Идентификация параметров траектории объекта на базе подвижной угломерной системы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.396.96

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ТРАЕКТОРИИ ОБЪЕКТА НА БАЗЕ ПОДВИЖНОЙ УГЛОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ

О 2004 г. А.П. Манин

Настоящая статья посвящена дальнейшему развитию перспективного метода оценивания движения цели по данным одноканального подвижного пеленгатора, измеряющего лишь одну угловую координату [1]. В отличие от работы [1], рассматривается наиболее распространенный на практике случай, когда оси базовой неподвижной системы координат (например, геоцентрической, гелиоцентрической и т.д.) ориентированы произвольным образом по отношению к осям подвижной радиотехнической системы координат, связанной с пеленгатором. В данном случае существенно усложняется задача оценивания движения цели, но в конечном итоге она сводится к нахождению решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений.

Постановка задачи оценивания параметров движения цели

Пусть в декартовой базовой неподвижной системе координат ХУ2 (рис. 1) положение цели С задается радиус-вектором рс = [хс> Ус, 2с\ , а закон ее движения описывается следующей формальной моделью [2]:

хс = аГц, ус = Ьтц, гс = сгц, _ (1)_

где хс = -хс(0, Ус = Ус(0, -с = 2С(0, а = [аг.,і = 0,К]т, Ь = [Ь^ і = 0,К]Г , с = [с,-, і = О, К ]г - неизвестные векторные коэффициенты (параметры) модели; <у = </(/) = [</г(0, 7 = 0, К ]г - вектор линейно независимых функций; Т -символ транспонирования.

Рас. 1. Системы координат

Положение одноканального подвижного пеленгатора Р в той же системе координат задается радиус-вектором р/> = [хР, уР, гР]Т. Непосредственно с са-

мим пеленгатором жестко связана подвижная радиотехническая система координат XpYpZp, в которой осуществляются измерения угла 0 = 0(7) (рис. 2) с использованием плоской диаграммы направленности. Данная диаграмма лежит в плоскости, которая жестко связана с геометрическим центром пеленгатора Р, целью С и направляющим вектором X = Щ) = = [Лі(0, ^(0? 0] > задающим ось вращения диаграммы направленности.

По аналогии с [1], под одноканальным подвижным пеленгатором будем понимать измеритель, осуществляющий обнаружение и слежение цели по углу наклона 0 при заданном программном изменении (управлении) по углу

/л = ju(t) = arctg[/l2/^i] 5 гДе Л-i = 4*1 Л-2 = М{1) (см. рис. 2).

На рис. 2 в качестве а = а(/) и Р = Р(/) указаны азимут и угол места цели соответственно, измерения которых в рассматриваемом методе не предусмотрены.

На рис. 1 вводятся две дополнительные системы координат: X'Y'Z' — получается путем параллельного переноса системы координат XYZ в точку Р; X'pYpZ'p - вводится параллельным переносом системы координат XpYpZp в точку О.

Угол 0 однозначно связан с углами р, а и Р известным соотношением 0 = arctg [tg p/sin(a - р)]; а - р ф пк; п = 0, 1, 2; р ф ± л/2. (2)

При выполнении соотношения а — р = пк принимаем: 0 = тг/2 для случая 0 <р< тг/2 и 0 = —тг/2 для случая —тг/2 <р< 0. Если Р = ± тг/2, то независимо от аир имеем 0 = ± Till.

Для измерений угла 0 принимается аддитивная модель

9к =0£ +Л6/Ь к = 1,п, (3)

где 0/; =0(;/;). а Д0/; = Д0/; (/) - ошибка измерения, характер которой, в зависимости от рассматриваемого случая, будет определен ниже.

(■* 1*

Помимо массива О/,- I полагается заданным набор отсчетов {ц/- }/;=|.

I J £=1

где = ц (//-). соответствующих некоторому программному управлению ц(;). характеризующему пространственное положение указанной выше плоскости с точностью до угла 9 для любого момента времени I.

Введем в рассмотрение массивы чисел , где С1к = И(1к). соответ-

ствующие матрице О = 0(/) направляющих косинусов:

П =

т ® 1

т

(О 2

т

Юз

где со, = ; I = 1, 2, 3; 1г = совусовф - совдвтувтф; 12 = -совувтф -

- совдвтусовф; /3 = втдвту; тх = втусовф + совдсовусовф; /3 = -втдсову; т2 = -втувйкр + совдсовусовф; щ = втФвикр; п2 = втдсовф; пъ = совд.

Здесь под у и ф понимаются соответствующие углы Эйлера [3], однозначно определяющие положение системы координат ХрУр2р относительно Х'У'/'. Для измерений элементов матрицы 0.к также принята аддитивная модель

Л ____

, к = 1, , (4)

где ДО/- - матрица ошибок измерений направляющих косинусов.

Требуется с учетом принятых моделей (1)-(4) и исходных данных разработать метод оценивания параметров движения цели.

