CC BY
19
-------------------□ □----------------------
Формулюється завдання побудови комплексних розкладів, обґрунтовується опти-мізаційна модель завдання побудови комплексних розкладів як модель дворівневого програмування, формулюються передумови формування методу побудови комплексних розкладів на основі апарату безкоаліційних і ієрархічних ігор
Ключові слова: комплексні розклади, ієрар -хічні, безкоаліційні ігри
□------------------------------------□
Формулируется задача построения комплексных расписаний, обосновывается оптимизационная модель задачи построения комплексных расписаний как модель двухуровневого программирования, формулируются предпосылки формирования метода построения комплексных расписаний на основе аппарата бескоалиционных и иерархических игр
Ключевые слова: комплексные расписания, иерархические, бескоалиционные игры
□------------------------------------□
Formulated the problem of constructing complex schedules, optimization model is represented as a model of bilevel programming, formation method for constructing complex schedules the apparatus of noncooperative and hierarchical games
Key words: complex schedules, hierarchical, noncooperative games -------------------□ □----------------------
УДК 004:519.854
ИЕРАРХИЧЕСКАЯ ТЕОРЕТИКО-ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ СОСТАВЛЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ РАСПИСАНИЙ В МНОГОСТАДИЙНОЙ СИСТЕМЕ
К.В. Кротов
Кандидат технических наук, доцент* Контактный тел.: (0692)44-24-83, 068-483-58-76 Е-mail: krotov_kv@mail.ru
Н.Ю. Фещун*
*Кафедра информационных систем Севастопольский национальный технический
университет
Контактный тел.: (0692) 71-63-550, 095-309-51-71 Е-mail: nikitaf74@gmail.com
Введение
Современное состояние методов дискретной оптимизации и, в частности, методов теории расписаний для многостадийных систем с одинаковым порядком обработки предполагает формирование последовательностей требований для соответствующего заданного их (требований) множества. Этой проблематике посвящено достаточно большое количество работ [14]. Однако если обработка всех требований заданного множества не может быть реализована в течение установленного интервала времени, постановка задачи теории расписаний может быть расширена. Данную постановку рассмотрим с точки зрения задачи производственного планирования. Исходными данными при планировании являются: производственная программа Р, предполагающая задание множества N обрабатываемых требований; длительности интервалов функционирования оборудования многостадийной системы, обрабатывающего поступающие требования (для задачи производственного планирования длительности этих интервалов соответствуют длительности смены работы оборудования ^м); длительности обработки ьх требований множества N на соответствующих 1-х приборах, обозначенные ^;.
Таким образом, длительность обработки требований множества N ограничена интервалами ^м, выпол-
нение операций с необработанными в течение некоторого интервала ^см требованиями переносится на один из следующих интервалов ^+ьсм (смен, где Ь=1,2,...^, S
— число смен, в течение которых должна быть реализована производственная программа). Тогда задача производственного планирования состоит в формировании сменно-суточных заданий - множеств N82 обрабатываемых требований в многостадийной системе в течение заданных интервалов времени обработки ^м, и в формировании для этих сменно-суточных заданий соответствующих расписаний обработки.
Анализ публикаций
В настоящее время большое количество работ посвящено решению задач дискретной оптимизации и, в частности, построению расписаний в многостадийных системах [1-4]. В тоже время значительное число работ посвящено построению моделей многоуровневого (двухуровневого программирования) [5-7]. К решаемым в рамках рассматриваемого подхода задачам относятся задачи размещения предприятий, задачи выбора наиболее эффективного перечня выпускаемых предприятиями изделий, задачи планирования использования ресурсов и т.д. Решение задач построения эффективных заданий по обработке требований
3
заданного множества (производственной программы) и формирования соответствующих этим заданиям эффективных расписаний в современных публикациях не рассматривается, хотя такие задачи и являются актуальными.
