Идентификация кольца подшипника как динамической системы при импульсном воздействии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5

А.А. Игнатьев, А.Г. Мотков, С.С. Щеголев

ИДЕНТИФИКАЦИЯ КОЛЬЦА ПОДШИПНИКА КАК ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Производится построение математической модели кольца подшипника на основании данных полученных практическим способом при импульсном воздействии. Дано теоретическое обоснование применения метода. Произведён расчёт

элементов математической модели и выявлены основные отличительные особенности моделей для кольца без дефекта и кольца с трещиной.

Дефект, кольцо подшипника, математическая модель, виброакустический метод, импульсное воздействие

A.A. Ignatiev, A.G. Motkov, S.S. Shchegolev IDENTIFICATION OF BEARING RINGS USING ULTRASONIC AND ACOUSTIC METHODS

The mathematical model of the bearing ring is developed on the basis of the data obtained from practical experiments using the pulse action. The authors provide theoretical rationale for the given method. The provided calculations relate the elements of the mathematical model, and the core features for the ring models without the defects and the ring models having cracks.

Defect, a bearing ring, a mathematical model, vibroacoustic method, impulse action

В ряде случаев на предприятиях, осуществляющих восстановление узлов и деталей железнодорожного транспорта, возникает задача оперативного оценивания состояния колец буксовых подшипников. Одним из наиболее важных моментов является выявление трещин в кольцах, так как их наличие существенно влияет на надёжность подшипников в условиях эксплуатации.

Известен вихретоковый метод контроля поверхностного слоя колец подшипников, однако он позволяет определить дефект на глубине 20-50 мкм [2]. Ультразвуковой метод позволяет определить наличие трещин в структуре колец, однако измерение выполняется достаточно длительное время из-за необходимости сканирования поверхности кольца [3].

Более оперативным является метод, связанный с регистрацией виброакустических (ВА) колебаний кольца при импульсном воздействии на него, например путём удара [4].

Научный интерес при этом представляет идентификация кольца как динамической системы при ударе, то есть построение соответствующей математической модели, учитывающей экспериментальные данные [5].

При ударе по кольцу динамометрическим молотком входное воздействие с точки зрения теории автоматического управления можно рассматривать как дельта-импульс, а выходное воздействие -как импульсную переходную функцию w(t) [6].

Типичный вид импульсной передаточной функции (ИПФ) для кольца без дефекта представлен на рис. 1.

Рис. 1. Импульсная переходная функция для кольца подшипника без дефекта

Данная ИПФ описывается выражением

= а0 • е~м • 5т(о)0 • Ь), (1)

где а — коэффициент затухания, о>о — частота колебаний системы, ао — начальная амплитуда переходного процесса.

Применяя преобразование Лапласа [5], приведём выражение (1) к операторному виду и получим передаточную функцию кольца как динамической системы (ДС):

2а0-Ш0

Щ(р) =

Введём замену к = а°Шо2, Т2 =

_= а0-ш0 =

(р+а)2+ш% р2+2ра+а2+Шд

1 _ а

р2 +2-

а2+и>2

а2+о>2

, 2Т& = 2 •

а2+а>2

а2+ш^ а2+ш,

, получим

р+1

(2)

]М(р)=——'-; (3)

уг; т2р2+2Тур+1 К '

Далее определяем амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) кольца как динамической по формуле:

А2(ш) = 1Ш(]ш)12,

где Ш(]'ш) — частотная функция, полученная из передаточной функции путём замены р = -ш, ш — круговая частота.

Тогда

А(Ш = /{1-^2(2)2+0)2^2(2' (4) Типичный вид ИПФ для кольца с трещиной представлен на рис. 2.

0/3

0.06 0 08 0.1 Т:те (Ё)

0.16

Рис. 2. Импульсная переходная функция для кольца подшипника, содержащего дефект

В этом случае ИПФ содержит две гармоники:

ш(Ь) = е-м(а0 • sin(ш0 • Ь) + sin(ш1 • Ь)), (5)

где а — коэффициент затухания; Шо, — частоты первой и второй составляющей переходного процесса соответственно; ао, а1 — начальные амплитуды составляющих переходного процесса. Проведём математические преобразования:

ж(Ь) = е-м(а0 • sin(ш0 • Ь) + а1^ sin(ш1 • Ь)) = а0е-аг ^т(ш0 • Ь) + а"sin(ш1 • Ь)) (6)

V ао /

Введём обозначение

Ог = Ъ(<Р) (7)

а0

Рассмотрим выражение в скобках отдельно с учётом последней формулы:

5т(б)

sin(ш0 • Ь) + Ьд(б) • sin(ш1 • Ь) = sin(ш0 • Ь) +----- sin(ш1 • Ь) =

со:(р) 2со:(р)

+ cos(ш1 • Ь + б) — cos(ш1 • Ь — 6)]

cos(6)

^т(ш0 • Ь + б) + sin(ш0 • Ь — б) +

Учитывая, что

cos(6) =

/1+вс2(р)

,а sin(6) =

Щ(<Р)

/1+Щ2(?)

