CC BY
7
Ф И ЗИКА
УДК 530.12
Иллюстрация принципа относительности с помощью двойногобризер а
А.И. Гончаров
Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)
111ш1:га1 iоnoftheRelatmty Рпп<лр1е 1Ма^ а БоиЫе
А.1. СопсЬтгоу
AltaiStateUшsersЬy(Bamaul,аus sia)
Цель этой статьи — придание большей наглядно-сяи гшкотсфым^гятивастссимзапонам, гпнрвую оче^дь — принци^отнаситетаигсгы.
В аеснс^;^1^оах ныыяхгфсдыдущим спаит». это з асоньг и^,^ютны]^]тов^,1^итыатомое^1^юу^иа^]спыи1ао^]В д сшгой ркботс доя эасы. жг цеашаспоньз^аея решемиядеав-тьйного уplтмeшeоcинть-Гopяlнтвтитe двогазк .ри-оероь. Приведептсак уде^-
огн^ояоасшасп д^сбрпверноерешение^ьыжАщсоья тризеры пoлсмякс['сцнa oснcыeзсoяа-аe призеров п ыь-мощзю амиввногяп^образовааия Лор енци Псазсв]н солебгюиявтаинвятсы несинфазмывм.Натсновтариг зеров раадт^еооссеагм^^ оопчета.Вя eдсиацyилины оlсждlм системеприним аеттяртастоьниежзждв мак-симумтми aмnратуоЫiЗ на eоnзиызг гфомежугыавре-мети — триод колеб.аний. Показано,чтьнаблюдатеап, звязaнньIЙзьвижyщимоlЬоиleрaм, «видиттагоамячо цьстизгкмsцртаим «видит»сяяяыийОьцзяи свпсяниый сннм нвaлв>яaгeль]аnбцюдaтдлт не можееотвичитт со-отoяниlрзяжeнивовтsгo бризесг отмокоя. Поэгомь ивистеме отсоета,осыатнньймоатвжущзмтя Сризеяе, штрялeбaннясанттюторcзщфlзнымы.Прв зонм выетв aсaзaIвaeт ст oпрeдтлeмоттк,n аи есаи бы чссы Тыли сит-цртаизмвтовныдтме eодyЭ3fflшзeйнт.
Поюотыьпзть еpнl-вpeменные координаты одного и тогожесобытия в системахотсчетаоказывают-
ся связанаалми пассивнымиореобааеованиаошО оренца.
Ключевые слова: уравнение синус-Гордона, двойной
бризер, принцип относительности.
DOI: 10.14258/izvаsu(2021)1-01
Введение. Статлп нясопщгыа ння0мгмг на-овшгыьп ыавмпмыяста оавяыяо снгцаамлыяЯ тга-нас ятыясатгмлыяста [1]. Раоывге иитянв с нас-ывма цгмпма нассмаанаоама нгшгыап маыгяыявя оммымоявя ннаоырыая
The purpose of this article is to give more clarity to so-merelativisticlaws, primasify the principle of s^Mty These eaws havsbeea illustrated ueigg Hnsae waf^es meevera^i1 rue previous artislss.
en Aiework.eulutionsirfltheiionhiiieriine-Goiclon ^c^ua^^onieia]:^e^c^i^jefcas doubkbfeathers amused seep Tfve rhacttwOlea•oathrr sohetion eow theafheaximite one thaHe conver^^^e^ela^i'anhTsie ere p rfeented^oei n^eeatisess nysel feom stand^ fcsatisers ^hou^^s activeLseenztrahsformaticns. OsoiПutiane^na movingbfeatiser became out of phase. pee eccw f^em, ths iieiawue s1elween^^uaml^r^^t^(ro mauima fc; takenos asmtknUh.and iheatciilationdePlod ^sitaki^n as e^^m e inteeval ufit Ms showetiiet theobseevse cesoci^l^^d wiAa movingbreatheoandan f°eiver aseodetedwrth a staodi^; heaither ssetwe same mftae; sn obeervercannoSPiitiтgu1shiUs eMe of movement oCe^ss nesaeheefroro rsst. Thrprfore, m a fear: oerefrsinLs basid t^na miuindUreatioe, er osciПariontapr uooslPeied in-dnase. hs isnrtsam1nrnus if thecaiae
weresтnfnromzrUarcoeOingto tco Emsieinmethod.
apace-time cooodinvios oethessme event in different framesof referenceturnodttobe relat^edl^^t^hejeassi^^ Lorentztransformations.
