Идентификация наследственных соотношений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 57-73 Механика

УДК 539.3

Идентификация наследственных соотношений

В. И. Желтков, А. И. Андреев, Д. А. Сухоруков

Аннотация. В настоящее время в строительстве широко используются полимерные материалы на базе поливинилхлоридов. Они поставляются в виде тонкостенных профилей — уголков, коробов и т.п. Несмотря на то, что эти материалы, в основном, отделочные, для прогноза их поведения в реальных условиях эксплуатации — при осадке зданий, температурных деформациях, различного рода запроектных воздействиях — они подлежат сертификации, в том числе и определению механических и реологических характеристик [1].

Общеизвестно, что испытания полимерных материалов значительно более трудоемки из-за наличия временных эффектов — ползучести и релаксации. Существует ряд методик [2, 3], которые используют различные контролируемые законы нагружения (деформирования) с целью определения основных универсальных характеристик полимеров — ядер и функций ползучести и релаксации. Отметим, что наиболее информативные опыты с динамическими режимами представляют значительные трудности в реализации, особенно в измерении деформаций непосредственно на базовой длине образца. В то же время в [2] предложена статическая методика, основанная на двухзвенном законе нагружения, которая позволяет определить параметры ядра на основании простейших наблюдений и не требует при этом сложного оборудования.

Ключевые слова: вязкоупругость, динамическое нагружение, идентификационные уравнения, наследственные соотношения, релаксация, ядро ползучести, ядро релаксации, температурновременная аналогия.

1. Общие свойства линейно-наследственных соотношений

Анализ состояний вязкоупругих тел предполагает, что известны термореологические характеристики материала — ядра или функции ползучести или релаксации. Несмотря на то, что наследственные модели типа Больцмана широко применяются в расчетной практике, систематизированных данных по этим характеристикам практически нет;

они разбросаны по многим журнальным статьям и отдельным монографиям. Особенно затрудняет работу расчетчика отсутствие установившихся форм представления реологических характеристик. Широко распространенные аналитические представления — Работнова, Колтунова-Ржаницына, экспоненциальные — с трудом поддаются идентификации из-за сложного нелинейного вида зависимости этих представлений от постоянных материала как параметров.

Особенно это относится к поведению полимерных материалов в температурных полях. Широко распространенная гипотеза о температурновременной аналогии (ТВА) нуждается в тщательной экспериментальной проверке. Для ряда распространенных высокоэластичных материалов, например, для твердых топлив, диапазон применимости ТВА ограничен низкими температурами.

В связи с изложенным можно утверждать, что разработка простых универсальных зависимостей для представления термореологического поведения материалов является важной частью исследования поведения полимерных материалов и конструкций.

В настоящем разделе рассматриваются вопросы идентификации реологических характеристик полимерных материалов, причем форма представления принята в виде сплайн-полиномов по времени и температуре.

Принцип суперпозиции, высказанный Больцманом и Вольтера [4, 5], утверждает существование наследственных соотношений вида

В этих соотношениях Т(Ь), К(Ь) — ядра релаксации и ползучести, которые и являются реологическими характеристиками материала. Величина Е — мгновенный модуль упругости, который предполагается не зависящим от времени. Для стабильных материалов, свойства которых не изменяются со временем, аргумент ядер становится разностным. Формулам (1.1), (1.2) можно придать другую форму:

£

соотношения релаксации — а(Ь) = Ее(Ь) — ^ Т(Ь,т)е(т)йт, (1.1)

о

£

с°отношен„я полсти — е(Ь) = Е-'ат + / КтМт)*. (Ь2)

о

/

£

(1.3)

о

ь

е(Ь) = J П(Ь — т)йа(т), (1.4)

о

где функции ползучести и релаксации П и К имеют смысл наблюдаемых модулей в опытах на ползучесть и релаксацию и связаны с соответствующими ядрами соотношениями:

Е = К(0); Т (Ь) = — ^; Е- =П(0); К (Ь) =

Функции и ядра связаны между собой соотношениями взаимности: ь

IК(Ь — т)Т(т — т\)йт + Е~1Т(Ь — т1) = ЕК(Ь — т1),

п

так что если известно одно из ядер, другое находится как решение последнего уравнения.

