Идентификация равновесных траекторий в одном классе дифференциальных игр m лиц с неограниченной продолжительностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.934 © А. А. Адрианов

ИДЕНТИФИКАЦИЯ РАВНОВЕСНЫХ ТРАЕКТОРИЙ В ОДНОМ КЛАССЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГР т ЛИЦ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬЮ § 1. Постановка задачи

Рассмотрим бескоалиционную дифференциальную игру Г(£о,Жо) с неограниченной продолжительностью [1]. Пусть процесс, управляемый игроками г = 1 ,т (т ^ 2) , описывается системой

йх

— = /(г,х,и1,и2, ■ ■ ■ ,ит), (1)

г € Е, х € Еп, иг € Рг € СотрЕк(г), г € I = {1, 2,... , т} с начальным условием

х(го) = хо, (2)

а качество процесса управления каждый из игроков г € I оценивает своим функционалом

Яг(го,хо|щ1(-),... ,«ш(-)) = У Ы(г,х(г),и,1 (г),... ,ит(г))й,г, (3)

£о

где х(г) = х(Мо,хо,и1(-),...,ит(-)) — решение задачи Коши (1), (2) на интервале [го, +го) соответствующее измеримому по Лебегу набору программных управлений щ(-) + иг = иг(г) € Рг, г = 1,т . Предполагается, что каждый из игроков стремится максимизировать свой выигрыш, располагая в каждый момент времени г информацией о начальной позиции (Ьо,хо) и управлениях, реализованных всеми игроками на промежутке [го,г).

Будем считать далее, что в отношении правой части системы (1) и подынтегральных функций в (3) справедливы те же предположения, что ив [1].

§ 2. Основные результаты

Как отмечалось в [2], в рассматриваемой игре для любого е > 0 существует ситуация е -равновесия в смысле Нэша.

Определение 1. Под равновесной траекторией в игре Г(£о, хо) будем понимать функцию х(г), определенную при г € [го, +го), которая на любом конечном отрезке [Ьо,Т] является равномерным пределом последовательности траекторий системы (1) {х(к) (£)}£=!, каждая из которых порождается некоторой ситуацией е(к) -равновесия, где е(к) —► +0 .

к^-ж

Теорема 1. Множество равновесных траекторий в игре Г(го, хо) непусто.

Обозначим через Уг(-) функцию максиминного выигрыша (потенциал) игрока г € I [1].

Теорема 2. Для того чтобы траектория х(-) = х(-,го,хо,и1(-),... ,ит (■)) была равновесной траекторией в игре Г(го,хо), необходимо и достаточно, чтобы

Уг(г,х(г)) Нг(т,х(г),и1 (г), . . . , Щт(т))йт (4)

£

всех г € I и г € [го, +то) .

ТеоремаЗ (см. [1]). Для любой позиции (to,Xo) существует такой набор допустимых управлений u(• ) = (u\(• ),... ,um(• )), что каждая из функций

t

¥i(t) = Vi(t,x(t)) + J hi(r,x(r),u(r))dr

to

(x(• )= x(• ,to,Xo,u(•))) является неубывающей на интервале [to, +го) .

Пусть X*(to,xo) — множество тех траекторий, о которых идет речь в теореме 3. Такие траектории далее будем называть стабильно равновесными. Как установлено в [1], всякая стабильно равновесная траектория является равновесной.

Пусть F : (t, x) м F(t, x) , F(t, x) = {f (t, x,u1,..., um)\ui € Pi, i € I} и

FH : (t,x) м FH(t,x), (t,x) € D,

FH (t,x) =

= {(/, hi,.. .,hm) € Rn+m\f = f(t,x,Ui,.. .,um), Ы = hi(t,x,Ui,.. .,um), Щ € Pi, i = 1, m}.

Если функции Vi(• ), i € I, дифференцируемы в точке (t,x) € D по направлению (1, f) = (I, fi,..., fn) € Rn+1 , то их производные в этой точке по соответствующему направлению обозначим, соответственно, di(t,x,f) .

Условие 1. В каждой точке (t,x) € D функции Vi( • ) дифференцируемы по любому направлению (1, f) € Rn+1, f € F(t,x) и множество

ФН(^ x) = {(f, h) € FH(t, x)\di(t, x, f) + hi ^ 0, i € I}

непусто.

Если выполнено это условие, то определено многозначное отображение

Ф : (t, x) м ф(t, x) С Rn, (t, x) € D,

Ф(^ x) = {f € F(t, x)\3h € Rm : (f, h) € ФН(£, x)} .

Рассмотрим дифференциальное включение

x € Ф(t, x). (5)

Теорема 4. Если выполнено условие 1 и функции Vi( • ), i € I удовлетворяют в некоторой окрестности множества D локальному условию Липшица, то каковы бы ни были начальные данные (t',xr) € Rn+1 множество X*(t',x') совпадает со множеством всех абсолютно непрерывных на полуоси [t', +го) решений дифференциального включения (5), удовлетворяющих начальному условию x(t') = x'.

Список литературы

1. Адрианов А. А., Чистяков С. В. Об одном классе бескоалиционных дифференциальных игр с неограниченной продолжительностью // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2005. Вып. 1. С. 78-93.

2. Gao Hongwei and Chistyakov Sergei V. On a Class of Coalition-Free Differential Games with Infinite Duration // International Congress of Mathematicians. Game Theory and Applications. Satellite Conference. August 14-17, 2002, Qingdao, China. Proceedings Volume, pp. 163-167.

Адрианов Алексей Андреевич Санкт-Петербургский государственный ун-т,

Россия, Санкт-Петербург e-mail: alex adrianov@rambler.ru