Key words: Sine-Gordon equation, double breather, principle of relativity.
1 d2u
c2 dt2
д 2u dx2
в виде стоячей волны u(x, ct) = cos kx cos kct и «движущейся стоячей волны» U(x, ct) = cos [k^(x — fict)] cos [k^(ct — @x)\, полученной на основе u(x, ct) с помощью преобразований Лоренца. Де Бройль в работе [2] рассматривал волны типа U в связи с выяснением природы введенной им ранее «фазовой волны» exp [iky(ct — вх)].
Иллюстрация законов СТО на основе указанных решений проводилась в работах [3-6]. Роль движущихся объектов выполняли фазы функции cos [k^(x — ßct)].
Более реалистичные модели движущихся объектов получаются на основе солитонов, которые являются решениями нелинейных уравнений. В работе [7] релятивистские эффекты анализировались с помощью решения уравнения синус-Гордона в виде одиночного бризера. В обзоре [8] для иллюстрации лоренцева сокращения использовано решение в виде кинка. В нашем докладе на конференции «ASU SciTech Forum 2020» для этой цели использовано решение в виде двойного бри-зера, который больше подходит в качестве модели протяженного объекта (твердого тела, стержня), чем кинк или одиночный бризер. Два максимума амплитуды соответствуют концам стержня.
Цель настоящей статьи — построение систем отсчета на основе двойных бризеров для иллюстрации релятивистского принципа относительности. С одной стороны, она является продолжением упомянутого доклада, c другой стороны — продолжением статьи [6], в которой принцип относительности иллюстрировался с помощью решений линейного уравнения (1).
1. Уравнение синус-Гордона и его решения. Пусть имеется некоторая среда. Лабораторная система отсчета Л покоится относительно этой среды. Пусть в этой среде одновременно могут распространяться в неограниченных количествах, не мешая друг другу, как линейные волны, подчиняющиеся уравнению (1), так и нелинейные волны, описываемые уравнением синус-Гордона [9], которое мы запишем в виде
dU С2 dt2
32u 1
— + x2 sm u = 0, (2)
где u = w/wd; c, x¿, w¿ — размерные константы. Пусть характеристики среды таковы, что в (1) и (2) c = 1 м/с.
Рассмотрим решение уравнения (2) в виде стоячего двойного бризера u(x,ct) = f (x/xd,t/td), где
f (x, t) = 4 arctan (A/B), A = -2cot O1 e(x+xo) cosвг sin ((т + т0) sin O1) x x [1 + a(+V(-)e2(x+xo) cos02] - 2 cot O2e(x+xo) cos 02 x x sin ((т + т0) sin O2)[1 + a(+V(-)e2(x+xo) cosвг], B = 1 + e2(x+x0) cos ei + e2(x+X0) cos 02 +
+ (a(+)a(-))2e2(x+xo)(cos01+cos02) +2cot 61 cot 62x x e(x+xo)(cos ei+coS в2)х
x {a(-) cos [(т + T0)(sin61 + sinO2)]-
- a(+) cos [(т + т0)(sin61 - sin02)]}, a(±) = -[1 - cos (Oí ± 02)]/[1 + cos (Oí ± 02)]; (3)
О1,в2,хо,т0 — произвольные константы; t¿ = x¿/c (получено как частный случай более общей формулы из [10]).
