CC BY
127
Имитационное моделирование в AnyLogic многоканальных немарковских систем массового обслуживания с «разогревом», «охлаждением» и распределениями фазового типа
Максимов Е. В.
Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I
Санкт-Петербург, Россия maksimov.eugene69@gmail.com
Аннотация. Рассматривается имитационное моделирование в AnyLogic многоканальных немарковских систем массового обслуживания (СМО) с «разогревом», «охлаждением» и распределениями фазового типа. При реализации модели используется распределение Эрланга второго порядка. Указаны основные расчетные соотношения для определения параметров этого распределения. Обсуждаются возможные варианты интерпретации понятий «разогрев» и «охлаждение» применительно в информационно-вычислительным системам. Приводится схема модели немарковской системы массового обслуживания с «разогревом», «охлаждением» и распределениями Эрланга 2-го порядка в среде AnyLogic. Приведены результаты расчета основных вероятностно-временных характеристик модели СМО (плотности и функции распределения времени ожидания заявки в очереди и времени пребывания в системе), обсуждаются возможности применения результатов.
Ключевые слова: имитационное моделирование, AnyLogic, системы массового обслуживания, «разогрев», «охлаждение», вероятностно-временные характеристики, распределения фазового типа, распределение Эрланга.
Введение
В ряде систем массового обслуживания (СМО), особенно при относительно малой загрузке, целесообразно вводить порог включения, когда обслуживание начинается при скоплении в системе некоторого количества заявок и заканчивается при полном освобождении системы. Такой режим увеличивает как период непрерывной занятости, так и время, в течение которого обслуживание не ведется. Это позволяет на довольно длительные периоды переводить автоматическую аппаратуру в облегченный (дежурный) режим в целях экономии ресурса и электроэнергии. В системах с участием человека появляется возможность полностью выключать значительную часть техники и переводить оператора на решение других задач.
Очевидно, что обслуживание первой заявки в этих условиях сопряжено с выполнением некоторых дополнительных операций («разогрев» системы) и в среднем будет продолжаться дольше, чем обслуживание прочих заявок. СМО с «разогревом» рассматриваются в работах [1-6].
Возможен и другой случай, когда после полного освобождения системы требуются мероприятия, связанные с восстановлением работоспособности, проведением технического
обслуживания, перерывами в работе и т. д. В этом случае уместно говорить, что СМО переходит в режим «охлаждения». Начало обслуживания вновь прибывшей заявки не начнется, пока не завершатся все операции «охлаждения». В отличие от «разогрева», процесс «охлаждения» системы не зависит от прибытия первой заявки периода занятости. Если система успеет «охладиться» до прихода заявки, обслуживание начнется без дополнительных задержек. Исследованию систем с охлаждением посвящены работы [7, 8].
В статье [9] рассматриваются системы с «разогревом», с «охлаждением», также предложена диаграмма переходов между состояниями модели многоканальной системы массового обслуживания типа М / Е2/ Е2/ М / п - с «разогревом», с «охлаждением» и распределением Эрланга 2-го порядка.
Вопросы прикладного применения моделей систем массового обслуживания для прогнозного оценивания оперативности функционирования облачных систем, систем распределенной обработки данных рассматриваются в [6, 10-13]. В частности, в [6, 13] рассматриваются вопросы оценивания оперативности распределенной обработки данных с учетом затрат на обеспечение информационной безопасности на основе использования «разогрева».
Далее представлено моделирование узла дата-центра с несколькими одинаковыми серверами, поддерживающими возможность «разогрева» и «охлаждения», также в среде AnyLogic разработана имитационная модель.
Моделирование многопроцессорного сервера
С «РАЗОГРЕВОМ» И «ОХЛАЖДЕНИЕМ»
В центре обработки данных имеется машинный зал, в котором расположено серверное оборудование. В качестве примера исследуемого узла центра обработки данных рассмотрим несколько одинаковых серверов (рис. 1).
