CC BY
0УДК 51 Овчинникова Е.В., Ямских Н.И.
Овчинникова Е.В.
к.ф.-м.н., доцент Сибирский государственный университет науки и техники
им. М.Ф. Решетнева (г. Красноярск, Россия)
Ямских Н.И.
магистр
Сибирский государственный университет науки и техники
им. М.Ф. Решетнева (г. Красноярск, Россия)
ИДЕАЛЬНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВО ВРЕМЯ КОРРЕКТИРОВКИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
Аннотация: исследование направлено на изучение воздействия корректирующих маневров на параметры орбиты и выявление оптимальной точки для их выполнения. В ходе работы рассматриваются следующие задачи:
- Математическое моделирование траектории спутника на эллиптической орбите с учетом управляющих воздействий.
- Рассмотрение вариантов изменения не только скорости, но и других параметров, таких как наклонение орбиты или аргумент перицентра для корректировки движения спутника.
- Разработка алгоритмов и методов оптимизации для определения оптимальной точки корректировки траектории. Рассматривается применение различных математических подходов, таких как оптимизационные методы или численное моделирование, для выбора наиболее подходящей точки корректировки.
Ключевые слова: космический аппарат, эллиптическая орбита, корректировка траектории, управляющие воздействия, математическое моделирование, оптимальная точка.
Сегодня изучение космоса занимает важное место в научных исследованиях. В этом процессе используются различные методы и аппараты, такие как спутники, космические телескопы, пилотируемые космические корабли, симуляции и наземные наблюдения. Эти инструменты позволяют углубить наши знания о космосе и вселенной, расширить представления о мире и способствуют разработке новых технологий и исследовательских методов. Космические аппараты, включая спутники, телескопы и пилотируемые корабли, выполняют множество задач, таких как научные исследования, обнаружение и изучение космических объектов, а также мониторинг климата. Для их эффективного функционирования необходимо тщательно планировать, контролировать и корректировать их орбитальное движение.
Одним из основных аспектов изучения движения космических аппаратов при корректировке эллиптической орбиты является анализ точности и эффективности различных методов корректировки орбиты. Это позволяет определить наиболее эффективные методы корректировки орбиты в зависимости от конкретных условий, таких как требуемая точность, стоимость, доступность необходимого оборудования и т.д.
Другой важный аспект изучения движения космических аппаратов при корректировке эллиптической орбиты - это определение оптимальных параметров орбиты. Это включает в себя определение оптимальных значений высоты орбиты, скорости и угла наклона орбиты, учитывая все необходимые ограничения.
Для изучения данного вопроса требуются теоретические основы орбитального движения, в которых нам помогут законы Ньютона и Кеплера. Орбитальное движение основано на законах механики и гравитации. Согласно закону всемирного тяготения Ньютона, сила притяжения между двумя массами
пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними [1].
Иоганн Кеплер сформулировал три закона, которые описывают движение планет:
1 .Закон эллиптических орбит: Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Это справедливо и для космических аппаратов, движущихся по орбитам вокруг Земли.
2.Закон площадей: Радиус-вектор планеты описывает равные площади за равные промежутки времени. Аппараты движутся быстрее вблизи перигея и медленнее вблизи апогея.
Э.Закон гармоний: Квадраты периодов обращения планет пропорциональны кубам больших полуосей их орбит.
Для описания орбиты по которой будет двигаться космический аппарат нужны шесть основных параметров: большая полуось, эксцентриситет, наклонение, долгота восходящего узла, аргумент перигея, истинная аномалия.
Три основных типа орбит это:
Эллиптическая орбита — это орбита позволяющая оптимизировать использование топлива и наблюдение за целями на Земле.
Круговая орбита — это частный случай эллиптической орбиты, на такой орбите скорость аппарата постоянна, и он находится на одинаковом расстоянии от Земли.
Геостационарная орбита — это круговая орбита на высоте около 35 786 км над экватором. Спутник на этой орбите вращается с той же угловой скоростью, что и Земля, оставаясь неподвижным относительно определенной точки на поверхности.
Так же не стоит забывать о различных факторах, которые влияют на орбитальное движения. На движение космических аппаратов могут влиять гравитационные возмущения, атмосферное трение, солнечное давление и геофизические аномалии.
Для эффективного управления орбитами космических аппаратов разработаны различные методы корректировки. Основные методы включают маневры изменения скорости (импульсные маневры), изменения угла наклона орбиты и коррекцию высоты орбиты. Каждый метод имеет свои преимущества и недостатки, и выбор конкретного метода зависит от условий миссии и параметров орбиты [2].
Импульсные маневры, включающие короткие включения двигателей аппарата, позволяют быстро изменить скорость и направление движения. Маневры изменения угла наклона орбиты требуют значительных энергетических затрат, но могут быть необходимы для корректировки траектории аппарата в целях достижения нужной точки на орбите. Коррекция высоты орбиты, часто осуществляемая для компенсации атмосферного трения, позволяет продлить срок службы аппарата и поддерживать его на заданной высоте.
Методы корректировки орбиты могут быть разными мы рассмотрим три предложения.
Предложение 1. Маневры изменения скорости. Изменение скорости космического аппарата, или импульсные маневры, являются основными методами корректировки орбиты. Эти маневры делятся на два типа: прямолинейное изменение скорости (Дv) и тангенциальное изменение скорости.
