ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ НА ОСНОВЕ СОСТАВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ - ВЕРОЯТНОСТНЫХ СМЕСЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ НА ОСНОВЕ СОСТАВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ - ВЕРОЯТНОСТНЫХ СМЕСЕЙ

DOI: 10.36724/2072-8735-2023-17-3-14-19

Тарасов Вениамин Николаевич,

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия, veniamin_tarasov@mail.ru

Бахарева Надежда Федоровна,

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия, nadin1956_04@inbox.ru

Manuscript received 12 February 2022; Accepted 12 March 2023

Ключевые слова: система моделирования GPSS WORLD, системы массового обслуживания, среднее время ожидания в очереди, средняя длина очереди

В данной статье представлены полученные результаты по разработке программных генераторов псевдослучайных последовательностей для имитационного моделирования СМО в системе дискретно-событийного моделирования GPSS WORLD с гиперэрланговским (HE2) и гиперэкспоненциальным (H2) входными распределениями. Данных в этой предметной области ни в зарубежной ни в отечественной научной литературе, авторами не обнаружены. Нет таких генераторов и в библиотеке GPSS WORLD. Известно, что распределения HE2 и H2 являются наиболее общими и обеспечивают большой диапазон коэффициента вариации. Последний играют важную роль при оценке задержки требований в очереди в системах массового обслуживания, т.к. средняя задержка в очереди прямо пропорциональна их квадратам. Для распределений HE2 и H2 авторами ранее получены численно-аналитические результаты на основе метода спектрального решения интегрального уравнения Линдли. В статье представлены полученные алгоритмы и программы на GPSS WORLD для имитации функционирования СМО с указанными входными распределениями. Адекватность полученных результатов подтверждена сравнением результатов имитации с результатами численного моделирования в среде Mathcad. Авторы надеются, что представленные результаты будут востребованы специалистами в области имитационного моделирования в среде GPSS WORLD.

Информация об авторах:

Тарасов Вениамин Николаевич, д.т.н., профессор, заведующий кафедрой "Управление в технических системах", Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия

Бахарева Надежда Федоровна, д.т.н., профессор, заведующий кафедрой "Информатика и вычислительная техника", Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия

Для цитирования:

Тарасов В.Н., Бахарева Н.Ф. Имитационное моделирование систем массового обслуживания на основе составных распределений -вероятностных смесей // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2023. Том 17. №3. С. 14-19.

For citation:

Tarasov V.N., Bakhareva N.F. (2023) Simulation modeling of queuing systems based on composite distributions - probabilistic mixtures. T-Comm, vol. 17, no.3, рр. 14-19. (in Russian)

Введение

Универсальная система дискретно-событийного моделирования GPSS WORLD предназначена для моделирования как производственных систем, так и систем массового обслуживания [1-4]. Она включает множество библиотечных программ, в том числе генераторы псевдослучайных последовательностей для различных законов распределений. В тоже время в этой системе отсутствуют такие генераторы, как ги-перэрланговских и гиперэкспоненциальных распределений. Этот факт препятствует моделированию систем массового обслуживания G/G/1 и G/G/m. Настоящая статья посвящена частичному устранению этого пробела.

Как известно, например, из [3], распределение НЕ2 составлено из нормированных распределений Эрланга с весовыми коэффициентами / и 1-р.К примеру, функция плотности ги-перэрланговского закона второго порядка имеет вид

f (t) = 4 p12xte-2ht + 4 (1 - p )X22te-2X2t

(1)

и обеспечивает коэффициент вариации с е (1 / \/2, да).