В формуле (3) присутствуют угловые частоты sin Oí, sin 02, sin (0í ± 02). Чтобы колебания приближенно характеризовались одной частотой, определяемой параметром Oí = O, зададим O2 = O + а, 0 < |а| ^ 1. При достаточно малых |а| в интересующей нас области x справедливо приближение (которое и используем в дальнейшем)
f (x, т) = 4 arctan [cos (т sin 0)P], g
P = -—-1 cot OI cot O cosh (x cos O)/ |а|
/[cosh (2x cos O) + g(cot2 O)/a2]. (4)
В (4) выбрано xo = (log |(2/a)cot O|)/cos O, т0 = 3n/(2sin O).
Амплитуда колебаний равна F (x/x¿) = 4 arctan р ^ Координаты ее максимумов совпадают с координатами экстремумов функции u. Для краткости называем максимумы амплитуды «пиками». Левый и правый пики функции u обозначим соответственно a, b. Отождествляем эти пики с концами линейки системы отсчета К. Под a, b также будем понимать колебательные процессы, на которых основаны «часы a», «часы b». В связи с этим колебания в пиках a, b называем кратко «колебаниями a, b». Наблюдателей, постоянно находящихся в этих точках, тоже будем называть a, b. Расстояние между пиками Дх = хь - ха равно
Дх = (2xd/| cos O|)arcoshy/(4/а2) cot2 O - 1/2. (5)
Обозначим фазу колебаний (t/td)sin O = Периоду колебаний Дt = T соответствует Д^> = 2п: T = 2пxd/(c| sin O|). В стоячем бризере фаза колебаний одинакова во всех точках, т.е. колебания синфазны. Так как функция u четная по х, то син-фазность прослеживается и визуально.
Зададим Дх =1 ми найдем x¿(O,a) из (5). Тогда координаты пиков равны ха = -1/2 м и хь = 1/2 м. Выберем O, а такими, чтобы T = 1 с. В таком случае
|а| = 2| cot Oy^Jcosh2 (п cot O) + 1/2. (6)
Пусть из одного из пиков была испущена волна типа д(х±еЬ) с ярко выраженным передним фронтом («сигнал»), подчиняющаяся уравнению (1). При указанных значениях параметров время движения сигнала от одного пика до другого равно Дх/c =1 с.
Для использования (4) необходимо задавать такие O, при которых а, вычисляемая по формуле
(6), удовлетворяет условию |а| ^ 1. Пусть в = 0,1. Тогда а & 1,005 • 10-12 (при расчетах следует учитывать большее число значащих цифр).
С помощью активного преобразования Лоренца на основе и(х, сЬ) получим другое решение уравнения (2):
и(х, сЬ) = и[^(х — всЬ), ^(сЬ — вх)], (7)
где 1в1 < 1, 7 = 1/\/1 — в2. Функция и описывает двойной бризер, который движется со скоростью V = вс. Этот способ получения движущихся систем широко применяется в теории солитонов [9].
Движение локальных экстремумов волны и неравномерно, так как координата х входит не только в X = 7(х — всЬ), но и в 7(сЬ — вх). Поэтому в качестве координат пиков А, В волны и принимаем координаты максимумов амплитуды (огибающей) F (Х/хо). В дальнейшем с А, В свяжем также понятия «концы линейки», «часы», «наблюдатели» системы отсчета, основанной на волне и.
Рассматриваем волновой процесс и как результат приведения в движение процесса и. В частности, пики А, В волны и — это соответствующие пики а, Ь волны и, приведенные в движение (см. рис. 1). Максимумам А, В функции F
Рис. 1. Стоячий бризер и(х, сЬ) в момент t = 0 (точки); движущийся бризер и(х,сЬ) при в = 1/2 в момент Ь = 1,15 си его амплитудная кривая
соответствуют следующие значения параметра X: Ха = ха = — 11 м, Хв = хь = 1 м. А, В движутся по законам ха(Ь) = ха/^ + всЬ, хв(Ь) = хь/^ + всЬ. Расстояние между ними равно
хв — ха = (хь — ха)/ч = \/1 — в2 м < 1 м. (8)
Рассмотрим колебания в точках А, В: и(ха,в,сЬ) = и(^1/2,сЬ/^ ± в/2). Период этих колебаний в 7 раз больше периода колебаний в пиках стоячего бризера и(х,сЬ). Поскольку мы рассматриваем физическую систему и как результат приведения в движение системы и, то сокращение ее размеров и замедление процессов соответствует известным лоренцевым эффектам.
