Научная статья на тему 'Идентификация эволюционных процессов жизненного цикла систем с учетом априорной информации'

Идентификация эволюционных процессов жизненного цикла систем с учетом априорной информации Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
240
60
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ИДЕНТИФИКАЦИЯ / ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ / ПРОЦЕССЫ ЭВОЛЮЦИИ / ЖИЗНЕННЫЙ ЦИКЛ / АПРИОРНАЯ ИНФОРМАЦИЯ / НЕФТЯНОЕ МЕСТОРОЖДЕНИЕ / ИЗВЛЕКАЕМЫЕ ЗАПАСЫ / IDENTIFICATION / PHENOMENOLOGICAL MODELS / PROCESSES OF EVOLUTION / LIFE CYCLE / A-PRIORI INFORMATION / OIL DEPOSIT / RECOVERABLE RESERVES

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Наймушин Антон Георгиевич, Сергеев Виктор Леонидович

Рассматриваются проблемы параметрической идентификации эволюционных процессов, для решения которых предлагается использовать интегрированные системы феноменологических моделей с учетом априорной информации. Приводятся примеры решения задачи идентификации и прогноза жизненного цикла накопленной продукции в процессе разработки нефтяного месторождения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Наймушин Антон Георгиевич, Сергеев Виктор Леонидович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The article considers the problems of parametric identification of evolution processes. The integrated systems of phenomenological models are proposed to be used for solving the problems considering a-priori information. The paper introduces the examples of solving the tasks of identification and prediction of accumulated production life cycle while oil deposit developing.

Текст научной работы на тему «Идентификация эволюционных процессов жизненного цикла систем с учетом априорной информации»

УДК 519.688:622.279.23

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА СИСТЕМ С УЧЕТОМ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ

А.Г. Наймушин, В.Л. Сергеев

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Рассматриваются проблемы параметрической идентификации эволюционных процессов, для решения которых предлагается использовать интегрированные системы феноменологических моделей с учетом априорной информации. Приводятся примеры решения задачи идентификации и прогноза жизненного цикла накопленной продукции в процессе разработки нефтяного месторождения.

Ключевые слова:

Идентификация, феноменологические модели, процессы эволюции, жизненный цикл, априорная информация, нефтяное месторождение, извлекаемые запасы.

Key words:

Identification, phenomenological models, processes of evolution, life cycle, a-priori information, oil deposit, recoverable reserves.

Введение

В настоящее время в связи с возрастающей ролью системного подхода при проектировании и управлении в условиях неопределенности актуальным является решение задач идентификации и прогноза эволюционных процессов жизненного цикла сложных технических и социально-экономических систем. Именно проблема идентификации занимает исключительно важную роль, поскольку является наиболее «узким местом» при проектировании наукоемких и интеллектуальных систем управления и принятия решений [1, 2].

Для прогнозирования жизненного цикла большое внимание уделяется феноменологическим моделям

^ = / (г, у, а) (1)

Ш

эволюционных процессов

г ___

у* = у, +& = у(г0) + I/(т,У,а)Лт+£ , г 1 п (2)

г0

отражающих их целостные системные свойства. Здесь у*, у, г=1,п - фактические и вычисленные на основе модели значения процесса в различные моменты времени ,; /(/,у,а) - известные с точностью до вектора параметров а=(а, у=1,от) функции; 4, 1=1,п - различного рода случайные факторы, представляющие погрешности расчета траектории процесса, ошибки измерения у,, неточности при выборе модели процесса и т. д.

Следует отметить, что наряду с описанием эволюционного процесса в пространстве «вход-выход» (2) известна и другая форма представления феноменологических моделей эволюционных процессов в пространстве состояний, заданная двумя системами моделей, в принципе, сводимая к одной системе [2].

Примерами эволюционных моделей (1), (2) являются текущая емкость рынка инновационного товара, накопленная добыча нефти и газа в про-

цессе разработки месторождений углеводородов, забойные давления при гидродинамических исследованиях скважин на неустановившихся режимах фильтрации [3-5].

Однако при решении задачи параметрической идентификации, связанной с определением параметров феноменологической модели жизненного цикла (2), возникают проблемы обеспечения устойчивости, повышения точности оценок, учета дополнительной априорной информации, особенно на начальной стадии развития процесса, когда объем исходных данных п мал.

