Игры на «Теплых бильярдах». Наглядная демонстрация понятий, характеризующих нелинейные системы: аттракторы, бифуркации, гистерезис Текст научной статьи по специальности «Математика»

Компьютерные инструменты в образовании, 2014 № 5: 42-49 УДК: 53.072 http://ipo.spb. ru/journal

ХАРАКТЕРИЗУЮЩИХ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ:

Денисевич Александра Алексеевна, Ляпцев Александр Викторович

Аннотация

Предложена компьютерная модель, на основе которой могут быть наглядно продемонстрированы такие характерные особенности систем, способных к самоорганизации, как наличие многих аттракторов, в том числе хаотических, бифуркации и гистерезисные явления при адиабатическом изменении параметров. Модель представляет собой традиционно исследуемую модель бильярда, дополненную такими характерными свойствами систем, способных к самоорганизации, как диссипация энергии и восполнение энергии из внешней системы.

Ключевые слова: процессы самоорганизации, математическая модель, аттракторы, бифуркации, гистерезис, компьютерное моделирование.

Стремительное развитие компьютерной техники во второй половине 20 века позволило, в частности, продвинуться в исследованиях, связанных с новыми направлениями науки, осуществление которых невозможно без использования вычислительных методов. К таким направлениям относится, например, область междисциплинарных исследований — синергетика и связанные с ней нелинейная динамика и неравновесная термодинамика (см., например [1-3, 8]). Изучение положений и особенностей этих разделов науки входит в различные дисциплины, связанные с курсами математики и физики. При этом изучаться соответствующие разделы могут на разных уровнях от уровня профессиональной математической подготовки до ознакомительного уровня в курсе общей физики. В последнем случае возникает необходимость за достаточно сжатые сроки познакомить учащихся с основными идеями, понятиями и результатами соответствующих научных исследований и их приложениями. Это, в свою очередь, требует использования достаточно простых и наглядных примеров для объяснения весьма непростых понятий, таких, например, как странный (хаотический) аттрактор, бифуркации, гистерезис в нелинейной динамике. Традиционно используемые примеры либо наглядны, но не описываются достаточно простыми математическими моделями, либо представляют собой не очень сложную математическую модель, весьма

© Денисевич А.А., Ляпцев А.В., 2014

абстрактную и далекую от какого-либо реального объекта. К примерам первого рода можно отнести описание на качественном уровне возникновения разнообразных природных структур (циклоны, галактики и т. п.). К примерам второго рода — использование системы уравнений Лоренца для объяснения понятия «странный аттрактор» или логистического отображения для объяснения бифуркаций [3].

В данной работе мы покажем, как некоторые особенности уравнений нелинейной динамики могут быть достаточно просто и наглядно проиллюстрированы на примере предложенной ранее модели «теплого бильярда» [5]. Достоинством данной модели, на наш взгляд, помимо наглядности является математическая простота, позволяющая учащимся в достаточно короткие сроки самим реализовать эту модель на компьютере.

Исходной является модель бильярда — ограниченного «стенками» различной формы пространства, между которыми движется частица, отражаясь от этих стенок. Исследование подобных систем, помимо всего прочего, представляет собой серьезную математическую задачу. Достаточно упомянуть присуждение международной Абелевской премии (Abel Prize) в 2014 году российскому математику Якову Григорьевичу Синаю за фундаментальные работы, связанные с изучением подобных систем («биллиарды Синая»). Традиционно исследуемые бильярды представляют собой модель, в соответствии с которой частица движется между стенками с постоянной скоростью, упруго отражаясь от стенок. В соответствии с этой моделью угол падения равен углу отражения подобно тому, что имеет место в законах геометрической оптике. Эффекты, связанные с возникновением структур появляются, если дополнить эту модель некоторыми особенностями, характерными для систем, изучаемых синергетикой. Во-первых, подобные системы являются диссипативными, то есть системами, в которых происходит переход от упорядоченного движения к неупорядоченному, в частности тепловому, движению. В соответствии с этим будем считать, что при движении частицы на нее действует сила трения, пропорциональная модулю скорости и направленная против скорости (сила вязкого трения). В реальных системах подобная сила возникает вследствие трения о воздух. Заметим, что при малом сопротивлении необходимыми для дальнейшего моделирования свойствами будут обладать как сила сухого трения, так и сила трения качения (силы трения, не зависящие от скорости движения). Во-вторых, система должна быть открытой, так как в замкнутой диссипативной системе при любых начальных условиях макроскопическое движение затухает. Открытая система подпитывается энергией, вследствие чего движение может продолжаться, пока не прекратится внешнее воздействие. В соответствии с этим будем считать, что при каждом столкновении со стенкой частица приобретает потерянную за время движения от предыдущего столкновения энергию (стенка как бы подталкивает частицу). При этом будем полагать, что при столкновении изменяется лишь нормальная по отношению к стенке составляющая скорости, а тангенциальная составляющая остается неизменной. Подобная модель не лишена физического смысла. Так, например, при нагревании стенок сосуда с газом, стенки передают тепло газу, «подталкивая» молекулы газа при каждом столкновении. В соответствии с этим будем условно называть подобную модель «теплый бильярд».

