CC BY
69
УДК 62-83:621.313. 3.07
Е.В. Александров, канд. техн. наук, (4872) 41-31-16, aleksandrov-e@yandex.ru (Россия, Тула, КБП)
ИДЕНТИФИКАЦИЯ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ И КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЯ РОТОРА АСИНХРОННОГО ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ
Предлагаются алгоритмы одновременной идентификации частоты вращения и компонент потокосцепления ротора асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором по измерениям тока и напряжения его статорных обмоток. Рассмотрены вопросы реализации цифровых микропроцессорных алгоритмов идентификации в дискретном времени. Синтез цифровых идентификаторов и регуляторов проводится на основе разностных моделей процессов, отражающих циклический характер управления в дискретных по времени микропроцессорных системах.
Ключевые слова: асинхронный электродвигатель, идентификация, синтез.
Ненасыщенный симметричный трехфазный асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором описывается системой уравнений обобщенной эквивалентной двухфазной электрической машины. Поскольку измерения токов и напряжений обмоток статора производятся в неподвижной системе координат для записи уравнений выбрана неподвижная система координат (а, p). Восстанавливаются компоненты вектора потокосцепле-ния и угловой частоты вращения ротора. В качестве переменных состояния выбраны компоненты вектора тока статора (ia ,ip), потокосцепления ротора (Фa, фр) и частоты вращения ротора n. Входными воздействиями являются
компоненты вектора напряжения статора (ua, up) и момент нагрузки ml.
Имеем систему уравнений [1]
dia/dt=(Lr/(LsLr-Lh2))((LhRr/Lr2) Фa □-(Lh/Lr)n фр -
((RrLh2+RsLr2)/Lr2)ia+u а П~П~Ш (1) dip/dt=(Lr/(LsLr-Lh2))((LhRr/Lr2) фр I+(Lh/Lr)n фa -
((RrLh2+RsLr2)/Lr2)i p+u p I I I I I I I I I I I I I I II (2) ;
d фa /dt=-(Rr/Lr)
фa +nфр +(RrLh/Lr)igj I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I!
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
П~ГП ; (3)
d фр /dt=-(Rr/Lr) фр -
n фр +RrLb/Lr)i(rI I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Irn
ёп/ё1=(1/1)(ш-ш1), ш=(Ьь/Ьг)(і □із Фа І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І П
І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І І 1, )(5)
где Rs, Яг - активные сопротивления обмоток статора и ротора; Ь8, Ьг, Ь - индуктивность обмоток статора, ротора и взаимоиндуктивность; J - момент инерции ротора. Компоненты напряжения иа,
ЦрІ І І І І І І І І І І І ІІ дашготся ениямии они могут выбираться
произвольно из диапазона, реализуемого силовым преобразователем, питающим асинхронный двигатель. Возмущение т 1 может также изменяться произвольно, в частности, может зависеть от переменных состояния (например, как вязкое или сухое трение).
Возможность одновременного определения частоты вращения и компонент потокосцепления ротора по измерениям токов и напряжений обмоток статора рассмотрена в [2] в следующей постановке: полагается, что параметры уравнений (1) - (5) постоянны и точно известны, на интервале времени (0,Т) измеряются компоненты векторов напряжений (иа, и в I I I I I I I I I I I Р и токов (^ ,111111111 11р □. Существова-
ние функций фа (1), фр(;), п(;), удовлетворяющих, наряду с измерениями,
уравнениям (1) - (4), гарантируется тем, что измерения соответствуют реальному процессу. Проведенный анализ показывает, что функции фа (1), фр (1), «(;) единственны, если только вектор потокосцепления ротора на интервале (0,Т) не постоянен как по величине, так и по направлению (точная формулировка: компоненты потокосцепления фа (1), фр ц^) на интервале
(0,Т) не должны быть связаны линейной зависимостью). При постоянном поле определить частоту вращения ротора невозможно. Такое условие носит «точечный» характер и на практике никогда не будет выполняться хотя бы из-за наличия высокочастотной ШИМ-составляющей в питающем напряжении и вызываемой этим сложной формы токов и компонент потокосцепления, а также неизбежных флуктуацияй, вызываемых шумами и «неидеальностями» измерений, погрешностями вычислений, и т.п. Однако можно ожидать, что чем «ближе» будет реальный процесс к процессу, характеризующемуся постоянством вектора потокосцепления ротора, тем менее будет обусловлена процедура идентификации частоты вращения и компонент вектора потокосцепления ротора тем больше будут ошибки в идентификации переменных, меньше запас устойчивости и медленнее темпы сходимости используемой модели - идентификатора.
Цифровое регулирование имеет свои специфические особенности, учет которых необходим для реализации систем управления. Прямой перенос методов, наработанных в теории управления объектами в непрерывном времени для синтеза цифровых систем, не позволяет эффективно использовать возможности цифрового управления.
