Игра ”Удаление цифр” и связанная с ней Ладейная игра мизер Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51-8:519.1

ИГРА "УДАЛЕНИЕ ЦИФР" И СВЯЗАННАЯ С НЕЙ ЛАДЕЙНАЯ ИГРА МИЗЕР

© 2012 И.С. Фролов1

В работе исследуются свойства, в том числе арифметическая периодичность функции, связанной с игрой "Удаление цифр", а также обратной к ней функции, являющейся функцией Шпрага-Гранди для ладейной игры мизер.

Ключевые слова: игра 'Удаление цифр", комбинаторная игра, функция Шпрага-Гранди, арифметическая периодичность.

1. Предварительные сведения

В игре "Удаление цифр", введенной Дж. Конвеем [1, гл. 15, с. 190-192], два игрока, начиная с некоторой заданной строки цифр, по очереди уменьшают любую цифру или удаляют нуль и все следующие за ним цифры. Эта игра рассматривается в книге [1] для иллюстрации понятия вор-функции (функции, строго сохраняющей порядок). Данная игра относится к классу беспристрастных комбинаторных игр [2, т. 1, с. 15]. Изложим кратко основные положения теории.

Каждая беспристрастная комбинаторная игра (далее — просто игра) может быть представлена ориентированным графом без циклов О = (V, Е), вершины которого V представляют возможные позиции, а дуги Е — возможные ходы в игре.

Определение 1. Ж-позицией называется позиция, в которой существует выигрывающий ход. Р-позицией называется позиция, в которой не существует выигрывающих ходов.

Игрок, делающий ход в Ж-позиции, может выиграть, и для реализации выигрыша ему следует пойти в Р-позицию. Таким образом, игра может считаться полностью решенной, если установлены все ее Р-позиции.

В нормальной игре терминальные позиции считаются Р-позициями, однако каждая игра имеет вариант мизер, в котором терминальные позиции считаются Ж-позициями.

Определение 2. Пусть О = (V,, Е) — игра, V € V — ее позиция. Множеством опций позиции V называется множество Р(V) = {V1 € V | ) € Е} (Р называется функцией следования).

Опция позиции V — это позиция, которая может быть достигнута из V за один ход. Все опции Р-позиции суть Ж-позиции; среди опций Ж-позиции найдется хотя бы одна Р-позиция.

1 Фролов Илья Сергеевич (xity@yandex.ru), кафедра алгебры и геометрии Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

Определение 3. Функцией Шпрага-Гранди игры G = (V,, E) называется функция g : V ^ N, определенная формулой

g(v) = mex {g(v') | v' e F(v)},

где mex X = min(N \ X) для любого подмножества X С N.

Согласно теореме Шпрага-Гранди [3; 4], множество нулей функции g совпадает с множеством всех Р-позиций игры.

Значение g(v) будем называть значением позиции v.

Определение 4. Суммой двух игр Gi = (Vl,Ei) и G2 — (V2E2) называется игра G = (V, E) , в которой ходом является выбор игроком одной из игр и совершение в ней хода.

Формально удобно выразить сумму игр G = Gi+G2 через функции следования своих компонент: положим V = Vi XV2, а затем для любой позиции v = (vi,v2) e V положим

F(v) = Fi(vi) X {v2} U {vi} X F2(v2).

Классическим примером игры является Ним, или игра с кучами предметов. Ее можно представить в виде суммы игр Ha+Щ+Hc.., где каждая компонента Hn представляет собой кучу из n предметов, а ход в компоненте Hn — взятие любого числа предметов (от 1 до n). Известно, что g(Hn) = n,

g(Ha + Hb + Hc + ...) = a © b ® с © ...,

где a © b — операция побитового сложения mod 2 (без переноса в следующий разряд).

Для иллюстрации рассмотрим игру Hm + Hn, которая может быть отождествлена с ладейной игрой. Позиция упомянутой игры (m, n) имеет в качестве опций (m,n') и (m',n), 0 ^ n' < n, 0 ^ m' < m; иначе говоря, данная позиция может быть изображена ладьей на шахматной доске, неограниченной снизу и справа, ход состоит в передвижении ладьи влево или вверх на любое число полей; проигрывает игрок, у которого нет ходов (рис. 1, а). Функцию Шпрага-Гранди g(m,n) = = m © n в данном случае можно затабулировать (табл. 1, слева).

