CC BY
80
УДК 81.1
И.А. Кириллов
кандидат технических наук, доцент, профессор каф. информационной безопасности МГЛУ; e-maiL: ¡[email protected]
ХРИСТИАН ГОЛЬДБАХ - МАТЕМАТИК, ЛИНГВИСТ, КРИПТОГРАФ
В статье рассмотрены основные научные дарования ученого-энциклопедиста XVIII в. Христиана Гольдбаха, который эрудицией и красотой речи покорял всех знавших его современников. Наряду с широко известными интересами Гольдбаха, связанными с математикой, освещаются его менее известные лингвистические таланты, проявившиеся на должности ученого секретаря и историографа Петербургской академии наук. В заключительной части приводятся почти не известные научно-практические достижения Гольдбаха по дешифровке переписки зарубежных дипломатов аккредитованных в России в 40-60-х гг. XVIII в.
Ключевые слова: проблема Гольдбаха; математика; лингвистика; криптография.
I. A. Kirillov
PhD (TechnicaL Sciences), Associate Professor, Professor, FacuLty of InternationaL IT Security, MSLU; e-maiL: [email protected]
CHRISTIAN GOLDBACH: MATHEMATICIAN, LINGUIST, CRYPTANALYST
The paper covers core scientific taLents of the XVIII century poLymath Christian GoLdbach, who mesmerized the contemporaries by comprehensive knowLedge and Luminous eLoquence. ALongside with GoLdbach's wideLy known mathematic accompLishments, the thesis spotLights his Less recognized Linguistic gifts proved out in the roLe of academic secretary and historiographer at St. Peterburg Academy of Sciences. GoLdbach's aLmost unknown research and practicaL achievements in breaking a cipher used by accredited foreign dipLomats that worked in Russia in 40-60s years of the XVIII century come to crown the work.
Key words: GoLdbach's Conjecture; mathematics; Linguistics; cryptography.
Архимеда будут помнить, когда Эсхила уже забудут, потому что языки умирают, а математические идеи -нет [Харди 2000].
Гольдбах Христиан родился 18 марта 1690 г. в семье профессора истории и красноречия Кёнигсбергского университета. Род Гольдбахов
восходит к гроссмейстерам Тевтонского ордена. Гольдбахи упоминаются в документах XIII в.
Сведений о его детстве и юности не сохранилось. По-видимому, образование он получил в Кёнигсбергском университете, где преобладающими дисциплинами в то время были богословие, схоластическая философия и право. Тем не менее имеются свидетельства того, что уже с 1708 г. Гольдбах интересуется математикой, к которой он испытывает явную склонность [Юшкевич, Капелевич 1983].
Желания пополнить свои знания побуждают восемнадцатилетнего Христиана в 1708 г. направиться в Лейпциг, где в то время обучался его брат Генрих. Возможно, с этого путешествия Гольдбах на многие годы становится студентом, странствующим по европейским центрам науки и культуры, где берет уроки алгебры, геометрии, астрономии, черчения, музыки (скрипка и флейта), юриспруденции. Он слушает университетские курсы, участвует в диспутах, посещает библиотеки, знакомится с университетскими профессорами.
В далеко неполный список городов, которые Гольдбах посетил с 1711 по 1714 гг., входят: Данциг, Берлин, Лейпциг, Женева, Амстердам, Лондон, Оксфорд, Кембридж, Брюссель, Париж, Рим, Вена, Прага... По имеющимся архивным данным, трудно понять, почему молодой студент Христиан Гольдбах везде, где бывал, встречал теплый прием даже самых знаменитых ученых. А с выдающимся математиком, механиком, физиком, философом, логиком, юристом, историком, дипломатом, изобретателем и языковедом, основателем и первым президентом Берлинской Академии наук Готфридом Вйльгельмом Лейбницем, познакомившись в 1711 г., многократно встречался и находился в постоянной переписке долгие годы.