Основной особенностью цифрового регулирования является запаздывание вычислений управления. С этим связано также широкое использование методов программно реализуемой широтно-импульсной модуляции, при которых задание на ШИМ может быть изменено и реализовано не ранее, чем в последующий период ШИМ. Следовательно расчет средних напряжений, являющихся в приводе управлениями, не имеет смысла проводить чаще, чем один раз за один (или несколько) период ШИМ. Соответственно, достаточно лишь один раз за цикл вычислений осуществлять измерения сигналов и заданий и вводить данные измерений в управляющий процессор. Все это упрощает процедуру вычисления управления в цифровых системах.
Таким образом, естественно ввести понятие цикла вычисления управления, вносимое в замкнутый контур запаздывание будет равно этому циклу. Из сказанного выше следует, что т.к. рассчитанное управление может быть реализовано только в следующем цикле управления, то и цель
регулирования может быть достигнута только к моменту окончания последнего. Т.е. необходимо вести управление по прогнозируемым (на момент окончания следующего цикла управления) значениям регулируемым переменных.
Далее из необходимости проводить синтез управления «от цикла к циклу» следует необходимость перехода используемого математического описания двигателя как объекта управления в форме дифференциальных уравнений к описанию в виде разностных уравнений, адекватных происходящим процессам цифрового управления. Переход от дифференциальных уравнений к разностным - известная процедура. Для линейных систем разностная модель может быть записана точно [3] или может быть использовано то или иное приближение, например, основанное на разделении темпов изменения отдельных переменных (темпы изменения токов в двигателе намного быстрее, чем темпы изменения величины магнитного поля ротора или темпы изменения частоты вращения ротора) или основанное на приближенном интегрировании (нелинейных) дифференциальных уравнений.
При синтезе управления в разностных системах имеются полные аналоги методов, разработанных для систем с непрерывным временем, например, методов модального регулирования и оценивания [3]. В разностных системах может синтезироваться и движение вдоль поверхности в пространстве состояний, так называемый «дискретный» скользящий режим. Известно, однако, что набор движений в разностных системах богаче: например, так называемое «конечношаговое» регулирование предполагает окончание процесса регулирования в линейной разностной системе за конечное число циклов управления, причем при ограниченном управлении аналогов таких процессов в линейных системах с непрерывным временем нет. Кроме того, в разностных системах возможно построение систем оценивания не на основе рекуррентных соотношений, а с использованием ал-
гебраических соотношений между запоминаемыми значениями управлений и измерений в прошедших циклах управления. Существенно, что вычисления оценок каждой переменной может производиться независимо от вычислений оценок других («автономное» оценивание аналогов такого подхода в системах с непрерывным временем отсутствует [4]), что открывает возможность разработки инженерных методик отладки системы управления.
Наиболее простой метод получения разностных уравнений - использование приближенного метода интегрирования, считая правую часть дифференциального уравнения незначительно изменяющейся в течение цикла. Очевидно, точность такого метода тем выше, чем меньше длительность цикла АТ. Разностная модель электромагнитных процессов, соответствующая дифференциальным уравнениям (1) - (4), имеет вид
1ак+1 =1акП ^(1ДЬ8Ьг-Ц2))((ЬнКг/Ьг2) ф ак-(Ц/Ьг)Пк ф рг
((К-ЬЛкх/УьЛак+ирк! I I I I (6) □
1рк+1 =1рк+АТ(^))((ЪЬКг/Ъг ) ф рк+(Ъь/Ъг)Пк ф ак-
((кгьь2+к8ьг2)/ъг2)1Рк+иркПП; (7)П
ф ак+1_ ф ак- АТ((Яг/Ьг) ф ак+Пк ф рк+(КгЬЬ/Ьг)1акПЕЛ ') (8)П
ф рк+1 = ф рк- АТ((Яг/Ьг) ф ркп - Пк ф рк+(КгЬь/Ьг)1ркП)
І І І І І І І І І П (9)І
Электромагнитные процессы инициируются подачей на обмотки двигателя напряжения. В разностной модели компоненты напряжений иак, и рк, очевидно, должны представлять средние за цикл значения напряжений питания двигателя. Именно такими величинами являются задания компонент напряжения на систему ШИМ; поскольку длительность цикла АТ предположительно равна (или кратна) периоду ШИМ, то задания на систему ШИМ постоянны на рассматриваемом интервале времени. Использование заданий напряжений в системе ШИМ в разностной модели исключает необходимость измерения фактических напряжений с их последующим усреднением на периоде ШИМ и переводом в цифровую форму представления.