Если принять в качестве основного метода решения задач механики полимеров метод перемещений, то определяющие соотношения следует принимать в форме (1.1) или (1.3), тогда экспериментальному определению подлежит или функция, или ядро релаксации.

2. Представление функций релаксации

Аналитические представления ядер релаксации в экспоненциальной форме удобны при проведении расчетов, но нелинейная зависимость от параметров затрудняет их идентификацию. Так как разрешающая система идентификационных уравнений будет нелинейной, то и ее решение не единственно, а, следовательно, существует неоднозначность в определении параметров ядра, и поэтому некорректно было бы называть их параметрами материала. Кроме того, при выбранной концепции нестационарного эксперимента вычисления интегралов со слабосингулярными ядрами потребует значительных затрат времени из-за плохой сходимости квадратурных формул.

В то же время давно известны полиномиальные представления, позволяющие получить линейные по параметрам выражения, что делает их удобными для идентификации, и обладающими нужными свойствами гладкости и непрерывности. Это сплайн-полиномы различных степеней. Примем следующую систему полиномов:

^1(0 = 1 — 3С2 + 2£3; Р2(0= е(1 — о2;

Рз (0= е2(3 — 20; Р4(0= е2(е — 1).

Полиномы удовлетворяют следующим условиям:

Р1(1) = 0

Р1(0) = 1; Р2(0) = 0; Рз(0) = 0; Р4(0) = 0;

Л~Р <°> = 0;

<1> = 0;

ж(0) = 1; Ж <0) = 0; 44 <0> = °

Р2(1) = 0 ; Рз(1) = 1 ; Р4(1) = 0 ;

Ж (1) = 0;

^ (» = 0

ъ(1) =1 ;

здесь £ — безразмерная нормированная координата. Представим функцию релаксации через эти полиномы, считая, что задано конечное число узлов интерполяции, первым из которых является начальный момент времени Ьо = 0, а последний — на достаточно большом (но конечном) удалении от начала. Это позволяет ввести в рассмотрение мгновенный модуль как значение функции Ко и долговременный модуль как значение К= Км . Представление будет иметь вид:

К(Ь) = К,п-1Р1 (С) + Тп—1Р2(С )Ап + КпР3 (С) + ТпР4(С)Ап ^ € [Ьк—Ъ Ьк ];

А„ = Ьп — Ьп—1, С = Ь —!п—1 (2.1)

Ап

Параметры в формуле (2.1) представляют собой значения функции и ядра релаксации в выбранные моменты времени — узлы интерполяции. Из ранее рассмотренных свойств ядра и функции релаксации следует принять Тм = 0. В точности выполнить условие То ^ —то не удастся, так как никакой полином не может иметь разрыв второго рода в нуле. Выполнить такое условие можно, только применяя на первом интервале специальную аппроксимацию, например, слабосингулярной функцией.

Потребуем, чтобы аппроксимация (2.1) была непрерывной, в узлах принимала заданное значение и потребуем непрерывности в узлах первой и второй производных по времени. При этом узлы будем считать неравноотстоящими. Первые три условия выполняются автоматически; последнее приводит к трехдиагональной системе уравнений относительно параметров Тк, к = 1, 2,..., N — 1:

Тк— 1 — Ск Тк + Вк Тк+1 = —Рк; (2.2)

—Ск = 2 (1 + 5к); Вк = 5к;

—Рк = А- Кк+1 + (1 — ^‘к)Кк — Кк— 1] ; $к = А------.

Ак Ак+1

Система дополняется двумя условиями:

То = V (0); Ум = 0. (2.3)

Для вычисления значений функции релаксации при произвольном времени в пределах [0...Ьм] достаточно задать ее значения в узлах интерполяции. Для вычисления ядра релаксации достаточно продифференцировать (2.1) по времени, учитывая связь между параметрами С и Ь:

—Т(Ь)= Кп—АР1 (С) + Тп— 1Р2(С) + КпА3(С) + ТпР4(С) VI € [Ьк—1,Ьк]. (2.4) Ак Ак

Такое представление является непрерывным и гладким в узлах в силу выполнения условий (2.1), наложенных на аппроксимацию.