Конечный пользователь (клиент) отправляет запросы на сервер посредством сети Интернет. Сервер, получив заявки, подготавливает оборудование, происходит «разогрев» системы для дальнейшей обработки. Заявки, заставшие вычислительные ресурсы занятыми, встают в очередь и ожидают. По окончании обслуживания запросов, если в систему не поступило новых запросов, система переходит в режим «охлаждения».
Рис. 1. Схема узлов центра обработки данных
В качестве «разогрева» системы будем рассматривать процесс подготовки необходимых данных для обработки поступающих запросов, которые помещаются в оперативную память. «Охлаждение» системы будем рассматривать как процесс освобождения занятой оперативной памяти.
Методы построения имитационных моделей систематически изложены в работе Ю. И. Рыжикова [14]. В качестве оценки оперативности функционирования рассмотренного узла дата-центра будет применен метод имитационного моделирования в среде AnyLogic. Технология работы в указанной среде подробно изложена в [15].
Для изучения сервера с описанным «разогревом/охлаждением» полезно ввести усовершенствованную запись A/B/C/D/n, которая по сравнению с оригинальной записью Кендалла содержит дополнительные С и D, обозначающие распределение времени «разогрева» и «охлаждения», соответственно.
Диаграмма процесса
ОБРАБОТКИ ЗАПРОСОВ
На рис. 2 изображена основная диаграмма процесса обработки запроса системой массового обслуживания с «разогревом» и «охлаждением».
Последовательность блоков, которая начинается с source, задает основной поток запросов на серверы в дата-центре. Последовательность блоков, которая начинается с sourceWarmUp, отвечает за «разогрев» системы. Последовательность блоков, которая начинается с sourceCooling, начинает процесс «охлаждения» системы.
Распределения фазового типа
Д. Р. Кокс показал, что произвольное распределение длительности некоторой случайной величины можно представить смесью экспоненциальных фаз или распределением фазового типа (гиперэкспоненциальным, Эрланга или Кокса) [16]. Достоинства такого представления - удобство сведения случайного процесса к Марковскому и легкость составления и решения системы уравнений, описывающей поведение соответствующей модели. Такой подход получил широкое применение при исследовании немарковских многоканальных систем массового обслуживания, см. например [17]. Параметры аппроксимирующего распределения могут быть вещественными или комплексно-сопряженными, при этом вероятности состояний исследуемой системы являются вещественными.
Схема двухэтапного неоднородного распределения Эрланга приведена на рис. 3. Оно представляет собой смесь двух экспоненциальных фаз с интенсивностями
Чтобы найти параметры двухэтапного неоднородного распределения Эрланга, нужно потребовать равенства первых двух начальных моментов распределений аппроксимирующего и исходного распределения. При этом уравнение имеет вид
— + — = f
— + — + — = f
xj2 XiX2 x2
(i)
Рис. 2. Диаграмма процесса обработки заявки многоканальной СМО с «разогревом/охлаждением»
Рис. 3. Схема неоднородного распределения Эрланга
Из (1) следует:
Ч2 =
/ ±у!4/2 - 3/? 2(/12 - /2)
(2)
Из (2) следует, что параметры являются вещественными при аппроксимации исходной плотности с коэффициентом вариации
<3)
При использовании аппроксимации в диапазоне
0 (4)
целесообразно использовать комплексно-сопряженные параметры:
Я,1 =а + ур;
=а- УР.
Из (2) получается:
а =
Р =
/1
2( /12 - /2)'
Ф/12 - 4 /2
2(/12 - /2)
В качестве времени на «разогрев» и «охлаждение» системы используется распределение фазного типа, а именно распределение Эрланга 2-го порядка.
Практические результаты
Построенная модель имитирует работу одного узла дата-центра, в состав которого входят три одинаковых по техническим характеристикам сервера. Эти сервера выступают как система с возможностью «разогрева» и «охлаждения».
Разработанная имитационная модель позволяет определить:
• среднее число заявок в системе;
• среднее число каналов, занятых обслуживанием;
• среднюю длину очереди;
• среднее время нахождения заявки в очереди;
• среднее время нахождения заявки в системе;
• коэффициент загрузки.
