ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОКРЕСТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ С НЕЧЕТКОЙ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информатика, вычислительная техника и управление

Б01 10.25987/У8Ти.2019.15.4.001 УДК 519.711

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОКРЕСТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ С НЕЧЕТКОЙ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

И.А. Седых

Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Россия

Аннотация: окрестностные модели и их модификации применяются для моделирования различных распределенных систем и процессов. Дано определение неиерархической динамической окрестностной модели с векторными входами и состояниями, функционирующей в дискретном времени. Приведены уравнения функции пересчета состояний в случаях полного и неполного графа структуры. Показан общий вид линейной функции пересчета состояний. Рассмотрен пример состоящей из двух узлов динамической окрестностной модели, для которой приведены граф структуры, матрицы смежности и уравнения пересчета состояний в общем и линейном случаях. Приведено понятие двухуровневой нечеткой динамической окрестностной модели с нечеткой иерархической структурой, каждый узел первого уровня которой нечетко связан с входящими в него узлами второго уровня. Рассмотрен алгоритм нечеткой структурной и параметрической идентификации двухуровневой окрестностной модели, показана его блок-схема. Приведен пример структурной и параметрической идентификации линейной динамической окрестностной модели с нечеткой иерархической структурой. Показано, что на тестовых данных введение нечеткой иерархической структуры в несколько раз уменьшает среднюю квадратическую ошибку идентификации и значительно улучшает адекватность окрестностной модели

Ключевые слова: линейные динамические окрестностные модели, иерархия, нечеткая структура, структурная и параметрическая идентификация

Благодарности: работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 19-48-480007 р_а)

Введение

При разработке моделей динамических производственных систем возникает задача выбора адекватной математической модели, связанная со сложной структурой взаимосвязей между элементами системы и изменением состояний объекта во времени. Проблема моделирования и управления такими объектами связана как с распределенностью системы, так и с наличием нелинейных связей между подсистемами.

Перспективным направлением в моделировании сложных систем являются окрестност-ные модели [1-3], отражающие связи между узлами некоторого реального объекта или процесса и позволяющие адекватно представлять сложные пространственно-распределенные системы, изменяющиеся во времени [4-7].

Рассматриваемые в работе линейные динамические окрестностные модели с нечеткой иерархической структурой являются расширением введенных ранее окрестностных моделей и отличаются нечеткими иерархическими связями между узлами окрестностной модели, что

© Седых И.А., 2019

приводит к повышению точности при решении задач идентификации и управления.

Понятие неиерархической

динамической окрестностной модели

Дадим определение неиерархической динамической окрестностной модели [8]. Пусть задано множество узлов окрестностной модели А = {я1,а2,...,ап}. Каждому узлу а,, 1 = 1,...,п в текущий момент времени t соответствует векторное состояние X[^ а1 ] = X [^ 1] е Я р . На каждый узел а,, 1 = 1,...,п в текущий момент времени t подается векторное управляющее (входное) воздействие V[^ а1 ] = V[^ 1] е Ящ . Множества состояний и управляющих воздействий для узла а1 обозначим соответственно X, и V-.

Время является дискретной величиной с шагом Дt = 1, начальный момент времени функционирования модели t0 = 0 . Начальное состояние модели X[0] = (X[0,1],...,X[0,п]) .

Связи между узлами задаются двумя матрицами смежности по состояниям 8Х и по

управляющим воздействиям Sv. Структуру окрестностной модели можно также представить в виде ориентированного графа с двумя видами дуг (по состояниям и управляющим воздействиям), который назовем графом структуры окрестностной модели.

Далее все рассуждения и расчеты будем проводить относительно произвольно выбранного узла окрестностной модели а,, , = 1,...,п. Для остальных узлов приведенные ниже формулы задаются аналогично.

Под воздействием функции пересчета состояний О, : Х0х а ] хГ0га ] ^ X, узет а в следующий момент времени г +1 переходит в состояние X[г +1,,] е Яр, где 0Х[a¡ ] с А и 0У [ai ] с А - множества узлов, входящих в окрестность узла а,, или окрестности узла а, по состояниям и управляющим воздействиям соответственно; Х0 [а ], У0 [а ] - множества состояний и управляющих воздействий в текущий момент времени соответственно для перечисленных выше множеств узлов.