Цель и постановка задач
Цель выполняемой работы по формированию оптимизационной модели построения комплексных расписаний (к-расписаний) состоит в повышении эффективности функционирования систем оперативного планирования обработки требований в многостадийных системах. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи: формулируется задача построения комплексных расписаний как задача двухуровневого дискретного программирования (задача теории иерархических игр) предусматривающая определение эффективных по составу заданий (множеств требований, обрабатываемых в течение заданных ограниченных временных интервалов) и формирование соответствующих этим множествам (заданиям) расписаний, обосновывается оптимизационная модель задачи построения комплексных расписаний как модель иерархической игры, формулируется подход к построению метода формирования комплексных расписаний, предполагающего использование аппарата теории бескоалиционных и иерархических игр, и предусматривающего определение равновесий между игроками (заданиями) в бескоалиционной игре, заданиями и расписаниями в иерархической игре.
Основное содержание работы
В соответствии с работами по теории составления расписаний, расписание обработки требований п должно быть представлено в виде совокупности последовательностей п1 запуска требований на обработку на каждом из приборов. Таким образом, расписание п имеет вид: п={п1,п2,...,пт,}, где т - число (количество) приборов в системе. В том случае, если длительности реализации расписаний п ограничены интервалами ^м, обработка множества N (требований производственной программы) предполагает формирование 8 сменно-суточных заданий - множеств требований №82, тогда должно быть сформировано 8 расписаний п обработки требований (расписание соответствующее (8-му сменно-суточному заданию) обозначается как пя).
Так как длительности обработки ьх требований на 1-ых приборах в многостадийной системе различны, то состав множеств N^(8 = 1,8) определяет эффективность расписаний пя, ограниченных интервалами ^м, и, как следствие, эффективность реализации всей производственной программы Р. Задача производственного планирования предполагает формирование эффективных сменно-суточных заданий (множеств требований) и формирование соответствующих эффективных расписаний пя*. Формулируемую задачу определения множеств №*ж и формирования распи-
и 8* и
саний п8 назовем задачей построения комплексных расписаний (к-расписаний).
Процесс поиска эффективного комплексного решения (множеств №*32 и расписаний пя*) имеет иерархический характер, т. е. изменение состава №*32 (верхний уровень) вызывает изменения расписания п8 и соответствующего ему критерия ^пя) (нижний уровень). В то же время степень эффективности решения п8 на нижнем уровне планирования определяет степень эффективности выбора решений (множества) №82. В рассмотренной постановке задача построения комплексных расписаний может быть интерпретирована как задача многоуровневого (в частности, двухуровневого) программирования или как задача теории иерархических игр (игр Штакельберга). В обобщенной постановке задача двухуровневого программирования (иерархических игр) может быть формализована следующим образом [5]:
1) решения и критерии на верхнем уровне:
F(x,y*) ^ тт, х е X,
(1)
где X - множество решений на верхнем уровне, у* - эффективное решение, формируемое на нижнем уровне;
2) ограничения на верхнем уровне:
g(x) < а;
3) решения и критерии на нижнем уровне:
^х,у) ^ тт,у е^ (2)
где Y - множество решений на верхнем уровне;
4) ограничения на нижнем уровне:
q(y) < ь,
где а,Ь - некоторые константы.
Таким образом, значение критерия на нижнем уровне является зависящим как от решения х, получаемого с верхнего уровня, так и непосредственно от решения на нижнем уровне у. Значение критерия на верхнем уровне является зависящим от решения х и определяется эффективным решением у* с нижнего уровня. При интерпретации (1) и (2) как оптимизационной модели иерархической игры, предполагается заданным порядок ходов: первый ход выполняет игрок верхнего уровня, передает решение на нижний; вторым шагом определяется (в соответствии с решением х) эффективное значение у* на нижнем уровне. Модель (1), (2) может быть модифицирована следующим образом [6]:
1) верхний уровень:
F(y*) ^ тт,х еХ g(x) < а;
2) нижний уровень: ^х,у) ^ тт,у е Y
q(y) < ь.