Ускорение: когда космический аппарат ускоряется, он переходит на более высокую орбиту с увеличенным радиусом и периодом обращения.
Замедление: при замедлении аппарат переходит на более низкую орбиту с уменьшенным радиусом и периодом обращения.
Такие маневры чаще всего выполняются с помощью бортовых двигателей, обеспечивающих кратковременное включение с целью изменения орбитальной скорости.
Тангенциальное изменение скорости:
Маневры Холлмана: Эти маневры включают два импульса: первый для перехода на эллиптическую орбиту, а второй для перевода аппарата на новую круговую орбиту.
Маневры с постепенной коррекцией: используются для более точной подстройки орбиты и могут включать многократные включения двигателей.
def delta_ maneuve (г, у, delta_v):
II Fl II
Функция для выполнения маневра изменения скорости -
г: текущий радиус орбиты (м)
v: текущая орбитальная скорость (м/с)
delta_v: изменение скорости (м/с)
return: новая орбитальная скорость (м/с)
и II II
new_v = v + delta_v
return new v
Рис. 1. Пример кода манёвров изменения скорости.
Данный пример функции принимает текущий радиус орбиты г, текущую скорость V и изменение скорости Ду, и возвращает новую скорость на орбите [3].
Предложение 2. Инклинационные маневры. Использование двигателей для создания импульса, перпендикулярного плоскости орбиты. Комбинирование тангенциальных и нормальных импульсов для минимизации общего расхода топлива. Маневры на узлах орбиты: выполнение коррекции на восходящем или нисходящем узле орбиты, где орбита пересекает экваториальную плоскость, что позволяет эффективно изменять угол наклона.
def inclinati п_п (v, delta_i):
■i it ii
Функция для выполнения инклинационного маневра, v: текущая орбитальная скорость (м/с) delta_i: изменение угла наклона орбиты (рад)
return: необходимое изменение скорости для выполнения маневра (м/с)
■1 к ii
delta_v = * v * пр.sin(delta_i / 2) return delta v
Рис. 2. Пример кода инклинационных манёвров.
Эта функция принимает текущую орбитальную скорость v и изменение угла наклона орбиты Ai (в радианах), и возвращает требуемое изменение скорости Av для выполнения маневра.
Вывод. В ходе данной работы была рассмотрена и реализована на языке Python практическая модель для выполнения двух типов корректировки орбиты: маневров изменения скорости и инклинационных маневров. Основное внимание уделено математическим аспектам орбитальной механики, которые лежат в основе этих маневров, и их практической реализации в программном коде.
Маневры изменения скорости, или импульсные маневры, показали свою эффективность в изменении радиуса орбиты космического аппарата. Такие маневры позволяют аппаратам перемещаться на более высокие или низкие орбиты, что может быть использовано для различных целей, таких как изменение высоты полета, переход на геостационарную орбиту или маневры сближения с другими объектами на орбите.
Инклинационные маневры требуют значительных энергетических затрат, так как изменяют угол наклона орбиты относительно экватора Земли. Это особенно важно для задач, связанных с наблюдением за конкретными областями Земли или изменением плоскости орбиты для сближения с другим объектом.
В целом, проведенная работа продемонстрировала, как методы орбитальной механики могут быть применены на практике для управления
движением космических аппаратов. Разработанный код может служить основой для более сложных моделей, учитывающих дополнительные факторы, такие как гравитационные возмущения, атмосферное трение и солнечное давление, что открывает возможности для дальнейших исследований и развития систем управления орбитальными аппаратами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Абалкин, В. К. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике: руководство / В. К. Абалкин, Е. П. Аксонов, Е. А. Гребеников [и др.]. - 2-е изд., дополненное и переработанное. - Москва: Наука, 1976. - 864 с;
2. Космические аппараты системы ГЛОНАСС: Мир ГЛОНАСС: сайт. -Москва. URL: http://w.mirglonass.ru/kosmicheskie-apparaty-sistemy-glonass/(дата обращения: 04.04.2023);
3. Григорьев, А.Е. Программирование на Python в науке и технике / А.Е. Григорьев. - Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2018. - 64 с
Ovchinnikova E. V., Yamskikh N.I.
Ovchinnikova E.V.
Siberian State University of Science and Technology (Krasnoyarsk, Russia)
Yamskikh N.I.
Siberian State University of Science and Technology (Krasnoyarsk, Russia)
IDEAL MATHEMATICAL MODEL OF SPACECRAFT MOVEMENT
DURING ELLIPTICAL ORBIT ADJUSTMENT
Abstract: study is aimed at studying the impact of corrective maneuvers on the parameters of the orbit and identifying the optimal point for their implementation. The following tasks are considered during the work:
- Mathematical modeling of the satellite trajectory in an elliptical orbit, taking into account control actions.
- Consideration of options for changing not only the speed, but also other parameters, such as the inclination of the orbit or the argument of the pericenter to correct the movement of the satellite.
- Development of algorithms and optimization methods to determine the optimal trajectory correction point. The application of various mathematical approaches, such as optimization methods or numerical modeling, is considered to select the most appropriate adjustment point.
Keywords: spacecraft, elliptical orbit, trajectory correction, control actions, mathematical modeling, optimal point.