Решение задачи в детерминированной постановке

По аналогии с [1], можно записать

tgч0 = совц (втаЛёР) - вт^сово^Р). (5)

Для определения отношений (вта^Р) и (сова^Р) наряду с (1) воспользуемся очевидными выражениями:

РСР = СР > (6)

Р СР =&ГРСР’ (7)

р'ср~Рс~Рр> (8)

где под рСР = [xCp,yCp,zCpf и рСР = [x'Cp,y'Cp,z'Cp]T понимаются радиус-векторы, определяющие положение цели С в системах координат XPYPZP и X'Y'Z' соответственно.

С учетом (1), (6)-(8) можно записать

(sinoc/tgP) = (yCp/zCp) = (со2Рср)/(юз P'cp), (9)

(cosa/tgP) = (xCP/zCP) = (со [рср)/(ю 3Pcp) • (10)

Подставляя (9) и (10) в (5), имеем

tg_10(CD 3 Pep ) = COS |J.(C0 2PCP)-Sin|a(c0 [ р'ср ) (11)

или с учетом (8)

tg_10(co 3Pc)-tg_10(CD зРр) =

= cos|a(co 2 Рс)_ cos М-С® 2Pp)_sinM-(C0 i Рс) + sin М-С® lP р) ■ (12)

Преобразуем равенство (12) так, чтобы в его левой части оказались слагаемые, содержащие вектор рс,

tg-10(co 3 Рс ) - cos ц(со 2Pc) + sinn(co [р с) =

= tg_10(co 3 Рр) -COS(J.(CD 2Pp) + sin|a(co Ipp) . (13)

Рассматривая (13) как уравнение относительно компонент вектора рс с учетом модели (1) и принятых ранее обозначений, можно записать

(у Tl)(aTq) + (у Tm)(bTq) + (у Tn)(cTq) = утр’Р, (14)

где у = [уь у2, у3]Г = |siri|_L.-cos|-L.tg ч0]г, I = [/ь /2, /3]г, m = [/иь т2, т3]Т, п = [щ,

Т Т

я2- П3] , р'Р =\x'p,y'p,z'p\ - радиус-вектор, характеризующий положение

пеленгатора в системе координат X'pYpZ'p (см. рис. 1).

P'p = OV (15)

Вводя обозначения h = h(t) = [(уTt)qr, (yTm)qT, (уги)^тг]г и G = \а , Ът, с \г. получаем уравнение относительно вектора G искомых коэффициентов модели (1):

hTG=f (16)

где/=угр 'р.

Для нахождения G необходимо на базе скалярного уравнения (16) записать систему линейных алгебраических уравнений для N моментов времени

HG = F, (17)

где Я =

к (^лг)

Р = № 1),-,/(/лг)]Г •

Если N > 3 (К + 1) и dct// Ф 0, то система уравнений (17) при отсутствии ошибок измерений позволяет найти вектор О искомых коэффициентов модели (1):

а = я4 к (18)

Выражения (5)—(18) дают решение задачи оценивания параметров движения цели в детерминированной постановке.

Решение задачи в условиях априорной неопределенности

При избыточности измерений (когда N > 3 (К + 1)) и с учетом погрешности измерений {дОу. }^’=|. {АО.к}^=1 задача нахождения оптимальной оценки

Л

О вектора С может быть решена с использованием критерия минимума квадратичной формы

/(в) = V (®,Ц)^ У(®,0.), (19)

где © = © + Д© , ® = [вк,к = \Ы]Т , Д© = [Д вк,к = \Ы]Т , П = П + АП.

П = [Пк,к = 1,Ы], АП = [АПк,к = 1,Ы], V (@,П) = Я6-/'! Н = Н

©^©

О—>0

0^0

О—>0

Оптимальная оценка, получаемая на основе минимизации ./((7). является решением системы линейных алгебраических уравнений

Л Л Л Л л

Ц0, СХ) С = /)(©, СТ), (20)

ЛЛЛ Л Л Л Л л

где Ц®,П)= Нт IVН , Б(®,0.) = Нт )¥Ж .

Непосредственно из (20) получаем окончательное выражение для искомой оценки

О = /Г1 (©,□)£>(©,□) = (Нт )¥ ну1 (Нт IV F).

(21)

Предположим теперь, что выполняются следующие условия (для некоторой нормы ||»||)

ь\ ®,п

||дф,с>)||<С, ||дф,о)||

||М)(©,С>)||<#, ||М>(©,П)|| а также условие ||Д£(©,Ц)||< /,(©. О)

Д1(©,о)=1| ©,о |-/,(©, о), -в(®,п),

(, л (л И

В ®,п £ и ь ®,п

V V к )

. Тогда, по аналогии с [1], можно

воспользоваться следующей оценкой сверху для относительной погрешности оценивания в соответствии с разработанным методом

_1М1

Гл -1 Гл

1 ©,о 1 ®,п

V ) V V

(

С

С

( -1 > Гл (, А>

1- 1 ©,□ с ©,о -с о ©,о

V V V V V V )

■ (22)

Соотношения (19)-(22) позволяют провести подробный анализ точностных характеристик метода для различных условий наблюдения цели. При этом не используется достоверная статистическая информация о законе распределения ошибок измерения Д© и ДО, что характерно для случая априорной неопределенности.