2. Системы отсчета, основанные на бризерах. Приступим к построению систем отсчета на основе стоячего бризера и(х, сЬ) и движущегося бризера и(х,сЬ). Введем понятие «волновые наблюдатели». Эти наблюдатели сами являются колебательными процессами. и-наблюдатели
вводят систему отсчета К, основанную на бризе-ре и(х, сЬ). Каждому и-наблюдателю соответствует своя координата х. Двух наблюдателей мы уже ввели: а (х = —1/2) и Ь (х = 1/2). За единицу длины и-наблюдатели принимают расстояние между пиками бризера и, а за единицу промежутка времени — период колебаний. Чтобы не придумывать новых названий, сохраним за этими единицами названия единиц Л-системы: метр и секунда. Начало координат системы К пусть находится в точке посередине между а и Ь (х = 0).
Колебания в бризере и с точки зрения системы Л синфазны. Волновые наблюдатели системы К принимают эти колебания за эталон одновременности. Наконец, пусть начала отсчета времени в системах Л и К совпадают. Таким образом, система отсчета К совпадает с системой Л, и можно считать, что все приведенные выше уравнения и формулы записаны в переменных системы К. Однако у системы К телом отсчета, в отличие от Л, служит бризер и(х,сЬ). Систему Л ввели «мы», внешние наблюдатели, тогда как систему К — волновые наблюдатели. Считаем, что наблюдатели могут обмениваться сигналами типа бегущих волн д(х ± сЬ). В сигналах могут быть зашифрованы, в частности, координата х (постоянная для данного наблюдателя) и значения Ь, и в момент передачи сигнала.
Пусть координаты ха = —1/2, хь = 1/2 зашифрованы в воображаемой микроструктуре пиков а, Ь. Условно можно сказать, что эти числа с указанием размерности «м» прямо написаны на пиках. После приведения бризера и в движение, когда он превратился в бризер и, эти числа сохранились и используются наблюдателями системы К', подобно тому, как в нашем мире линейка, приведенная в движение, после затухания колебаний, возникших в процессе ускорения, используется для отсчета координат в системе покоя линейки. Итак, за единицей длины в системе К' сохранится название «метр». Разумеется, согласно (8), «метр» в К и «метр» в К' — это разные метры.
Очевидно, что координата х' в системе К' равна введенной раньше величине Х:
= y(x — /3ct).
(9)
Определение времени t' в системе отсчета К', основанной на движущемся бризере U, рассмотрим подробнее. Так как часы A, B — это те же часы a, b, то естественно, что в качестве эталона промежутка времени (который по-прежнему называется «секундой») используется период колебаний в каждой точке x' = const (в частности, в пиках A, B). Бризер U в системе К' служит также эталоном одновременности, т.е. колебания в U считаются синфазными. Время t' определяется так, чтобы синфазность была выражена явно, т.е. чтобы фаза колебаний Ф = 2nj(ct — (3x)/cT зависела
x
только от t'. Это достигается (с учетом того, что промежутку времени Д' = T = 1 с должно соответствовать ДФ = 2п) при
ct' = Y(ct - f3x). (10)
При этом в системе К' бризер U будет иметь вид U(x,ct) = u(x',ct'). Формулы (9) и (10) представляют собой пассивные преобразования Лоренца, которые позволяют по измеренным в К координатам (x, ct) некоторого события найти измеренные в К' координаты (x', ct') этого же события.