Сначала рассмотрим случай, когда граф структуры окрестностной модели является полным по состояниям и управляющим воздействиям, то есть 0Х[а,] = 0У[а,] = А , , = 1,...,п.

Тогда функция С, переводит вектор (Хт [г,1],.., Хт [г, п],УГ [г,1],...,ут [г, п])т в

X[г +1,,] и имеет вид: X [г +1,,] =

= С, (X [г,1],.., X [г, п],у [г,1],...,у [г, п])

Если граф структуры не полный и заданы окрестности 0Х [а, ], 0У [а, ], тогда функцию С, в (1) можно записать в виде: X [г +1,,] =

, (2)

= С, (X [г, ,, ],..., X [г, ,, ],у [г, ],...,у[г,])

где X[г, ,, ] - состояние в узле а., в момент

времени г; а,х е 0Х [а, ] - узел, входящий в

,к

окрестность узла а, по состоянию, к = 1,...ё; у [г, ] - управляющее воздействие на узел а,,

У 1р

в момент времени г; ае 0У [а, ] - узел, входя-

'р

щий в окрестность а по управляющему воздействию, р = 1,...1.

Функция С, в общем случае может быть линейной, полиномиальной или нелинейной. Далее будем рассматривать динамические

(1)

окрестностные модели с линейными функциями пересчета состояний. В линейном случае формула (2) примет вид:

X [г +1,, ] = X £х [,, 1 ] X [г, 1 ] +

а ¡е0г]

1 х (3)

+ X ^ [,, к ]у [г, к] + gc [,],

ак е°, [а ]

где ],к = 1,...,п ; gx[и 1] е Яр,хр ,

gv[,,к] е Яр™к, ^[,] е параметры.

матрицы -

Пример динамической окрестностной модели с двумя узлами

Приведем пример окрестностной модели, состоящей из двух узлов А = {а1,а2} . Пусть векторы состояний и управляющих воздействий имеют единичную размерность, т.е. рг = \, = 1, (, = 1,2).

Рассмотрим граф структуры окрестност-ной модели, представленный на рис. 1.

Рис. 1. Граф структуры окрестностной модели с двумя узлами

На рис. 1 символ (П - задержка на один такт функционирования модели.

Тогда окрестности по состояниям и управляющим воздействиям для каждого узла имеют

вид: 0х[а1 ]={а2}; 0х[а2]={а1}; °[а1 ]={а};

0У[а2] = {а2}, т.е. состояние X[г +1,1] узла а1 в момент времени г +1 зависит от состояния X[г,2] узла а2 и управления у[г,1] в узле а1 в текущий момент времени г, а состояние X[г + 2,2] узла а2 - от X[г,Ц и у[г,2].

Матрицы смежности по состояниям 5х и по управляющим воздействиям ^ соответственно равны: =

"1 0" "0 1"

; =

0 1 ' V 1 0

(4)

(5)

Для рассматриваемого примера функции пересчета состояний в общем случае задаются уравнениями:

Г X ^ +1,1] = ОД X ^,2]У ^ ,1]); {X [t +1,2] = G2 (X ^,1]^ [t,2]).

Если функции пересчета состояний О, линейны, то система (4) с учетом (3) преобразуется к виду:

' X [t +1,1] = £х [1,2] X ^,2] +

+ [1,1Г [t,1] + [1]; ' X[t +1,2] = £х [2,1]X[t,1] +

+ [2,2]V [t,2] + £с [2].

Динамическая окрестностная модель с нечеткой иерархической структурой

В [9-10] рассмотрена параметрическая идентификация, т.е. нахождение параметров функций пересчета состояний О, (1 = 1,...,п) линейной окрестностной модели с использованием псевдообращения.

Для повышения точности моделирования, по сравнению с указанным выше способом, предлагается использование двухуровневой [11] нечеткой динамической окрестностной модели, каждый узел первого уровня которой нечетко связан с входящими в него узлами второго уровня. Данную модель далее будем называть динамической окрестностной моделью с нечеткой иерархической структурой.

Пусть для каждого узла а1 е А окрест-ностной модели определено множество узлов второго уровня А1 = {а1,..., аС}. При этом аГ е ai (г = 1,...,с) с некоторой функцией принадлежности ж; : ^^] X ^[а] ^ Я[0,1], значения которой зависят от состояний и управляющих воздействий на узел а1 в текущий момент времени:

ж; ^ ] = ж; (X и, ],..., X [t, ^ ], V[t, и; ],..., V [t, /7 ]).