Уравнение (2) примет следующий вид:

(7)

(8)

(9)

=

2соз(б)

а0 2-соз(?)

[зт(а)0 • £ + б) + зт(о)0 • £ — б) + соз^! • £ + б) — • £ — б)] =

• [е-яг зт(о)0 • £ + б) + е-яг зт(о)0 • £ — б) + е-яг соз(^1 • £ + б) —

—е

-аt

соз(^1 • £ — б)]-

Применяя преобразование Лапласа, получим передаточную функцию кольца как ДС:

(р + а) 5т(б) + соз(б) —(р + а) зт(б) + соз(б) ^(р) =-————2-+-————2-+

+

(р + а)2 +

(р+а) соз(?)+й>" зт(?) (р+а) соз(?)-й>" зт(?)

(р+а)2+Ш!2

(р+а)2+Ш"2

(р + а)2 +

_ 2о>0соз(?) + 2о>1зт(?)

(р+а)2+^2 (р+а)2+Ш"2

тлт-/- л „,/•,. ,,, , 2ш0соз(?) 2о>1зт(?)

^(р) = ^1(р) + ИЪ(р) = , 0 ч2 2 + —-—

(10)

(11) (12)

(р+а)2+^2 (р+а)2+^2

Следовательно, модель кольца можно представить в виде двух параллельно соединенных звеньев (рис. 3).

Рис. 3. Модель динамической системы кольца подшипника

Из формулы (8) заменой р = получается выражение для частотной функции в виде

= 2&>р соз(?) + зт(?)

(Нш+я)2+ш2 (_/'ш+а)2+й>| Далее определяем амплитудно-частотную характеристику:

+2(^) = (Р(^))2 + (£(^))2 Из выражения (9) определим значения Р(^) и ф(^) и найдём АЧХ:

(13)

(14)

^О'ш) =

2о)0 соз(б)

+

2^1 зт(б)

2о)0 соз(б)

(у^ + а)2 + (у^ + а)2 + П2 (—+ 2у'а)а + а2) + ^2

+

+

2^1 зт(б)

2а)0 соз(б)( (—+ ^о + а2) — 2у'^а) (—+ 2у'а)а + а2) + П2 = ((—+ ^2 + а2) + 2;^а)((—+ ^ + а2) — 2;^а) 2^1 зт(б)( (—+ + а2) — 2у'а)а)

+

+

((—+ + а2) + 2у'а)а)((—+ ^ + а2) — 2у'^а)

2а)0 соз(б)( (—+ ^о + а2) — 2у'^а) 2^1 зт(б)( (—+ П2 + а2) — 2у'а)а)

(—+ + а2)2 + 4^2а2 2а)0 соз(б) (—+ + а2)

+

- у ■

(—+ ^2 + а2)2 + 4^2а2 (—+ ^2 + а2)2 + 4^2а2

з1п(?)(-ш2+ш2+а2) ; 4шаш1зт(?)

(—+ + а2)2 + 4^2а2 4а>ао)0 зт(б)

+

+

(-ш2+й>|+а2)^+4ш2а2 (-ш2+й>!+а2)^+4ш2а

1( ) = 2ш0 соз(?)(-ш2+ш2+а2) + з1п(?)(-ш2+ш|+а2) (-ш2+ш2+а2) +4ш2а2 (-ш2+ш|+а2) +4ш2а2

№) = ((3

4иаш0 соз(?)

+

4шаш" зт(?)

(-ш2+ш2+а2)2+4ш2а2 (-Ш2+Ш2+Я2)2+4Ш2Я2/ По полученным характеристикам из формул (16), (17) строится график АЧХ (рис. 4).

(15)

(16) (17)

Показатель динамичности определяется отношением максимального значения АЧХ ДС кольца к начальному значению | ^(0) |, причём чем выше резонансный пик, тем более качественное кольцо.

шах

итах

|Х(0)|

(18)

004

Мы)

002

О

О ЫО3 ^lO3 ЗхЮ3

ш

0.04

Ми)

0.02

О

О ЫО3 IxlO3 jxlO3

Рис. 4. АЧХ кольца как динамической системы: а - кольца без дефекта, б - кольца с дефектом

На основании данной методики проведена серия экспериментов. Результаты данного эксперимента приведены на рис. 5. Исходя из полученных данных, можно определить показатель динамичности системы для каждого из колец.