В данной работе для решения отмеченных выше проблем идентификации эволюционных процессов предлагается использовать интегрированные системы феноменологических моделей с учетом дополнительной априорной информации.

Модели и алгоритмы

идентификации эволюционных процессов

Основой задачи идентификации эволюционных процессов жизненного цикла является интегрированная система феноменологических моделей вида

у* = /о(,,У,а)+4,, ,=1 ,п,

х} = /а} (у, ,а) +4} ,} = Ы, (3)

где первая система из п уравнений - стохастическая модель исследуемого эволюционного процесса жизненного цикла (2), а вторая система из йура-внений представляет модели объектов аналогов, позволяющих учитывать дополнительную априорную информацию х, известную к моменту времени ,. В качестве априорной информации могут быть использованы данные о параметрах эволюционного процесса х^а, ]=1,ш, известные к моменту времени , с погрешностью п, будущие значения тха-ектории эволюционного процесса х{п+})=уп+р у=1,/, в том числе и его предельные значения (аттракторы х„=у„). Модели объектов аналогов/а(у,,а) могут

представлять функции, функционалы, а в общем виде операторы /аі от переменных у1 в классах линейных, нелинейных параметрических либо непараметрических моделей [1]; §, гц - случайные неконтролируемые факторы.

Рассмотрим примеры интегрированных систем феноменологических моделей с учетом априорной информации. При использовании априорной информации о параметрах моделей эволюционного процесса а,, полученных к моменту времени і, систему моделей (3) можно представить в виде

¡У* = /(г,Уг ,а) + ^ , г =1, п,

[а/ =а+п. (4)

В случае логистической модели роста [3] и априорных сведений о ее аттракторе - модель (4) принимает достаточно простой вид

і ______________________

У/ = У (/0) + I (а1Уг-а2Уг№ + £,, г = Ы

/0

хх=ах1а2 +п. (5)

При использовании априорной информации о параметрах феноменологической модели а и экспертных оценок будущих значений эволюционного процесса -п+ система моделей (3) принимает вид

ІУ* = /а(г, У г,а)+&, г = 1, n,

[а=а +п, Уп+, = /(Уп+і а)+У], і=1,1. (6)

Следует отметить, что уравнения вида (3)-(6) представляют простейшую интегрированную систему моделей первого уровня. По аналогии с [1] имеют место и многоуровневые иерархические интегрированные системы феноменологических моделей.

С позиции системного подхода процесс параметрической идентификации эволюционных моделей (3) можно представить как решение оптимизационных задач вида [1]

а*(0) = аг§штФ(а,0),

ß„ = arg min J0{an{ß)\

(7)

(8)

по параметрам а интегрировании системы моделей эволюционных процессов жизненного цикла

Гу* = Ка+£,

[х = Раа+п (9)

и комбинированного показателя качества Ф, выбранного в виде суммы взвешенных частных квадратичных показателей качества

<&(a,ß) = y* -F0a\\ + x-Fp\

(10)

где запись arg minfx) означает точку минимума x* функции Jx)fx)=minflx)); O(a,ß)=O(J0(a), ßJk(a), k=l,l) - комбинированный показатель качества системы моделей (3), представляющий заданную функцию (функционал) Ф от частного показателя качества J0(a) модели эволюционного процесса жизненного цикла и взвешенных весами ßn частных показателей качества Jk(a) моделей дополнительных априорных данных и экспертных оценок.

Следует отметить, что рассматриваемая технология выбора оптимальных решений (7), (8) позволяет синтезировать достаточно широкий спектр известных и новых алгоритмов идентификации для линейных и нелинейных интегрированных систем моделей эволюционных процессов (3), а также для различных показателей качества и методов решения оптимизационных задач. Например, для линейной

оптимизационная задача (7) сводится к решению систем линейных уравнений вида

(^,^0 + ГатЖ(в)^ )а*(в) =

= (^тГу * + гатж (в)Х), (11)

где запись ||ХУ означает квадратичную форму ХГМХТ; у*=(у,*, і=1,п) - вектор фактических значений эволюционного процесса; х=(х;, у=1,ф - вектор дополнительных априорных сведений и экспертных оценок; /о=(^.(,ч,у,), ]=1,ш, і=1,п) - матрица известных функций ■;-1,у,) в модели исследуемого объекта размерности (тхп); Ва=(фа](у), /=1Д к=1,т) - матрица известных функций %(у) в модели объектов аналогов размерности (йхт); W(в)=diag (вк, к=1,т) - диагональная матрица весовых функций, определяющих значимость (вес) априорных данных х; У - известная матрица вероятностно-статистических характеристик случайных величин 4, і=1,п. Для получения системы линейных уравнений (11) достаточно взять частные производные по параметрам а от комбинированного функционала (10) и приравнять их к нулю.