Таким образом, каждый узел а1 е А окрестностной модели является, в свою очередь, нечеткой окрестностной моделью с множеством узлов второго уровня А1 = {а1,..., аС }.

Если значение функции принадлежности Ж[ [t ] в текущий момент времени меньше некоторого заданного порога 0 < 8 < 1, т.е. Ж ■ ^] <8, то будем считать, что влияние узла

(6)

а1 на узел а1 несущественно и положим

Ж1г ^] = 0, т.е. аГ £ Ох [ai ], а"Т £ Оу[ai ] в момент времени /.

Для каждого узла второго уровня аГ е Аг определим функцию ОГ :

X ^+1,1, г ] = ОГ (X ^, 1Х ],..., X [t, 1Х ],

V ц; ],...,V ]), жг ^ ] * 0,

при Ж[ Щ = 0 положим X^ + 1,1, г] = 0 . В линейном случае (7) имеет вид: X ^ +1,1, г ] = X £х [1, г, № [t, ]] +

(8)

(7)

а]еОх [а' ]

+

X ^ [1, г, кV[t, к] + £с [1, г]

акеО;Ы ]

где Ох [а[ ] - окрестность узла аХ по х; О; [а[ ] - окрестность узла а [ по ;; Ях[1,г,]] е Я***, [1,г,к] е Я*хтк ,

gc [1, г ] е Я*х1 - матрицы-параметры.

Функция пересчета состояний О1 для узла первого уровня а е А будет иметь вид: X ^+1,1] = ог (X ^ лх ],..., X [t, ],

Хжг ^ ]ог ^ ]

V [м; ],..., V [t, 1; ]) = г=

(9)

Хжг ^ ]

где Ог [t] = О,г (X [^ ],..., X % ],

V [и; ],...,V ^, 1; ]).

Нечеткая структурная и параметрическая идентификация модели

Приведем алгоритм нечеткой структурной и параметрической идентификации [12] двухуровневой окрестностной модели. Здесь, как и ранее, все рассуждения будем проводить относительно произвольно выбранного узла а , 1 = 1,...,п.

1. Пусть для рассматриваемой окрестност-ной модели известно М наблюдений всех X^,1], V[^1] в некоторый текущий момент времени / и X^ +1,1] в следующий момент времени t +1. Требуется найти параметры функции О .

Начало

Число кластеров

с = 1

с =с + 1

Ввод исходных данных ¿¿[/-г 1,г], к= %,...,М ^ е: С

Структурная нденг-цня: разбненне исходных данных на с узлов второго уровня

Параметрическая ндеьл-цня функций состоянии для каждого узла второго уровня

Вывод

Рис. 2. Блок-схема алгоритма структурной и параметрической идентификации модели

2. Рассмотрим обучающее множество Н = {Н1,...,НМ} , состоящее из М наборов исходных данных Нк = (XI [г,,, ],..., XI [г,,, ],¥[ [г, ,1 ],...,¥[ [г, ,1 ])т, к = 1,...,М .

3. Пусть количество узлов второго уровня узла а, равно с = 1. Зададим предельную среднюю квадратическую ошибку идентификации 5 > 0 и порог принадлежности 0 < 8 < 1. Зададим максимальное количество узлов второго уровня С .

4. Будем считать, что в узел а, окрест-ностной модели входит с узлов второго уровня А, = {а1,...,аС}. Определим функцию принадлежности Щг [г] для каждого аТ , г = 1,...,с . Для этого разобьем множество Н методом нечет-

ких с -средних на кластеры [12-14], которым сопоставим узлы второго уровня а,г .

Каждый набор Н к е аГ с некоторой степенью принадлежности = Ж,г (Нк) е [0,1], вычисляемой по формуле (6). Если степень принадлежности набора Н к достаточно мала, т.е. м/^ < 8, то будем считать, что его влияние

на узел аГ несущественно, и положим = 0.

5. Для каждого узла второго уровня а,г е А, определим параметры функции С,г из (8) с помощью псевдообращения [9].

Введем следующие блочные матрицы:

" XГ [г,,, ]... X Г [г, ]ГГ [г, ,1 ]...ут [г, ,1 ] 1"

хг = XI [г, ,1 ]... XI [г, ,х ]у2т [г, ,11 ]...у2т [г,]1 ЖМ [г,,, ]... Xтм [г, ,х ]уМ [г, ,11 ]...УМ [г, ,1 ]1.