Таким образом, идентификации подлежат значения функции релаксации в узлах интерполяции; сами узлы или задаются произвольно, или также подлежат определению.

3. Способ идентификации значений функции релаксации

Для идентификации параметров формулы (2.1) рассмотрим общую структуру математических моделей наследственного типа. Все возможные модели можно разделить на два класса:

• непосредственно представляющие собой наследственные соотношения; они соответствуют экспериментам, в которых напрямую измеряются компоненты деформации и внешние нагрузки как функции времени. Предполагается, что компоненты напряжений связаны с нагрузками простыми линейными зависимостями (хотя бы при малых деформациях);

• основанные на законе движения некоторых точек тела-образца; они соответствуют динамическим экспериментам, в которых измеряются перемещения, скорости, ускорения одной или нескольких точек и внешние силы. Предполагается, что известна математическая модель движения, линейная относительно функции или ядра релаксации.

Еще раз подчеркнем, что для принятого сплайн-представления функции релаксации оба класса моделей линейны по отношению к реологическим характеристикам материала.

Такая общая черта позволяет сформулировать и общий принцип идентификации. Назовем единичным измерением набор измеренных синхронно кинематических и силовых характеристик {Нт}, соответствующий моменту времени хт > 0. Единичным экспериментом назовем конечное

множество единичных измерений мощностью М. Функцию или ядро релаксации будем считать представленной в виде (2.1) или (2.4). Примем, что количество узлов интерполяции N значительно меньше, чем мощность единичного опыта. Для каждого единичного измерения можно записать линейное относительно значений Як уравнение, в котором левая часть будет содержать кроме них только измеренные кинематические характеристики, а правая — только силовые:

N

^ атк[ио...им, , Ьо...Ьм]Як = Ет, т = 1...М. (3.1)

к=0

Здесь ит, Ет — кинематические и силовые факторы единичного измерения. Параметры Тк считаются выраженными через Як с помощью уравнений (2.2). Линейность уравнений вытекает из линейности исходных приближенных выражений (2.1), (2.4). Полученная переопределенная

система М уравнений с N неизвестными решается в среднеквадратическом смысле, например, с помощью преобразования Хаусхолдера. Такая обработка позволяет понизить влияние ошибок измерений. Рассмотрим реализацию обработки для двух вышеупомянутых классов моделей экспериментов.

4. Разрешающее уравнение для модели наследственных

соотношений

К таким экспериментам можно отнести опыты по одноосному растяжению тонкого стержня, кручению тонкостенной трубки, квазистати-ческому изгибу тонкого стержня, нагружению тонкостенной трубки

осевой силой, внутренним давлением и крутящим моментом при малых деформациях. Измеряемые силовые характеристики связаны с напряжениями линейными зависимостями:

_ Е _тах Ми _ рт _ Мк (4 1)

^ = А' = Ж' а* = рН' Т = 1Н.' (41)

где Е — осевая сила, р — внутреннее давление, Ми, Мк — изгибающий и крутящий моменты, А, Ш — площадь сечения и осевой момент сопротивления стержневого образца, т, Н — средний радиус и толщина стенки трубчатого образца. Измеряемые кинематические характеристики непосредственно связаны с деформациями:

А1 Ат тш ,, ч

= ¡0' = V' " = ¡0' (42)

где А1 — изменение базовой длины ¡о, Ат — изменение радиуса, ш —

угол закручивания. Для образцов из жестких полимеров деформации могут измеряться и непосредственно с помощью тензорезисторов.

