s>)
+
+ /'ШЯЦіЦ0 Z
п =1
/г+0.5Ал
J eknZ fz(z,h-0.5Ah,h + 0.5Ah,G))dz
h-0.5Ah
X
h+0.5Aa
x J e~knZ fz(z,h-0.5Ah,h + 0.5Ah,($)dz
h-0.5Ah
N-1 f N-1 1
ZIntm (w) Intm (w) + ZIntk (w)
X
X
т=0
У
к==
^пР Re J0 (^иPRe )
(5)
R +vAR +0.5ДГ
Intv (w) = j
n/r
йА + (v + 0.5)AR - 0.5Ar, RB + (v + 0.5) AR + 0.5Ar,c)
X
RB +vARB -0.5Ar
X Ji (*■ „ ri) dri
де v = m, к; AR - крок намотки котушки; N - кількість витків котушки.
Розрахуємо повний імпеданс пласкої котушки індуктивності згідно (5). Параметри котушки такі: внутрішній радіус R = 3,9 мм, крок намотки AR = 0,4 мм, кількість витків N = 11, частота струму живлення 1 МГ ц.
Повний імпеданс пласкої круглої котушки такий: Z = 3.9 + у'10.72 Ом, а добротність, згідно (4), приймає значення Q « 2.75.
Для порівняння: імпе-
данс тієї ж котушки для постійного струму становить
Z = 1.46 + у0 -1.7071 -10—6 Ом Наведемо функціональну залежність добротності розглянутої котушки індук-Рис. 2. Добротність котушки індуктивності, як ХИБНОСТІ ВІД частоти Струму функція частоти (рис 2)
З рис. 2, видно, що в низькочастотному діапазоні доцільно віддавати перевагу мостовій схемі вимірювального кола, на високих частотах - ко-
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2012.-№50
57
Технологія та конструювання радіоапаратури
ливальному контуру. Характер поведінки залежності добротності котушки від частоти дозволяє спроектувати котушку оптимальну стосовно її добротності.
Висновки
Аналіз залежності добротності котушки індуктивності від частоти струму показав, що в НЧ діапазоні доцільно застосовувати мостову схему вимірювального кола, а в ВЧ діапазоні - резонансний контур, що дозволяє спроектувати котушку індуктивності з постійною добротністю у певному частотному діапазоні.
У подальшому планується розробити аналітичну модель локального ВСП (котушка індуктивності з екрануючим кільцем) та провести теоретичне дослідження чутливості параметрів локального ВСП до вібрації електропровідної поверхні з метою раціонального вибору схемо-технічного рішення.
Література
1. Leonov G. V. Automation of the amplitude measurement process of ultrasonic oscillatory systems irradiating surface. Biysk. / G. V. Leonov, V. N. Khmelev, I. I. Savin // 6th International Siberian workshop and tutorial EDM’2005, session II, july 1 — 5, ERLAGOL, — Р. 64 — 67.
2. Неразрушающий контроль и диагностика: Справочник / [ В. В. Клюев, Ф. Р. Соснин, А. В. Ковалев и др. ]; под ред. В. В. Клюева. 3-е изд., испр. и доп. — М.: Машиностроение, 2005. — 656 с. — ISBN 5-217-03300-2.
3. Юсеф Али Исследование и разработка микропроцессорного малогабаритного широкодиапазонного измерителя параметров комплексного сопротивления: дис. кандидата техн. наук: спец. 05.11.05 / Юсеф Али. — К. 1994. — 187 с.
4. Немцов М.В. Справочник по расчету параметров катушек индуктивности. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Энергоатомиздат, 1989. — 192 с. — ISBN 5-283-00534-8.
5. Калантаров П.Л., Цейтлин Л.А. Расчет индуктивностей: Справочная книга. - 3-е изд., перераб. и доп. Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1986. — 488 с.: ил.
6. Zakrevskyi O. F. Eddy-current probe for conductive objects displacement in space measurement. Scientific proceedings. — 2011, — № 1(121), — Р. 28-31
7. Закревський О.Ф. Вплив скінченності габаритів об’єкту на внесений імпеданс вихрострумового сенсору. Матеріали конференції. 16 Міжнародна науково-технічна конференція «Електромагнітні та акустичні методи неруйнівного контролю матеріалів та виробів ЛЕОТЕСТ-2011», Львів — 2011, — С. 105-108.
8. Зернов Н.В. Теория радиотехнических цепей: Издание 2-е, переработ. и доп., / Зернов Н.В., Карпов В.Г. — Л., «Энергия», 1972. — 816 с.
