CC BY
13SIMULATION THE PASSAGE OF A LAMINAR FLOW THROUGH A LOCAL CONSTRICTION IN A PIPE
Yu.G. Medvedev
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS,
630090, Novosibirsk, Russia
DOI: 10.24412/2073-0667-2022-2-44-52 EDX: FWVFHD
This paper presents a study using discrete simulation methods for problems of spatial dynamics. A cellular automaton model of the gas flow, which was used in the work, is a discrete simulation model. Such methods make it possible to obtain relatively simple software implementations on modern supercomputers. The aim of the work is to check the possibility of using the studied model under conditions of flow in a straight pipe at a constant temperature in a sub-critical mode; under these conditions, the critical Reynolds number is several thousand. The simulation object is a gas flow passing in the space between parallel flat walls. Such a flow corresponds to a two-dimensional case, since the characteristics of a three-dimensional flow between two parallel planes and in a pipe with a circular cross section, which is not considered here, differ only in coefficients. The narrowing or variable distance between the planes in the three-dimensional case corresponds to the variable diameter of the two-dimensional pipe. The objective of the paper is to simulate the flow with the specified boundary conditions using a discrete cellular automaton model and compare it with the known results obtained using continuous models. Such a comparison is necessary in the framework of the study of the possibility of using a discrete model. The desired dependencies are the distribution of velocity and pressure along the direction of flow for various sizes of the constriction and various pressure gradients at the ends of the pipe.
The model cover two-dimensional simulated space by hexagonal cells arranged in a regular pattern; each cell has six neighbors. The state of the cell is a vector of six integers denoting the number of discrete model particles with unit mass and unit velocity directed towards one of the six neighboring cells. The cellular automaton operates in synchronous mode using an iterative transition function. An iteration consists of two steps: collision and propagation. During a collision, the particle velocity vectors in each cell are changed, regardless of the states of other cells. During a propagation, each particle moves to one of the neighboring cells in the direction of its velocity vector. The simulation result is the velocity field and the pressure field obtained after the required number of iterations by the averaging method. The averaging neighborhood at each point constituting the fields is the set of cells whose centers are separated from this point no further than some averaging radius. The flow velocity at a point is the average velocity of the particles located in the cells of the averaging neighborhood. The gas pressure at a point is proportional to the concentration of particles located in the cells of the averaging neighborhood centered at this point.
A software implementation of the model is made with a set of three modules: a boundary conditions constructor, a simulator, and a post-processor. The constructor in interactive mode allows you to create a cellular array with the required values of the states of each cell and place it in a file that is used by the simulator. The simulator performs a given number of iterations over the original cellular array. It is a CLI parallel program with the ability to run on a computing cluster. Parallelism is implemented
© Yu. G. Medvedev, 2022
10. r. Medeedee
45
by the method of domain decomposition of a cellular array using the MPI library. The post-processor averages the result obtained by the simulator and visualizes the averaged values in the form of velocity and pressure fields built either on the entire cellular array or on its selected area.
Computer experiments were carried out with a cellular array of 5000 by 500 cells. The lumen of the constriction of the pipe varied from 100 to 400 cells. The inlet and outlet pressures also varied. To establish a stationary flow regime, 100 thousand iterations were carried out in each of the experiments. After that, the post-processor was launched. To calculate the average particle velocity, the averaging radius was chosen to be equal to twenty cells. To calculate the average concentration of particles, the averaging radius was chosen to be equal to five cells. The velocity and pressure fields of the gas flow in a two-dimensional pipe are obtained. Velocity and pressure distributions along the direction of flow are plotted for various sizes of constriction and various pressure gradients at the ends of the pipe. In the constricted part of the pipe, the flow velocity was maximum in each of the experiments. It can be seen from a comparison of the experiments that the flow velocity has an inverse dependence on the diameter of the constricted part of the pipe, which corresponds to the existing view on the process' physics. So, the possibility of using the studied model under conditions of flow in a straight pipe at a constant temperature in a sub-critical mode with a critical Reynolds number of the order of several thousand was shown. The simulation results are consistent with the known data. This allows us to conclude that the cellular automaton model of the gas flow adequately simulates the laminar flow in the pipe.
Key words: simulation modeling, cellular automata, gas flow.