(3)
(4)
В модели (3), (4) критерий верхнего уровня F непосредственно от решения х не зависит. Примем модель (3), (4) в качестве основы для построения оптимиза-
ционной иерархической теоретико-игровой модели составления комплексных расписаний. В рассмотрение введем обозначения: ^',^ начало и окончание обработки ьго требования на 1-м приборе, ^ - длительность обработки ьго требования на 1-м приборе. Альтернативой формируемым в ходе построения расписания п последовательностям п1 является вводимая в рассмотрение матрица (Р'у) - матрица порядка обработки требований в последовательности п1; элемент Р'у данной матрицы равен 1 в том случае если ье требование занимает в последовательности п1 ]-ю позицию (в противном случае 0). Для построения расписаний, порядок обработки требований в последовательностях которых определяется видом матрицы (Р\|), в рассмотрение вводится вспомогательная матрица 0:01у) - матрица моментов времени начала обработки .^ых требований в ьх позициях последовательности п1 (т.е. момента начала обработки ]-го требования в том случае, если это требование в последовательности п1 занимает ью позицию). Для первого прибора в многостадийной системе элементы матрицы (:01п) определяются следующим образом:
<1=°; =£Р^, при і * і
=i
(5)
где п8 - количество требований в формируемом задании (множестве) №82.
Для 1-го прибора (1^1) элементы вспомогательной матрицы О:01^) определяются следующим образом:
а) элементы первой строки:
<;=ІХ‘ (;+1;-1) при j=щ
i=l
б) элементы i-й строки (i^1):
(6)
1) при ^ ^ i-е требование ожидает освобожде-
ния 1-го прибора, время ожидания ьм требованием 1-го прибора определяется выражениями:
ns
А!=х [рк-р:-1 («г+о];
j=1
2) общее суммарное время ожидания требованиями 1-го прибора для обработки:
Д'=Х X [pm1-рГ(«Г+«і-1)];
=1 j=1
3) общее суммарное время ожидания требованиями освобождения приборов в многостадийной системе:
m ns ns
=х х х [р;«;.1-р;«і-1)]
(10)
1=2 i=1 j=1
По аналогии с критерием (10) вид целевой функции, определяющей время простоя приборов в многостадийной системе, используемой при построении эффективных расписаний, определен в соответствии со следующими рассуждениями:
1) при ^ ^ 1-й прибор ожидает готовности для
обработки на нем ьго требования, тогда суммарное время простоя 1-го прибора в ожидании готовности ьх требований:
ns ns
д'=Х X [рК- рЖ,+«!)];
=2 j=1
2) суммарное время простоя приборов с многостадийной системе, связанного с ожиданием готовности требований для обработки:
t»1 = maxP-1 -(tj-1 +1>-‘);£(^, +t)■ Р‘Л. (7)
[ r=1 r=1
В соответствии с введенными обозначениями с использованием выражений (5)-(7) время начала обработки i-го требования на 1-м приборе определено следующим образом:
t?1=!Ж
j=i
«і=хр.;к+«і)
j=i
=хх х [р;«1,-р-,; («;і-,+«і)].
(11)
1=2 i=2 j=1
(8)
Соответственно, время окончания обработки ьго требования на 1-м приборе определяется выражением вида:
(9)
Для оценки эффективности формируемого для требований множества (задания) №32 расписания в рассмотрение введены альтернативные критерии: 1) суммарное время ожидания требованиями освобождения необходимых для их обслуживания приборов;
2) суммарное время простоя приборов в ожидании готовности требований для их обработки.