1 [ 0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4

о 2 0 1 5 3

3 4 0 1 2

Я? 0 1 2 3

0 1 2 3 4

1 2 0 4 5

2 3 4 0 1

б

Рис. 1. Ладейная игра: а — нормальная; б — с добавленным полем; в — с запрещенным полем

а

в

2. Удаление цифр

Позицией игры "Удаление цифр" является строка десятичных цифр. Ход заключается либо в уменьшении любой цифры, либо в удалении нуля и всех следующих за ним цифр.

Таблица 1

Значения m ф n (слева); fm : n (справа)

ф 0 1 2 3 4 5 6 7 n 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 1 2 3 4 5 6 7 fo : n 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 0 3 2 5 4 7 6 fi : n 0 1 2 3 4 5 6 7

2 2 3 0 1 6 7 4 5 f2 : n 2 0 1 5 3 4 8 6

3 3 2 1 0 7 6 5 4 f3 : n 3 4 0 1 2 7 5 9

4 4 5 6 7 0 1 2 3 f4 : n 4 3 5 0 1 2 9 10

5 5 4 7 6 1 0 3 2 f5 : n 5 6 4 2 0 1 3 11

6 6 7 4 5 2 3 0 1 fe : n 6 5 7 8 9 0 1 2

7 7 6 5 4 3 2 1 0 fr : n 7 8 6 9 10 3 0 1

Отметим, что ограничение десятичными цифрами не играет большой роли (что отмечено, например, в [5, с. 9]), и игру можно рассматривать как порядковую сумму игр с кучами Н = На : Нь : Нс : ..., где в качестве хода разрешается ход в любой из куч либо удаление пустой кучи со всеми последующими. Если игра Н имеет значение х, то добавление слева кучи Нп меняет это значение на /п : х, где функция /п : х определяется формулами

/п : х = тех {/п : х', /п> : х | 0 ^ п' < п, 0 ^ х' < х}, п > 0; (1)

/о : х = тех {/о : х , 0 | 0 ^ х < х}.

В таком случае значение игры На : Нь : ... : Нт равно /а : (/ь : ... : (/т : 0)), поскольку для пустой позиции функция Шпрага-Гранди принимает значение 0. Значения функции /т : п легко затабулировать, используя формулы (1) (см. табл. 1, справа, а также рис. 2, внизу).

Например, значением позиции 618034 является

/б : /1 : /8 : /о : /з : / : 0 = 1.

Чтобы найти ход в Р-позицию, имеющую значение 0, проведем вычисления в обратном порядке:

Найдем, как изменить каждую цифру, чтобы перейти от верхней последовательности к нижней. Так как лишь одна цифра уменьшается, заключаем, что единственный ход ведет к выигрышу — в 612034.

Из (1) следует, что числа в таблице вычисляются как mex от всех чисел выше и слева, за исключением того, что 0 не должен быть в 0-й строке.

Определение 5. Функция : N ^ N называется арифметически периодической, если найдутся такие период t, сдвиг s и предпериод p, что <^>(x+t) = у>(ж) + s при x ^ p.

Известна арифметическая периодичность первых трех строк таблицы: fo : x = = x + 1, fi : x = x, f2 : x = х+з2 (сложение mod 3), f3 : (x + 9) = f3 : x + 9 при x ^ 3.

Целью настоящей работы является исследование арифметической периодичности функции fn в общем случае.

3. Основные результаты

Таблицу значений функции : п (табл. 1, справа) можно представить как таблицу значений ладейной игры с добавленным полем (рис. 1, б). С использованием компьютера найдены периоды и предпериоды функции : п для значений т до 9 включительно (табл. 2, справа).

Таблица 2

Периоды и предпериоды д(т,п) (слева); ](т,п) (справа)

т г Р гт/гт-1 т г Р гт/гт-1

0 1 0 - 0 1 0 -

1 1 0 1 1 1 0 1

2 3 0 3 2 3 0 3

3 9 5 3 3 9 3 3

4 3б 10 4 4 3б 12 4

5 144 25 4 5 144 22 4

б 720 25 5 б 720 22 5

7 5040 21 7 7 5040 21 7

8 10080 б8 2 8 10080 72 2

9 151200 б8 15 9 151200 72 15

Далее будем обозначать ](т,п) = /т : п и введем функцию

д(т, п) = к ^^ /(т, к) = п, т.е. дт = /„-1

(эта функция использовалась в (2) для обратного расчета значений функции Шпрага-Гранди).

Функция д(т,п) обладает следующими свойствами:

(01) д(т,п) — функция Шпрага-Гранди для ладейной игры мизер. В отличие от нормальной игры проигрывает игрок, поставивший ладью на заштрихованное поле (рис. 1, в).