В силу простых соотношений (4.1), (4.2) примем, что для таких опытов единичное измерение состоит из синхронно измеренных значений напряжения и соответствующей ему деформации. Тогда (3.1) по смыслу есть соотношение Больцмана и принимает вид:

%гп

J Е(гт - г,Ео...Ем)й£(т,£—1,£г) = ат, т = 1...Ы. (4.3)

о

Так как моменты измерений образуют конечное множество, то интеграл в (4.3) следует представить в виде суммы интегралов, понимая таковые в смысле Римана-Стилтьеса:

т

^2 / Е(гт - Т,Ео...Ем ^0...Ы (1е(т,£г-1,£г) = От. (4.4)

*=1х 1

¿г—1

Так как закон изменения деформации на интервале [гг—1,гг\ неизвестен, для вычисления каждого из интегралов используем квадратурную формулу трапеций и приведем ее к форме, линейной относительно значений функции релаксации:

т— 1

0.5 [Е(0)Д£т + Е(Хт)А£1\ + ^ ' Е(Хт — 2г)(£г+1 — £г—1) = От. (4.5)

г=1

Подставляя в (4.5) выражение для функции релаксации (2.1) и приводя подобные члены, получим

N

I] [а<£кЕк + а<т,кТк} = 2°т, т = 1...М, (4.6)

к=0

где коэффициенты уравнения выражаются через измеренные значения деформаций и аппроксимирующие полиномы:

агпк = X/ Рз (гт - Хг)(£г - £г—1) +

’'И:ггп—г10}..к-\1<к\

+ Р1(^т — 2г)(£г — £г—1);

атк = ^-/ ^кР4^т — 2г)(£г — £—1)+ (4.7)

\1г:гт—г10.\^,к-\,Ьк ]

+ А^к Р2(^т — 2г)(£г — £г—1).

Систему уравнений идентификации удобно записать в матричной форме:

л(*) л(Т) в(*) в(Т)

R

T

(4.8)

где К, Т, Б — векторы параметров аппроксимации и измеренных напряжений, л(д) и

АСт)

— подматрицы размера М х N, компоненты которых определены (4.8), подматрицы В(д) и в(т) описывают систему уравнений (2.2), (2.3), реализующую условия непрерывности второй

производной:

B

(R) =

B

(T) =

0 0 0 . .0 0 0

3 3(52-1) 35 2 п .0 п 0 п 0

Ах Ах - А .

0 3 А2 3(52-1) А2 . .0 0 0

0 0 3 Аз . .0 0 0

0 0 0 . 3 . AN -1 3(5N-1-1) AN-1 - - .. 35 А -1 X

0 0 0 . .0 0 0 -

1 0 0 0 0 0

1 2(1 + ¿0 ¿1 0 0 0

0 1 2(1 + ¿2) ¿2 0 0

0 0 1 2(1 + ¿3) 0 0

0 0 0 0 ... 2(1 + ¿N -1) ¿N-1

0 0 0 0 0 1

(4.10)

В правой части (4.8) вектор 0 обозначает нулевой вектор размера N, в котором первая компонента заменена на значение начальной скорости релаксации. Решение (4.8) определяет параметры интерполяционного полинома.

Помимо нестационарных режимов, возможно использование воздействия в виде установившейся вибрации. В [4] достаточно подробно описана методика построения частотных зависимостей функций ползучести и релаксации, то есть комплексных модулей; восстановление временных зависимостей рекомендуется реализовывать с помощью обратного преобразования Фурье. Наиболее реально применение обратного быстрого преобразования Фурье (ОБПФ), стандартные программы которого входят практически во все современные пакеты для математических и физических расчетов (MathCad 7.0, MathLab, Maple). В то же время их использование дает результат в виде таблицы значительного размера при условии наличия исходных данных в виде таблицы размера 2m+1, где величина m имеет

порядок 103... 105. Хотя при современной технике аналого-цифрового преобразования сигнала получение такой таблицы не представляет проблемы, практическое использование результата потребует работы либо с интерполяционными полиномами высокой степени, либо кусочными полиномами, заданными на сетке с большим количеством участков, что приведет к значительным затратам времени на расчеты. В связи с этим рассмотрим возможность применения (2.1), (2.4) для обработки опытов по установившейся вибрации.