К 1711 г. Гольдбаху пошел только двадцать первый год. Представлению о молодом Гольдбахе может способствовать отрывок одного из первых его писем к Готфриду Вильгельму Лейбницу. X. Гольдбах -Г. В. Лейбницу, 22 мая 1711 г., из Лейпцига: «Когда ты, славнейший и превосходнейший муж, недавно милостиво удостоил меня своей беседы, ты наполнил душу своего внимательного слушателя таким обилием полезнейших вещей, что я ушел от тебя изумленный и в каком-то немом оцепенении. Ведь даже по тем отдельным каплям, которые я свободно черпал в течение часа, нетрудно было представить себе безбрежный океан твоих знаний. До меня, пребывавшего на отдаленном
побережье Балтийского моря, уже много лет назад дошла слава высокого имени твоего, и ничто не могло быть для меня желаннее, чем сверх всякой надежды быть удостоенным чести беседы с тобой. Я никогда не забуду твоей доброты, которая под стать высшим дарованиям твоего гения. Язык мой слишком беден, чтобы ее достаточно восхвалить. Ведь она давно известна всем людям разума, и воздать ей похвалу в полной мере невозможно.. .»И.
Этот отрывок еще раз подтверждает неутомимое с молодых лет стремление Гольдбаха расширять свои знания в любой сфере науки, литературы, искусства, техники; его необычайную общительность, редкое умение завязывать и затем поддерживать путем переписки многочисленные знакомства.
В 1712 г. во время путешествия в Англию Гольдбах посещает Лондонское Королевское общество и знакомится с Исааком Ньютоном. В Оксфорде он осматривает анатомический музей и библиотеку и знакомится с находящимся в то время там швейцарским математиком Николаем Бернулли (1687-1759). По возвращении в Лондон Гольдбах знакомится с директором Гринвичской обсерватории астрономом Эдмундом Галлеем (1656-1742) и математиком Абрагамом Муавром (1667-1754).
По-видимому, к этому времени относится первый известный математический результат Гольдбаха, который он сформулировал во время общения с Муавром: «Разность любого целого квадрата и 2 не делится нацело на 3». Этот результат Гольдбах в письме к Байеру (Готлиб Зигфрид Байер 1694-1738 - немецкий историк, филолог, один из первых академиков Петербургской академии наук и исследователь русских древностей, зачинатель истории как науки в России) называет «математическое открытие»2.
В современной терминологии утверждение Гольдбаха формулируется следующим образом: «2 является квадратичным невычетом по модулю 3».
Это утверждение в общем случае следует из известной теоремы теории чисел, а именно: данное целое число а является квадратичным
1 Российский государственный архив древних актов (РГАДА). Фонд 181, опись 16, дело № 1409 - дневниковые записи за 08.1710-10.1714.
2 Российский государственный архив древних актов (РГАДА). Фонд 181, опись 16, дело № 1410 л. 529-532.
вычетом по модулю простого числаp (р > 2) тогда и только тогда, когда a 2 = 1 (modp), и является квадратичным невычетом по модулю p тогда и только тогда, когда a 2 = -1 (modp).
В рассматриваемом случае a = 2, p = 3, тогда = (mod 3) = 2 (mod 3) = -1 (mod 3), откуда и следует «математическое открытие Гольдбаха».
Может быть приведено и элементарное доказательство данного утверждения, доступное любому, не обремененному высшим образованием человеку. Действительно, для любого целого числа а при попытке его деления на 3 существует только три следующие возможности:
число разделится нацело, при этом a = 3z, где z некоторое целое число;
число разделится с остатком 1, при этом a = 3z + 1, где z некоторое целое число;
число разделится с остатком 2, при этом a = 3z + 2, где z некоторое целое число.
Если число а возвести в квадрат и вычесть 2, то для каждого из трех возможных случаев будет, соответственно, получено:
а2 - 2 = (3z)2 - 2 = 3*3z2-2 = 3(3z2 - 1) + 1; при делении на три будет остаток 1;
а2 - 2 = (3z + 1)2 - 2 = 9z2 + 6z + 1 - 2 = 3(3z2 + 2z - 1) + 2; при делении на три будет остаток 2;
а2 - 2 = (3z + 2)2 - 2 = 9z2 + 12z + 4 - 2 = 3(3z2 + 4z) + 2; при делении на три будет остаток 2.
А это и означает справедливость утверждения Гольдбаха, что «Разность любого целого квадрата и 2 не делится нацело на 3».