Что касается компонент тока іак, ірк в уравнениях (7) - (9), то в них также должна отсутствовать модуляционная составляющая. Для этого измерения тока должны осуществляться в строго фиксированные моменты времени на периоде ШИМ, когда ШИМ-составляющая в токах равна нулю [5].
В левой части разностных уравнений на компоненты токов (6), (7) присутствуют три неизвестных величины: компоненты потокосцепления и частота вращения ротора. Остальные величины в этих уравнениях известны (токи и напряжения измеряются). Рассмотрим предыдущий цикл. Для него справедливы аналогичные уравнения:
іак=іак-1 □ ^T(Lr/(LsLr-Lh2))((LhRr/Lr2) ф ак-1-(ЬИ/Ьг)пк-1 Ф рк-1-
-((КгЬь2+К8Ьг2)/Ьг2)1 ак-1 +и ак-1 I | 1 ( ЩЦОО
22
1рк=1рк-1+АТ(Ьг/(Ь8Ьг-Ьь ))((ЬьКг/Ьг ) ф рк-1+(Ьь/Ьг)пк-1 ф рк-1 -
-((ЯгЬь2+К8Ьг2)/Ьг2)1рк-1+и рк-1 ГГП (11)
В свою очередь, значения компонент потокосцепления на к-м цикле вычисляются по значениям этих компонент и токов на предыдущем цикле. Из (8), (9) имеем
ф ак_ ф ак-1-АТ((^г^г) ф ак-1+Пк-1 ф pk-1+(RгLh/Lг)1аk-
щТт М I М I I М М М I М I М I I М I М М; |
ф рк= ф рк-1-АТ((Яг/Ьг) ф рк-щ - Пк-1 ф pk-l+(RгLh/Lг)1pk-lI) СК130
Эти значения могут быть подставлены в (8), (9). Значения токов и напряжений на предыдущем цикле известны (они могут быть сохранены в управляющем процессоре). Таким образом, имеем 4 уравнения: уравнения (10), (11) и уравнения (8), (9) после подстановки в них (12), (13), и 4 неизвестных (две компоненты потокосцепления ф ак-1, ф рк-1, и значения частоты вращения п к-1, пк). Число неизвестных и число (независимых) уравнений совпадают. Следует ожидать, что условия существования решения этих уравнений совпадут с условиями идентифицируемости частоты вращения и потокосцепления. Значения компонент потокосцепления на к-м шаге могут быть найдены в соответствии с (12), (13).
1. Получены алгебраические выражения для вычисления оценок частоты вращения и компонент потокосцепления ротора по измеренным текущим и прошлым значениям токов и напряжений. Вычисление оценок может производиться независимо друг от друга (автономно), например, может вычисляться лишь частота вращения ротора без определения компонент потокосцепления и, наоборот, в отличие от традиционной системы в непрерывном времени, в которой система идентификации должна функционировать в полном объеме.
2. Рассмотренный подход к автономной идентификации, очевидно, эквивалентен цифровому дифференцированию измерений (по конечной разности). Полученные оценки могут фильтроваться, как показано выше, с помощью разностных моделей - наблюдателей состояния, корректируемых по отклонению выходных сигналов наблюдателя от вычисленных оценок; в последнем случае оценки рассматриваются как измерения (зашумленные). Разностные модели - наблюдатели состояния - могут представлять электромагнитную цепь статора-ротора, модель механического движения и позволяют эффективно снижать влияние дискретности АЦП.
Список литературы
1. Изосимов Д.Б., Рывкин С.Е. Скользящий режим в электроприводе (аналитический обзор). М.: ИПУ РАН, 1993. 124 с.
2. Изосимов Д.Б. Многосвязный нелинейный идентификатор состояния асинхронного двигателя на скользящих режимах // Проблемы управления многосвязными системами. М.: Наука, 1983. 412 с.
3. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1997. 650 с.
4. New approaches to solve digital control synthesis problem and advanced pulsewidth modulation algorithms for AC drive applications / S. Ryvkin [et al.] // Proc. of the 24th Annual Conference of IEEE. Aachen, Germany, 1998. P. 1986-1990.
5. Kokotovic P.V., O'Malley R.B., Sannuti P. Singular perturbation and reduction in control theory // Automatica. 1976. № 12. Р. 123-132.
E. Alexandrov
Identification of speed and component vector coupling flow rotor induction motors
The algorithms of the simultaneous identification of speed and rotor flux linkage component of the induction motor with cage rotor by measuring current and voltage to stator windings. The problems of implementing digital microprocessor-based algorithms for identification in discrete time. Synthesis of Digital IDs and regulators is based on the difference of process models, reflecting the cyclical nature of governance in a time-discrete microprocessor-based systems.
Keywords: induction motor, the identification of the synthesis.
Получено 12.01.10