Рассмотрим опыт на установившуюся вибрацию, в котором деформация задается по гармоническому закону:

£(t) = £0 вШ*, (4.11)

где £0, и — постоянные амплитуда и частота деформации. Тогда

комплексный модуль — отношение напряжения к деформации — имеет вид

t

= Еоег^ [1 - Y(t, и)] , y(t, и) = I y(t)в-гшгdr. (4.12)

£0

0

Переходя к пределу при t ^ то, получим для обработки данных следующее простое соотношение:

Ео [1 - y»] = —, (4.13)

£0

где и(и) — комплексное напряжение при фиксированной частоте и. Разделяя (4.13) на вещественную и мнимую части и вводя наблюдаемые величины аа — амплитуду напряжений и ф — сдвиг по фазе между напряжением и деформацией, получим пару уравнений

тт И / М °аCOS Ф F / \ °а sin ф

Ео [1 - Yr(u)} = ---------; EoYi(и) =--------------, (4.14)

£0 £0

где Yr, Yi — вещественная и мнимая части изображений безразмерного ядра релаксации.

Для вычисления последних из (2.4) получим:

1 N

YR(u) = (и) + AraTra-1JP:Rг(и) + ^гаР3га(и) + AnTn(и^ ,

n=1

1 N

YI(и) = из У ; {R-n-lPln^) + ДnTn-1JP;2n(и) + RnJPзn(и) + ^nTnP^nfa)},

n=1

(4.15)

Ркп(и) = іе дГ1 {е—ішД" [и2А^(ак1 + 2а2 + 3ак) - 6ак - 2іиАп(а£ + 2ак)] -

— ш2А2пак — 6ак — 2шАпак } ,

(4.16)

где к = 1, 2, 3, 4 — номер аппроксимирующего полинома, ак — вектор его коэффициентов, верхние индексы Я и I соответствуют вещественным и мнимым частям.

Теперь в единичном эксперименте Хк — множество частот действия возмущающей деформации, каждой из которых соответствует пара уравнений вида (4.14). В уравнениях идентификации (4.9) изменяются матрицы

А(Я)

и а(т) и вектор Б. На основании (4.14) можно записать

ая = рп(ик)

а2к—1,0 = 1 —

и

а2к— 1,п

РІП(ик) + РЦп+1(ик )

и

ая = Рт (ик)

а2к— 1,М =

и

ая = а2к,0 =

(ик).

из

я

12к—1,п

Р?іп(ик ) + Р\,п+1 (ик )

из

я

12к-1,Ы

РзМ (ик )

и3

(4.17)

Т = -^*21 (ик)_ аТ = -Рі,п(ик)+ Р2,п+1 (ик)_ ая = (ик)

^'2к—1,0 "3 ; а2к-1,п "3 ; а2к—1,М "3

ик3 ик3 ик3

^Т _ JP;2l(Ufc)_ у _ + -^2,те+1 )_ у _ (ик)_ (4 18)

а2к,0 3 ; а2к,п 3 ; а2к,М 3 ; (4.18)

ик ик ик

32к_1 _ ОокСО^Рк ; ^ ) Л _1; 2___ м . (4.19)

£о £о

Таким образом, для данного типа экспериментов (при измерении напряжений и деформаций) и представления ядра релаксации с помощью сплайн-полинома имеем уравнение регрессии, однотипное с (4.9).

5. Разрешающее уравнение для модели движения точки

(точек) тела

К такому классу можно отнести всевозможные эксперименты с измерением параметров движения образца под действием известных или контролируемых сил. Примером таковых являются эксперименты на вибростендах и ударных стендах, в которых измеряется ускорение подвижного стола, определяющее массовую силу, действующую на образец, жестко скрепленный со столом; отклик образца в этом случае

— либо деформации, измеряемые в некоторой точке тела-образца, либо ускорение, скорость, перемещение этой точки или точек — измерительных постов. Принципиально не отличаются от них опыты с возбуждением движения отдельных точек с помощью вибрационных или ударных устройств-возбудителей. Основой для математических моделей в таких опытах является формулировка закона движения выбранных точек

— измерительных постов, что требует решения динамической задачи вязкоупругости для выбранного образца.