Также известно, что обычно используется распределение Эрланга второго порядка как частный случай более общего Гамма закона распределения:

f (t) = ^te-

il)

a(t) = p^Vht + (1 - pyk\te~%2t

(3)

Решение задачи для СМО с гиперэрланговским и экспоненциальным распределениями

Для построения и прогона любой имитационной модели потребуются исходные данные в виде входных параметров. Для этого мы используем значения начальных моментов распределений НЕг и М, через которые и определим параметры этих распределений. Моментные характеристики определим через преобразование Лапласа функции (3):

А s) = p( -^м2+(i-p )(^М2-

+ s

Х2 + s

Тогда два первых начальных момента будут - для интервалов поступлений

_ _ 2p + 2(1 -p) -J_ 6p + 6(l-p)

Я " 1 л ' " ,2 + ,2

- для времен обслуживания

(4)

Библиотечный генератор гамма распределения GAMMA (Stream, Locate, Scale, Shape) позволяет получить псевдослучайную последовательность для распределения Эрланга второго порядка (2). Распределение (2) отличается от нормированного распределения f (t) = 4X2te~2Xt начальными моментами, но имеют одинаковый коэффициент вариации.

В связи с тем, что нормированное распределение вызывает сложности генерации, сформируем из (2) гиперэрлангов-ский закон второго порядка с функцией плотности

= 1/Ц' ^ =

Уравнения (4) совместно с определением квадрата коэф-

'У '•у _ 'у 'У _ гу _ 'У

фициента вариации сх=<зх / = (тя — ) / позволяют найти все три параметра Я,1з X2, р распределения (3). Выпишем эти значения

= 4p 1 Ч' = 4(1 - p)/ч, p = 1/2 + yl 1/4-3/[8(1 + с2)].

(5)

как вероятностную смесь обычных распределений Эрланга с целью его использования в генераторе GAMMA. Заметим, что числовые характеристики распределений (1) и (3), кроме коэффициента вариации, также отличаются.

Настоящая статья посвящена моделированию СМО с входными распределениями НЕг и Нг в системе GPSS WORLD. Авторам не известны какие-либо результаты в этой предметной области.

Постановка задачи

В статье излагается проблема построения имитационных моделей для указанных систем, а выводы об адекватности моделей делаются на основе сопоставления полученных результатов с данными численного моделирования в Mathcad. При построении удачной модели для указанной системы, построение имитационных моделей систем, включающих распределения НЕг и Нг в любой позиции по шкале Кендалла, не будет вызывать затруднения.

Из условия не отрицательности выражения под квадратным корнем следует, что сх> 1 / у[2 .

Для построения и отладки имитационной модели возьмем коэффициент загрузки р = / тх = 0,9, коэффициент вариации интервалов поступлений сх = 2 и единичное время обслуживания х = 1. Тогда исходные данные для имитационной модели

р = I + №±£±hl = 0,918 ' 1 -Р = 0,082, 2 V 8(1 + с,2)

^ = 3,305, Х2 = 0,295.

Отсюда средние значения для первой и второй фаз гипер-эрланговского распределения будут равны

2/Хх = 0,605,2/^2 = 6,78 единиц времени.

На первый взгляд, при построении имитационной модели можно было бы обойтись логическим оператором TEST для перенаправления транзактов в модели с вероятностью р на первую фазу гиперэрланговского закона, а с вероятностью 1 - р - на вторую фазу, как это показано в тексте имитационной модели. Здесь отмечается полная аналогия с аналитической моделью (3) гиперэрланговского закона распределения, т.к. в аналитической модели предполагается мгновенная передача заявок с заданной вероятностью/ на первую фазу, а с вероятностью 1-р - на вторую фазу [7-9,12].

Y

Текст программы

10 ERLl FVAHIABLE (GAMMA(1,0,0.605Л)) 20 ERL2 FVARIABLE (GAMMAfl ,0,6.78,2))

30 TEST L (RNL),082;MET_1 40 GENERATE VJEKL2 50 TRANSFER ,MET_2 60 MET l GENERATE VSERL1

70 MET 2 QUEUE QCHAN

SO SEIZE CHAN

SO DEPART QCHAN

100 ADVANCE (Exponential (1,0,1.0))

110 RELEASE CHAN 120 TERMINATE 1 130 START 1000000

Комментарии

: Переменная для первой фазы гиперэрланга ; Переменная для второй фазы гиперэрланга ; Если значение случайной величины ; меньше pi, го генерировать первую фазу и : встать в очередь к устройству "CHAN", : если нет. то переход по метке 1 для ; генерирования второй фазы ; Встать в очередь к устройству "CHAN" ; Занять устройство "CHAN" : Покинуть очередь к устройству "CHAN" : Задержать транзахт на единичное время ; Освободить устройство "CHAN" ; Удалять по одному транзакту ; Прогон 1 млн. транзактов