Было проведено несколько экспериментов. Различия экспериментов заключаются в количестве заявок. В качестве исходных данных приняты значения из статьи [3]. Поскольку в [3] время, необходимое для «охлаждения», изменяется от 0,5 до 3,5 с, решено использовать среднее значение.
Исходные данные:
• интенсивность входного потока - 4;
• интенсивность обслуживания - 1,8 с;
• время «разогрева» и «охлаждения» - 2 с;
• число каналов - 3.
В таблице 1 приведены полученные результаты.
Таблица 1
Результаты имитационного моделирования
Параметр Число заявок
100 1000 10 000
Среднее число каналов, занятых обслуживанием 1,94 2,131 2,192
Коэффициент загрузки 0,628 0,711 0,744
Среднее число заявок в очереди (длина очереди) 3,085 1,662 1,641
Среднее число заявок в системе 4,86 3,544 3,606
Среднее время ожидания заявки в очереди 0,458 0,216 0,214
Среднее время пребывания заявки в системе 1,273 0,797 0,772
Рис. 4. Плотность распределения времени пребывания заявки в системе
Как видно из таблицы, при малом количестве заявок сложно оценить работу системы, поскольку значения получаются больше, чем при другом количестве заявок. При увеличении числа заявок можно более точно оценить работу системы.
На рис. 4-7 представлены графики функции распределения и плотности распределения для временных параметров, таких как время пребывания заявки в системе и время ожидания.
Из рис. 4 видно, что заявки пребывают в системе в основном столько времени, сколько необходимо на их обслуживание. Это обусловлено невысоким значением удельной загрузки системы массового обслуживания.
Из рис. 5 видно, что большинство заявок поступают на обслуживание без дополнительного времени. Это также обусловлено невысоким значением удельной загрузки моделируемой системы массового обслуживания.
Приведенные графики позволяют оценить оперативность процессов обслуживания заявок в узлах информационно-вычислительных систем и сетей и на этой базе обосновать характеристики их производительности.
Выводы
Реализованная в среде AnyLogic модель многоканальной немарковской систем обслуживания «разогревом» и «охлаждением» и распределениями фазового типа может использоваться, прежде всего, в качестве средства обоснования достоверности вновь разрабатываемых численных моделей аналогичных классов СМО. Кроме того, модель может найти применение при оценивании и обосновании производительности узлов центров обработки данных, облачных систем и других, в которых требуется учитывать затраты на проведение подготовительных («разогрева») и завершающих («охлаждения») работ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kreinin Ya. Single-channel Queuing System with Warm up / Ya. Kreinin // Automation and Remote Control, 1980 41. 6. P. 771-776.
2. Grassmann W. K. Warm-up Periods in Simulation Can Be Detrimental / W. K. Grassmann // Probab. Engrg. Inform. Sci., 2008, № 22 (3). P. 415-429.
3. Kolahi S. S. Simulation Model, Warm-up Period, and Simulation Length of Cellular Systems / S. S. Kolahi // Second Int. Conf. Intelligent Systems, Modelling and Simulation (ISMS), 2011. P. 375-379.
4. Гиндин С. И. Численный расчет многоканальной системы массового обслуживания с рекуррентным входящим потоком и «разогревом» / С. И. Гиндин, А. Д. Хомоненко, С. Е. Ададуров // Изв. ПГУПС, 2013, № 4 (37). С. 92-101.
5. Eremin A. S. A Queuing System with Determined Delay in Starting the Service / A. S. Eremin // Интеллектуальные технологии на транспорте, 2015, № 4. С. 23-26.
6. Khomonenko A. Performance Evaluation of Cloud Computing Accounting for Expenses on Information Security / A. Khomonenko, S. Gindin // 18th Conf. Open Innovations Association and Seminar on Information Security and Protection of Information Technology (FRUCT-ISPIT), 18-22 Apr. 2016. P. 100-105.
7. Лохвитский В. А. Численный анализ системы массового обслуживания с гиперэкспоненциальным «охлаждением» / В. А. Лохвитский, А. В. Уланов // Вестн. Томского гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика, 2016, № 4 (37). C. 36-43.
