Идентификация математической модели компрессорной аэродинамической трубы как объекта управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XXIV 1993

М 2

УДК 533.6.07 : 62—52

ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ КОМПРЕССОРНОЙ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЫ КАК ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

Н. А. Кудрин, В. В. Петроневич

Предлагается математическая модель компрессорной аэродинамической трубы как объекта управления по числу М в дозвуковом диапазоне в виде обыкновенного дифференциального уравнения. Порядок и коэффициенты уравнения определяются с помощью аппроксимации результатов экспериментальных наблюдений переходных процессов разностным уравнением. Показано, что переходные процессы для управляющего и возмущающего воздействий с удовлетворительной точностью описывают-' ся уравнением первого порядка с запаздыванием и коэффициентами, зависящими от состояния объекта.

Описание динамических свойств аэродинамической трубы (АДТ) как объекта управления в форме математической модели является отправным пунктом для задач оптимизации системы управления АДТ с целью повышения экономичности и информативности аэродинамического эксперимента. Использование математической модели АДТ обеспечивает возможность автономной отладки и тестирования программного обеспечения цифровой системы управления, а также позволяет моделировать поведение системы управления в различных критических ситуациях. Математическая модель должна с хорошей точностью описывать динамические свойства объекта и, вместе с тем, быть достаточно простой для применения существующих методов теории управления к анализу и синтезу управляющих систем [1, 2].

Известно несколько подходов к построению математической модели АДТ. Одни из них основаны на использовании физического описания протекающих в АДТ динамических процессов в виде системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений н частных производных. Другие — на идентификации модели заданного вида по результатам наблюдений входных и выходных переменных [3—5]. Указанные подходы позволяют получить математические модели, с удовлетворительной точностью описывающие динамические процессы в АДТ, Однако высокий порядок и нелинейность получаемых уравнений существенно усложняют непосредственное использование этих моделей для синтеза управления,

Типовая методика проведения испытаний моделей летательных аппаратов (ЛА) предполагает, как правило, небольшие изменения параметров потока относительно предшествующего стационарного состояния (например, приращения числа Маха АМ от точки к точке при экспериментальных исследованиях характеристик ЛА как функций числа М составляют не более 0,05—0,10). При небольших отклонениях от режима с установившимся значением числа М динамику АД'Г можно описать линейным дифференциальным уравнением с параметрами, значения которых определяются данным стационарным состоянием АДТ. Такой вид модели обеспечивает возможность применения методов-линейной теории для решения задач оптимизации управления.

1. Математическая модель АДТ по управляющему воздействию. Рассматривается задача идентификации модели дозвуковой компрессорной АДТ (рис. 1) как объекта управления по числу М по экспериментальным данным. Входными управляющими воздействиями являются угол установки направляющих аппаратов компрессора (НАК)ср и скорость вращения ротора компрессора со, которая может принимать одно

Рис. 1

из допустимых значений со,-, i= 1,. . . , k. При этом дозвуковой диапазон чисел М разбивается на соответствующее число поддиапазонов, внутри каждого из которых управление числом М осуществляется изменением угла установки НАК. ф. Математическая модель АДТ как объекта управления по числу М при ш, = const в окрестности стационарного состояния отыскивается в виде линейного дифференциального уравнении п-то порядка с запаздыванием:

П(ГуО+1)М(*) = М0 + К?(* —т) + Ht), (1)

/=1

где Тj, /'= 1, 2,. . . , п — постоянные времени, D — оператор дифференцирования, М0 — значение числа М при ф(^)еее0, К — коэффициент передачи, т — задержка, g(^) — аддитивный шум.

Поскольку переходные процессы наблюдаются в дискретные моменты времени с интервалом дискретизации Т, уравнение (1) целесообразно записать в разностном виде:

= я0 + 2 -)- 2 (2)

/ = ! /=О

где М; = М (ti), i = О, 1, 2, ti = iT\ а0 = М0 ^ 1 - 2 a/); ?,■ = &(£,•) — шум; rfy f 1 — число интервалов задержки (при допущении, что т

кратно Т); ajtj=\, 2, ..., п — коэффициенты уравнения 1—axZ'— — a5z2—... — anzn — 0, корни которого равны: z;- = exp (TjTj).

В предположении, что шум li нормально распределенный, независимый и центрированный, оценки метода наименьших квадратов неизвестных коэффициентов aj и bj, минимизирующие

ml п п—1 \ 2

S = 2 М;- а о - 2 ауМ,_,— 2 ,

г=о V } 1 /.-.-.о • /

будут практически совпадать с оценками метода максимального правдоподобия при не слишком малом размере выборки m [6].

По результатам серий экспериментальных наблюдений изменения числа Маха ДМ(/)=М(/)—Мст в окрестности установившегося значения Мст при небольших отклонениях угла НАК Л<р(0 методом наименьших квадратов определен порядок и получены оценки коэффициентов разностного уравнения (2). Качество аппроксимации реальных переходных процессов рассматриваемой моделью оценивалось по величине среднеквадратического отклонения (СКО). Анализ значимости коэффициентов уравнения (2) по величине СКО показал, что переходные процессы с удовлетворительной точностью описываются уравнением первого порядка с запаздыванием, т. е. п= 1. Величины коэффициентов «1 и Ь0 разностного уравнения (2) определяются текущим стационарным состоянием объекта Мст и могут быть представлены как функции Мст: a1 = ai(MCT), b0 = b0(M.CT). Величина запаздывания т слабо зависит от Мст в дозвуковом диапазоне чисел М. СКО аппроксимации реальных переходных процессов по числу Маха полученной моделью не превышает 0,001, что является вполне удовлетворительным. На рис. 2 представлен пример реализации переходного процесса по числу М в аэродинамической трубе и аппроксимации этого переходного процесса с помощью полученной математической модели.