Отметим, что в нашем мире, согласно теории относительности, после приведения системы в движение необходимо заново провести синхронизацию часов. При этом координаты и время в «движущейся» системе определяются так, чтобы скорость светового сигнала была одинаковой по обоим направлениям и имела то же численное значение, что и в «покоящейся» системе. При построении системы отсчета К' на основе бризера U специально синхронизировать часы не требуется, потому что бризер «приводился в движение» с помощью активного преобразования Лоренца. Это преобразование, нарушая синфазность колебаний в U в системе К, в то же время обеспечивает син-фазность в К'.
Определение (10) времени t' может показаться слишком произвольным, так как колебания в бри-зере U «на самом деле» несинфазны. Поэтому рассмотрим некоторый круг вопросов без явного введения t', отложив это до того момента, когда синфазность колебаний в U с точки зрения U-наблюдателей (которые и вводят систему отсчета К') станет очевидной.
Сомневаясь в обоснованности рассмотрения U-наблюдателями колебаний U как синфазных, следует такому же сомнению подвергнуть право u-наблюдателей считать синфазными колебания бризера u. Волновые наблюдатели не имеют представления об Л-системе, относительно которой покоится носитель колебаний, а также и о самом носителе колебаний — «железе». Поэтому формулы (3), (4) им не даны изначально. Они их получают эмпирическим путем, измеряя фазу < и величину u, формируя представление о пространстве и времени и вводя для их описания переменные x, t. Они могут исследовать свой бризер, например, следующим образом. Наблюдатель a посылает сигнал к b, когда фаза колебаний в точке xa равна Получив сигнал, b сразу посылает ответный сигнал, в котором зашифровывает текущие значения <1, u1. Наблюдатель a получает ответ в тот момент, когда фаза его колебаний равна + 4п; при этом u°a = ua. Из сообщения от b a узнает, что точно такое же значение имело u\, и делает вывод, что, вероятно,
<1 = &+2п. (ii)
Если это значение совпадет с содержащемся в сообщении от Ь, то а сделает вывод, что начала отсчета фаз у него и у Ь выбраны одинаково. Аналогичный эксперимент проводит Ь и получает
^ = + 2п. (12)
Если теперь а, Ь отправят сигналы в моменты одинаковых фаз, то в точку, расположенную посередине между ними (х = 0; считаем, что там «живет» наблюдатель с), эти сигналы придут одновременно. Это и убедит а, Ь, с в синфазности колебаний в бризере и. Синфазность колебаний, установленную волновыми наблюдателями, называем внутренней синфазностью [6]. Наконец, отметим, что и-наблюдатели установят, что скорость распространения сигнала одинакова в обоих направлениях и равна 1 м/с.
Такие же эксперименты проводят и -наблюдатели. Они обнаруживают, что свойства (11), (12) сохранились: ф = ФД + 2п, Фд = Фд + 2п, т.е. ДФ = 2п при движении сигнала и вправо, и влево. Рисунки 2-6 иллюстрируют это свойство бризера и. Точную его проверку предоставляем выполнить читателю (см., впрочем, [6]). На этих рисунках жирные линии — и(х, сЬ) как функции х при заданных Ь при в = 1/2; тонкими линиями показаны амплитудные кривые.
При движении сигнала вправо ДФ = 2п успевает набежать потому, что В убегает от сигнала, и возникает запас времени. При движении сигнала влево время движения (по часам системы К) меньше, зато начальное значение фазы колебаний А больше, и ДФ оказывается в точности такой же. Далее они устанавливают, что сигналы, испущенные из А, В, придут в точку (хд + хд )/2 (движущийся наблюдатель С) одновременно именно в том случае, если сигналы из А, В испущены при одном и том же значении фазы Ф. Тем самым они выясняют, что, во-первых, колебания в бри-зере и отличаются синфазностью. В частности, с точки зрения и-наблюдателей, излучение сигналов из А и В произошло одновременно. («Мы», внешние наблюдатели (а также К-наблюдатели), видя, что колебания в волне и несинфазны, тем не менее признаем их внутреннюю синфазность.) Во-вторых, они делают вывод, что на прохождение сигнала от А к В и от В к А требуется одинаковое время, равное 1 с; таким образом, скорость сигнала по-прежнему одинакова в обоих направлениях и равна 1 м/с. В-третьих, этот эксперимент не позволяет волновым наблюдателям отличить их состояние от покоя.