Ц = [&тх [,,г,,1 ] ... gтx [,,г,,,] gтv [,,г,,11 ] ... ... gTх [,, г,,1 ] кТ [,, г]]т ;

вг ^т[г +1,,] X2т[г +1,] ... XI[г +1,1]], где К,[',Г,ЧхЬ к = \...й, [',г,?рь р = 1,...1,

кс[,,г] - неизвестные матрицы-параметры.

В этих обозначениях для решения задачи параметрической идентификации, т.е. нахождения матрицы Ц, необходимо решить систему линейных уравнений:

Xг • Ц = вг. (10)

Критерий параметрической идентификации имеет вид: • Ц - В^Ц ^ шт, для его выполнения необходимо найти нормальное псевдорешение (10): Ц = ^)+ • Вг, где (X':)+

- псевдообратная матрица к Xri .

Заметим, что для параметрической идентификации функции (8) используются только те

наборы Нк, для которых м/'к Ф 0 .

6. Функция С, (9) будет иметь вид:

X

XXк [г +1,,] = С, (Нк) = -

(11)

X ™

г=1

кг

где XXк [г +1,,] - модельное состояние в момент времени г +1 для набора данных Нк .

7. Вычислим среднюю квадратическую ошибку идентификации по формуле:

А = {а1, а2} , граф структуры которой приведен на рис. 1. Мощность обучающего множества |Я| = 500.

После проведения анализа исходных данных и структурной идентификации иерархической окрестностной модели было выделено по 4 узла второго уровня в узлах а1 и а2. Таким

образом, А1 = {а1, а2, а3, а4}, 1 = 1,2.

Граф структуры рассматриваемой модели приведен на рис. 3.

хи+щ = ^гтали])

12] =

Рис. 3. Пример нечеткой иерархической окрестностной модели

Для каждого узла второго уровня а1г е А1 функция (7) имеет вид:

X [t +1,1, г ] = о; (X [t,1]), (12) для узлов а2 е А2 :

X ^ +1,2, г ] = О2Г (X [^1]^ [t,2]), (13) где г = 1,...,4.

Запишем уравнения (12)-(13) для всех узлов второго уровня а; в виде системы из 8-ми уравнений вида (8):

1 Мм - 2

*=ммХК^+1,1] - хк[t+1,1] .

8. Если е > е и с < С, то с = с +1. Перейти к шагу 4. Иначе конец алгоритма.

Блок-схема алгоритма нечеткой структурной и параметрической идентификации для узла а1 модели приведена на рис. 2.

Пример структурной и параметрической идентификации линейной иерархической окрестностной модели

Рассмотрим пример окрестностной модели, состоящей из двух узлов первого уровня

X ^ +1,1,1] = Ях [1,1,2] X ^ ,2] +

+ [1,1,1Г [М] + Яс [1,1];

X ^ +1,1,4] = Ях [1,4,2] X ^ ,2] + + [1,4,1]V [t,1] + Яс [1,4]; ' XУ +1,2,1] = Ях [2,1,1]X[М] +

+ [2,1,2]V [t ,2] + Яс [2,1];

X [t +1,2,4] = Ях [2,4,1] X [М] +

+ [2,4,2]V ^,2] + Яс [2,4],

т.е. каждое уравнение системы (5) распадается на 4 уравнения для каждого узла второго уровня.

Тогда (9) будут иметь вид:

X ^ + 1,1] = О; (X [^2], V [^1]) =

X ж; (X [t ,2]^ [t,l]) • о; (X ^ ,2],v [t ,1]);

= _г=1_;

X Ж1Г (X [t,2],V [t,1])

Г=1

X [t +1,2] = О2 (X [t ,1], V ^ ,2]) = X Ж2Г (X [t ,1], V [t ,2]) • О; (X [t ,1], V ^,2])

= _г=1_.

X Ж2Г (X [^,1], V [t,2])

Г=1

Средняя квадратическая ошибка идентификации рассмотренной линейной иерархической окрестностной модели г? =0,36. Обычная линейная окрестностная модель на том же наборе исходных данных дает ошибку г =3,17. Таким образом, введение нечеткой иерархической структуры значительно улучшает адекватность окрестностной модели.