Рационально выбирать образец таким, чтобы это решение было аналитическим. Этому условию отвечают задачи о продольных и поперечных движениях тонких стержней, поперечных движениях пластин [4] при малых деформациях и перемещениях. Воспользуемся способом решения таких задач, описанным в [2, 6, 7, 8, 9, 10]. Система уравнений относительно модальных коэффициентов в этом случае имеет диагональную форму:

где N — количество мод, удержанное в разложении, 7 — безразмерное ядро релаксации.

Рассмотрим опыт на нестационарное воздействие, реализуемый на ударном стенде. Если возмущение удается реализовать по одной моде, то только один из модальных коэффициентов в (5.1) будет отличен от нуля. Правда, такой случай нереален; скорее всего, возмущение будет сложным. Однако в связи с тем, что коэффициенты затухания гармоник возрастают с увеличением номера, можно выбрать такой интервал наблюдения, при котором станут ненаблюдаемыми (в пределах разрешающей способности аппаратуры) все составляющие, кроме первой. Перемещение произвольной точки может быть представлено в виде

где г — известный вектор места измерительного поста, — функция, описывающая первую моду колебаний. Умножая (5.1) на ^ч(г), получим соотношение между наблюдаемыми величинами

Для вычисления модальной нагрузки и упругой частоты свободных колебаний можно записать простые выражения:

п(г,г) = ах(г)^1(г),

(5.2)

^0! = Я(0) J ^1(г)йУ = Я(0) ||^1У ^ Л^) = ^(¿^ <£ч(г)Я(г)^У. (5.4)

у у

Здесь внешняя нагрузка представлена в виде произведения известной из условий опыта функции координат Я(г) на измеряемую функцию времени ф(Ь). При вычислении частоты упругих свободных колебаний мы учли, что мгновенный модуль есть значение функции релаксации в нуле. Раскрывая скобки в (5.3), получим выражение

и+ 11^1 II-1 |д(0)«(£) - IТ(г - т)и(т)йт | = ^ч(г) |М1_1 Ра1ф^), (5.5)

которое является основой для формулировки уравнений идентификации.

Проводя те же рассуждения, что и в п. 4, приходим к уравнению идентификации (4.9), в котором компоненты матриц Л(К-) и Л(Т) и вектора Б вычисляются по формулам

ат1 — У'т + 53 Р1(гт ^)(Uj Щ-1);

Vj:0^zm—zj

ат1 = ит + 53 р2(гт - )(и3 - иЗ-1);

Vj:0^zm —zj ^¿і

,(Я)

атк — р 3(гт

У. Р3(гт - Zj)(uj - uj-1) +

Vj:tk-l^zm-zj

+ 53 Р1 (гт - ^ )(uj - и з -1); (5-6)

Vj:tk ^

т zj ^tfc + 1

а!пк - 53 Р4(гт - )(uj - uj-1) +

Vj:tк-1^Zm-Zj <tк

+ 53 р2(гт - ¿з)(uj - uj-1),

Vj:tk ^ тт — 1...М, к — 2...Ж.

Компоненты вектора Б в правой части выражаются так:

Бт — тт^7 {Р1(гт)^1(г) - ^¿т)} , т — 1...М. (5.7)

тії

Остальные элементы уравнения идентификации такие же, как и ранее.

В эксперименте на свободные колебания математическая модель отличается от предыдущей тем, что величина Р1 — 0, зато начальное

перемещение ио = 0. Из (5.6) видно, что начальные скорости для данной модели несущественны, так как их значение не входит в выражения для вычисления коэффициентов уравнений идентификации. Они могут быть использованы для оценки перемещения в дополнительном узле, выходящем за пределы разрешающей способности аппаратуры, по конечноразностному аналогу первой производной:

и1 = ио + г>оДъ

что имеет смысл только при ненулевом значении начальной скорости.