References
1. Schiff J. L. Cellular Automata: A Discrete View of the World. New Jersey: John Wiley k, Sons Inc., 2008.
2. Chopard B. Cellular Automata Modeling of Physical Systems // R. Meyer ed. Computational Complexity. New York: Springer, 2012. P. 407-433.
3. Bandman O.L. Parallel'nava realizatsiva kletochno-avtomatnivkh algoritmov modelirovaniva prostranstvennov dinamiki // Sib. zhurn. vvchisl. matematiki / RAN. Sib. otd-nie. Novosibirsk, 2007. V. 10, N 4. P. 335^348. (in Russian)
4. Medvedev Yu. G. Mnogochastichnava kletochno-avtomatnava model' potoka zhidkosti FHP-MP // Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta, seriva „Upravlenive, vychislitel'naya tekhnika i informatika". N 1 (6). 2009. P. 33-40. (in Russian)
5. Landau L.D., Lifshitz E.M. Teoreticheskava fisika. Tom VI. Gidrodinamika. 5-e izd. M.: Fizmatlit, 2001. (in Russian)
6. Bandman O.L. Kletochno-avtomatnive modeli estestvennvkh protsessov i ikh realizatsiva na sovremennvkh komp'vuterakh // PDM, 2017, N 35. P. 102-121. (in Russian)
7. Gorodnichev M., Medvedev Yu. A Web-Based Platform for Interactive Parameter Study of Large-Scale Lattice Gas Automata // PaCT-2019 proceedings, LNCS 11657, Springer, 2019, P. 321-333.
ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОХОЖДЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОТОКА ЧЕРЕЗ ЛОКАЛЬНОЕ СУЖЕНИЕ
В ТРУБЕ
Ю.Г. Медведев
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,
630090, Новосибирск, Россия
УДК 004.942
Б01: 10.24412/2073-0667-2022-2-44-52 ЕБХ: Е¥А'ТНБ
Исследован двумерный случай процесса прохождения ламинарного потока через сужение трубы. Двумерная постановка соответствует случаю с трехмерным потоком между двумя параллельными плоскостями. Использована клеточно-автоматная модель потока, имеющая целочисленный алфавит состояний клеток и синхронный режим работы. Получены зависимости скорости и давления от координаты вдоль направления движения потока при различных размерах сужения и различных градиентах давления на концах трубы.
Ключевые слова: имитационное моделирование, клеточный автомат, газовый ноток.
Введение. В настоящее время активно изучается возможность применения дискретных методов имитационного моделирования |1| к задачам пространственной динамики |2|, т. к. эти методы позволяют получать сравнительно простые программные реализации на современных суперкомпьютерах |3|, Одна из дискретных моделей — клеточно-автоматная модель газового потока ЕНР-МР |4| — используется в настоящей работе.
Цолыо работы является проверка возможности применения исследуемой модели в условиях движения потока в прямой трубе при постоянной температуре в докритическом режиме; в этих условиях критическое число Рейпольдса составляет несколько тысяч |5|,
В работе исследуется газовый ноток, проходящий в пространстве между параллельными плоскими стенками (рис. 1, а).
Такое течение соответствует двумерному случаю, изображенному на рис. 1, б, и описано в [5] в §17 „Течение по трубе"1. Тогда сужение или переменное расстояние между плоскостями в трехмерном случае соответствует переменному диаметру двумерной трубы (рис. 1, в).
Искомые зависимости — распределение скорости и давления вдоль направления движения потока при различных размерах сужения и различных градиентах давления па концах трубы.
Исследования выполнены в рамках государственного задания ИВМиМГ СО РАН (0251-2021-0005). Вычислительные эксперименты были проведены на кластере МСЦ РАН.
1 Поскольку характеристики трехмерного течения между двумя параллельными плоскостями и в трубе круглого сечения, не рассматриваемого здесь, отличаются только коэффициентами, будем для краткости называть описанную двумерную конструкцию трубой.
Рис. 1. Схема потока между параллельными плоскостями: а) без сужения в трехмерном виде: б) без сужения в двумерном виде: в) с сужением в двумерном виде
Рис. 2. Фрагмент клеточного массива
В работе ставится задача промоделировать поток с такими граничными условиями при помощи дискретной клеточпо-автоматпой модели ИЗР-МР и сравнить с известными результатами, полученными с помощью непрерывных моделей. Такое сравнение необходимо в рамках исследования возможности применения дискретной модели.
