CC BY
72
Математическое моделирование и информатика
УДК 621.313 : 681.512.011
В.В. Андреева
ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ
Рассматриваются проблемы, возникающие при проектировании систем управления технологическим объектом, и методы моделирования процесса управления, позволяющие на этапе проектирования выполнять проверку адекватности математической модели отображаемому объекту.
Проектирование систем управления (СУ) технологических объектов (ТО) вызывает большие затраты труда и времени. Повышение уровня автоматизации, использование установок в автоматических линиях и гибких производственных системах еще больше усложняет системы управления и их проектирование.
В этих условиях улучшения качества и производительности разработки, а также повышение технико-экономических показателей выпускаемых установок за счет совершенствования СУ, можно достигнуть только с помощью автоматизации их проектирования.
При проектировании должна рассматриваться математическая модель (Мо), описывающая процесс функционирования и управления технологическими установками и ориентированная на обработку в ЭВМ, а также моделирование работы СУ в различных режимах, позволяющее в начальной стадии проектирования обнаруживать и устранять ошибки в описании Мо и, следовательно, корректировать и оптимизировать режимы управления. При отсутсвии этого этапа неадекватность может быть выявлена только в процессе наладочных работ, что значительно увеличивает стоимость и время подготовки объекта к эксплуатации. Кроме того, в сложных системах при наладочных работах высока вероятность обнаружения не всех ошибок, что приведет в процессе их эксплуатации к неправильному выполнению своих функций.
Для устранения этих недостатков разработаны методы [1], позволяющие моделировать работу СУ в различных режимах и обнаруживать ошибки в исходном описании функционирования.
Проверка адекватности описания отображаемому объекту в автоматическом режиме без участия человека невозможна, так как нельзя формализовать все ограничения и критерии, влияющие на процесс управления, все множество связей и данных, поступающих от других систем, связанных с разрабатываемой СУ. Поэтому в структуру процесса моделирования введен человек-оператор, принимающий решения о правильности полученных результатов и коррекции исходных описаний.
Исходными данными для решения задачи моделирования являются:
• система булевых уравнений;
• последовательность наборов информационных входов СУ (входных переменных Х), инициирующих переход объекта из одного состояния в другое;
• список информационных выходов СУ (выходных переменных У) с комментариями.
Системы булевых уравнений, полно и однозначно описывающие алгоритмы функционирования и управления объекта проектирования, составляются, как правило, в дизъюнктивнонормальной форме (ДНФ). Переменные в уравнениях представлены в символах, соответствующих обозначениям исполнительных и контрольных элементов в принципиальных электрических схемах систем управления.
Левые части уравнений состоят из переменных, соответствующих входам электроавтоматики объекта (исполнительных элементов) - выходам системы управления, входам таймеров и счетчиков, входам оперативной памяти контроллера. При этом переменные левых частей уравнений, представленные со знаком инверсии, определяют условия отключения (сброса) соответствующего исполнительного элемента, памяти, таймера, счетчика, а переменные, представленные без знака инверсии, - включения (запуска). Правая часть уравнений состоит из одной или нескольких конъюнкций, соединенных дизъюнкцией.
Последовательность наборов информационных входов СУ, инициирующих переход объекта из одного устойчивого состояния в другое, определяется из таблицы состояний объекта проектирования при считывании ее левой части построчно. Последовательность входных наборов также представляется в символах, соответствующих обозначениям исполнительных и контрольных элементов в принципиальных электрических схемах систем управления.
Список информационных выходов СУ составляется по правой части таблицы состояний из заголовков колонок с учетом приведенных комментариев, описывающих физическое назначение соответствующих выходов.
В общем случае в алгоритме функционирования СУ, описанном системой булевых уравнений, в явном виде не отражена зависимость выходных переменных от времени. При компьютерном моделировании процесса необходимо учитывать динамические характеристики СУ, при этом зависимость выходной переменной У от входных переменных Х и времени в общем случае может быть выражена следующим образом:
У, = f ( (Х(1к_: )},{Х(1К)},{У(1К_1)},{У(1К)} ), (1)
где {Х(1;к_1 )},{Х(1;к)} - множества переменных, соответствующих входам СУ в моменты времени 1;к_1 и ^ ; {У(1;к_1)},{У(1;к)} - множества переменных, соответствующих выходам СУ в моменты времени 1;к_1 и 1;к .
Каждая входная и выходная переменная принимает одно значение [ 1 ] из множества
{ 0, 1, а, п } , (2)
где а - неопределенное в момент времени 1;к значение переменной Х или У, которое может быть в процессе моделирования доопределено до {0,1} для 1;к; п - неопределенное в момент времени ^ значение переменной Х или У, которое не может быть доопределено до {0,1} для 1;к, но может быть доопределено до {0,1} для момента времени 1;к+1 .
Наличие в системе булевых уравнений переменных, имеющих значения а и п при моделировании алгоритма управления, связано с тем, что процесс функционирования технологическими установками является параллельным процессом, а компьютерное моделирование может выполняться только последовательно.