8. Khalil M. M. Testing of Software for Calculating a Multichannel Queuing System with "Cooling" and E2-approximation / M. M. Khalil, A. A. Andruk // Интеллектуальные технологии на транспорте, 2016, № 4 (8). С. 22-28.
9. Khomonenko A. D. A Cloud Computing Model Using Multi-channel Queuing System with Cooling / A. D. Khomonenko, S. I. Gindin, M. M. Khalil // XIX IEEE Int. Conf. Soft Comput. and Measurements (SCM), 2016. Р. 103-106. DOI: 10.1109/SCM.2016.7519697.
10. Mao M. A Performance Study on the VM Startup Time in the Cloud / M. Mao, M. Humphrey // IEEE 5th Int. Conf. Cloud Computing (CLOUD). IEEE Press, 2012. Р. 423-430.
11. Bruneo D. A Stochastic Model to Investigate Data Center Performance and QoS in IaaS Cloud Computing Systems / D. Bruneo // IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems, 2014. Р. 560-569.
12. Gong C. The characteristics of cloud computing / C. Gong et al. // 39th Int. Conf. Parallel Processing Workshops (ICPPW). IEEE Press, 2010. P. 275-279.
13. Гиндин С. И. Модель оценивания оперативности распределенной обработки данных с учетом затрат на обеспечение информационной безопасности / С. И. Гиндин, А. Д. Хомоненко, В. В. Яковлев, С. В. Матвеев // Проблемы информационной безопасности. Компьютерные системы, 2013, № 4. C. 59-67.
14. Рыжиков Ю. И. Имитационное моделирование. Теория и технологии / Ю. И. Рыжиков. СПб.: КОРОНА принт; М.: Альтекс-А, 2010. 384 с.
15. Карпов Ю. Г. Имитационное моделирование систем. Введение в моделирование с AnyLogic 5 / Ю. Г. Карпов. СПб.: БХВ-Петербург, 2006. 400 с.
16. Cox D. R. A Use of Complex Probabilities in the Theory of Stochastic Processes / D. R. Cox // Proc. Cambr. Phil. Soc., 1955, vol. 51, № 2. P. 313-319.
17. Bubnov V. P. Software Reliability Model with Cox-ian Distribution of Length of Intervals Between Errors Detection and Fixing Moments / V. P. Bubnov, A. D. Khomonenko, A. V. Tyrva // Proceedings - 35th Annual IEEE Int. Computer Software and Appl. Conf. Workshops, COMPSACW 2011. 2011. Р. 310-314.
Simulation Modeling in AnyLogic of Multi-Channel non-Markov Queuing Systems with «Heat-up», «Cooling» and Distributions of Phase Type
Maksimov E. V. Emperor Alexander I Petersburg State Transport University St. Petersburg, Russia maksimov.eugene69@gmail.com
Abstract. Simulation modeling in AnyLogic of multi-channel non-Markov queuing systems with "heat-up", "cooling" and distributions of phase type is considered. In case of implementation of model distribution of the Erlang 2 orders is used. The main estimated ratios for determination of parameters of this distribution are specified. Possible options of interpretation of concepts "heat-up" and "cooling" applicable in information systems are discussed. The diagram of model of non-Markov queuing system with "heat-up", "cooling" and distributions of the Erlang of the 2nd order in the environment of AnyLogic is provided. Results of calculation of the main probable time response characteristics of the SMO model are given (density and distribution functions of wait time of the request in queue and time of stay in system), possibilities of use of results are discussed.
Keywords: simulation modeling, AnyLogic, queuing systems, "heat-up", "cooling", probable time response characteristics, distributions of phase type, distribution of the Erlang.
References
1. Kreinin Ya. Single-channel Queuing System with Warm up. Automation and Remote Control, 1980, no. 41, 6, pp. 771-776.
2. Grassmann W. K. Warm-up Periods in Simulation Can Be Detrimental. Probab. Engrg. Inform. Sci., 2008, no. 22 (3), pp. 415-429.
3. Kolahi S. S. Simulation Model, Warm-up Period, and Simulation Length of Cellular Systems. Second Int. Conf. Intelligent Systems, Modelling and Simulation (ISMS), 2011, pp. 375-379.