1 ТЕВТ 0 0

2 GENERATE 0

3 TRANSFER 51556 0

1 GENERATE Э1513Э 0

5 0UEUE 1000025 24

6 BIIZI 1000001 1

1 EIPART 1000000 0

ri ADVANCE 1000000 0

9 RELEASE lOOOOOO О

10 TERMINATI 1000000 0

Анализ результатов прогона модели (рис. 1) показывает, что в этом случае на первую фазу направляется примерно 82 тыс. транзактов, а на вторую фазу 918 тыс. транзактов, что полностью соответствует заданным вероятностям 0,082 и 0,918. Коэффициент загрузки равен 0,9 и среднее время обслуживания - единица, т.е. исходные данные и промежуточные результаты моделирования совпадают. Средняя задержка в очереди 6,553 не соответствует аналитической модели [5,6], которая дает 22,59 единиц времени.

Выше мы убедились, что в имитационном моделировании копирование аналитического представления гиперэрлангов-ского распределения не дает нужного эффекта. Дискретно-событийное моделирование работает по строго определенному алгоритму продвижения модельного времени от события к событию, где в качестве событий фигурируют моменты поступления и ухода требований из системы.

LABIL LOC BLOCK TYPE ENTRY COUNT CURRENT COUNT RETRY

■3 ■3 ■3

MET_1 1 GENERATE Э1513Э О О

MET 2 5 OUEUE 1000025 24 О

О О О О О

FACILITY INTRI15 UTIL. AVE.TIME AVAIL. CKNIR PIND INTER RETRY DELAY СKAN 1000001 0.Э01 1.001 1 1000001 0 0 0 24

0UEUE MAX CONT. INTRY INTRY(O) AVE.СONT. AVE.TIME AVE.(-O) RETRY OCHAN 55 25 1000025 12510Э 5.535 6.553 ^ . 515 О

Рис. 1. Результаты прогона имитационной модели

Теперь внимательно смотрим на двухфазное формирование гиперэрланговского распределения для имитационного моделирования (рис. 2). На рисунке 2 показано, что с вероят-ностьюр сформированный транзакт отправляется на первую фазу гиперэрланговского закона со средним интервалом 2/h, а с вероятностью 1-р - на вторую фазу со средним интервалом 2/Хг- В схему включены логические переключатели с двумя состояниями: включен, выключен.

Эти два состояния управляются с помощью логического оператора LOGIC X А. Здесь А - идентификатор переключателя, а X задает тип операции: S - включить, R - выключить.

Таким образом, в схеме в зависимости от значения веро-ятностир должны будут попеременно работать два переключателя, которые в тексте программы обозначены Kluchl и Kluch2. Введение в схему логических переключателей еще не решает проблему создания имитационной модели, т.к. в соответствующие фазы нужно впустить сгенерированный прежде транзакт при включенном переключателе.

Рис. 2. Формирование двухфазного гиперэрланговского распределения

Это достигается следующим логическим оператором GATE (впустить), имеющий формат: GATE X А, [В]. В нашем случае объектом А является переключатель Kluchl или Kluch2, а положение объекта LS - логический ключ включен.

В имитационной модели с применением логических ключей необходимо указать еще продолжительность их работы, в тексте программы - это время для первого ключа равно Т1#3.1, а для второго - Т_2#3.1. Здесь Т_1 и Т_2 - средние интервалы для фаз, # операция арифметического умножения. Константа 3.1 должна подбираться экспериментально так, чтобы показатели работы СМО не отклонялись от реальных значений. В этом состоит недостаток имитационной модели с использованием составных распределений и логических переключателей.