За этим частным математическим результатом, относящимся к теории чисел, и полученным 22-летним юношей последовали и другие более содержательные и глубокие исследования Гольдбаха в различных областях математики.
В конце 1714 г. Христиан вернулся в родной Кёнигсберг. К сожалению, за последующие три года, проведенные в Кёнигсберге, его дневниковых записей не сохранилось. Возобновляются записи в дневнике только в 1718 г. Дневники Гольдбаха содержат записи на немецком и латинском языках, в переписке используются французский, итальянский, а позднее и русский языки.
Из этих записей следует, что Гольдбах в это время отправляется в Швецию, где знакомится с учеными и общественными деятелями. В 1721 г. Швеция подписывает Ништадтский мир и признает права России на значительные территории побережья Балтийского моря. В Стокгольме Гольдбах познакомился с известным шведским математиком Андерсом Дурэ, беседы с которым побудили его оформить в виде научной статьи открытые им методы суммирования рядов. Статья эта была опубликована в Лейпциге в «Трудах ученых за 1720 год». В том же номере журнала была опубликована рецензия Гольдбаха на монографию Дурэ «Обстоятельное введение во всеобщую арифметику и алгебру».
После Швеции ученый еще несколько лет продолжает странствовать по Европе, заводя всё новые знакомства в научном мире. В этот период в одном из писем он приводит слова Сенеки (римский философ, поэт и государственный деятель): «Я не рожден в одном уголке, родина моя - весь мир».
В период с 1721 по 1724 гг. Гольдбах вел активную математическую переписку с Якобом Германом (Якоб Герман (1678-1733) -швейцарский математик, член Берлинской (1701), Болонской (1708), Петербургской (1725) и Парижской академий наук (1733)). В этой переписке обсуждался найденный Гольдбахом способ преобразования числовых рядов, не изменяющий суммы ряда; проблемы математического анализа; задачи по теории вероятностей; задачи квадрируемости луночек и многое другое. Позже (начиная с 1724 г.) в их переписке всё чаще начинает занимать тема создания Петербургской академии наук. Причем именно по рекомендации Гольдбаха членами Петербургской академии наук стали братья Бернулли Даниил и Николай.
В начале 1725 г. в Берлине Гольдбах встречался с русским посланником А. Г. Головкиным, который занимался подбором кадров для Петербургской академии наук [Юшкевич, Капелевич 1983]. Летом того же года без официального приглашения Гольдбах сам отправился в Россию. 4 июля 1725 г. из Риги он написал Блюментросту (Лаврентий Лаврентьевич Блюментрост (1692-1755) - первый президент Петербургской академии наук с декабря 1725 по июль 1733 гг.), тогдашнему исполняющему обязанности президента Петербургской академии наук: «Решение гг. Германа и Бюльфингера, о котором я узнал
от них, относительно их поступления на службу в Петербург так понравилось мне, что я намерен, если это возможно, присоединиться к этим ученым мужам, и смею сказать, что и, по их мнению, я не буду бесполезен для Академии наук.»1.
Блюментрост сразу же ответил, что он очень сожалеет, но все места уже заняты. Но это не остановило Гольдбаха, и 27 июля он прибыл в Петербург. При личной встрече ученый своей эрудицией и красотой речи покорил Блюментроста. И тот нашел для него должность секретаря с обязанностями писать на латыни протоколы заседаний (конференций академии), готовить издание трудов и осуществлять переписку с учеными, а также вести историографию академии. 26 августа 1725 г. Гольдбах в составе группы академиков, только что созданной Петербургской академии наук, был представлен императрице Екатерине I [Юшкевич, Капелевич 1983].
Следует сказать, что математическая активность Гольдбаха в России заметно возросла. Объясняется это, по-видимому, тем, что в Петербургской академии он с самого начала оказался в тесном контакте с большой группой выдающихся математиков, среди которых были ранее упомянутые Якоб Герман и Даниил Бернулли, а также Николай Бернулли и гениальный Леонард Эйлер (1707-1783).
С 1725 по 1727 гг. Гольдбах, как и другие академики, неоднократно выступал с докладами на заседаниях Академической конференции. В этой связи показательна часть, относящаяся к Гольдбаху, из отчета о деятельности Академии наук, направленная в 1728 г. на имя императора Петра II. Кроме того, приводимый ниже отрывок указанного отчета интересен попыткой использования русской математической терминологии в противовес терминологии латинской.