4. Gindin S. I., Khomonenko A. D., Adadurov S. E. Numerical Calculation of Multi-channel Queuing System with the Recurrent Entering Flow and «Heat-up» [Chislennyy raschet mnogokanal'noy sistemy massovogo obsluzhivaniya s rekurrent-nym vkhodyashchim potokom i „razogrevom"], Proc. of Petersburg Transport University [Izvestiya Peterburgskogo universiteta putey soobshcheniya], 2013, no. 4 (37), pp. 92-101.
5. Eremin A. S. A Queuing System with Determined Delay in Starting the Service. Intellectual Technologies on Transport, 2015, no. 4, pp. 23-26.
6. Khomonenko A., Gindin S. Performance Evaluation of Cloud Computing Accounting for Expenses on Information Security. 18th Conf. Open Innovations Association and Seminar on Information Security and Protection of Information Technology (FRUCT-ISPIT), 18-22 Apr. 2016, pp. 100-105.
7. Lokhvitsky V.A., Ulanov A. V. The Numerical Analyses of Queuing System with Hyperexponential Distribution of Cooling Time [Chislennyy analiz sistemy massovogo obsluzhivaniya s
gipereksponentsial'nym „okhlazhdeniem"], Tomsk State Univ. J. of Control and Computer Sci. [Vestnik Tomskogo gosudarstven-nogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i infor-matika], 2016, no. 4 (37), pp. 36-43.
8. Khalil M. M., Andruk A. A. Testing of Software for Calculating a Multichannel Queuing System with "Cooling" and E2-approximation. Intellectual Technologies on Transport, 2016, № 4 (8), pp. 22-28.
9. Khomonenko A. D., Gindin S. I., Khalil M. M. A Cloud Computing Model Using Multi-channel Queuing System with Cooling. XIXIEEE Int. Conf. Soft Computing and Measurements (SCM), 2016, pp. 103-106. DOI: 10.1109/SCM.2016.7519697.
10. Mao M., Humphrey M. A Performance Study on the VM Startup Time in the Cloud. IEEE 5th Int. Conf. Cloud Computing (CLOUD), IEEE Press, 2012, pp. 423-430.
11. Bruneo D. A Stochastic Model to Investigate Data Center Performance and QoS in IaaS Cloud Computing Systems. IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems, 2014, pp. 560-569.
12. Gong C. et al. The Characteristics of Cloud Computing. 39th Int. Conf. Parallel Processing Workshops (ICPPW), IEEE Press. 2010, pp. 275-279.
13. Gindin S. I., Khomonenko A. D., Jakovlev V. V., Mat-veev S. V. Model Evaluation of Efficiency Distributed Data Processing Including the Spending of Ensuring the Information Security [Model' otsenivaniya operativnosti raspredelennoy obrabotki dannykh s uchetom zatrat na obespechenie informat-sionnoy bezopasnosti], Information Security Problems. Comput. Systems [Problemy informatsionnoy bezopasnosti. Komp'yuternye sistemy], 2013, no. 4, pp. 59-67.
14. Ryzhikov Y. I. Simulation Modeling. Theory and Technologies [Imitatsionnoe modelirovanie. Teoriya i tekhnologii]. St. Petersburg, KORONA print; Moscow, Alteks-A, 2010, 384 p.
15. Karpov Y. G. Simulation Modeling of Systems. Introduction to Simulation with AnyLogic 5 [Imitatsionnoe modeliro-vanie sistem. Vvedenie v modelirovanie s AnyLogic 5]. St. Petersburg, BHV-Petersburg, 2006, 400 p.
16. Cox D. R. A Use of Complex Probabilities in the Theory of Stochastic Processes. Proc. Cambr. Phil. Soc., 1955, vol. 51, no. 2, pp. 313-319.
17. Bubnov V. P., Khomonenko A. D., Tyrva A. V Software Reliability Model with Coxian Distribution of Length of Intervals Between Errors Detection and Fixing Moments. Proc. - 35th Annual IEEE Int. Computer Software and Applications Conf. Workshops, COMPSACW 2011, 2011, pp. 310, 314.