Для нелинейной интегрированной системы моделей эволюционных процессов жизненного цикла вида

Гу* = і, (а) + 4,

(х = іа (а)+n, (12)

и комбинированного показателя качества Ф

ф(а, в) = ||у- - №)| I + Iх - і, (а) 12(в)

оптимизационная задача (7) при использовании метода Гаусса-Ньютона [6] сводится к последовательному решению систем линейных уравнений вида

а* = а- + h Ааі-, і = 1,2,3,

(DT0WD0 + DTaW (ß)Da) і, Аа*-і = = (DT0We0 + DTaW (ß)e a )i-i,

(13)

где

'woa ,i=^, j=ітл

да,

J У?

D idfa,k(Лy,o) , — • ;— ^

D„ = ——-----, k = 1, l, j = 1, m

У Im

2

- матрицы частных производных от моделей исследуемого процесса и моделей объектов аналогов; е0=(у*-Г0(а)), ёа=(х-1*(а)) - векторы невязок, \ -параметр шага.

Отметим, что приведенные выше оценки параметров интегрированных систем феноменологических моделей (9), (12) при определенных значениях управляющих параметров и дополнительных априорных сведений соответствуют многим традиционным методам идентификации. Например, из (11) при нулевых значениях априорных данных -=0,у=1,^ и Fa=W=I, рк=р, к=1,т (где I- единичная матрица) следуют известные Ridge-приближения и регуляризирующие по Тихонову оценки параметров линейных регрессионных моделей [6]

а* = (^ +1 в)-1 ^ у*, (14)

позволяющие получать устойчивые решения при вырожденности либо плохой обусловленности матрицы ¥0Т¥0. Следует отметить, что оценки (14) являются оптимальными приближениями параметров, доставляющих минимум стабилизирующего функционала А.Н. Тихонова [7]

Ф(а, в) = ||у* - *оа||2 + вМ\2,

следующего из комбинированного показателя качества (10).

При аналогичных условиях оценки параметров (13) для нелинейных моделей совпадают с устойчивыми оценками метода Левенберга-Марквард-та [6]

а* = а,- + Ц Аа,-, г = 1,2,3,...,

(ОТО +1 в)-Аа*-1 = (О 0 ео + Ш (в Я)-, (15) а при в=0 - с методом Гаусса-Ньютона а* = а,- + Ц Аа , г = 1,2,3,..., да>о)м Ааг*-1 = (О 0ео),-. (16)

Следует также отметить, что задача (8) по определению оптимальных значений вектора управляющих параметров Д* не имеет аналитического решения и решается методами последовательных приближений.

Идентификация эволюционного процесса

накопленной добычи нефти

На рис. 1-3 и в таблице приведены результаты решения актуальной задачи анализа и контроля разработки лицензионных участков нефтяных месторождений, прогноза накопленной добычи нефти и оценки извлекаемых запасов.

Для решения задачи интеграции геологической и технологической информации и идентификации эволюционного процесса использовалась интегрированная система моделей накопленной добычи нефти вида

у* = / (г,а)+& =

г __

<= у(к)+«1 /ехр(-а2т)т“3ёт+^, г=1,п,

г,= кф+п = / (,,а)+г\, (17)

где у/, 1=1,п - фактические значения добычи нефти объектов разработки за период времени А*; у(*0) - накопленная к начальному моменту времени *0 добыча нефти; - априорная информация

06 извлекаемых запасах; 2 - геологическая оценка балансовых запасов; к - экспертная оценка коэффициента извлечения.