Закревський О.Ф. Імпеданс пласкої котушки індуктивності Наведено підхід для аналітичного розрахунку котушок індуктивності у вільному просторі. Як приклад розроблено математичну модель вихрострумового перетворювача у вигляді пласкої спіралеподібної котушки індуктивності у вільному просторі, яка дозволяє розрахувати повний імпеданс котушки з урахуванням скін-ефекту у провіднику, оцінити її добротність. Модель отримана застосуванням дискретного за просторовими координатами перетворення Ханкеля, що дозволило суттєво скоротити затрати машинного часу на розрахунок та припущеннями стосовно функції розподілу струму в провіднику. Функцію розподілу запропоновано з огляду на зворотність явищ у природі, тобто явище
58
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2012.-№50
6S
0SoM~'ZI0Z-'VHHV96QtyOUiVdvuvolQvd UMHxawoigvj — iqdop iiILDLi nmvdxx AuiouiuodoopiA огонмнхэш ого н ч гп паї іт// хпноїд
■lUJOfsUVJl
рциюр oioxosip poj/o-uiqs ‘ііщюпЬ poo bouvpddmi рощі ‘ррош лощпрщ iv/q :sp.ioaub}/
рэщпэрэ элю JQ
рию zppx і id tfypvnb poo рию дзиюрзсіші лоїопрщ ію/,і ■oovds оол/ ui ppif ороиЯюшоліоор oulds оці 80щоло штрэш олроприоо иг uopnquisip щэллпэ lions рию штрэш олроприоо иг uopnquisip щоллпо opuifop so/юоло ppif ороиЯюшолщор ‘dpiuvu ‘элщюи иг і(щщрлол -эл vuoiuouoqd uo posvq si uopounf uopnquisip щоллпр •dpuvoifiuSis эшр эищоюш soonp -ЭЛ іющ ULiqfsuixp рциюц діоло8ір оці Suisn лоїоприоо ю щ uopnquisip щоллпо inoqv suop -diunssv ціщ роиіющо si ррош oqj -ііщюпЬ sp oivmpso oi рию лоїоприоо ui looffo uiqs Sui -лор/suoo ‘ooutopodmi sp оіорю/юо oi ролюрю // оркиюхо sv pouSisop si oovds оол/щ лоїопрщ iv]f /voids ю sv ррош /юорюшощюш лоонрхиюлі щоллпо dppp poщosoлd si oovds оол/ щ poo ю иорюрю/юо ло/posodoлd рощош оц/ •oouvpodiui лорпрт іщ/ oi/j \q() idqsAoxqvy
■тохнюх onuvtxK.vdgoodu ooншodxong ‘шхоффє-нпхо ‘нхтйиюх чшooншod -gog ‘oHvgouwn пічнюои luuoow)iuu>ii(()Hii нхпьйиюх похооюи чюорош :v9ovo оічооьоп}]
'oniiorvuuioduoo oo
oнюшnhooюd охот шонтошоои ndu Imnommdo mg ‘n hpp\jj ошошоюн юн пхпь(шюх пшоон -шodgog n voHvgouwn шohoюd HOQOdodjj -ogodo noinH()0!)oduodiuxoi:c 9 юхош wonuoirogodu -ovd ож шихти ogodo tioinipjofioduoduix01x011 9 той огоишпигюшсхкихоїх, ож огохюш тн -vqeoo опіиопж оннпгоююню ogodo noimgoooduodmxoiie 9 юхош mHovogoduovd огонноюод -oduo iyoixhi iYi4HiuiuuyviYodiuxo/r, тнюдєоо эниэпж ‘оииошп v ‘ogodndu 9 пниэпж iiuiooiy -muvdgo ui ugoxon ono.xcoroodu mHovogoduovd откхикф •oxnugo9odu 9 юхош muovogodu -ovd dgooou ou miuo.xcovouoodu n ‘mvodo ооииптюш шoюinюdxoo оиионшооіпАо ошн ‘тох -нюх Kniivooi.vdgoodu oгoншodxong оіпнюног.чіоиоп udvgoovvg юноїхОхні чігоосщ •охпндоэ -odu 9 юшхоффє-нпхо lYoiuohd о пхпь(шюх онюдоишп пічнюои чшюшnhooюd ттоэЕои mod -ошох ‘99Ш9нюdш9odu шондодоэо 9 пшоонэпшх'((жп пхпьйиюх noHf.vdgooi vdnuo похооюи одпэ 9 m:oiuD9()f.vdgoodu огоэохош9(1хпэ чюодош оикюонпшюшошюш oнюшogюd£юd downdu хю}[ aoiuotivdiuoodu шондодоэо 9 пшоонтшхі(днп хоньйиюх юшэhэюd огохоонпштюню тд дохдои onogo9nd]j ти 00 ш> тих Ад н п пхтАшпх похооюи оипдоишц ф -у iiiixooodxvf
■тохнюх miuodooiuodou ouiuodxono ‘шхофо-щхо ‘пхтйиох чшощ -luodgoo ‘онюдоиші ппнэои ‘щоонтшхі(дні nxmduiox юхоююи чюодош :v9ovo роынндр
■diuo и ouv90xvd£od £шМшо огонтшоои юг. ‘ннннтжіои тд ‘юш іігр/ І ішошоюн юн nxmduiox iiuoouiuodgoo юш і(онюдоиші оготои xoudxixk.od ouogo9od]j чішш -ogodoo i(iYou()i9oduodaixoi:o 9 £шМшо шопооиих! ож шпхюш linnoogodoo iQvougpoduod -шхоюо он э той oYoiuuimviYodiuxoiro ж огохюш minodcxnuo іОшиж онщгоююню linmogodoo i(iY()H()i9oduodiuxoi:o 9 diYddiuo duigoucod оготои шоюои шnншlнгюшodшxoюo miuodooiuo
nd/iuvdvuvoiQvd кнтэтЫшэнон mu тгоконхэх