Найденной математической модели АДТ соответствует передаточная функция в виде апериодического звена с запаздыванием:

,v/ , , ДМ (s) К с . ч

) — д<р (s) T s V г еХР .

коэффициенты которого связаны с коэффициентами разностного уравнения соотношениями:

a, = exp (— Т/7\), b0 = (1 — а,),

где T-f — постоянная времени объекта, К, — коэффициент передачи объекта. Коэффициент передачи объекта Kf =дМ./д(р зависит в основном от скорости вращения ротора компрессора ю. Постоянная времени Тч является функцией Мст. На рис. 3 приведена экспериментально установленная зависимость постоянной времени объекта от значения числа Мст, из которой следует, что динамические свойства объекта существенно зависят от его состояния и, следовательно, данная модель АДТ применима лишь при небольших изменениях числа М.

Эксперименты по идентификации модели АДТ проводились с использованием штатной информационно-измерительной системы (ИИС)

Рис. 2

О 0,4 0,8 М

Рис. 3

объекта, при этом регистрируемые переходные процессы включали также и динамику измерительной системы (пневмотрассы, датчики, усилители). Влияние пневмоизмер.ительной системы и остальных элементов ИИС не являлось существенным для тех перепадов давлений и геометрических размеров пневмотрасс и датчиков, которые встретились в эксперименте.

2. Математическая модель АДТ по возмущающему воздействию.

Математическая модель АДТ по возмущающему воздействию необходима для синтеза системы регулирования, обеспечивающей компенсацию возникающих возмущений числа М. Типичным возмущающим воздействием является изменение в процессе эксперимента углов ориентации модели ЛА. Как правило, это вызывает небольшие отклонения числа М, поэтому можно ожидать, что в этом случае линейная модель АДТ будет удовлетворительно описывать поведение объекта. Модель объекта при возмущающем воздействии от изменения угла атаки а отыскивалась в виде разностного уравнения, подобного уравнению (2) (угол ф в уравнении (2) заменяется на а, параметры которого оценивались методом наименьших квадратов по результатам экспериментальных наблюдений. Результаты идентификации показали, что динамика АДТ по возмущающему воздействию Да (О хорошо описывается апериодическим звеном первого порядка:

Ш (с)---

■“ Да (5) ~~ 7> + 1 ’

где Ка — коэффициент передачи объекта по возмущающему воздействию Да(/), У. — постоянная времени объекта. Запаздывание при изменении а (0 отсутствует, постоянная времени Та совпадает с Т9 для одинаковых значений Мст. Рис. 4 иллюстрирует аппроксимацию реального переходного процесса в АДТ с помощью полученного уравнения при изменении угла атаки модели а(0-

Коэффициент передачи в отличие от коэффициента К9, значение которого определяется из стационарной характеристики объекта, существенно зависит от геометрии исследуемой модели ЛА, текущего значения угла атаки модели и числа М. Зависимость К*- К* (Мст, о.)

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

для конкретной модели ЛА определяется по результатам измерении отклонения положения НАК Аф(а) при изменении угла а н6 режиме М = const. Поскольку коэффициент передачи объекта К9 является величиной постоянной в окрестности заданного значения числа Мст, коэффициент передачи Ка{Мст, а) определяется из соотношения:

is / a if \ дМ

К*(Мст, а)

да

К'гТа •

9 = const М —const

Ha рис. 5 приведены зависимости Дф(а) для моделей ЛА различной геометрии, полученные из серий многократных испытаний, которые иллюстрируют существенное влияние геометрии модели на вид зависимости Ка (Мст, а). На рис. 6 приведены зависимости Дф(а) при различных значениях числа Мст. Как правило, они имеют подобный характер.

В результате проведенных исследований показано, что в окрестности небольших изменений числа М (АМ<0,1) математическая модель компрессорной АДТ как объекта управления по числу М, как для управляющего, так и возмущающего воздействий, может описываться линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами, значения которых определяются текущим стационарным состоянием объекта. Полученная модель АДТ с достаточной для задач управления точностью аппроксимирует поведение реального объекта.

1. Szuch J. R., Cole G. L., Seidel R. C., Arpasi D. J. Development and Application of Dynamic Simulations of a Subsonic Wind Tunnel//AIAA 14th Aerodynamic Testing Conference. — 1986.

2. Marchis V. Simulazione dinamica di circuiti oleqidravlici// I'luid-apparecchiature idravliche e pneumatiche. — 1982. Vol. 22, N 218.

3. Лебсак В. А., Лыжин О. В. Математическая модель переходных процессов в компрессорных трубах//Ученые записки ЦАГИ.— 1985. Т. 16. № 2.

4. Balakrishna S., Thibodeaux J. J. Modeling and control of a LN2—GN2, operated closed circuit cryogenic wind tunnel//In: Proceedings of ihe 1st International Symposium on Cryogenic Wind Tunnels, Southampton. — 1979.

5. H e м у p а А. А., Лебсак В. А., Овсянников P. I I., 10 p г ял e н и с С. П. Аппроксимация физической модели аэродинамической трубы дискретной моделью Гаммерштейна (1. Аппроксимативная модель о двумя входами и тремя выходами)//Труды Академии наук Литовской ССР. Серия Б — 1987. Т. 5 (162).

6. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 2.—М.: Мир, 1974.

Рукопись поступила 24/VI 1991