«Христиан Гольдбах кроме истории академические, которую написал, следующие статьи Академии наук предложил, от них же мно-жайшие и алгебре, и к счислению дифференциальному, или разно-ственному, интегральному, или цельному принадлежат, которое от многих уже лет знатных геометров разумы потрудило:
1. Понеже в квадратурах плоскостей криволинейных и в выправлениях кривых по часту к рядам бесконечным прибегать надлежит, способ показал, чем данный каждый ряд на бесконечные другие той
1 Ленинградское отделение Архива АН СССР. Российский (ЛО ААН СССР). Фонд 1, опись 3, дело № 11 л. 2-3.
же суммы преобразить можно. Помощию сего способа, быть может, что неудобные и прикрытые ряды на другие или весьма удобослагае-мые или поне к деланию удобнейшие обратятся.
2. Показал бесконечные суммы рядов, их же вси пределы и край к генеральной формуле приведены быть могут, а понеже сумма к данному коему либо пределу ни единым доселе ведомым художеством генерально изобразится может. Такие ряды от оных, которые о том писали, поелико ведомо есть, никогда учреждены были.
3. Генеральное дал решение проблемы о разделении данные коее либо кривые на коликие либо доли, их же субтенсы да будут в данной всякой прогрессии.
4. И понеже начальная часть алгебры состоится в решении равенств, а ни единой способ изобретен, чтоб общественно решить сравнения, которые четвертую мощь превосходят, показал, что в равенствах пяти, седми и прочих мочей неравных везде бесконечные подаются случаи, по них же о влечение радиксов да наступает, и сим образом феорему знатнейшаго Моврея (т. е. Муавра), которая в Актах содиетета английскаго имеется, бесконечно генеральнее показал.
5. Феоремы некоторые, ими же бесчисленные падежи сравнения разноственного в целость приведены быть могут, предложил и доказал»1.
В первом и во втором пунктах речь идет о статьях Гольдбаха по теории бесконечных рядов, в третьем - о разделении кривых на части с заданными хордами и в пятом пункте - об интегрировании дифференциального уравнения специального вида. В четвертом пункте имеется в виду несохранившееся доказательство известной теоремы «Моврея» - Муавра об извлечении корней, которое Гольдбах представил Академической конференции.
С 1727 г. в жизни Гольдбаха начались существенные перемены. После многократных настойчивых предложений он был вынужден согласиться стать воспитателем великого князя, а впоследствии - императора Петра II и переехать в Москву. 1730 г. Петр II умер от оспы, и на престол вступила Анна Иоанновна. Только в 1732 г. двор Анны Иоанновны переехал в Петербург, с ним возвратился в академию и Гольдбах.
1 Записки императорской Академии наук. Т. 7. Приложения. Отчет о занятиях в 1863-1864 годах по составлению истории Академии наук. С. 22-23.
В 1737 г. президент Петербургской академии наук того времени И. А. Корф просит Кабинет министров императрицы «придать ему в товарищи юстицкого советника Гольдбаха, который как в высочайших, так и в прочих полезных науках великое искусство имеет». Последовал указ Сената о награждении Гольдбаха рангом коллежского советника. Однако это награждение увязывалось не столько с научной, сколько с административной его деятельностью. Формально это означало назначение его заместителем президента академии по Конференции (по научной работе) с правом решать различные хозяйственные и представительские дела и подписывать соответствующие документы [Юшкевич, Капелевич 1983].
Хотя в академии были опытные переводчики, и почти все академики владели латинским языком, но часто обращались к Гольдбаху как к большому знатоку языков и стилисту. Так, Гольдбах был автором текста речи, произнесенной в феврале 1740 г. кабинет-министром Черкасским на празднестве по случаю мира с Турцией. Речь была издана на русском, немецком, французском и латинском языках. Гольдбаху принадлежат все тексты, кроме русского. Когда по разным торжественным случаям возникала необходимость написания латинских стихов, то поручалось это опять Гольдбаху. Следует особо отметить, что стихи Гольдбаха на латинском языке восхищали многих любителей античности того времени, сравнивавших его с Вергилием [Юшкевич, Капелевич 1983].