Заключение

Таким образом, в работе рассмотрены линейные динамические окрестностные модели с нечеткой иерархической структурой. Приведен алгоритм и пример их структурной и параметрической идентификации. На тестовых данных показано, что введение нечеткой иерархической структуры в несколько раз уменьшает среднюю квадратическую ошибку идентификации и повышает адекватность окрестностной модели.

Решение задач структурной и параметрической идентификации динамических окрест-ностных моделей с нечеткой иерархической структурой, базирующихся на наблюдаемых результатах работы сложной системы, является удобным и эффективным инструментом для моделирования процессов реального производства, отличающегося сложными механизмами внутренних связей и разнородной структурой.

После проведения идентификации и разработки адекватной окрестностной модели можно решать более общие задачи, например, задачи достижимости, смешанного управления и т.д.

Литература

1. Блюмин С.Л., Шмырин А.М. Окрестностные системы: монография. Липецк: ЛЭГИ, 2005. 132 с.

2. Блюмин С.Л., Шмырин А.М., Шмырина О.А. Билинейные окрестностные системы: монография. Липецк: ЛЭГИ, 2006. 131 с.

3. Shang Y. Multi-agent coordination in directed moving neighborhood random networks // Chinese Physics B. 2010. Vol. 19. № 7. Article ID 070201.

4. Шмырин А.М., Ярцев А.Г., Правильникова В.В. Трилинейная окрестностная модель процесса формирования температуры смотки горячекатаной полосы // Вестник ТГУ. Серия: Естественные и технические науки. 2016. Т. 21. Вып. 2. С. 463-469.

5. Parametrical neighborhood modelling of the process of forming the temperature of hot-rolled strip coiling / А.М. Shmyrin [and others] // Journal of Chemical Technology and Metallurgy. 2016. 51(4). P. 401-404.

6. Study of The Trilinear Neighborhood Model of Process of Formation of Temperature's Coiling Hot-Rolled Strip / A. M. Shmyrin [and others] // International Journal of Electrical and Computer Engineering (IJECE). 2016. Vol. 6. № 3. P. 1371 - 1374.

7. Седых И.А. Прогнозирование уровня подземных вод месторождения цементного сырья на основе динамических окрестностных моделей // Вестник Донского государственного технического университета. 2018. № 3. С. 326-332.

8. Седых И.А. Управление динамическими окрест-ностными моделями с переменными окрестностями // Системы управления и информационные технологии. 2018. № 1(71). С. 18-23.

9. Седых И.А. Параметрическая идентификация линейной динамической окрестностной модели // Инновационная наука: прошлое, настоящее, будущее: сб. ст. Меж-дунар. науч.-практ. конф. Уфа, 2016. С.12-19.

10. Мишачев Н.М., Шмырин А.М. Окрестностные структуры и метаструктурная идентификация // Таврический вестник информатики и математики. 2017. Т. 37. № 4. С. 87-95.

11. Седых И.А. Двухуровневые полиномиальные динамические окрестностные модели с переменными окрестностями и их параметрическая идентификация // Вести высших учебных заведений Черноземья. 2018. № 1(51). С. 57-65.

12. Ходашинский И.А. Идентификация нечетких систем: методы и алгоритмы // Проблемы управления. 2009. № 4. С. 15-23.

13. Li Y., Shang Y., Yang Y. Clustering coefficients of large networks // Information Sciences. 2017. Vol. 382-383. P. 350-358.

14. Scaled cluster consensus of discrete-time multiagent systems with general directed topologies / B. Hou [and others] // Int. J. Control. 2016. № 47. P. 3839-3845.

Поступила 20.05.2019; принята к публикации 31.07.2019 Информация об авторах

Седых Ирина Александровна - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики, Липецкий государственный технический университет (398000, Россия, г. Липецк, ул. Московская, 30), e-mail: [email protected]