Для первого кольца амплитуде первого пика равна 0,01479, при этом значение амплитуды при

„ . 0,01479 .....

нулевом значении частоты 0,0024, следовательно Мтах = Q = 6,16.

Второе кольцо характеризуется амплитудой первого пика равной 0,01945, при значении ам-

0,01945

плитуды в начальный момент 0,0024, таким образом Мтах = 0 оо24 = 8,112.

Для третьего кольца Атах = 0,0178, значение +(0) = 0,0024, определим значение показателя

.. 0,0178 „ ..

динамичности системы Мтах = 0 0024 = '<41.

Для четвертого кольца Атах = 0,02402, +(0) = 0,0024, Мтах = 00024:4 = 10.

0 001488

Для пятого кольца Атах = 0,001488, А(0) = 0,000076, Мтах = 000ЩГ8 = 19.58.

0,0099

Для шестого кольца Атах = 0,0099, А(0) = 0,0024, Мтах = 000220 = 4-125. Таким образом, можно судить о состоянии колец подшипников относительно друг друга. Для определения размера трещин в кольцах подшипников, влияющих на показатель динамичности, в [7] проведён сравнительный анализ виброакустического и ультразвукового методов. Для большей наглядности все полученные дефекты сведем в таблицу.

Сравнение результатов ВА и УЗ методов дефектоскопии

Номер кольца Ультразвуковой анализ (размер дефекта) Виброакустический анализ (показатель динамичности)

1 295 6,16

2 201, 207, 293 8,12

3 209, 340 7,41

4 Дефектов не обнаружено 19,58

5 395 4,125

1 кольцо

2 кольцо

5 кольцо

6 кольцо

>10 1.5*10" А(Ц| 1x10" 5*10"

0.02

АО)

0.01

500

1*10Г 1.5х11Г ЫГ

500

1(У 1.5К103

2>:10

Рис. 5. Экспериментальные АЧХ колец как динамических систем

Из результатов таблицы видно, что при анализе показателя динамичности разных колец можно судить об их состоянии относительно друг друга, таким образом, имея эталонные кольца (без дефектов и трещин) можно разработать метод идентификации, на основании которого реализуется автоматизированное распознавание колец с дефектами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Клюев В.В. Неразрушающий контроль и диагностика / В.В. Клюев. М.: Машиностроение, 2003. 656 с.

2. Мониторинг станков и процессов шлифования в подшипниковом производстве / А.А. Игнатьев, М.В. Виноградов, В.В. Горбунов и др. Саратов: СГТУ, 2004. 124 с.

3. Щеголев С.С. Экспериментальное обнаружение неоднородностей в строении внешнего кольца подшипника качения колесной пары вагона / С.С. Щеголев, А.Г. Мотков, В.В. Погораздов // Автоматизация и управление в машино- и приборостроении: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2013. С. 202-206.

4. Гельман Л.М. Виброакустический метод свободных колебаний при неразрушающем контроле трещин / Л.М. Гельман, С.В. Горнилич // Акустичний вюник. 1999. Т. 2. № 4. С. 13-22.

5. Игнатьев А. А. Метод идентификации динамического качества станков / А. А. Игнатьев // Автоматизация и управление в машино- и приборостроении: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2013. С. 85-91.

6. Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления / Е.А. Никулин СПб.: БХБ-Петербург, 2004. 640 с.

7. Щеголев С.С. Оценка состояния колец подшипников с применением ультразвукового и виброакустического методов / С.С.Щеголев, А.Г. Мотков, А.А. Игнатьев // Вестник СГТУ. 2013. № 73.С. 132-136.

8. Ьйр://Ь^^Ьгоехре11.ги/?р=1166

Игнатьев Александр Анатольевич -

доктор технических наук, профессор кафедры «Автоматизация, управление, мехатроника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Alexandre A. Ignatiev -

Dr. Sc., Professor

Department of Automation, Control and Mechatronics, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Мотков Александр Геннадьевич -

аспирант кафедры «Автоматизация, управление, мехатроника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Alexandre G. Motkov -

Postgraduate

Department of Automation, Control and Mechatronics, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Щеголев Сергей Сергеевич -

аспирант кафедры «Автоматизация, управление, мехатроника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Sergey S. Shchegolev -

Postgraduate

Department of Automation, Control and Mechatronics, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Статья поступила в редакцию 15.03.14, принята к опубликованию 15.05.14