(02) д(т,п) = тех {д(т',п), д(т,п'), т' < т, п' < п}, т + п> 0 и д(0, 0) = = -1.

Если ввести обозначения: К(т,п) = {д(т,п') | 0 ^ п' < п} — множество чисел в строке слева от поля (т,п); С(т,п) = {д(т',п) | 0 ^ т' < т} — множество чисел в столбце сверху от поля (т,п), то (рис. 3)

, ч | тех К(т,п)и С(т,п), т + п> 0, д(т, п) =

' ' \ -1, т = п = 0.

Таблица начальных значений функции д(т, п), а также (для сравнения) функции ](т, п) приведена ниже, на рис. 2.

(03) д(т,п) = д(п,т).

(04) д(0,п) = п - 1, д(1,п) = п.

(С5) д(п,п)=0,п > 2.

(06) д(2п, 2п - 1) = д(2п - 1, 2п) = 1, д(2п, 2п + 1) = д(2п + 1, 2п) = 2, п > 2; исключениями являются д(0,1) = 0, д(1, 2) = 2 и д(2, 3) = 4; далее на диагоналях, соседних с главной, числа 1 и 2 чередуются: д(п,п + 1) = 3+(2 1) .

(07) д(т,п) <т + п.

(08) д(т,п) ^ 1т - п|, п ^ 1, т ^ 1; или более точно,

(О8а) д(т, п) ^ п - т, т ^ 1,

(О8Ь) д(т, п) ^ т - п, п ^ 1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13 18 20 21

1 0 1 2 3'. 4 5 6 7 8 3 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13 20 21 22

2 1 2 0 4 5 Э 7 8 6 10 11 э 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23

2'; з,- 4 0 1 6 6 5 9 7 12 13 10 11 15 17 14 18 16 21 22 13 20

4 3 4 5 1 0 '2 9 10 11 6 7 8 14 15 16 12 13 19 20 17 21 18 24

5 4 5 3 8 2 0 1 9 10 11 8 7 15 16 17 13 12 ¡4 21 22 23 24 13

Ё 5 8 7 8 Э 1 0 2 3 4 13 12 16 10 11 18 13 20 14 15 17 23 25

7 6 7 8 5 10 9 2 0 1 3 4 14 17 18 13 11 20 12 13 16 15 25 26

8 7 8 8 8 11 10 3 1 0 2 5 4 18 17 20 13 21 13 12 14 16 15 27

Э 8 8' 10 7 6 11 4 3 2. 0 1 5 18 20 18 21 22 23 15 12 13 14 16

10 Э 10 11 12 7 8 13 4 5 1 0 2' 3 6 21 20 18 22 23 24 14 16 15

11 10 11 8 13 8 7 12 ¡4 4 5 2 0 1 3 6 22 23 21 24 25 26 17 13

12 11 12 13 10 14 15 16 17 18 19 3- 1 0 '2 4 5 6 7 8 3 24 26 28

13 12 13 14 11 15 16 10 18 17 20 6 3 2 0 1 4 5 8 7 23 3 27 28

14 13 14 12 15 16 17 11 13 20 18 21 6 4 1 0 2 3 5 3 7 8 10 30

15 14 15 18 17 12 13 18 11 19 21 20 22 5 4 2 0 1 3 6 8 7 9 10

16 15 15 17 14 13 12 19 20 21 22 18 23 6 5 3 1 0 Щ 4 10 11 7 8

17 16 17 15 13 19 14 20 12 13 23 22 21 7 8 5 3 2>' 0 1 4 6 11 9

18 17 18 19 16 20 21 14 13 12 15 23 24 8 7 8 6 4 1 0 2: 3 5 11

18 18 13 20 21 17 22 15 16 14 12 24 25 8 23 7 8 10 4 2 0 1 3 5

28 18 20 18 22 21 '23 17 15 16 13 14 26 24 8 8 7 11 6 3- 1 0 | 4

21 20 21 22 13 18 24 23 25 15 14 18 17 28 27 10 8 7 11 5 3 2 0 1

22 21 22 23 20 24 10 25 26 27 16 15 13 28 23 30 10 8 9 11 5 4 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 ■2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

1 0 1 % 3'. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

2 2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 3 10 14 12 13 17 15 16 20 18 18 23 21

