Иерархические кусочно-линейные модели наблюдений многомерных объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

11. Семенкина, М. Е. О модификации оператора равномерного скрещивания в генетическом алгоритме / М. Е. Семенкина // тез. докл. VI Всерос. конф. мол. ученых по мат. моделированию и информ. технологиям (с участием иностранных ученых). Кемерово : ИВТ СО РАН, 2005. С. 49.

12. Семенкина, М. Е. О применении эволюционных алгоритмов при автоматизации проектирования интеллектуальных информационных технологий / М. Е. Семенкина // тез. докл. VII Всерос. конф. мол. ученых по мат. моделированию и информ. технологиям (с участием иностранных ученых). Красноярск : ИВМ СО РАН, 2006. С. 67.

13. Семенкина, М. Е. О повышении эффективности применения эволюционных алгоритмов в математичес-

ком моделировании / М. Е. Семенкина // Решетневские чтения - материалы X Междунар. науч. конф. ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2006. С. 264-265.

14. Семенкина, М. Е. О применении генетического алгоритма с модифицированным оператором равномерной рекомбинации при автоматизированном формировании интеллектуальных информационных технологий / М. Е. Семенкина // Молодежь и современные информационные технологии : сб. тр. V Всерос. научно-практической конф. студентов, аспирантов и мол. ученых. Томск : ТПУ, 2007. С. 125-126.

E. S. Semenkin, M. E. Semenkina

APPLICATION OF GENETIC ALGORITHM WITH MODIFIED UNIFORM RECOMBINATION OPERATOR FOR AUTOMATED IMPLEMENTATION OF INTELLIGENT INFORMATION TECHNOLOGIES

Genetic algorithm with modified operator of generalized uniform recombination is implemented and investigated. Algorithm with optimally tuned parameters is applied to automated design of mathematical models with intelligent information technologies (symbolic regression, artificial neural networks, and fuzzy logic systems).

ХЦК 519.2

Н. В. Иванов, В. Ф. Слюсарчук

ИЕРАРХИЧЕСКИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ НАБЛЮДЕНИЙ МНОГОМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ

Рассмотрено решение задачи моделирования многомерных объектов по наблюдаемым изменениям их свойств, то есть по упорядоченным последовательностям наблюдаемых данных. В качестве решения в работе предложены иерархические кусочно-линейные модели. Предложенные модели являются эффективным расширением класса кусочно-линейных моделей таких объектов, для которых иерархия является адекватным представлением их структуры или первым приближением к более сложной сетевой модели их структуры.

Положим, что моделируемый объект представлен в наблюдаемых данных, которые являются многомерным временным рядом вида

X = {х (?! { { (>2х (1,х (П)}, (1)

х ) = (х1 )’...’ х] )’...’ хт (г)} , (2)

при этом

I, = 10 + То,, (3)

1 <, < п , , е N , п е N , (4)

1 < ]' < п , ]' е N , т е N, (5)

где N - множество натуральных чисел, Т0 - интервал времени между последовательными наблюдениями объекта, т - мерный вектор состояния наблюдаемого объекта в момент времени I, X - упорядоченное множество состояний объекта в интервале наблюдения [г; tn].

Будем считать, что ряд является эквидистантной и однотемповой последовательностью, т. е. отражает резуль-

таты измерения (наблюдения) свойств объекта через равные промежутки времени, которые совпадают для всех наблюдаемых свойств.

Цля определенности будем полагать, что цель моделирования наблюдаемого объекта заключается в прогнозировании будущих состояний вида

X(р) = {х (7+1)...;х (д),...,Х (п+1 )}, (6)

при этом

^ = (о + Тод, (7)

п < д < п +1, q е N , I е N . (8)

Используя только наблюдаемые данные, поставлен-

ную задачу можно решить, аппроксимируя связь между искомым и предыдущими состояниями объекта. Такой подход давно известен [1] и широко применяется:

хОп+1) = Р(х(п—т ), х(п-т2 ),. ., х(п-ту )) . (9)

ЗЗ

В работах [2; 3; 4] как эффективное средство аппроксимации зависимостей типа (9) предложены кусочно-линейные модели, в источнике [2] - метод «фиксированных элементов разбиений» (ФИЭР) для их синтеза.