IDENTIFICATION OF LINEAR DYNAMIC NEIGHBORHOOD MODELS WITH FUZZY HIERARCHICAL STRUCTURE

I.A. Sedykh

Lipetsk State Technical University, Lipetsk, Russia

Abstract: neighborhood models and their modifications are used to model various distributed systems and processes. The paper gives a definition of a non-hierarchical dynamic neighborhood model with vector inputs and states, which functions in discrete time. The equations of the functions of the recalculation of states in the cases of a complete and incomplete structure graph are given. A general view of the linear recalculation function of states is shown. An example of a two-node dynamic neighborhood model is considered, for which a graph of the structure, the adjacency matrix, and the equation for recalculating states in the general and linear cases is given. The concept of a two-level fuzzy dynamic neighborhood model with a fuzzy hierarchical structure, each node of the first level of which is fuzzy connected with the nodes of the second level included in it, is given. The algorithm of fuzzy structural and parametric identification of a two-level neighborhood model is considered; its block diagram is shown. An example of the structural and parametric identification of a linear dynamic neighborhood model with a fuzzy hierarchical structure is given. It is shown that for the considered source data, the introduction of a fuzzy hierarchical structure several times reduces the mean square error of identification and significantly improves the adequacy of the neighborhood model

Key words: linear dynamic neighborhood models, hierarchy, fuzzy structure, structural and parametric identification

Acknowledgment: The work was supported by the Russian Fund for Fundumental Research (project no. 19-48-480007

r_a)

References

1. Blumin S.L., Shmyrin A.M. "Neighborhood systems" ("Okrestnostnye sistemy"), monograph, Lipetsk, LEGI, 2005, 132 p.

2. Blumin S.L., Shmyrin A.M., Shmyrin O.A. "Bilinear neighborhood systems" ("Bilineynye okrestnostnye sistemy"), monograph, Lipetsk, LEGI, 2006, 131 p.

3. Shang Y. "Multi-agent coordination in moving neighborhood random networks", Chinese Physics B, 2010, vol. 19, no. 7, article ID 070201.

4. Shmyrin A.M., Yartsev A.G., Pravilnikova V.V. "Trilinear neighborhood model of the process of forming the temperature of the hot-rolled strip coiling", Bulletin of TSU. Series: Natural and Technical Sciences (Vestnik TGU. Seriya: Estestvennye i tekhnicheskie nauki), 2016, vol. 21, no. 2, pp. 463-469.

5. Shmyrin A.M. et al. "Parametrical neighborhood of the hot rolled strip coiling", Journal of Chemical Technology and Metallurgy, 2016, no. 51 (4), pp. 401-404.

6. Shmyrin A.M. et al. "Study of the trilinear neighborhood model of process of formation of temperature's coiling hot-rolled strip", International Journal of Electrical and Computer Engineering (IJECE), 2016, vol. 6, no. 3, pp. 1371-1374.

7. Sedykh I.A. "Predicting the level of groundwater deposits of cement raw materials based on dynamic neighborhood models", Bulletin of Don State Technical University (Vestnik Donskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta), 2018, no.3, pp. 326-332.

8. Sedykh I.A. "Control of dynamic neighborhood models with variable neighborhoods", Control Systems and Information Technologies (Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii), 2018, no. 1 (71), pp. 18-23.

9. Sedykh I.A. "Parametric identification of a linear dynamic neighborhood model", Proc. of the International Scientific and Practical Conference "Innovative Science: Past, Present, Future" (Innovatsionnaya nauka: proshloe, nastoyashchee, budushchee: sb. st. Mezh-dunar. nauch.-prakt. konf.), Ufa, 2016, pp.12-19.

10. Mishachev N.M., Shmyrin A.M. "Neighborhood structures and metastructural identification", Tavrichesky Bulletin of Informatics and Mathematics (Tavricheskiy vestnik informatiki i matematiki), 2017, vol. 37, no. 4, pp.87-95.

11. Sedykh I.A. "Two-level polynomial dynamic neighborhood models with variable neighborhoods and their parametric identification", News of Higher Educational Institutions of the Black Earth Region (Vesti vysshikh uchebnykh zavedeniy Chernozem'ya), 2018, no. 1 (51), pp. 57-65.

12. Khodashinskiy I.A. "Identification of fuzzy systems: methods and algorithms", Control Problems (Problemy upravleniya), 2009, no. 4, pp. 15-23.

13. Li Y., Shang Y., Yang Y. "Clustering coefficients of large networks", Information Sciences, 2017, vol. 382-383, pp. 350358.

14. Hou B. et al. "Scaled cluster of multi-agent systems", Int. J. Control, 2016, no. 47, pp. 3839-3845.

Submitted 20.05.2019; revised 31.07.2019 Information about the author

Irina A. Sedykh, Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Lipetsk State Technical University (30 Moskovskaya st., Lipetsk 398000, Russia), e-mail: [email protected]