1. Описание модели. Двумерное пространство моделирования покрыто клетками шестиугольной формы со, в\,..., с6,..., выстроенными в регулярную структуру, у каждой из которых имеется но шесть соседей (рис. 2).
Каждой клетке назначен один из трех типов, и она выполняет простую функцию перехода, которая зависит от ее тина:
— обычная — по таким клеткам распространяется поток;
— стенка — из таких клеток выстроены границы трубы и препятствия;
— клапан — через такие клетки газ попадает в трубу или выходит из нее.
Состояние клетки со представляет собой вектор из шести целых чисел, обозначающих
количество дискретных модельных частиц с единичной массой и единичной скоростью, направленной в сторону одной из шести соседних клеток с\,с2,... ,с6. На рис. 2 эти на-
со
Клеточный автомат работает в синхронном режиме |6| с использованием итеративной функции переходов. Итерация состоит из двух шагов: столкновения и сдвига.
При столкновении производится изменение векторов скорости частиц в каждой клетке независимо от состояний других клеток:
— обычная клетка — повое состояние выбирается равновероятно из всех возможных состояний, сохраняющих суммарную массу и суммарный импульс частиц в клетке;
Рис. 3. Окрестности осреднения
— стенка — в новом состоянии вектор скорости каждой частицы заменяется на противонаправленный;
— клапан — в новом состоянии в клетку устанавливается заранее определенное количество частиц, называемое номинальной концентрацией этого клапана.
При сдвиге каждая частица из с0 перемещается в одну из соседи их клеток в\, с2,..., с6 в направлении своего вектора скорости. Частицы из соседних клеток с противонаправленными векторами скорости, в свою очередь, перемещаются в клетку со, при этом никакие частицы пе взаимодействуют друг с другом.
Результатом моделирования являются поло скорости и по.ие давления, полученные после необходимого количества итераций следующим способом. На рис. 3 обозначены точки, в которых вычисляются значение скорости и давления, образующие соответствующее ноле. Окрестностью осреднения в каждой такой точке называется множество клеток, центры которых отстоят от этой точки не далее некоторого радиуса осреднения. Окрестности обозначены на рис. 3 окружностями. В зависимости от шага и размера окрестности осреднения могут пересекаться либо находиться друг от друга на каком-то расстоянии.
Скорость потока в точке — это средняя скорость частиц, находящихся в клетках окрестности осреднения. Осреднеппая скорость, в отличие от скорости частиц, может быть направлена не только в сторону соседних клеток, а ее модуль не обязан равняться единице. Давление газа в точке пропорционально концентрации частиц, находящихся в клетках окрестности осреднения с центром в этой точке.
Т. к. скорость частиц имеет дискретное направление и модуль, а масса частиц единична, получающиеся осредпеппые значения скорости и концентрации будут иметь некоторую погрешность, называемую дискретным модельным шумом.
Чем больше радиус осреднения, тем большое количество дискретных частиц будет участвовать в вычислении каждого зпачапия осредпеппых скорости и концентрации. Следовательно, тем менее будет выражен дискретный шум модели, по, вместе с тем, будет загрубляться высокочастотная составляющая характеристик потока, т. е. будут стираться мелкие вихри, перепады давления и т. н.
Кроме того, если в окрестность осреднения попадают клетки препятствий или клапанов, то осреднеппое значение может нодсчитываться некорректно, т. к. в эти вычисления могут попасть частицы из клеток, находящиеся но разные стороны от этого препятствия, где возможно, ноток движется в разных направлениях, поэтому в таком случае мы пола-
Рис. 4. Схема компьютерного эксперимента
гаем оередпеппые значения скорости и концентрации неопределенными. Это условие не позволяет строить ноля скорости и давления на расстоянии меньше радиуса осреднения от препятствий.
2. Компьютерные эксперименты. Процесс моделирования происходит в три этана
|7|-
1) Задание начальных условий.
2) Запуск симулятора,
3) Осреднение и визуализация результата.
Эти этапы дня исследуемого случая описаны далее.