В работе [5] показано, что численный эксперимент для данной модели, в случае, когда бильярд имеет прямоугольную форму, приводит к результату, когда при произвольных начальных условиях по истечении некоторого времени движение частицы, как правило, становится периодическим, так что она двигается по замкнутой траектории с небольшим (порядка 10) числом столкновений за цикл. Подобная траектория является аттрактором. Строго говоря, траектория в пространстве есть проекция аттрактора (траектории в фазовом четырехмерном пространстве) на двумерное реальное пространство. Однако именно такая траектория в реальном пространстве является более наглядной, и более простой для восприятия учащимися. В некоторых исключительных случаях движение становится квазипериодическим, так что траектория осциллирует вблизи некоторой замкнутой ломаной линии [4].

Как уже говорилось, математические исследования бильярдов рассматривают бильярды самой разнообразной формы. В данной работе мы предлагаем два типа бильярдов, для которых вычисления (формулы для компьютерного моделирования) являются достаточно простыми, так что написание программ для численного эксперимента вполне может быть выполнено учащимися за «разумное» время. Мы рассмотрим бильярды типа «стадион» (рис. 1а, 16) и бильярды в виде эллипса (рис.1 б).

Бильярды типа «стадион» состоят из двух параллельных отрезков, соединенных дугами окружностей. При этом длины отрезков будем обозначать через 2а, расстояния между ними -через 2Ь, а радиусы окружностей через Rl и R2. Традиционно полагают радиусы вогнутых аоа (аоааR2 на рис. 1б) отрицательными. В случае R ^ да боковая стенка является отрезком прямой, так что в частном случае получается прямоугольный бильярд. Координаты стенок эллиптического бильярда задаются уравнением:

2 2 X У !

--ь — = 1

22 а Ь

где а и Ь — большая и малая полуоси эллипса соответственно.

Задача вычисления траектории сводится к последовательному построению прямолинейных отрезков. При этом на каждом шаге по заданным значениям (х., у.) и значению угла, под которым направлена скорость на данном отрезке (угол а на рис. 1а), необходимо найти значение координат конечной точки (ху, уу). Затем по заданному значению вектора скорости, с которой частица налетает на стенку vi, необходимо найти вектор скорости Vу после отражения от стенки.

Нахождение координат (ху, уу) сводится к решению системы уравнений, одним их которых является уравнение:

Уу - Уг = (ху - X ^а ,

а другим — уравнение линии границы бильярда (прямая, дуга окружности или эллипс). Во всех, рассматриваемых случаях получается квадратное (в частном случае линейное) уравнение, решение которого может быть представлено в аналитическом виде.

Для нахождения скорости частицы Vу после очередного отражения от стенки нужно знать скорость Vг перед столкновением со стенкой. Направление вектора Vг задается углом а. Модуль этой скорости зависит от пути, пройденной частицей между столкновениями. Эту зависимость можно получить, зная зависимость скорости и пройденного пути при наличии вилы вязкого трения:

и (^) = и0 ехр(-к),

*) = к к

(

1 -

и (/)

и

о У

где ио — скорость частицы после отскока от стенки, которая полагается постоянной заданной величиной, к — коэффициент, характеризующий силу вязкого трения. Из этих формул получаем соотношение:

О/,у/)

1 т П

_______-

С у.

ГИС. 1

ц. =и0(1 - ks), (1)

где 5 — путь, пройденный частицей перед столкновением. Заметим, что выражение вида (1) получается и в случае силы сухого трения или силы качения, если коэффициенты, характеризующие эти силы малы.

Вектор скорости V*, с которой частица двигается, отразившись от стенки, можно выразить через единичные векторы п и т направленные нормально к стенке и по касательной к стенке (рис. 1). Именно, скорости vj и V* можно представить в виде суммы составляющих вдоль направлений, определяемых векторами vj и V*:

V- = ЦпП +Цт Т v/ = ЦПп fт Т . Нормальные цп и тангенциальные цт проекции скорости vj находятся как скалярные произведения векторов:

Цп = Vj • n, Цт = Vj • Т В соответствии со сформулированными выше правилами отражения от стенки, нормальные Цп и тангенциальные иут проекции скорости Vf находятся из соотношений:

Г 2 2

и п =Ц. , и п = л/ио -Ц п

Пт К ' пп \ 0 п т

Таким образом, для нахождения скорости частицы после отскока достаточно найти векторы п и т и использовать вышеприведенные соотношения. Поскольку угол между этими векторами равен л/2, достаточно найти один из векторов и воспользоваться соотношениями:

тх =-Пу , ту = Пх ,

где индексы обозначают проекции на оси системы координат. При отскоке от прямолинейных участков границы бильярда векторы п направлены вдоль вертикальной оси. При отскоке от дуг окружностей векторы п направлены вдоль соответствующего радиуса (рис. 1а) при R > 0, или в противоположном направлении при R < 0. Для эллиптического бильярда проще найти вектор т. В этом случае проекции вектора т на оси системы координат определяются соотношениями:

а2 у* Ь2 х*

т — т у = —

Далее мы приведем примеры результатов расчетов с использованием вышеприведенных формул. При проведении численных расчетов всегда проводилось масштабирование времени и расстояния, так что а = ц = 1. Коэффициент k полагался равным 0,01.

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ БИЛЬЯРД

Этот случай оказывается самым простым по отношению к возможным аттракторам. Численный эксперимент показывает, что при любых начальных условиях аттрактором (точнее проекцией аттрактора на пространственную плоскость) является малая ось эллипса. Даже, если начальные условия выбрать так, что движение происходит вдоль большой оси эллипса, неизбежные погрешности при вычислениях приводят к тому, что постепенно траектории концентрируются вблизи малой полуоси. На рис. 2 приведены траектории движения на различных временных интервалах для случая, когда а/Ь = 2 и движение начинается вдоль большой оси эллипса.

Очевидно, что подобный результат численного эксперимента требует определенного осмысления и объяснения на основе некоторых качественных соображений. Подобные объяснения всегда необходимы при проведении численных расчетов и служат критерием коррек-

t е [0,100]

t е [100,200] Рис. 2

t е [1300,1400]

тности проведенных расчетов [7]. Как уже было сказано выше, математически исследовалось движение по бильярдам различной формы в отсутствии диссипации (так называемые бильярды Биркгофа) [6]. Одним из вопросов исследования является вопрос устойчивости периодических траекторий. В частности были получены результаты для наиболее простой «двузвенной» траектории - движения по отрезку прямой от одной стенки до другой и обратно. На рис. 3 изображена одна из таких траекторий - движение от точки А до точки В и обратно. В этих точках граница бильярда может быть охарактеризована радиусами кривизны R1 и R2. Без потери общности можно считать R1 < R2. Пусть I - расстояние между этими точками. Тогда данная траектория является устойчивой при выполнении одного из неравенств:

0 < I < Д

или

ч R2 < I < R1 + R2. (2)

Эти условия справедливы как для положительных значений R1 и R2, изображенных на рис. 3, так и для отрицательных значений на рис. 16). В частности для одинаковых значений R1 = R2 = R эти условия сводятся к одному:

I < 2R . (3)

Для эллиптического бильярда это условие выполняется только для малой оси эллипса, чему соответствует аттрактор, изображенный на рис. 2. Заметим, что в предельном случае кругового бильярда (а = Ь) аттрактором является любой из диаметров круга в зависимости от начальных условий.

На бильярдах типа «стадион» одним из аттракторов является линия перпендикулярная прямым стенкам (рис. 4а). При этом расположение линии зависит от начальных условий. Заметим, что для бильярдов Биркгофа подобные двузвенные траектории являются неустойчивыми, что несложно доказать. Также несложно доказать, что в рассматриваемом случае «теплого бильярда» подобная траектория является устойчивой.

При R1 < 0 и R2 < 0 (рис. 4а) других аттракторов не появляется. Однако, если одно из

значений R положительно появляются аттракторы вдоль оси симметрии (рис. 4а, 46). Такие аттракторы появляются при выполнении одного из условий (2). Если при небольшом изменении параметров условия (2) оказываются нарушенными, подобных симметричных аттракторов не появляется. Так, например, для бильярда на рис. 46 при R1 = R2 = 2; а = 1 критическим значением является, и при Ь > Ь0 симметричный аттрактор пропадает. Аналогично для бильярда на рис. 4 в при а = Ь = 1; R1 = -1 критическим значением является, и при R2 < R20 симмет-

Рис. 3

ричный аттрактор также пропадает.

а) 6) в)

Кх = Я2= -1,5; а = Ь = 1 Я1 = Я2 = 2; а = 1, Ь = 1,73 а = Ь = 1; Я1 = -1; Я2 = 1,42

Рис. 4

Если хотя бы одно из значений Я положительно, то могут появляться и другие аттракторы. Некоторые из примеров изображены на рис. 5.