Ученый неоднократно подавал прошения об освобождении его от обязанностей не связанных с его академической деятельностью. Президент Петербургской академии наук И. А. Корф перед уходом из академии распорядился Гольдбаха от «канцелярских дел» освободить и оставить за ним только руководство делами, касающимися «до наук» [Юшкевич, Капелевич 1983].
В апреле 1740 г. академия получила нового президента - Карла фон Бреверна. Но он, в отличие от Корфа Бреверн, почти не посещал Конференцию (собрания Академии наук) и вообще мало бывал в академии. Поэтому Гольдбаху и впрямь пришлось взять на себя так тяготившие его рутинные административные хлопоты.
Возможно и по этой причине, когда Бреверн, с восшествием на престол в ноябре 1741 г. императрицы Елизаветы Петровны, оказавшийся в руководстве коллегией иностранных дел, предложил Гольдбаху поступить на службу в это ведомство, тот ответил согласием.
В марте 1742 г. императрица Елизавета Петровна подписала Указ о назначении Гольдбаха на «особливую должность», пожаловала его в статские советники и повелела «быть ему при коллегии иностранных дел, а от Академии наук его отставить» [Юшкевич, Капелевич 1983]. Таким образом, с 1742 г. до самой смерти в 1764 г. официальная деятельность Гольдбаха связана с «особливой должностью» криптоанали-тика только что созданной дешифровально-разведывательной службы.
По свидетельству архивных данных, именно в начале 40-х гг. XVIII в. в России была создана служба перлюстрации - тайного вскрытия и копирования дипломатической корреспонденции (в современной терминологии - служба перехвата разведывательной информации). Создание этой службы связано в первую очередь с именем Алексея Петровича Бестужева-Рюмина (1693-1766). В так называемых черных кабинетах письма иностранных дипломатов вскрывались, копировались, переводились и докладывались Бестужеву-Рюмину. Однако часто самые важные фрагменты писем были зашифрованы и прочтению не поддавались. Естественно возникла настоятельная необходимость организации дешифровальной службы [Соболева 1994].
По-видимому, Бестужев-Рюмин, исходя из своего богатого европейского опыта, знал, какого именно профиля специалист был необходим для дешифровальной деятельности. Таким образом, именной Указ императрицы Елизаветы о назначении Гольдбаха на «особливую должность» состоялся 18 марта 1742 г., а дело об этом в архиве МИД озаглавлено «Об определении в Коллегию иностранных дел бывшего при Академии наук профессора Христиана Гольдбаха»1.
С этого времени вся дальнейшая жизнь Гольдбаха была связана с дешифровальной службой. Успеха в своей деятельности он достиг не сразу, а только через год. На полях копии одного из дешифрованных им писем датированного июлем 1743 г., имеется надпись: «Разобраны с цифр искусством статского советника Гольдбаха; в цифрах имевшиеся места внесены, для знака линиями подчерчены и прочее малое число еще не разобранных цифров каждая тремя пунктами означены»2. Это значит, что в представляемых вице-канцлеру
1 Архив внешней политики России. Фонд - Внутренние коллежские дела. Опись 2/6, дело 813, л. 6.
2 Архив внешней политики России. Фонд - Секретнейшие дела. Опись 6/1, дело 16.
Бестужеву-Рюмину переводах перлюстрированных писем те места, которые дешифрованы, подчеркнуты, чтобы было ясно, какая именно информация была зашифрована.
30 июля 1743 г. Гольдбах представил Бестужеву-Рюмину пять дешифрованных писем, 2 августа - также пять, 10 августа - два, 20-го -пять, 27-го - два, 30 августа - два письма... Всего с июля по декабрь 1743 года им было дешифровано 61 письмо «министров прусского и французского дворов»1.
Дэвид Кан в своей знаменитой книге ошибочно пишет о том, что первое дешифрованное российскими криптографами письмо было показано императрице Елизавете 16 июня 1744 г. И было это письмо посла Франции маркиза де ла Шетарди, в котором он неуважительно отозвался о русской императрице. Кан говорит о том, что Елизавета, «будучи ослепленной своими симпатиями к Франции, отказалась поверить этому письму, пока оно не было дешифровано в ее присутствии» [Кан 2000].