Ниже приведен текст программы с комментариями.

Текст программы

10 Р_1 EQU 0.082 20 Р_2 EQU (1-Р_1) 30 T_1 EQU3.39 40 Т_2 EQU 0.302 50 GENERATE ,„1

60 Switch TRANSFER P_l,Met_2,Met_l

70 Мя_1 TRANSFER ,K1_1 SO Met_2 TRANSFER ,K1_2 90 Kl_l LOGIC S Kluchl 100 ADVANCE (T_l#3.1) 110 LOGIC R Kluchl 120 TRANSFER .Switch

130 Kl_2 LOGIC S Kluch2 140 ADVANCE (T"_2=3.1) 150 LOGIC RKluch2 160 TRANSFER .Switch

170 GENERATE (GAMMA01,O,T 1,2)) ISO GATE LS Kluchl .Met 10

190 TRANSFER :Met_20

200 GENERATE (GAMMA<21,0,T_2,2))

210 GATE LS Klucki.Met 10

220 Met_20 QUEUE QCHAN

230 SEIZE CHAN

240 DEPART QCRAN

250 ADVANCE (E:tponential(31.0 10))

260 RELEASE CHAN

270 TERMINATE 1

2S0 MetlO TERMINATE

290 START 1000000

Комментарии

Значение вероятности pl 1-й зрланговской фазы Значение вероятности рт 2-й зрланговской фазы Значение среднего интервала 1-й фазы Значение среднего интервала 2-й фазы Геннадия одного транз акта управления ключами выбора фазы Включение 1 -го ключа с вероятностью р]. а 2-го - с вероятностью Р: Отправить транз акт на 1 -и ключ "К1_1" Отправить транзакт на 2-й ключ К1 2 Включить ключ 1-й эрланшвекон фазы Время раооты ключа

Выключить ключ 1-й эрлангоЕСЕОй фазы Отправить транзакт на выбор рабочего ключа " Switch"

Включить ктюч 2-й зрланговской фазы

Время работы ключа

Выключить ключ 2-й эрланговской фазы

Отправить транзакт на Еыбор рабочего ключа

"Switch"

Генерация 1-й эрланговской фазы Определения состояния 1-го ктюча (если 11 включен1-переход к следующей строке программы, если 11 выключен" - переход на MetlO)

Переход по метке Генерация 2-й эрланговской фазы Определение состояния 2-го ктюча Встать в очередь к устройству "CELAN" Занять устройство "CHAN" Освободить одно место в очереди Задержать на обслуживании на единичное время

Освободить устройство "CHAN1 Удалять по одному транз aKiy Удалить транз акты из модели Прогон 1 млн. транзактов

Из результатов имитации на рисунке 3 следует, что коэффициент загрузки составляет 0,9, а среднее время обслуживания - единицу времени, т.е. исходные данные для примера и результаты моделирования совпадают.

Результаты имитации: средняя задержка в очереди 22,623 единицы времени практически совпадает с результатом численного моделирования 22,59, а средняя длина очереди в модели 20,30 также практически совпадает с результатом численного моделирования 20,33.

LABEL

SWITCH МЕТ_1 МЕТ_2 KL 1

LOC 1 2

3

4

5

6

7

8

KL_2 Э 10 11 12

13

14

15

16 17

МЕТ_20 15

19

20 21 22 23

Mil 10 2 4

BLOCK TYPE

GENERATE

TRANSFER

TRANSFER

TRANSFER

LOGIC

ADVANCE

LOGIC

TRANSFER

LOGIC

ADVANCE

LOGIC

TRANSFER

GENERATE

GATE

TRANSFER

GENERATE

GATE

SUEUE

SEIZE

DEPART

ADVANCE

RELEASE

TERMINATE

TERMINATE

ENTRY COUNT CURRENT COUNT RETRY

1

64 5 Э 60

53243

592717

53243

53243

532 4 2

53242

592717

5Э2717

5Э2717

592717

163979

163Э7Э

8 2 3 61

18 4 4133

1844133

1000002

1000001

1000000

1000000

1000000

1000000

1008110

i(t ) = p\e~Xlt +(1 - p

(8)