Статистические аспекты разработанного метода

Представим формулу (21) без учета ошибок измерений в следующем виде: С = <7(0. О.) = <7(\). (23)

где ж - это вектор-столбец, состоящий из всех элементов вектора © и матрицы П.

При наличии ошибок измерений вектор ж целесообразно рассматривать как случайную величину, характеризуемую математическим ожиданием Мэ и корреляционной матрицей Кх.

Разложим функцию (7(\) в ряд Тейлора в окрестности вектора ж = Ма, ограничиваясь линейным приближением,

да(я)

е = £(«)« С(М5)+-

(24)

£=М..

При этом математическое ожидание случайного вектора С равно

Мс=0(М8), (25)

а корреляционная матрица

Кс =

5в(ж)

К.

5в(ж)

дэ

у

(26)

Для случая высокоточных некоррелированных измерений [4] формулы (24)-(27) позволяют проанализировать зависимость точности оценивания параметров движения цели в статистической постановке.

Включением в состав ж элементов вектора рР можно учесть в ходе такого анализа и влияние ошибок управления движением пеленгатора на результирующую точность оценивания. Случай коррелированных измерений приведет к появлению в правой части формулы (26) дополнительных слагаемых [4].

Иллюстративный пример

По аналогии [4], рассмотрим задачу оценивания параметров линейной траектории (в безразмерных единицах)

хс = 10 + 2/, >-с = 8 + 4/, гс = 3 + 15/, /е [0, 30], (27)

т.е. а0 = 10, (Л\ =2, Ь0 = 8, Ьх = 4, с0 = 3, сг = 15.

Закон движения пеленгатора выбран следующим:

Хр= 15 + / + 0,1/2, уР = Ъ + + О,!!2, гР = 1 + ОД/2, /е[0, 30]. (28)

Полагалось, что N = 300, 4+1 - 4 = А/ = 0,1, а случайным полагался только угол 0* = 0(4), распределенный по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием т$к = т{] = 0 и среднеквадратическим отклонением

сте^ = стее[10",180"].

Закон изменения программного угла \х.к = ц(4) принимался следующим

ц* = аг^ХаДц), Х1к = Х^к) = 0,95 - 0,005&, X 2к= X 2Цк) = ^1-Х^ . (29)

Ориентация подвижной радиотехнической системы координат по отношению к базовой неподвижной системе координат характеризовалась постоянными углами Эйлера: Зк = & = 0,530 [рад], \|//. = \|/ = 0,314 [рад], <р/. = = Ф = 0,314 [рад].

В таблице представлены зависимости относительных ошибок оценивания компонент вектора (? = , /' = 1,6]Г = [а0

,а1,Ь0,Ь1,с0,с1

от величины (

[%], г =1,6, сте е [10", 180"]

(30)

Анализ результатов моделирования разработанного алгоритма с учетом (27)—(29) показывает, что ошибка оценивания коэффициентов а,Ь0, с0 модели (27) не превышает 10,3 %, а коэффициентов аь Ь\, с\ - 4.

Относительные погрешности оценивания параметров движения

<Ув 5& %

II © <%2 = За, <%з = ЗЬо £ II сЙ <%5 = Зсо 8ёб = Зс 1

10" 0,008 0,036 0,103 0,001 0,155 0,010

20" 0,088 0,111 0,174 0,035 0,280 0,084

30" 0,210 0,357 0,372 0,104 0,546 0,206

60" 0,124 0,997 1,036 0,158 1,575 0,299

120" 0,875 1,144 2,115 0,386 2,859 0,768

180" 3,099 4,000 7,988 1,414 10,829 2,989

Выводы

Применение разработанного метода к оценке параметров траектории цели позволяет решить проблему нахождения оценки в условиях априорной неопределенности, когда оси базовой неподвижной системы координат (например, геоцентрической, гелиоцентрической и т.д.) ориентированы произвольным образом по отношению к осям подвижной радиотехнической системы координат, связанной с пеленгатором. Результаты моделирования подтверждают работоспособность метода для реальных условий функционирования подвижных одноканальных пеленгаторов.

Поскольку практическая реализация данного метода сводится к решению соответствующей системы линейных алгебраических уравнений, то можно утверждать, что он эффективен в вычислительном плане по сравнению с классическими оптимальными методами статистических оценок, которые приводят к системам нелинейных трансцендентных уравнений.

Литература

1. Булычев Ю.Г., Шухардин А.Н. II Автоматика и вычислительная техника. 2002. №3.

2. Брандин В.Н., Разоренов Г.Н. Определение траекторий космических аппаратов. М., 1972.

3. Бронштейн И.И., Семендяев К.А. Справочник по математике. М., 1959 .

4. Булычев Ю.Г., Манин А.П. Математические аспекты определения движения летательных аппаратов. М., 2000.

Научно-производственный испытательный центр «Арминт» 3 июня 2004 г.