3 3 4 0 1 2 7 5 9 6 8 12 13 10 11 18 14 18 15 17 21 22 18 20

4 4 3 5 0 1 '2 9 10 11 6 7 8 15 16 12 13 14 19 21 17 18 20 24

5 5 6 4 2 0 1 3 11 10 7 8 9 16 15 17 12 13 ¡4 22 23 24 18 13

6 6 5 7 8 9 0 1 2 3* 4 13 14 11 10 18 13 12 20 15 16 17 24 25

7 7 8 6 8 10 3 0 1 2 5 4 15 17 18 11 20 19 12 13 14 16 25 26

8 8 7 8 6 11 10 2 0 1 3 5 4 18 17 18 21 20 13 12 15 14 18 27

8 8 10 8 7 6 11 4 3 0 1 2 5 18 20 21 18 22 23 14 12 13 15 16

10 10 3 11 12 7 8 13 4 5 0 1 3 6 20 22 21 24 16 25 15 14 17

11 11 12 10 13 8 9 14 5 4 2. 0 1 6 3 7 23 24 21 25 22 26 17 15

12 12 11 13 10 14 15 16 17 18 13 3- 0 1 '2 4 5 6 7 8 9 23 26 28

13 13 14 12 11 15 16 10 18 17 20 6 3 0 1 2 4 5 8 7 24 3 27 28

14 14 13 15 16 12 17 11 13 20 18 21 6 2 0 1 3" 4 5 3 7 8 10 30

15 15 16 14 17 13 12 18 20 18 21 22 7 4 5 0 1 2 3 6 8 10 3 11

16 16 15 17 14 18 13 12 21 22 23 13 20 5 4 3 0 1 ы Ю 6 7 8 9

17 17 13 16 15 19 14 20 12 13 22 23 21 7 8 5 2 0 1 3- 4 6 11 10

18 18 17 19 20 16 21 15 13 12 14 24 22 8 7 6 3 3' 0 1 г: 4 5 31

18 1Э 20 18 21 17 22 23 14 15 12 16 24 8 25 8 6 7 4 0 1 2 3 5

20 20 18 21 13 22 '2.3 17 15 14 13 25 16 24 8 10 7 8 6 2 0 1 4 3

21 21 22 20 18 23 18 24 16 25 15 14 17 26 27 8 8 10 11 4 3 0 1 2

22 22 21 23 24 20 19 25 28 16 17 15 18 27 28 28 10 8 30 5 11 3. 0 1

Рис. 2. Таблица значений функции д(т, п) (вверху) и /(т, п) (внизу)

т

Щт,п)

1

С(т,п)

Рис. 3. Множества д-значений в строке и в столбце

Теорема 1. Функция д(т,п) при фиксированном т арифметически периодична по п, начиная с некоторого Р:

Ут Эр, г д(т,п + г) = д(т,п) + г, п ^ р.

Доказательство приводится в следующем параграфе. Период г и предпериод р функции д(т, п) зависят от т, и их значения найдены (с использованием компьютерных расчетов) при т от 0 до 9 (табл. 2, слева).

Ввиду того что функции д(■, ■) и /(■, ■) взаимно обратны по второму аргументу при фиксированном первом, имеется соответствие между свойствами этих функций, что отражено ниже.

Теорема 2. Функция /(■, ■) обладает следующими свойствами (вытекающими из соответствующих свойств функции д(■, ■), указанных в первой колонке):

д(■, ■)

/ (■, ■)

д(т, п) = д(п, т) д(0, п) = п - 1 д(1, п) = п д(п, п) =0, п ^ 2 д(2п, 2п - 1) = 1,п > 2 д(2п, 2п + 1)=2,п > 2 д(т, п) ^ п - т, т ^ 1 д(т, п) ^ т - п, п ^ 1 д(т, п) < т + п

/(т, п) = к ^ / (0,п) = п +1, /(1, п) = п, /(п, 0) = п, п > 2 /(2п, 1) = 2п - 1, /(2п, 2) = 2п + 1, /(т, п) ^ т + п, т ^ 1 /(т, п) ^ т - п, т > п +1 /(т, п) > п - т

/ (к,п) = т; / (/(т,п),п) = т / (п +1,п) = 0 /(п, п) = 1

/(2п - 1,1) = 2п /(2п + 1, 2) = 2п

Теорема 3. Функция /(■, ■) арифметически периодична по второму аргументу при фиксированном первом:

Ут Эр, г /(т,п + г) = /(т,п)+ г, п ^ р.

Периоды функций /(■, ■) и д(■, ■) одинаковы.

0

п

0

4. Доказательства

Докажем свойства функции д(т, п).

(О1) является очевидным следствием (О2).