как вероятностной смеси экспоненциальных распределении и экспоненциального распределения

b (t) = ■

(9)

A s) = p( ) + (1- Р )()■

Х^ + S Л ' "

X 2 + S

Тогда два первых начальных момента будут равны: - для интервалов поступлений

. р +(1-р)

X 2

2p + 2 (1 - p )

(10)

- для времен обслуживания

= 1/Ц' ^ =

Уравнения (10) по аналогии с предыдущим разделом совместно с определением квадрата коэффициента вариации

'у 'у _ 'у 'у _ 'у _ 'у

сх=<зх / = (тя — тх ) / также позволяют найти все три параметра Х1, X2, р распределения (8). Выпишем эти значения

= 2p / , X2 = 2(1 - p)/ p = [1 + (с,2 -1)/(с2 +1)]/2.

(12)

Для построения и отладки имитационной модели для системы Нг/М/1 снова возьмем коэффициент загрузки р = т^ / хх = 0,9, коэффициент вариации интервалов поступлений сх= 2 и единичное время обслуживания т^ = 1. Тогда исходные данные для имитационной модели имеют вид:

p =~ (12

с,2 -1

с,2 +1

) = 0,887, 1 - p = 0,113,

FACILITY ENTRIES UTIL. AVE.TIME AVAIL. OWNER PEND INTER RETRY DELAY CHAN 1000001 0.8Э8 1.000 1 2008033 ООО 1

SUEUE MAX CONT. ENTRY ENTRY[0) AVE.CONT. AVE.TIME AVE.(-O) RETRY QCHAN 175 2 1000002 52010 20.300 22.623 23.564 0

Рис. 3. Результаты прогона окончательной имитационной модели

Решение задачи для СМО с гиперэкспоненциальным и экспоненциальным распределениями

По аналогии с предыдущим разделом, проиллюстрируем разработку имитационной модели на примере системы, сформированной функциями плотности

\ = 1,597, к2 = 0,203.

Отсюда средние значения для первой и второй фаз гиперэкспоненциального распределения 2/\ =1,252, ИХ2 = 9,86

единиц времени.

После определения исходных данных с помощью аналитического моделирования перейдем к формированию имитационной модели для этой системы.

На рисунке 4 показано, что с вероятностью р сформированный транзакт отправляется на первую фазу гиперэкспоненциального закона со средним интервалом 1/^1, а с вероятностью 1- р - на вторую фазу со средним интервалом 1/Хг. В схему опять включаем логические переключатели с двумя состояниями: включен, выключен.

При построении любой имитационной модели необходимо задавать исходные данные. В нашем случае это будут значения моментных характеристик распределений Нг и М,а через определим неизвестные параметры распределений (8) и (9). Моментные характеристики определим через преобразование Лапласа функции (8):

Рис. 4. Формирование двухфазного гиперэкспоненциального распределения

В схеме попеременно в зависимости от значения вероятности р должны будут работать два переключателя, которые в тексте программы обозначены К1исЫ и К1исЬ2. В имитационной модели с применением логических ключей необходимо указать еще продолжительность их работы, в тексте программы — это время для первого ключа равно Т_1#1.93, а для второго - Т_2#1.93. Здесь Т_1 и Т_2 - средние интервалы для фаз, # операция арифметического умножения. Константа 1.93 должна подбираться экспериментально так, чтобы показатели работы СМО не отклонялись от реальных значений. В этом и состоит недостаток имитационной модели с использованием составных распределений и логических переключателей. Поэтому таких генераторов нет в библиотеках систем

7ТТ

Y

имитационного моделирования. Ниже приведен текст программы с комментариями, а на рисунке 5 - результаты прогона имитационной модели для системы с гиперэкспоненциальным и экспоненциальным распределениями.