Приведем еще одно свидетельство в пользу того, что и-наблюдатели вправе считать свой бризер и покоящимся. Для этого выясним, какими видят свои волны отдельные и- и и-наблюдатели. Пусть и-наблюдатель с, расположенный в точке
А 5 К В Л
—0.6 у -5 1/0.6 \
Рис. 2. Излучение сигнала (показан тремя черточками) из пика А в момент = 0 с, когда фаза Фа(^) = п/2. При этом Фд(¿1) = —п/2
А 5 А В 1 /V
-0.4 V -5 0.2 Л/ 1
Рис. 3. Излучение сигнала (показан двумя черточками) из пика В в момент ¿2 = /Зу ~ 0,58 с, когда Фд (¿2) = Фа(^ )
А В
■I !
-0.2 0.4 ^ С
-5 I]
Рис. 4. Одновременный приход сигналов к середине системы (Ь = ¿з = (1 + вЬ/2 ~ 0,87 с)
5 А В ' Л
-5 V 0.6 V 1.2
Рис. 5. Приход сигнала в А в момент ¿4 = у ~ 1,15 с, когда Фа(¿4) = Фд (¿2) + 2п
А В
5 А I
0.2 V 0.8 V 1.6
-5 и
Рис. 6. Приход сигнала в В в момент ¿5 = 1/7(1 — в) 1,73 с, когда Фд (¿5) = Фа(^) + 2п
\ 1
\ 0.5
-0.6 -0.3 0 0.3 0.6
Рис. 7. Функция и(х, 0)
I 1 0.5 |Г°-3 о
1 Г Г*
1,1 -0.5
-1
Рис. 8. Картина у(х) волны и, которую «видит» и-наблюдатель в точке хп = 0 в момент ¿п = 0
I -0.6 0.5 -03 0.3/, I 0.6
V 1/
-0.5
- I
Рис. 9. Функция и(х, 0)
,1 1 0.5 |Г°-3 о
1 Г Гх'
1 -0.5
-1
Рис. 10. Картина у(х') волны и, которую «видит» и -наблюдатель в точке х'п = 0 в момент п = 0
-I ,-0.6 -0.3 1 0.5 0.
I г о ■ -0.5 -1
Рис. 11. Картина волны и, которую «видит» и-наблюдатель в точке хп = 0 в момент ¿п = 0
х = хп =0 (точка прихода сигнала), в момент t = Ьп =0 (т.е. в тот момент, когда фаза колебаний р = 0) принимает сигналы, испущенные ранее из всех других точек волны и. В сигнале, испущенном из той или иной точки х, зашифровано численное значение и в этой точке в момент излучения Ь. Пусть информация, принятая с, мгновенно отображается в виде графика у(х). Этот график и будем называть картиной волны и, которую «видит» с. Чтобы сигнал из точки х попал в точку хп =0 в момент Ьп = 0, он должен быть испущен в момент t = -\х\/с. Таким образом, «видимая» картина у(х) = и(х, сЬ)\г=-\хус = и(х, — \х\).
Выясним, какой «видит» свою волну и(х, сЬ) = и[7(х — /ЗсЬ),ч(сЬ — вх)] = и(х', ФсТ/2п) и-наблюдатель С, расположенный в точке х'п = 0, в тот момент, когда фаза колебаний в этой точке Фп = 0. Так как этим значениям х'п, Фп соответствуют хп =0, Ьп = 0, то формула для моментов излучения наблюдаемых сигналов остается прежней: Ь = —\х\/с. Это приводит к 7(сЬ — вх) = —\х'\, т.е. к «видимой» картине и(х', —\х'\) = у(х'), которая совпадает с картиной волны и, «видимой» и-наблюдателем.