Доказательство (С2). Пусть /(т,п) = к. Докажем, что

д(т, к) = тех {д(т', к), д(т, к'), т' < т, к' < к}, т + к > 0. (3)

Поскольку д(т, к) = п означает, что в таблице значений функции /(т, п) в позиции (т, п) стоит число к, равенство (3) равносильно тому, что множество Я?(т,п) = {/(т,п') | 0 ^ п' < п} состоит из чисел двух категорий: Я?(т,п) = = К\ и Д2, Я1 = Я? (т,п) П {х I х < п}, Н.2 = Я? (т,п) \ К\, причем для любого х = /(т,п') € Я2 имеет место к € С?(т,п').

Действительно, при выполнении последнего условия для каждого п' < п либо /(т,п') = х € Й1 и п' = д(т,х), х < п, либо /(т,п') = х € Я2 и, так как к € С?(т,п'), то к = /(т',п') для некоторого т' < т, так что п' = д(т',к),

т' < т.

Но если х = /(т,п') € Я? (т,п) и х > п, то к € С?(т,п') в силу тех-свойства (1) функции /(т,п). □

(С3) д(т, п) = д(п, т) выполняется в силу симметрии относительно т и п в

(С2).

(С4) д(0,п) = п - 1, д(1,п) = п вытекает из следующих очевидных равенств /(0, п - 1) = п, /(1, п) = п.

(С5) д(п, п) = 0, п ^ 2 следует из того, что все Р-позиции (т, п) ладейной игры (С1), а именно в них д(т,п) = 0, суть: (0,1), (1,0) и (п,п), п ^ 2.

Доказательство (С6). Докажем, что д(к,к + 1) = + 2 ' при к ^ 3.

Обозначим Qk подтаблицу значений функции {д(т,п)}о^т^к,о^п^к. Используем индукцию по к. При к ^ 3 квадрат Qk, если к нечетно, содержит ровно одну 2 в каждой строке и в каждом столбце, если же к четно, то — ровно одну 1 в каждой строке и в каждом столбце (в силу предположения индукции).

Таким образом, если к четно, то 2 € Я(к,к +1) и С (к,к +1), но 0 и 1 € Я(к,к + + 1), поэтому д(к, к + 1) = 2; если же к нечетно, то 1 € Я(к, к + 1) и С (к, к + 1), но д(к, к) = 0, поэтому д(к, к + 1) = 1. □

Доказательство (С7). Докажем неравенство д(т,п) <т + п индукцией по т + п. При т + п = 0 имеем д(0, 0) = -1, при т + п = 1 имеем д(1, 0) = д(0, 1) = 0. В общем случае, при т + п> 0, согласно (С2), д(т,п) = тех Я(т,п) и С (т,п). Множества Я(т,п) и С(т,п) состоят из элементов д(т',п'), для которых т' + + п' < т + п, и поэтому по предположению индукции д(т',п') < т + п - 1. Следовательно,

тех Я(т, п) и С(т, п) ^ 1 + тах Я(т, п) и С(т, п) < 1 + (т + п - 1). □

Доказательство (С8). В силу симметричности д(т,п) = д(п,т) (С3) достаточно доказать, что д(т,п) ^ п - т при т ^ 1.

Используем индукцию по т. При т = 1 неравенство очевидно.

Пусть т > 1. По предположению индукции все числа из С(т, п) строго больше п - т. Остается показать, что множество Я(т, п) содержит все числа от 0 до п - т - 1. Это утверждение доказывается индукцией по п ^ т при фиксированном т. При п ^ т это очевидно. Предполагая, что Я(т,п - 1) Э \0,п - т - 2] и учитывая, что тт С(т,п - 1) > п - т - 1, немедленно заключаем, что либо д(т,п - 1) = п - т - 1, либо п - т - 1 уже содержится в Я(т,п - 1). Таким образом, Я(т,п) Э \0,п - т - 1], что завершает индуктивный переход и все доказательство. □

Доказательство теоремы 1. Используем индукцию по т. Положим Н(т,п) = д(т,п) - п. Согласно свойствам (С7) и (С8), -т ^ Н(т,п) < т, так что при фиксированном т последовательность {Н(т,п)}п ограничена. Заметим, что арифметическая периодичность функции д по 2-му аргументу равносильна периодичности функции Н по тому же аргументу, начиная с некоторого предпе-

риода р: Н(т, п+г) = Н(т, п), п ^ р. Период и предпериод зависят от т: г = г(т), р = р ( т ) .