Модели, полученные по методу ФИЭР, характерны тем, что области действия частных моделей фиксированы в отличие от например метода ближайших соседей, в котором область действия определена окрестностью точки в гиперпространстве, для которой вычисляется значение модели.

Таким образом, в результате метода ФИЭР все множество элементов пространства разбито на k непересе-кающихся подмножеств (областей) [Ор..., О} с помощью набора некоторых параметрических многомерных характеристических функций (гиперповерхностей) [2] (ф(Х;Р1), ., ф(Х;РА)}. Обычно к<<п.

Во всех областях определены частные линейные модели прогноза [2] {^(Х;а1), ., ^Х^)}. Тогда прогноз по кусочно-линейной модели (КЛМ) имеет вид

X] (,+1 ) = о(X(Р) (я)) =

= %ф(Х(Р)(/„);в)X(Р) (я);а) , (10)

У = 1

при этом

X(р) (я ) =

= {х (п ) х (^-1 )>...> х (-Р+1 ) , (11)

я(X(Р) (я);а) =

Р-1 т

= ZЁаv,,p+]х] (С, )+ аv,0 , (12)

,=0 ]=1

ф( Х( Р) (к); Pv)=

1, есл0 Х(р) (Гп) е Ov; (13)

0, есл0 X(р) (/п) й О^,

к

И Ov = Ях, <°П Од =0 при ^ д , V = й . (14)

v=1

Цля объектов, определенных в работах [5; 6], изменения в состояниях (динамики состояний) происходят на различных временных интервалах с различной амплитудой. Эти изменения структурируются по масштабным уровням. Очевидно, что на длительных интервалах времени происходят значительные изменения состояний, тенденции которых не заметны на коротких интервалах. Вместе с тем, изменение состояний наблюдаются и на коротких интервалах, однако они менее значительны по амплитуде, но от этого не менее значимы при определении целевых состояний и должны учитываться в моделях. Таким образом, при синтезе моделей типа (9) требуется, чтобы они охватывали динамики всех или большинства временных масштабов.

Очевидно, что линейная модель (12) не может одновременно отражать как долговременные масштабные изменения, так и менее значительные, кратковременные изменения. Поэтому предлагается вместо одной модели (12) использовать композицию моделей, которые будут различаться размерностью:

х (К+1 ) = о (1)( X(Р-) (я))

®о X(Р2) (я))®... ®

®о°\х<Р) (я))®...

...®о(0)(Х(Ре) (я)) ,

(15)

где

X<Р) (и) = {х(я Xх (/„-1),..., х (р+^} . (16)

Поскольку величина (2) для всех г совпадает, то величину р. будем назвать размерностью у ой модели.

Предполагается, что модели с большей размерностью охватывают долговременные динамики, но отражают их обобщенно, грубо. Это связано с ограниченным качеством аппроксимации модели, что характерно для рассматриваемого случая многомерных наблюдаемых рядов. Модели с меньшей размерностью будут более точными, но в рамках кратковременных динамик, поэтому

Р1 > Р2 >... > Р, >... > Ре . (17)

В общем виде размерность модели и объем выборки наблюдаемых данных, которые необходимо аппроксимировать этой моделью, связаны друг с другом. Известны два крайних случая, в одном из которых размерность модели слишком мала, чтобы качественно аппроксимировать сложные зависимости (мы имеем так называемую «недообученную модель»). Второй крайний случай -«переобученная модель», которая точно воспроизводит наблюдаемые данные, но, как следствие, обладает плохой способностью к обобщению и прогнозу.

Цля того чтобы избежать крайних случаев, зафиксировав размерности моделей в композиции (15), необходимо изменять размеры выборок, которые будут аппроксимировать элементы композиции (15) согласованно с их размерностями {р.}.

Поэтому модели с большей размерностью строятся на больших областях, в отличие моделей с меньшей размерностью. При уменьшении р. должна сужаться область действия модели. В этом случае действительно модели с большим р. являются более общими, чем модели с меньшей размерностью, которые более точно воспроизводят кратковременные динамики, но в более ограниченной области. Таким образом, области действия моделей образуют иерархию (рис. 1).