По-видимому, дело обстояло иначе. Начиная с Петра I, все российские монархи в обязательном порядке имели шифры и вели с их помощью деловую переписку. Елизавета Петровна не являлась исключением и, более того, вопросам деятельности криптографической службы уделяла особое внимание. Как было сказано выше, с самого начала работы по перлюстрации корреспонденции иностранных дипломатов канцлер и вице-канцлер докладывали полученную информацию Елизавете Петровне, о дешифровальной деятельности Гольдбаха она также была прекрасно осведомлена. В январе 1744 г. с Гольдбахом был перезаключен Договор о службе в России именно на основании его успехов в дешифровальной деятельности. Указ подписывала сама императрица Елизавета. Из протокола докладов императрице Елизавете от 3 января 1744 г.: «....слушать же и все-милостивейше апробовать соизволила проект заключаемого статским советником Гольдбахом о вступлении его в российскую службу контракта (до той поры Гольдбах оставался прусским подданным). И при том, по всеподданнейшему докладу, не соизволено ль будет ему, Гольдбаху, за прилежные его труды и особливое искусство в раз-бирании цифирных секретных писем вознаграждение до 1000 рублей
1 Там же.
пожаловать, Ея Императорское Величество на сие всемилостивейше соизволила»1.
Что касается Шетарди, то чтение его переписки было лишь одним из эпизодов в дешифровальной деятельности Гольдбаха, а отнюдь не первым опытом, поэтому дешифрованное письмо Шетарди никак не могло «поразить» прекрасно информированную императрицу.
Это подтверждает деловая записка того времени: «Переводы корреспонденции маркиза Шетарди с французскими министрами при иностранных дворах и ответы к нему. Сие почти все в цифрах писано было, но которые статский советник Гольдбах особливым искусством и неусыпным трудом, кроме некоторого малого числа, соизволил разобрать и ключ сочинить, как о том следующей пиесы (следующего сообщения) перевод с его письма гласит». На полях же рядом с этим текстом написано: «Сии пиесы поданы Ея Императорскому Величеству самим государственным вице-канцлером в 3 апреля 1744 года». И текст записки далее: «Итако сие уже четвертая цифирь, которую помянутый статский советник разобрал. <...> По неже он уповает в кратком времени употребляемую и статским секретарем Амелотом и придворную цифирь маркиза Шетардия разобрать...»2. Таким образом, можно констатировать, что шифр Шетарди для переписки с другими французскими министрами был четвертым по счету из тех, что раскрыл Гольдбах.
Именно с момента появления Гольдбаха в штате Коллегии иностранных дел в Коллегию начинают поступать распоряжения Бестужева-Рюмина тщательно копировать письма целиком, ни в коем случае не опуская в них шифрованных фрагментов.
Сам Гольдбах прекрасно понимал значение своей работы и стремился разъяснить вице-канцлеру ее сложность. Так, в январе 1744 г. он писал Бестужеву-Рюмину: «Милостивый государь мой! Принося Вашему сиятельству первые плоды третьяго цифирного ключа, надеюсь, что вместо нарекания мне какого-либо в том медления, паче моей поспешности удивляться причину иметь будут, ежели когда-нибудь соизволено будет сличать самой ключ с разобранными письмами и когда усмотрится, что потребно было каждое число или каждую
1 Архив внешней политики России. Фонд - Секретнейшие дела. Опись 6/1, дело 16.
2 Там же.
цифру весьма прилежно свидетельствовать, нежели возможно было познать содержание хотя б одного письма. Но понеже сия работа уже сделана, то я в состоянии нахожусь, в день по одной пиесе разобрав, отдавать, ежели я, однако ж, другими делами от того отторгнут не буду. Что же касается до четвертого и пятого ключей, от которого я еще несколько штук (писем) в руках имею, то оныя ключи несравненно труднее первых нахожу...»1.