Для критерия первого типа логика рассуждений по формированию его вида следующая:
Критерии вида (10), (11) являются однозначно определяющими эффективность формируемых расписаний и могут быть использованы при решении задачи оптимизации на нижнем уровне планирования. Наряду с определением вида критериев для решения оптимизационной задачи также должны быть определены ограничения на выбор соответствующих решений. Формирование решения на нижнем уровне управления (планирования) для соответствующего множества требований N82 осуществляется в соответствии со следующими ограничениями: тах{^} < (где ^
- время окончания обслуживания последнего требования ^ в соответствующей последовательности). Таким образом ^ = тах^}, где i еп1 тогда ограничение на включение требования задания (множества) N82 в последовательности п1 (1 = 1,т) имеет вид:
тахтах{^} < tсм ,
где i еNS2,i еп1,i = 1,п8,1 = 1,т, либо в принятых обозначениях:
Д
n
n
Д
of
1ах {¿Р;(4‘+ *! )|
+ ^)|^tcм , где i = 1,п„1 = 1,т (12)
В случае, если ограничение (12) не выполняется (для уже сформированного расписания), то последнее, добавленное в последовательности п1 требование удаляется из последовательностей и в них может быть добавлено другое требование, для которого ограничение (12) будет выполнено. Таким образом, формирование расписания на нижнем уровне планирования выполняется в соответствии с критерием (11), соответствующим условию минимизации простоев оборудования при обработке требований задания (множества) Ns2, при учете ограничений (12). Естественно, что формирование нового состава задания (множества) N82 при выполнении ограничений (12) приводит к изменению значения критерия (11). Управление составом заданий реализуется на верхнем уровне планирования. В качестве критерия на верхнем уровне планирования принята общая эффективность использования оборудования многостадийной системы при реализации задания №82 (где 8 = 1,8 - индекс задания). Общая эффективность работы оборудования при обработке требований задания №82 определяется: 1) простоями оборудования многостадийной конвейерной системы на начальной стадии ее работы, связанными с «заполнением» конвейера обрабатываемыми требованиями; 2) простоями оборудования в ожидании готовности требований (в процессе работы многостадийной системы); 3) простоями оборудования многостадийной системы на заключительной стадии обработки требований задания №82, связанными с «опустошением» конвейера. Данный способ определения вида критерия обусловлен особенностями реализации метода построения заданий и соответствующих им расписаний, связанными с анализом градиентов целевых функций на нижнем и верхнем уровнях планирования и рассмотрением тех решений, которые обеспечивают отрицательный левый дискретный градиент целевых функций. ___
В случае если в последовательностях п1(1 = 1,т) эффективного расписания п*, соответствующего некоторому заданию (множеству требований) №82, размещено п8 требований, тогда при выполнении ограничения (12) количество неиспользованного времени работы некоторого 1-го прибора может быть определено выражением вида:
(13)
где ^ - требование, являющееся последним в последовательности п1. Альтернативой (13) является выражение вида:
- тах
>1
, где i = 1,п8
(14)
Тогда суммарное время простоя приборов многостадийной системы, связанное с «опустошением» конвейера может быть представлено в следующем виде:
либо в преобразованной форме:
т*см -£
^П^Р;1 1Г*^1 + *1 1
Г -11п3 J
Если придерживаться логики формирования выражения (14), то выражение (15) примет вид:
.-I
ах 1р[ Л=1
, где i = 1,п8
(16)
По аналогии с (14) и (16) может быть определен интервал времени ожидания 1-м прибором ожидания начала обработки первого требования в последовательности п1 (время простоя 1-го прибора в ожидании начала обработки (естественно при 1>2)). Данное время простоя 1-го прибора будет определено следующим ■>1+01 V1 г>1+
образом: ^Р;1^:‘’/1 либо ^Р^“1, где ц — идентификатор ]=1 1 1 ]=1 , требования, первого в последовательности п1. Оценка
времени простоя 1-го прибора в ожидании начала обработки на нем требований последовательности п1
может быть определена следующим образом: ^ Р^1,
]=1
тогда общее время простоя приборов многостадийной системы при «начальном заполнении» конвейера обрабатываемыми требованиями определено выражением
т П
вида: .