Эта закономерность остается в силе и в случае произвольного расположения наблюдателя и произвольного момента наблюдения [6]: отдельные ии и-наблюдатели, расположенные соответственно в точках хп = х'п, в моменты, соответствующие одинаковым фазам колебаний рп = Фп, «видят» свои волны одинаковыми.
Это является еще одним аргументом, подтверждающим принцип относительности: находясь внутри системы, невозможно отличить состояние ее покоя от равномерного прямолинейно-
го движения относительно других инерциальных систем.
Для иллюстрации сказанного используем двойные бризеры с параметрами в = 1,25, а = 5 • 10-9 (рис. 7-11). Параметр скорости бризера и равен в = 1/2.
На рис. 7, 9 приведены графики функций и(х, 0), и(х, 0). Можно сказать, что это — мгновенные снимки бризеров и, и, которые сделали внешние наблюдатели. На рис. 8, 10 показано, какими «видят» свои бризеры и- и и -наблюдатели. Следует обратить внимание, что эти картины одинаковы, несмотря на различие снимков рисунков 7, 9. Для полноты на рисунке 11 показано, каким бризер и «видит» и-наблюдатель.
Таким образом, и-наблюдатели имеют такие же основания считать колебания своего бризера синфазными, что и и-наблюдатели. Это приводит к формуле (10) для Ь'.
Замечание. Для того чтобы можно было утверждать, что и-наблюдатели никакими измерениями не могут отличить волну и от волны и, которую они изучали, когда были и-наблюдателями, необходимо наряду с самим фактом прихода сигнала рассмотреть его частотные характеристики. Здесь мы не рассматриваем этот аспект принципа относительности.
Заключение. Предложена иллюстрация принципа относительности с помощью решения уравнения синус-Гордона в виде двойного бри-зера. Двойной бризер хорошо подходит для демонстрации относительности одновременности, а также невозможности по наблюдениям внутри равномерно движущейся системы отличить ее состояние от покоя.
Библиографический список
1. Эйнштейн А. К электродинамике движущихся тел / Собрание научных трудов. М., 1965. Т. I.
2. Бройль Л. де. О собственной частоте электрона / Избранные научные труды. М., 2010. Т. 1.
3. Elbaz C. Dynamic properties of almost monochromatic standing waves // Asymptotic Analysis. 2010. Vol. 68. DOI: 10.3233/ASY-2010-0985.
4. Shanahan D. A Case for Lorentzian relativity // Found. Phys. 2014. Vol. 44. DOI: 10.1007/s10701-013-9765-x.
5. Гончаров А. И. Наглядная интерпретация релятивистской кинематики с помощью метода стоячих волн ; ч. 1 // Известия АлтГУ. Сер.: Физика. 2014. № 1-2(81). DOI: 10.14258/izvasu(2014)1. 2-27.
6. Гончаров А. И. Интерпретация релятивистской кинематики с помощью метода стоячих волн ; ч. 2 // Известия АлтГУ. Сер.: Физика. 2015. № 1-2(85). DOI: 10.14258/izvasu(2015)1.2-02.
7. Scott A. C. A nonlinear Klein-Gordon equation // American Journal of Physics. 1969. Vol. 37. No. 1. DOI: 10.1119/1.1975404.
8. Мусиенко А. И., Маневич Л. И. Аналоги релятивистских эффектов в классической механике // УФН. 2004. Т. 174. № 8.
9. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. М., 1983.
10. Ferreira L.A., Piette B., Zakrjewski W.J. Wobbles and other kink-breather solutions of the sine-Gordon model // Physical Review E. 2008. Vol. 77, 036613.