Фактические значения накопленной добычи нефти пласта Ю2 нефтяного месторождения Томской области за 23 года разработки приведены на рис. 1-3 сплошной линией 1. Линии 2-5 представляют оценки прогнозной добычи нефти у(4+т), начиная со второго года разработки

У(гп +т) = / (гп +т,a*(в*)),

гп = п, п = 1,5,т =1,23 - п, (18)

где ап*(вп*) - оценки параметров модели (17), полученные на основе (13) при соответствующих значениях матриц частных производных от модели годовой добычи нефти, векторов невязок и при оптимальном значении управляющего параметра вп* (3), полученного с использованием метода золотого сечения.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Точные значения извлекаемых запасов за все время разработки нефтяного пласта Ю21 составили £,=7,4-106 тонн. Априорная информация об извлекаемых запасах выбиралась равной —,=5-106тонн с ошибкой порядка 30 %.

Корректировка априорной информации в модели (17) проводилась по схеме

2„,п = / (Т ,ап(в*)), п = 2,3,...,

где Т соответствует времени завершения разработки нефтяного пласта (Т=43).

В таблице приведены значения относительных ошибок оценок извлекаемых запасов за первые

7 лет разработки нефтяного пласта

§п = аЪз ((/ (Т ,ап(в*п)) - г ,)/г,), п=2,7,

полученные на основе (13) и условно названные методом интегрированных моделей (МИМ), методом Гаусса-Ньютона (МГН) (16) и методом Левен-берга-Марквардта (МЛМ) (15).

Из таблицы видно, что метод интегрированных моделей позволил улучшить экспертную оценку извлекаемых запасов с 30 до 5 % ошибки, что отражено и на графиках рис. 1 (линии 2-4), демонстрирующих достаточно быструю сходимость прогнозных значений накопленной добычи нефти (18) к их фактическим значениям.

Номер года разработки

Рис. 1. Фактические (линия 1) и прогнозные значения добычи нефти (линии 2~5) сучетом априорной информации о запасах

Таблица. Относительная ошибка оценок извлекаемых запасов, %

Методы Длительность разработки (номер года)

2 3 4 5 6 7

МИМ 0,461 0,244 0,173 0,086 0, 059 0,046

МГН - 8,405 6,537 0,369 0,469 0,319

МЛМ 3,483 0,363 0,312 0,343 0,349 0,301

Номер года разработки

Рис. 2. Фактические (линия 1) и прогнозные значения добычи нефти (линии 2~5) с использованием метода Гаусса-Ньютона

Для сравнения качества прогноза на рис. 2 и 3 приведены прогнозные значения накопленной добычи нефти, полученные с использованием метода Гаусса-Ньютона, начиная с третьего года разработки, и метода Левенберга-Марквардта, - со второго года разработки.

Номер года разработки

Рис. 3. Фактические (линия 1) и прогнозные значения добычи нефти (линии 2~5) с использованием метода Левенберга-Марквардта

Выводы

1. Для идентификации эволюционных процессов жизненного цикла систем предложено использовать интегрированные системы феноменологических моделей с учетом априорной информации.

2. Приведен метод синтеза и примеры оптимальных, в смысле квадратичных показателей качества, оценок параметров линейных и нелинейных интегрированных систем феноменологических моделей.

3. На примере идентификации эволюционного процесса накопленной добычи нефти показано, что предлагаемые модели и алгоритмы, условно названные методом интегрированных моделей, позволяют при малом объеме промысловых данных получить более точные оценки извлекаемых запасов по сравнению с классическими алгоритмами Гаусса-Ньютона и Левенбер-га-Марквардта.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сергеев В.Л. Интегрированные системы идентификации. -Томск: Изд-во ТПУ, 2011. - 198 с.

2. Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении. - М.: Финансы и статистика, 2002. -368 с.

3. Кожухова В.Н., Семенычев Е.В. Методы идентификации логистической динамики и жизненного цикла продукта моделью Верхулста // Экономика и математические методы. - 2012. -Т 48. - №2. - С. 108-115.

4. Кемерова П.А., Сергеев В.Л., Аниканов А.С. Адаптивная идентификация и интерпретация нестационарных гидродинамиче-

ских исследований с учетом притока продукции в скважине // Известия Томского политехнического университета. - 2011. -Т. 319. - № 4. - С. 43-46.

5. Хасанов М.М., Карачурин Н.А., Тяжев Е.А. Оценка извлекаемых запасов на основе феноменологических моделей // Вестник инженерного центра ЮКОС. - 2001. - № 2. - С. 3-7.

6. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. - М.: Финансы и статистика, 1981. - 300 с.

7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979. - 392 с.

Поступила 24.12.2012 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.