1=2 j=1
В случае если простои приборов многостадийной системы в ожидании готовности к обработке требований задания Nss2 определяются выражением вида (11), то критерий, определяющий эффективность использования оборудования при реализации обработки требований задания (множества) №82, примет следующий вид:
IЛ
>1
1=2 ^1
mt„,
-I ¿рХ+г, ]
(17)
Обобщающие выражения (11) и (17) определяют критерии оптимизации состава одного множества требований (заданий) №82 (на верхнем и нижнем уровне иерархической игры). Так как при распределении множества требований производственной программы N по заданиям должны быть определены множества №82 (8 = 1,8 ), где 8 - число формируемых на основе производственной программы заданий), то при принятых обозначениях для матриц (:01у) и (Р^) должен быть выполнен переход к соответствующим обозначениям этих матриц в виде (:01у)8, (Р\|)8 где 8 - индекс соответствующего задания №82. С учетом этого критерии будут модифицированы следующим образом:
1) критерий верхнего уровня планирования:
£ КГ В ]'+1 £ [КГ Ю-КГ (К-Г+Ч-)
И 1=2 н [ ' '•
м.-££ К,! ([«::, ]'+)]-(ОД
+
+
+
+
2) критерий нижнего уровня планирования:
¿х(ктк]'-кго1,]'-4 (19)
1=2 j=1 ' '
Ограничения для нижнего уровня планирования:
тахтах|хр;(^‘ + ^)|^tсм , где 1 = 1,^,1 = 1,т . (20)
В соответствии с сформированными критериями вида (18), (19) метод построения комплексных расписаний предполагает выполнение (реализацию) действий, связанных:
1) на нижнем уровне - с построением расписаний для 8 сформированных заданий (заданий №82) таким образом, чтобы минимизировать время простоя оборудования в многостадийной системе при обработке требований;
2) на верхнем уровне - с формированием заданий таким образом, чтобы было реализовано максимальное использование временного ресурса оборудования многостадийной системы, т.е. минимизирован общий его простой.
Определение критериев в виде (18), (19) позволяет рассматривать задачу составления комплексных расписаний как задачу теории бескоалиционных игр, где
каждый игрок формирует задание №82, руководствуясь «своим» критерием вида (18). В этом случае формирование эффективных заданий каждым из игроков позволяет достичь ситуации равновесия в бескоалиционной игре. Рассмотрение решений задач формирования заданий (множеств) №82 как действий игроков в бескоалиционной игре позволяет (при выполнении условия равновесия по Нэшу) максимальный выигрыш каждого игрока и, как следствие, максимальный балансовый выигрыш всех игроков. Тогда изменение состава одного (либо нескольких) заданий №82 приводит к нарушению ситуации равновесия с эффективными значениями критериев на верхнем уровне (следствия: увеличение простоев оборудования, снижение эффективности его использования, не выполнение условий ограничений (20) и, как результат, увеличение числа элементов в множестве необработанных требований).
Таким образом, решение задачи составления комплексных расписаний обеспечивается определением ситуаций равновесия двух видов:
1) равновесия по Штакельбергу при идентификации локальных значений критерия оптимальности (18) для текущего состава требований в каждом из заданий;
2) равновесия по Нэшу при идентификации глобальных значений критерия (18) для определения эффективных решений на верхнем уровне планирования (эффективных составов заданий №82).
Литература
1. Танаев В.С. Теория расписаний. Многостадийные системы./ В.С.Танаев, Ю.Н.Сотсков, В.А.Струсевич. - М.: Наука, 1989. - 328
с.
2. Сигал И.Х. Введение в прикладное дискретное программирование: модели и вычислительные алгоритмы./ И.Х.Сигал, А.П.И-
ванова - М.: Физматлит, 2003.- 240 с.
3. Ковалев М.М. Дискретная оптимизация. Целочисленное программирование/ М.М.Ковалев. - М.: Из-во «Едиториал УРСС»,
2003.- 192 с.
4. Ковалев М.М. Матроиды в дискретной оптимизации/ М.М.Ковалев. - М.: Из-во «Едиториал УРСС», 2003.- 224 с.
5. Петросян Л.А. Теория игр./ Л.А.Петросян, Н.А.Зенкевич, Е.А.Семина. - М.: Изд-во «Высшая школа», 1999. - 300с.
6. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. / Ю.Б.Гермейер. - М.: Наука, 1976. - 327 с.
7. Береснев В.Л.Эффективный алгоритм для задачи размещения производства с вполне уравновешенной матрицей./ В.Л.Берес-
нев// Дискретный анализ и исследование операций, 1998, серия 1, том 5, №1. - с. 20-31.
3