Исследуя соотношение (1), можно сделать вывод, что в момент времени 1;к значения переменных Х, принадлежат множеству {0,1,а}, а значения переменных У! - множеству {а,п}, причем значения Х, и У, определяются из соотношений
{0,1}, если Х, е {Х(гк)} , х, = (3)
а, если Х, е {Х(1;к_1)} ,
У1 =
а, если У1=^ {Х(1;к_1 )},{Х(гк)} ) ,
(4)
п, если У1=^{Х(1;К_1 )},{Х(гк)}, {У(1;к_1 )},{У(1;К)} } ).
Таким образом, значения переменных Х, и У, в общем случае могут быть доопределены до {0,1} только в момент времени 1;к+ 1.
Множество всех Х,={0,1}, где , изменяется от 1 до тх, рассматриваемых в 1;к, образует двоичный вектор УХ], множество всех У,={0,1}, где , изменяется от 1 до ту, рассматриваемых в ^ , образует двоичный вектор УУ]
УУJ = Б1( УХ], УУЯ ) , (5)
где тх, ту - количество переменных Х и У соответственно, ] - изменяется от 1 до тх* ту.
Вектор УХ] состоит из двух наборов ИХ] и БХ_] ,
УХ] = ИХ] и БХ] , (6)
где ИХ] - набор значений Х, заданных в момент времени 1;к. БХ_] - набор значений, доопределенных до {0,1} по соответствующим компонентам УХ]_1 , определенного в момент времени 1;к_1 .
Учитывая (4)-(6) и то, что процесс управления является параллельным, преобразуем (5) в рекуррентное соотношение:
УУ] = Б2( ИХ], БХ], УУ], УУ].! ) . (7)
Формирование УУ] выполняется следующим образом. Вычисляются все значения У из левых частей всех уравнений, при этом в правую часть уравнений подставляются соответствующие значения Х из УХ] и У из У] . Если У является функцией только Х, то его значение в момент 1;к определено и принадлежит множеству {0,1}, в противном случае значение У вычисляется по рекуррентному соотношению (7):
• вычисляются все значения У в системе уравнений;
• формируется вектор УУ].
Вследствие рекуррентности соотношения (7) значения компонент УУ] , соответствующих (1), не определены в момент времени 1;к .
Для доопределения всех компонент вектора УУ] до {0,1} вычисляются вектора УУ] , УУ] ,
УУ]3 и т.д. Процесс вычисления компонент вектора УУ] заканчиваетя в том случае, если
УУ]е = УУ]е+1 . (8)
Если условие (8) не выполняется, то процесс нахождения УУ] не является сходящимся; уравнения системы неадекватно отображают процесс управления и нуждаются в коррекции.
В случае выполнения (8) процесс сходится и формирование вектора УУ] заканчивается;
УУ] = УУ]е (9)
Для вычисления УУ] в соответствии с (1)-(9) требуется время, которое в общем случае зависит от тх, ту, объема исходной системы уравнений (количества уравнений, количеств конъюнкций и дизъюнкций в уравнениях ), а также количества итераций для достижения выполнения соотношения (8).
В общем случае время, необходимое для вычисления УУ], значительно и не удовлетворяет параметрам процесса моделирования.
Для сокращения объема вычислений используем модифицированный метод определения компонент вектора УУ], заключающийся в представлении Б1 из соотношения (5) как суперпозиции двух функций
Б1( УХ], УУ]_1 ) = ЩУХ]), Б2(УХ], УУЯ) , (10)
где БК( УХ] ) - компонента УУ], независимая от У (НУ]); Б2( УХ], У] ) - компонента УУ],
зависящая от У (БУ]).
Так как по определению ИУ] не зависит от У, то
НУ]1 = НУ/ = ... = НУ]е-1 = ИУ]е . (11)
Таким образом, НУ] = ИУ]1 .
Значения компонент БУ] вычисляются из соотношения
БУ] = Б2( ИХ], БХ], НУ], БУ], БУЯ ). (12)
Следовательно, для вычисления компонент вектора УУ] необходимо и достаточно вычислить значения компонент НУ] и е приближений компонент вектора БУ] .
Определим, какие компоненты вектора УУ] при данном УХ] не зависят от У, т.е. определим функции БК и Б2. При этом множество значений входных и выходных переменных Х и У, описываемое (2), заменим на множество
{ 0, 1, п } , (13)
так как в процессе вычислений значение а доопределяется либо до 0, либо до 1.
Для нахождения НУ] подставим во все уравнения системы значения компонент вектора
УХ], а вместо значений компонент вектора УУ] - значение п.
При определении независимых компонент У, вектора НУ] воспользуемся следующим положением - если У,=1 для данного вектора УХ], то У не зависит от значений компонент вектора УУ] .
Для того, чтобы избавиться от неопределенности в алфавите, заменим значения элементов множества {0, 1, п} на соответствующие характеристические функции {0, 1, 2}, а операции логического сложения и умножения заменим на операции арифметического сложения и умножения.
Примем допущение, что для неопределенных значений У, с характеристикой 2, У, также равно 2. Тогда
У, е БУ], если У, < 1 или У, > 1. (14)
В противном случае У! е НУ] и в дальнейших вычислениях УУ] У, не участвует.