Рассмотрим опыт на установившиеся вынужденные колебания, который может быть реализован с помощью вибростенда. Рассуждая аналогично предыдущему параграфу, то есть задавая функцию ф(е) = ешЬ и предполагая и = иег(ш1+{р\ из (5.5) получим

В° [1 - 7*(и)] = -|^11 и2. (5.8)

Здесь и (и), ф(ш) — измеряемые в опыте величины амплитуды

перемещения и его сдвига по фазе относительно возмущающей силы для фиксированной частоты и. Полученное уравнение отличается от (4.13) только правой частью; тогда матрицы Л(к) и Л(т) вычисляются по (4.17),

(4.18), а компоненты вектора Б имеют вид

= ии^> -Мк = 1'2М <5-9>

Для всех опытов последнего типа (то есть идентификации по законам движения) существенным являлось предположение о том, что движение происходит только по первой моде колебаний. Нужно отметить, что для ряда опытов (например, на ударном стенде с падающим столом или вибростенде при замере кинематической характеристики — ускорения середины шарнирно-опертого образца) ошибка, вызываемая пренебрежением высшими модами, имеет порядок единиц процентов, то есть сопоставима с ошибкой измерений и поэтому вышепринятое представление оправдано. С другой стороны, можно предложить еще один способ учета высших мод.

Пусть проведена обработка результатов с учетом первой моды, как предписано выше. Полученные параметры ядра релаксации позволяют произвести теоретический расчет процесса, соответствующего эксперименту. Тогда разность между включенными в обработку опытными данными и теоретическим расчетом представляет собой результат суммарного действия случайной ошибки измерений и ошибки математической модели, вызванной пренебрежением высшими модами. Статистическая проверка этой разности на гипотезу: математическое ожидание равно нулю по любому из известных статистических критериев (как, например, в [11]) позволяет принять решение об окончании или продолжении обработки.

Если эта гипотеза отвергается с высокой доверительной вероятностью, то обработку следует повторить, составляя уравнения идентификации с учетом двух мод и т.д.

Таким образом, для всех рассмотренных случаев испытаний для определения параметров сплайна, представляющего функцию или ядро релаксации, мы пришли к одному и тому же матричному уравнению идентификации (4.9). Это дает возможность для построения единого алгоритма идентификации.

6. Методика идентификации и ее тестирование

Математической основой методики идентификации является матричное уравнение (4.9) и сопутствующие ему формулы вычисления компонент матрицы и правой части. Тем не менее, при численном решении этой алгебраической проблемы (а сведение задачи идентификации к алгебраической проблеме наименьших квадратов и было целью этого раздела) возникает ряд специфических вопросов, порожденных как исходными данными, так и их обработкой с помощью различных алгоритмов. Выделим эти вопросы:

• Влияние различных источников погрешности на ошибку идентификации;

• Влияние характерных параметров функции релаксации на ошибку идентификации;

• Рациональное масштабирование исходных данных;

• Выбор соотношения между количеством узлов интерполяции и количеством замеров и их взаимного расположения в единичном опыте;

• Выбор соотношения между характерным временем процесса, реализующимся в эксперименте и наибольшим/наименьшим шагом узлов интерполяции.

• Выбор метода решения проблемы наименьших квадратов.

Фактически решение приведенных вопросов реализуется путем

решения задачи минимизации сложной многокритериальной функции, включающей в себя ошибку идентификации и затраты машинных ресурсов. Сформулировать эту задачу можно, но получить ее решение за сколь-нибудь приемлемый срок не представляется возможным хотя бы потому, что такие критерии, как взаимное расположение узлов и замеров и метод решения плохо формализуются. Поэтому к ее решению подойдем поэтапно.

На первом этапе примем, что метод решения находится среди методов линейной алгебры. Причиной этому — хорошо отработанные алгоритмы [12], аналитические исследования погрешности решений [13], наличие итерационных методов уточнения [14]. В случае отсутствия приемлемых

результатов следует пробовать различные методы детерминированной или стохастической минимизации функционалов.

В качестве теста примем набор задач для материала с экспоненциальным ядром, в котором имеются три несвязанных параметра

Т(¿) = Ео • Ав • е~вг, (6.1)

имеющие ясный физический смысл: Ео — мгновенный модуль упругости,

А = Ео - Еи (6.2)

Ео

— относительное падение наблюдаемого модуля в опыте на релаксацию, 1/в — время релаксации, за которое натуральный логарифм напряжения в опыте на релаксацию убывает на единицу. Функция релаксации для такого ядра имеет вид

К(г) = Ео - J Т(т)йт = Ео [1 - А (1 - е~в1)] . (6.3)

о

Изменяя эти параметры, можно судить о возможностях методики по отношению к степени релаксации, крутизне вблизи нуля и жесткости тела.