Таким образом, в ходе разработки имитационных моделей для обеих систем был использован сложный механизм логических переключателей фаз закона распределения, который позволил получить адекватные результаты имитационного моделирования.

Текст программы

10 Р_1 EQU0.113

20 Р_2 EQU (1-Р_1)

30 T_1 EQU 4.926 40 Т_2 EQU 0.626 50 GENERATE „,1

60 Switch TRANSFER P_1,Met 2,Met 1

70 №t_l TRANSFER ,K1_1 80 Met_2 TRANSFER ,K1_2 90 Kl_l LOGIC S Kludil 100 ADVANCE (T_1M.93) 110 LOGIC RKludil 120 TRANSFER .Switch

130 Kl_2 LOGIC S Kluch2 140 ADVANCE (T_2«L93) ISO LOGIC RKludi2 160 TRANSFER .Switch

170 GENERATE (Exponential(ll,0,T_l)) ISO GATE LS Kluchl.Met 10

190 TRANSFER №t_2Q

200 GENERATE (Exponential^ 1,0,T_2))

210 GATE LS Kluch2.Met_10

220 Met_20 QUEUE QCHAN

230 SEIZE CHAN

240 DEPART QCHAN

250 ADVANCE (Exponential^ 1.0.1.0'))

260 RELEASE CHAN

270 TERMINATE 1

2S0 Met_l 0 TERMINATE

290 START 1000000

LABEL LCC 3L0CÏ TYPE ENTRY COUNT CURRE]

1 GENERATE 1 0

SWITCH 2 TRANSFER 517 670 0

MET 1 3 TRANSFER 55772 0

MET 2 1 TRANSFER ■3555 Э5 0

KL 1 5 LOGIC 55772 0

6 ADVANCE 55772 1

1 LOGIC 55771 0

5 TRANSFER 55771 0

KL 2 В LOGIC 4555 Э5 0

10 ADVANCE 4555Э5 0

11 LOGIC 4555Э5 0

12 TRANSFER 4555 Э5 0

13 GENERATE 2266Э1 0

21 GATE 22 66Э1 0

IS TRANSFER 113740 0

IS GENERATE 1775237 0

17 GATE 1775237 0

MET 20 ia SUEUE 1000025 27

1Э SEIZE lOOOOOl 1

20 DEPART lOOOOOO 0

21 ADVANCE lOOOOOO 0

22 RELEASE 1000000 0

23 TERMINATE lOOOOOO 0

MET 10 21 TERMINATE 1004 300 0

Комментарии

Значение вероятности pi 1-й фазы

гнперэкспоненциального распределения

Значение вероятности р; 2-й фазы

гиперэкспоненциального распределения

Значение среднего интервала 1-й фазы

Значение среднего интервала 2-й фазы

Генерация одного транзакха управления

ключами выбора фазы

Включение 1 -го ключа с вероятностью р]

л 2-го - с вероятностью р;

Отправить транзакт на 1-й ключ "К1_1Г|

Отправить транзакт на 2-й ключ "К1_2"

Включить ключ 1-й фазы

Время работы ключа

Выключить ключ 1-й фазы

Отправить транзакт на выбор рабочего ключа

" Switch"

Включить ключ 2-й фазы Время работы ключа Выключить ключ 2-й фазы Отправить транзакт на Еыбор рабочего ключа Switch"

Генерация 1-й эрланговской фазы

Определения состояния 1-го ктюча (если

|,вктючен|,-переход к следующей строке программы,

если "выключен" — переход на MetlO)

Переход по метке

Генерация 2-й фазы

Определение состояния 2-го ключа

Встать в очередь к устройству "CHAN1

Занять устройство "CHAN"

Освободить одно место в очереди

Задержать на обслуживании на единичное время

Освободить устройство "CHAN"