Пусть Т — общее кратное чисел {г(т') | т' < т} такое, что Т ^ 2т, и пусть Р := тах{р(т') | т' < т}. При к ^ Р отрезки последовательности {Н(т,п)}пе[к к+Т_ 1] суть элементы конечного множества \-т,т - 1]Т, поэтому они должны повторяться. Пусть, скажем, для некоторых т ^ Т (т кратно Т) и к ^ Р имеет место равенство

Н(т, п + т) = Н(т, п), п € \к,к + Т).

Тогда и

д(т, п + т) = д(т, п) + т, п € \к,к + Т). (4)

Покажем, что равенство (4) останется верным при всех п ^ к. Предположим противное, а именно, что найдется наименьшее по ^ к + Т такое, что д(т,по + + т) = д(т, по) + т.

Заметим, что С(т,по + т) = С(т,по)+ т по предположению индукции, так как т является арифметическим периодом для всех строк с номерами, меньшими, чем т. В соответствии с выбором Т ^ 2т имеем

Я(т, по + т) Э \0, по - т + т) Э \0, по - Т + т + т) Э \0, к + т + т).

Поэтому для любого х < д(т, по) + т имеем: если х < к + т + т, то х € Я(т, по + т) , а если х ^ к + т + т, то к + т ^ х - т < д(т, по); следовательно, х - т содержится в С(т,по) или в {д(т,п') | к ^ п' < по} (поскольку при п' < к д(т,п') < к + т). Но тогда х содержится в С(т,по + т) или в {д(т,п' + т) | к ^ п' < по}, так что в любом случае х € Я(т,по + т) и С(т,по + т). Отсюда вытекает, что

д(т, по + т) = тех Я(т, по + т) и С(т, по + т) ^ д(т, по) + т.

Для доказательства равенства остается показать, что хо := д(т, по) + т не содержится в Я(т,по + т). Но в противном случае хо € {д(т,п' + т) | к ^ п' < по}, поскольку, если бы было хо = д(т, п) для некоторого п < к+т, то хо < т+п < т+ + к + т и тогда д(т, по) < т + к, но д(т, по) ^ по - т ^ к + Т - т ^ т + к при Т > 2т.

Отсюда заключаем, что хо - т € {д(т,п') | к ^ п' < по} С Я(т,по), но хо -

- т = д(т, по) не может содержаться в Я(т, по). □

Доказательство теоремы 2. Осуществляется прямой проверкой. Например, докажем предпоследнее, /(т, п) ^ т - п, т > п +1.

В силу того что /(т,п) = к ^^ д(т,к) = п, из неравенства (С8Ь): п ^ т -

- к, к ^ 1 следует к ^ т - п, т. е. /(т,п) ^ т - п, если /(т,п) =0, но /(т,п) = = 0 только при т = п + 1. Таким образом, достаточным условием выполнения неравенства является т > п + 1 . □

Доказательство теоремы 3. Имеем

/(т,п + г) = к + г ^^ д(т,к + г) = п + г.

Так как второе равенство верно, начиная с к = ро, то /(т,п + г) = к + г при п > тах д(т, ]). □

3<Ро

Литература

[1] Conway J.H. On Numbers and Games. 2nd ed. Natick, MA: A.K. Peters, 2001.

[2] Berlekamp E.R., Conway J.H., Guy R.K. Winning Ways for Your Mathematical Plays. 2nd ed. Wellesley, MA: A.K.Peters, 2001-2004. V. I-IV.

[3] Sprague R. P. Über mathematische Kampfspiele // Tohoku Mathematical Journal, 1936. V. 41. P. 438-444.

[4] Grundy P.M. Mathematics and Games // Eureka. 1939. V. 2. P. 6-8.

[5] Rice T.A. Greedy quasigroups and combinatorial games // Thesis. Iowa State University, 2004. Ames, IA.

Поступила в редакцию 12/1/7/2012; в окончательном варианте — 12/777/2012.

"DIGITAL DELETION" GAME AND RELATED ROOK

GAME MISERE

© 2012 I.S. Frolov2

In this paper we investigate some properties including ultimate arithmetical periodicity of the function generated with the game "Digital deletion", and also the inverse function which is the Sprague-Grundy function for the misere form of rook game.

Key words: "Digital deletion" game, combinatorial games, Sprague-Grundy function, arithmetical periodicity.

Paper received 12/Ш/2012. Paper accepted 12/Ш/2012.

2Frolov Ilya Sergeyevich (xitySyandex.ru), the Dept. of Algebra and Geometry, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.