Список литературы

1. ГОСТ 14359-69. Пластмассы. Методы механических испытаний. Общие требования.

2. Бузовкин Е.А., Желтков В.И., Хромова Н.Г. Ускоренный способ исследования реакции несущих конструкций РЭА на динамические воздействия // Вопросы специальной радиоэлектроники. Сер. Радиолокационная техника. 1993. Вып. 5. С. 24-31.

3. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1974.

4. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 270 с.

5. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 467 с.

6. Бузовкин Е.А., Желтков В.И., Хромова Н.Г. Ускоренный способ исследования реакции несущих конструкций на динамические воздействия // Вопросы специальной радиоэлектроники. Сер. РЛТ. 1993. Вып. 28. С. 102-108.

7. Бузовкин Е.А., Желтков В.И., Хромова Н.Г. Реакция печатных плат на удары // Вопросы специальной радиоэлектроники. Сер. РЛТ. 1992. Вып. 5. С. 57-60.

8. Желтков В.И., Комолов Д.В., Хромова Н.Г. Некоторые возможности автоматизации расчетов динамики вязкоупругих систем // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1995. Т. 1. Вып. 2. С. 58-69.

9. Желтков В.И., Суманеева Е.Н. Методика определения вязкоупругих характеристик композитных материалов // Надежность механических систем: тез. докл. конф. Самара, 1995. С. 79.

10. Желтков В.И., Хромова Н.Г. Способ исследования динамической реакции вязкоупругих тел // В сб. «Механика деформируемого твердого тела» Тула: ТулГТУ, 1994. С. 48-54.

11. Желтков В.И. Методика обработки опытных данных для установления структуры упругого потенциала // В сб. «V Всесоюзная НТК по методам расчета изделий из эластомеров. Юрмала, 1986». Рига: РПИ, 1986. С. 41.

12. Уилкинсон Дж.Х, Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976. 390 с.

13. Лоусон Ч, Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. М.: Наука, 1986. 232 с.

14. Умушкин Б.П. Расчет колебаний составных систем // XVI Международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы граничных и конечных элементов». СПб.: СПбГТУ, 1998. С. 16.

Желтков Владимир Иванович (glob@tula.net), д. ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный

университет.

Андреев Александр Иванович (kvantildim@mail.ru), д.т.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный

университет.

Сухоруков Дмитрий Александрович (kvantildim@mail.ru), ассистент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный

университет.

Hereditary relations identification

V. I. Zheltkov, A. I. Andreev, D. A. Sukhorukov

Abstract. At present polymeric materials based on polyvinylchlorides are widely used in building. They are delivered in state of thin-walled profiles — corners, baskets etc. Despite the fact that these materials are on the whole finishing for a forecast of their behavior in real operation conditions — at subsidence of buildings, temperature deformations, all sorts of overprojected influences — they are subjected to certification including mechanical and rheological characteristics determination [1].

It it well-known that polymeric materials tests are significantly more laborious because of existence of time effects — creep and relaxation. There is a number of methods [2, 3] which use different controlled laws of loading (deformation) with the purpose of defining of basic universal characteristics of polymers — kernel and functions of creep and relaxation. We’ll note, that the most informative experiments with dynamical regimes produce considerable difficulties in realization, particularly in deformation measurement directly on basic length of specimen.

At the same time in [2] static methods based on two-section loading law, which lets to determine kernel parameters and does not besides require complicated equipment, is proposed.

Keywords : viscoelasticity, dynamic loading, identification equations, hereditary relations, relaxation, creep kernel, relaxation kernel, temperature-time analogy.

Zheltkov Vladimir (glob@tula.net), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modeling, Tula State University.

Andreev Alexandr (kvantildim@mail.ru), doctor of technical sciences, professor, department of mathematical modeling, Tula State University.

Suhorukov Dmitry (kvantildim@mail.ru), assistant, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 21.09.2011