2.1. Начальные условия. На рис. 4 схематично изображен клеточный массив, на котором размечены стенки трубы. Размеры клеточного массива в относительных модельных единицах длины, равных расстоянию между центрами соседних клеток:
— длина трубы — 5000 клеток;
— 0000-1000 клеток — широкая часть;
— 1000-2000 клеток — сужение;
— 2000-3000 клеток — узкая часть;
— 3000-4000 клеток — расширение;
— 4000-5000 клеток — широкая часть;
— диаметр2 широкой части — 500 клеток;
— диаметр узкой части О = 100, 200, 300 или 400 клеток (4 эксперимента).
Дня каждого из четырех экспериментов стенки были заданы в виде двух ломаных с вершинами в следующих координатах.
Эксперимент 1. Диаметр узкой части — О = 100 клеток.
1-я: (0,0), (1000,0), (2000,200), (3000,200), (4000,0), (5000,0).
2-я: (0,500), (1000,500), (2000,300), (3000,300), (4000,500), (5000,500).
Эксперимент 2. Диаметр узкой части — О = 100 клеток.
1-я: (0,0), (1000,0), (2000,150), (3000,150), (4000,0), (5000,0).
2-я: (0,500), (1000,500), (2000,350), (3000,350), (4000,500), (5000,500).
Эксперимент 3. Диаметр узкой части — О = 100 клеток.
1-я: (0,0), (1000,0), (2000,200), (3000,200), (4000,0), (5000,0).
2-я: (0,500), (1000,500), (2000,400), (3000,400), (4000,500), (5000,500).
Эксперимент 4. Диаметр узкой части — О = 100 клеток.
1-я: (0,0), (1000,0), (2000,50), (3000,50), (4000,0), (5000,0).
2-я: (0,500), (1000,500), (2000,450), (3000,450), (4000,500), (5000,500).
2 По-прежнему под трубой подразумевается 2Б конструкция, описывающая аналог 31) течения между двумя параллельными плоскостями. Соответственно, „диаметром " этой трубы будем называть расстояние между плоскостями на данном участке.
Рис. 5. Поло скорости и поло давления потока, полученное в результате компьютерных экспериментов.
моделирующих сужения различного диаметра
Во всех экспериментах впускной клапан расположен на отрезке с кооринатами (0,0) — (0,500), выпускной — на отрезке с кооринатами (5000,0) — (5000,500).
2.2. Параметры моделирования. Для установления стационарного режима потока было проведено но 100 тысяч итераций в каждом из экспериментов.
Значение номинальной концентрации3 впускного клапана было задано 60 частиц па клетку, выпускного клапана — 20 частиц па клетку.
2.3. Осреднение и визуализация, результата. Искомые зависимости — распределение скорости и давления вдоль направления движения потока при различных размерах сужения и различных градиентах давления на концах трубы.
Дня расчета осредненпой концентрации частиц радиус осреднения был выбран равным пяти клеткам. Для расчета осредненпой скорости частиц радиус осреднения был выбран равным двадцати клеткам.
3. Результаты и выводы. Проведены компьютерные эксперименты с клеточным массивом размером 5000 х 500 клеток. Просвет сужения трубы варьировался от 100 до 400 клеток. Поло скорости и ноле давления исследуемого потока приведено па рис. 5. Длина и направление каждого изображенного на рисунке вектора соответствует модулю и направлению скорости потока в соответствующей точке.
Яркость фона пропорциональна давлению: более темные участки соответствуют более низкому давлению газа. На рисунке видно, что в каждом эксперименте .новая часть трубы светлое правой, т. е. давление в пей больше, что соответствует физике процесса. Этот эффект предсказуемо более выражен в тех экспериментах, в которых труба имеет большое сужение.
На рис. 6 показан увеличенный прямоугольный фрагмент клеточного массива, использованного в эксперименте 1, с координатами .нового верхнего и правого нижнего углов (3500,350) и (3750,450) соответственно, па котором было произведено более подробное осреднение скорости и концентрации частиц. На рисунке видно, что ноток получился ламинарным, в нем по образуются вихри, па участке увеличения диаметра трубы газ движется равномерно даже у самой стенки4.
3В силу особенностей программной реализации функции наблюдаемая осредненная концентрация частиц вблизи впускного н выпускного клапанов не совпадает с номинальной концентрацией клапанов и приведена в табл. 1.