Удалять по одному транзакту

Удалить транзакгы из модели

Прогон 1 in!" транзактов

FACILITY ENTRIES DHL. AVE. TIME AVAIL. OWNER PEND INTER RETRY DELAY CHAN lOOOOOl 0.5ЭЭ 1.000 1 20045Э4 0 0 0 27

3UEUE MAX CONT. ENTRY ENTRY(0) AVE.CONT. AVE.TIME AVE.(-O) RETRY SCt-IAN 222 25 1000025 5137Э 20.15Э 22.110 23.670 0

Рис. 5. Результаты прогона имитационной модели для второй системы

Выводы

В работе представлены разработанные алгоритмы и имитационные модели для имитации функционирования СМО с составными распределениями второго порядка, образованными из эрланговского и экспоненциального распределений с весами. Выше было отмечено, что эти законы распределения обеспечивают большой диапазон коэффициентов вариаций.

В ходе разработки имитационных моделей был использован сложный механизм логических переключателей фаз закона распределения, что позволил построить адекватные имитационные модели продвижения транзактов внутри модели. Полученные результаты публикуются впервые.

Литература

1. Боев В.Д. Моделирование систем. Инструментальные средства GPSS World: Учеб. пособие. СПб: БХВ-Петербург, 2004. 368 с.

2. Кудрявцев Е.М. GPSS World. Основы имитационного моделирования различных систем. М.: ДМК Пресс, 2004. 320 с.

3. Алиев Т.И. Основы моделирования дискретных систем. СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. 363 с.

4. Шрайбер Т. Дж. Моделирование на GPSS. M.: Машиностроение, 1980. 592 с.

5. Тарасов В. Н. Анализ и сравнение двух систем массового обслуживания с гиперэрланговскими входными распределениями II Радиоэлектроника, информатика, управление. 2018. №4 (47). С. 61-70.

6. Тарасов В. Н., Бахарева Н. Ф., Када О. Математическая модель телетрафика на основе системы HE2/M/I II Информационные технологии-2019.-№4,- С. 205-210.

7. Тарасов В. Н., Липилина Л. В., Бахарева Н. Ф. Автоматизация расчета характеристик систем массового обслуживания для широкого диапазона изменения их параметров II Информационные технологии. 2016. № 12. С. 952-957.

8. Тарасов В. Н., Бахарева Н. Ф. Компьютерное моделирование вычислительных систем. Теория, Алгоритмы, Программы. Оренбург, 2005. 183 с.

9. Бахарева Н. Ф. Уравнения равновесия потоков в сетевых моделях на основе математических операций мультиплексирования и демультиплексирования II Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2009. № 4 (12). С. 12-25.

10. Myskja A. An improved heuristic approximation for the GI/GI/1 queue with bursty arrivals II Teletraffic and datatraffic in a Period of Change, ITC-13. Elsevier Science Publishers. 1991, pp. 683-688.

11. Whitt W. Approximating a point process by a renewal process: two basic methods II Operation Research. 1982. Vol. 30. N. 1, pp. 125-147.

12. Алиев Т.И. Аппроксимация вероятностных распределений в моделях массового обслуживания II Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2013. № 2(84). С. 88-93.

13. GromollH.C., TerwilligerB. & ZwartB. Heavy traffic limit for a tandem queue with identical service times II Queueing Systems. 2018. Vol. 89.No. 3, pp. 213-241.

14. Legros B. M/G/l queue with event-dependent arrival rates II Queueing Systems. 2018. Vol. 89. No. 3, pp. 269-301.

SIMULATION MODELING OF QUEUING SYSTEMS BASED ON COMPOSITE DISTRIBUTIONS - PROBABILISTIC MIXTURES

Veniamin N. Tarasov, Povolzhskiy state university of telecommunications and informatics, Samara Russia,

veniamin_tarasov@mail.ru Nadezhda F. Bakhareva, Povolzhskiy state university of telecommunications and informatics, Samara Russia,