Прогноз по иерархической кусочно-линейной модели (ИКЛМ) вычисляется как композиция вида

Х* ( +1) =

к

=%[ га х <й) (и)) §А ^Р1) ('-))]®

®Е [] (-~(Р,) (п ))) | [73,2 (-~<Р!) (п )) ),2 (Р2) (п ))]Ф ... ®

®п

I =1

%[](■?»’((.))] |[))8;Л-~(Р-,('-)>] *:,(< р,('- ))=

п 1 т р

= X %1_а.3',1,(т+е) ■ хе (п- )^

где

(18)

(19)

+ а

] ,1,0

1ь(х (й) (t ))=

[1X(Pi) (t)є OVJ; [0Х(Pi) (t)е Ov_t ,

при условиях

kj i

U O\i = Pi, Oj^ O^i = 0 при v ф м ,

V=1

(p) (tn )=

= {X (tn { x (tn-1 ), ■■■> x (tn-Pl +0} ,

(20)

(21)

(22)

где h - общее количество областей во всех пространствах, выражение (20) - индикаторная функция принадлежности точки n ой области в /-ом пространстве, выражение (19) - модель прогноза, определенная в n ой области в /-ом пространстве.

Прогнозы, полученные по иерархическим кусочнолинейным моделям, приведены на рис. 2, 3. В этих примерах наблюдаемым многомерным объектом является международный валютный рынок Forex в среде Интернет. Прогнозы построены для котировки EURUSD, временной интервал между отсчетами равен одному часу (обозначим - H1). Иерархические кусочно-линейные модели, по которым выполнен прогноз, построен на ос-

Рис. 1

Наблюдаемый ряд, котировка ЕШШЗВ, временной интервал между соседними отсчетами равен одному часу

^___ Прогнозный ряд, горизонт прогноза 60 значений, временной интервал

между соседними отсчетами равен одному часу

Рис. 2

нове наблюдений котировок (свойств объекта) EURUSD (H1), GBPUSD (H1) и JPYUSD (H1) длинной порядка 5000 значений.

Приведенные результаты прогнозирования целевого свойства наблюдаемого реального многомерного объекта, подтверждают эффективность и прагматическую ценность предложенных иерархических кусочно-линейных моделей.

Библиографический список

1. Yule, G. U. On a method of investigating periodicities in disturbed series, with special reference to Wolfer’s sunspot numbers / G. U. Yule // Phil. Trans. R. Soc. London, 1927. V. 226. P. 267-298.

2. Котюков, В. И. Многофакторные кусочно-линейные модели / В. И. Котюков. М. : Финансы и статистика, 1984. 216 с.

3. Безручко, Б. П. Математическое моделирование и хаотические временные ряды / Б. П. Безручко, Д. А. Смирнов. Саратов : ГосУНЦ «Колледж», 2005. 320 с.

4. Малинецкий, Г. Г. Современные проблемы нелинейной динамики / Г. Г. Малинецкий, А. Б. Потапов. М. : Эдиториал УРСС, 2000. 336 с.

5. Слюсарчук, В. Ф. Масштабные иерархии в задачах наблюдений интерпретации состояния геофизических сред и сложных объектов / В. Ф. Слюсарчук // Сб. науч. тр. НПО «Сибцветметавтоматика» НИИ «Геоцветмет». М., 1991. С. 21-29.

6. Павлов, С. В. Иерархическое прогнозирование наблюдаемых свойств сложных неравновесных объектов и систем / С. В. Павлов, В. Ф. Слюсарчук // Моделирование неравновесных систем : материалы IX Всеросс. семинара, 13-15 октября 2006 г. Красноярск : ИВМ СО РАН, 2006. С. 133-134.

х

1,355

1,3525

1,35

1,3475

1,345 ^

1,3425

1,34

1,3375

1,335

1,3325

І

fj

«

lA/V JT'

v\] V V Щ

U

fi V

150

175 200 225 250 275 300 325 350 375 400

Наблюдаемый ряд, котировка ЕІЖиЖ, временной интервал между соседними отсчетами равен одному часу

Прогнозный ряд, горизонт прогноза 139 значений, временной интервал между соседними отсчетами равен одному часу

Рис. 3

N. У. Ivanov, У. F. Slusarchuk

HIERARCHICAL LINEAR-PIECE MODELS OF MULTIDIMENSIONAL OBJECTS OBSERVATIONS

It is covered a decision of multidimensional objects modeling on the basis of objects properties changes observations problem. Hierarchical linear-piece models are decision of problem. These models are effective widening of linear-piece models class for objects, which hierarchical structure accord with these objects structure, or hierarchical structure is first step to more complicated network model of these objects structure.