БИФУРКАЦИИ И ГИСТЕРЕЗИСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Характерной особенностью нелинейных систем, в которых происходит образование упорядоченных структур, является появление бифуркаций — скачкообразное изменение качественных особенностей структур при адиабатическом изменении некоторых параметров системы. Если после возникновения бифуркации изменение того же параметра производить в противоположном направлении, то возврат к исходной структуре может происходить при другом значении параметра, или возможны бифуркации с возникновением иных структур. Подобная неоднозначная зависимость характера решения от параметров называется гистерезисом.

В данной модели бифуркации и гистерезис можно наблюдать, если после установления некоторой периодической структуры незначительно изменить один из параметров и производить вычисления, взяв за начальные данные конечные данные перед изменением параметра. При этом вначале изменение параметра не приводит к качественному изменению аттрактора, то есть, спустя некоторое время после изменения параметра картина траекторий выходит на похожий аттрактор. Однако при некотором критичном изменении па-

а) 6) в)

а = 1, Ь = 2, Я1 = 3, Я2 = 2 а = Ь = 1, Я1 = 5, Я2 = -5 а = 1, Ь = 0,7; Я1 = 5, Я2 = -5

Рис. 5

Рис. 6

раметра происходит переход через некоторый хаотический этап к качественно новому параметру.

Примером может служить один из возможных аттракторов на прямоугольном бильярде, проекция которого на пространственную плоскость представляет собой циклическую тра-аёоТ бе^ п 16 oääöal e Т noai ее (беп. 6а), который может быть реализован при параметре, характеризующим отношение длин стенок b/a = 0,5.

При изменении этого параметра на 0,01 каждый раз происходит выход на аттрактор с тем же количеством ударов о стенки, хотя, естественно, деформированный по сравнению с исходным. Так происходит до значения b/a = 0,81 (рис. 6 б). При переходе к b/a = 0,82 происходит сбой (траектории на интервале At = 100 показаны на рис. 6в). Затем на интервале At = 1300 происходит установление траектории с новым аттрактором, проекция которого на пространственную плоскость представляет собой циклическую траекторию с 10 ударами о стенки (рис. 6г). Если после этого начать медленно уменьшать параметр b/a, то данный аттрактор сохраняется вплоть до значения b/a = 0,48, после чего, однако происходит переход не к аттрактору, изображенному на рис. 6 а, а к другому аттрактору с 18 ударами о стенки за цикл.

Следует заметить, что значения параметров, при которых происходят переходы от одного аттрактора к другому, существенно зависят от того, насколько изменяется параметр на очередном шаге.

Литература

1. Аврамов К.В., Михлин Ю.В. Нелинейная динамика упругих систем. Т.1. Модели, методы, явления. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010.

2. Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой. М.: Изд. ЛКИ, 2013.

3. ГритченкоВ.Т., МаципураВ.Т., СнарскийА.А. Введение в нелинейную динамику: Хаос и фракталы. М.: Изд. ЛКИ, 2007.

4. Денисевич А.А., Ляпцев А.В. Компьютерное моделирование процессов самоорганизации в простейших механических системах // Известия Российского государственного университета им. А.И. Герцена, 2014. №168. С. 93-103.

5. Денисевич А.А., Ляпцев А.В. Простейшая модель для демонстрации образования пространственных структур при изучении процессов самоорганизации // Компьютерные инструменты в образовании, 2014. №1. С. 36-43.

6. Козлов В.В., ТрещевД.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М., 1991.

7. Кондратьев А.С., Ляпцев А.В., Ситнова Е.В. Компьютерное моделирование при изучении физики. Проверка корректности вычислений // Компьютерные инструменты в образовании, 2006. № 2. С. 52-57.

8. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

PLAYING «WARM BILLIARDS». VISUAL DEMONSTRATION OF THE CONCEPTS, CHARACTERIZING NONLINEAR SYSTEMS: ATTRACTORS, BIFURCATIONS, HYSTERESISN

Denisevich A.A., Liapzev A.V.

Abstract

A simulation model is proposed on the basis of which can be demonstrated such characteristic features of systems capable of self-organization, as the existence of multiple attractors, including chaotic, bifurcations, and hysteresis phenomena in adiabatic change of parameters. The model constructed as a traditional model of billiards, supplemented such characteristic properties of the systems, capable of self-organization, as the energy dissipation and the exchange of energy with the external system.

Keywords: self-organization processes, mathematical model, attractors, bifurcations, hysteresis, computer simulation.

Денисевич Александра Алексеевна, аспирантка РГПУ им. А.И.Герцена,

Sashamy_one@mail.ru,

Ляпцев Александр Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой методики обучения физике РГПУ им. А.И. Герцена,

upm_eno@mail.ru

(с) Наши авторы, 2014. Our authors, 2014.