Таким образом, разделение УУ] на независимую компоненту НУ] и зависимую БУ] выполнено.
Следовательно, использование априорной подстановки неопределенных значений п и характеристических функций позволяет при разделении УУ] на НУ] и БУ] заменить сложные логические проверки на простой арифметический расчет.
Поскольку при исследовании алгоритмов управления определено, что на независимую составляющую НУ] приходится от 35 до 55% от общего объема УУ] (в зависимости от исходной системы и конкретного УХ]), то замена УУ] на НУ] и БУ] позволяет значительно сократить время расчета.
При моделировании на компьютере СУ одним из наиболее важных вопросов является вопрос определения ее устойчивости. При выполнении вычислений в соответствии с (1)-(9) критерием устойчивости является выполнение соотношения (9). В общем случае процесс вычислений заканчивается за е итераций, причем е зависит от многих факторов. При этом различные компоненты УУ] имеют различные периоды колебаний из состояния 1 в 0 или наоборот, прежде, чем приходят в устойчивое состояние 0 или 1 . Период колебаний определяется для У, соотношением
Т, = ек - еп , (15)
где ек , еп - начальное и конечное значение номеров итераций, в которых У, сохраняет свое значение.
В случае неадекватного описания возможна ситуация, в которой по некоторым компонентам УУ] устойчивое состояние не достигается. Тогда соотношение (9) никогда не выполнится и итерационный процесс никогда не закончится. Чтобы этого не произошло, введем ограничение количества итераций етах:
етах >> тах { Т, }. (16)
Следовательно, при возникновении автоколебаний итерационный процесс (1)-(9) заканчивается при выполнении равенства
е етах . (17)
При таком окончании процесса вычисления УУ] в результате получаются только два последних набора УУ]е" и УУ]е . Так как периоды колебаний переменных могут быть в соответствии с (15) более 1, то при анализе наборов УУ]е" и УУ]е определяются автоколебательные
компоненты с периодом Т = 1.
Для определения всех автоколебательных компонент ЯУ с периодом Т, большим единицы, разработан метод итераций, заключающийся в следующем.
В качестве начальных значений ЯУ1 автоколебательных компонент набора УУ] выбираются компоненты
ЯУ1 = { У1, } для всех У,"1 ф У,е , (18)
где У1, - идентификаторы выходных переменных из левых частей уравнений; , - индекс переменной У, изменяющийся от 1 до ту; е - число итераций, е = етах ; У,е-1 , У,е - значения компо-
нент вектора УУ] с соответствующим идентификатором У1,, полученные в е-1 и е итерациях.
Затем вычисляется следующий набор автоколебательных компонент по соотношению
ЯУр+1 = { У1, } для всех У1, = f (ЯУр) , (19)
где ЯУр+1 - идентификаторы выходных переменных из левых частей уравнений, в правой части которых имеются компоненты набора УУ] ; , - индекс переменной У, изменяющийся от 1 до ту; р - номер итерации, изменяющийся от 1 до тр , тр - максимальное количество наборов ЯУ, т.е. максимальное количество р-итераций.
Процесс формирования набора ЯУ считается законченным, если выполняется условие
ЯУр_1 + ЯУр = 0 . (20)
В качестве результирующих значений набора автоколебательных компонент выбираются значения
ЯУ = ЯУр . (21)
Если условие (20) не выполняется, то формируется новый набор ЯУр в соответствии с выражением
ЯУр = ЯУр и ( Яур-1 + ЯУр ). (22)
и снова выполняются вычисления по (19).
Значения компонент вектора анализируется человеком-оператором на соответствие требуемым значениям, в случае их несовпадения уравнения, неадекватно отображающие процесс управления, корректируются.
Таким образом, моделирование заключается в том, что на модель подаются искусственные наборы входных сигналов УХ и на основе возникающей реакции УУ в соответствии с соотношениями (1)-(22) последовательно улучшается режим работы СУ. В этом смысле моделирование рассматривается как процесс оптимизации [ 2 ] алгоритма функционирования технологического объекта.
Предложенные методы моделирования АФ и АУ являются человеко-машинными методами непосредственного имитационного моделирования [ 3 ], которые сводятся к математическому экспериментированию с последующей обработкой результатов человеком-оператором.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Андреева В.В. Разработка пакетов прикладных программ исследования и синтеза систем управления на базе устройств с гибкой логикой // Алгоритмизация и автоматизация технологических процессов и технических систем. Сб. научн. тр. Куйбышев: КПтИ. 1990. С.103 - 107 .
2. Разработка САПР. В 10 кн. Кн. 3. Проектирование про граммного обеспечения САПР. Практ. пособие/ Б.С. Федоров, Б.Н. Гуляев; Под ред. А.В. Петрова. М.: Высш. шк. 1990. 159 с.
3. Шеридан Т.Б., Феррел У.Р. Системы человек-машина : Модели обработки информации, управления и принятия решений человеком-оператором. М.: Машиностроение. 1980. 400 с.