4Как уже было сказано выше, корректные значения осредненных скорости и давления невозможно получить на расстоянии меньше радиуса осреднения от препятствий (5 клеток для давления и 20 клеток для скорости), поэтому стенка, имеющая толщину равную одной клетке, изображена на два радиуса осреднения большей толщины (11 клеток, по 5 дополнительных клеток в каждую сторону), а граница поля скорости отстоит от стенки на 20 клеток (или на 15 клеток от границы изображения стенки).
Рис. 6. Фрагмент поля скорости и поля давления
Таблица 1
Соотношение размера сужения и разницы давления на концах трубы
D dp k
100 23.8 0.28
200 9.8 0.14
300 3.7 0.11
400 1.9 0.1
В табл. 1 приведены значения градиента давления газа dp = Pin — Pout, где Pin и Pout — давление па входе и выходе из трубы соответственно (см. рис. 4). Эти давления зависят от многих факторов — номинального давления клапана, скорости потока и других характеристик. Также указан экспериментально полученный нормировочный коэффициент k для скорости потока, выравнивающий скорость па широком участке трубы дня всех четырех экспериментов kivi = k2v2 = k3v3 = k4v4 = 1, оде k и v — нормировочный коэффициент и скорость на широком участке трубы в г-м эксперименте. Скорость представлена в
k
Распределение средней по поперечному сечению продольной компоненты скорости потока вдоль трубы, полученной в каждом из четырех экспериментов, изображено па рис. 7, Из рисунка видно, что с помощью нормировочных коэффициентов удалось совместить нижние части графиков, соответствующие скорости па широких участках в начале и в конце трубы. В средней, узкой части трубы скорость потока максимальная в каждом из экспериментов. Также из сравнения экспериментов видно, что эта скорость имеет обратную зависимость от диаметра узкой части трубы, что соответствует имеющимся представлениям о физике процесса.
Заключение. Получены ноля скорости и давления газа в двумерной трубе. Построены распределения скорости и давления вдоль направления движения потока при различных размерах сужения и различных градиентах давления па концах трубы. Показана возможность применения исследуемой модели в условиях движения потока в прямой трубе при постоянной температуре в докритическом режиме с критическим числом Рейпольдса порядка нескольких тысяч. Результаты моделирования совпадают с известными данными. Это позволяет заключить, что к.неточпо-автоматпая модель
Рис. 7. Распределение скорости вдоль направления движения потока при различных размерах сужения
газового потока FHP-MP адекватно моделирует ламинарный ноток в трубе. Список литературы
1. Schiff .J.L. Cellular Automata: A Discrete View of the World. New .Jersey: .John Wiley & Sons Inc., 2008.
2. Chopard B. Cellular Automata Modeling of Physical Systems /7 R. Meyer ed. Computational Complexity. New York: Springer, 2012. P. 407 433.
3. Бандман О. Л. Параллельная реализация клеточно-автоматных алх'оритмов моделирования пространственной динамики /7 Сиб. журн. вычиел. математики / РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2007. Т. 10, № 4. С. 335 348.
4. Медведев Ю. Г. Мнох'очаетичная клеточно-автоматная модель потока жидкости FHP-MP /7 Вестник Томскох'о х'осударствсннох'о университета, серия „Управление, вычислительная техника и информатика". № 1(6). 2009. С. 33-40.
5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том VI. Гидродинамика. 5-е изд. М.: Физматлит, 2001.
6. Бандман О. Л. Клеточно-автоматные модели естественных процессов и их реализация на
"
7. Gorodnichcv М., Mcdvcdcv Yu. A Web-Based Platform for Interactive Parameter Study of Large-Scale Lattice Gas Automata /7 PaCT-2019 proceedings, LNCS 11657, Springer, 2019, P. 321 333.
Медведев Юрий Геннадьевич канд. техн. наук, старш. науч. сотрудник Института вы числительной математики и математической геофизики (ИВМиМГ СО РАН). Научные интересы: дискретное моделирование естественных процессов, кле-
точные автоматы, параллельные алх'оритмы, прохраммирование суперкомпьютеров.
Yuri Medvedev is a Senior Researcher of Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics (ICMMG SB RAS). PhD in computer science. Research interests: discrete simulation of natural processes, cellular automata, parallel algorithms, programming of supercomputers.
Дата поступления 20.09.2021