nadin1956_04@inbox.ru

Abstract

This article presents the results obtained on the development of software pseudo-random sequence generators for QS simulation in the GPSS WORLD discrete-event simulation system with hyper-Erlang (HE2) and hyper-exponential (H2) input distributions. Data in this subject area, neither in foreign nor in domestic scientific literature, were found by the authors. There are no such generators in the GPSS WORLD library either. It is known that the distributions of HE2 and H2 are the most general and provide a large range of the coefficient of variation. The latter play an important role in estimating the delay of requests in the queue in queuing systems, since the average queue delay is directly proportional to their squares. For the distributions of HE2 and H2, the authors previously obtained numerical-analytical results based on the method of spectral solution of the Lindley integral equation. The article presents the obtained algorithms and programs on GPSS WORLD to simulate the functioning of the QS with the specified input distributions. The adequacy of the obtained results was confirmed by comparing the simulation results with the results of numerical simulation in the Mathcad environment. The authors hope that the presented results will be in demand by specialists in the field of simulation modeling in the GPSS WORLD environment.

Keywords: GPSS WORLD simulation system, queuing systems, average waiting time, average queue length References

1. Boev V.D. Modelirovanie sistem. Instrumental'nye sredstva GPSS World: Ucheb. posobie. SPb: BHV-Peterburg, 2004. 368 p.

2. Kudryavcev E.M. GPSS World. Osnovy imitacionnogo modelirovaniya razlichnyh sistem. Moscow: DMK Press, 2004. 320 p.

3. Aliev T.I. Osnovy modelirovaniya diskretnyh sistem. SPb: SPbGU ITMO, 2009. 363 p.

4. SHrajber T.Dzh. Modelirovanie na GPSS. Moscow: Mashinostroenie, 1980. 592 p.

5. Tarasov V. N. Analysis and Comparison of two Queueing Systems with hypererlangian input Distributions. Radio Electronics Computer Science Control, 2018, Vol. 47, no.4, pp. 61-70.

6. Tarasov V.N., Bakhareva N.F., Kada Othmane. The mathematical model of teletraffik based on the HE2/M/I system. Informacionnye technologii, 2019, vol. 25, no. 4, pp. 205-210.

7. Tarasov V.N., Lipilina L.V., Bakhareva N.F. Automation for Calculating Characteristics Queuing System for a wide Range Changing their Parameters. Informacionnye technologii, 2016, vol. 22, no.I2, pp. 952-957.

8. Tarasov V.N., Bahareva N.F. Komp'yuternoe modelirovanie vychislitel'nyh sistem. Teoriya, Algoritmy, Programmy. Orenburg, 2005. 183 p.

9. Bahareva N.F. Equilibrium Equations of Flows in Network Models Based on Mathematical Operations of Multiplexing and Demultiplexing. Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Povolzhskij region. Tekhnicheskie nauki, 2009, no. 4 (12), pp. 12-25.

10. Myskja A. An improved heuristic approximation for the GI/GI/I queue with bursty arrivals. Teletraffic and datatraffic in a Period of Change, ITC-13. Elsevier Science Publishers, 1991, pp. 683-688.

11. Whitt W. Approximating a point process by a renewal process: two basic methods. Operation Research, 1982, vol. 30, no. I, pp. 125-147.

12. Aliev T.I. Approximation of probability distributions in queuing models. Nauchno-tekhnicheskij vestnik informacionnyh tekhnologij, mekhaniki i optiki, 20I3, no. 2(84), pp. 88-93.

13. Gromoll H.C., Terwilliger B. & Zwart B. Heavy traffic limit for a tandem queue with identical service times. Queueing Systems. 20I8, vol. 89, no. 3, pp. 2I3-24I.

14. Legros B. M/G/I queue with event-dependent arrival rates. Queueing Systems. 20I8, vol. 89, no. 3, pp. 269-30I. Information about authors:

Veniamin N. Tarasov, Head of the Department of Control in Technical Systems, Povolzhskiy state university of telecommunications and informatics, Samara Russia Nadezhda F. Bakhareva, Head of the Department of Informatics and Computing, Povolzhskiy state university of telecommunications and informatics, Samara Russia

7ТЛ