Гольдбах продолжает трудиться. Дешифруя переписку Шетарди, он стремится раскрывать всё новые ключи. 20 марта 1744 г. он пишет Бестужеву-Рюмину: «Понеже я в четвертой цифири успех возымел, того ради я в состоянии буду Вашему сиятельству не токмо по пиесе (по письму) на день из тех, которые Вы мне прислали, возвращать, но, как скоро токмо Вы мне приказать изволите, и цифирный ключ вручить, способом которого каждому, который по-французски разумеет, все написанные той же цифирью пиесы расшифровать весьма легко сможет <...>. В настоящее время я занимаюсь пятой цифирью, которая по своему виду гораздо важнее пиесы откроет. Но всепокорно Ваше сиятельство прошу мне по меньшей мере две недели сроку дать, дабы я себя в состояние привесть мог Вам такой опыт представить, который бы Вашей апробации достоин был. Вашему сиятельству существо подобного труда весьма известно, дабы мне сего дозволить, в которое я все свое возможное прилежание приложу, дабы Ваше сиятельство о моем безмерном желании повелением Вашим удовольствие показать...»2.
Таким образом, напрашивается вывод, что за время с 1741 по 1744 гг. Гольдбаху удалось выработать систему приемов и методов дешифрования секретной переписки, которые позволяли ему добиваться успеха в весьма короткие (по меньшей мере две недели) сроки.
Работа Гольдбаха на поприще дешифрования не оставалась без внимания и высоко ценилась императрицей. В 1760 г. ученый был пожалован в тайные советники. Это было одно из самых высоких званий в Российской империи, и награждались им дворяне за особые заслуги перед Отечеством.
1 Архив внешней политики России. Фонд - Секретнейшие дела. Опись 6/1, дело 16.
2 Там же. Опись 6/1, дело 814.
Если сравнивать криптографию и криптоанализ, то необходимо иметь в виду, что криптография исследует свойства и принципы построения алгоритмов преобразования информации, обеспечивающих ее надежную защиту. Предметом же криптоанализа является исследование и практическая реализация математических и эмпирических методов восстановления первоначального вида защищенной информации без знания секретных параметров соответствующих преобразований (без знания ключей). При этом криптоанализ является и наукой, и практической деятельностью, и искусством. История показывает, что выдающиеся криптоаналитики имели широчайший кругозор, глубокие лингвистические и математические знания, кроме того, обладали целеустремленностью при решении сложнейших дешифровальных задач. Примером тому могут служить:
Абу Юсуф Якуб ибн Исхак аль-Кйнди, (около 801-873) - арабский философ, автор 290 книг по медицине, лингвистике, математике, теории музыки, астрономии и основоположник криптоанализа.
Франсуа Виет, сеньор де ля Биготье (1540-1603) - французский математик, создатель языка символической алгебры, советник французских королей, сначала Генриха III, потом - и Генриха IV, выдающийся криптоаналитик.
Чарлз Бэббидж (1791-1871) - английский математик, изобретатель первой аналитической вычислительной машины, философ, экономист, изобретатель спидометра и тахометра, иностранный член-корреспондент Императорской академии наук в Санкт-Петербурге (1832), замечательный криптоаналитик.
Алан МЭтисон Тьюринг (1912-1954) - английский математик, логик, биолог, химик, криптограф, оказавший существенное влияние на развитие информатики. Удостоин Ордена Британской империи (1945) за бесценные работы по криптоанализу в годы Второй мировой войны.
Без всяких сомнений Гольдбах занимает свое достойное место в приведенном, далеко не полном, списке выдающихся криптоана-литиков.
Христиан Гольдбах тщательно сохранял в тайне свою работу на «особливой должности» в Коллегии иностранных дел. Он действительно был «тайным» советником. Ни в одном архивном документе нет и намека на его дешифровально-разведывательную деятельность.
Тем не менее криптографическая деятельность Гольдбаха, по-видимому, оставляла возможность для его серьезных математических увлечений, которые с 1741 г. развивались в основном в рамках математической переписки (нежели в собственных публикациях). Причем переписывался по математической проблематике он в основном с гениальным Леонардом Эйлером, который, как и Гольдбах, покинул Петербургскую академию наук в 1741 г. (оставаясь ее почетным членом) и вплоть до 1766 г. работал в Берлине.
Эйлер был приглашен в Петербургскую академию наук в 1727 г. и к 1741 г. уже почти 15 лет жил и работал России. Здесь он мог общаться с такими математиками, как Д. Бернулли, у которого жил в Петербурге до своей женитьбы. Он мог общаться со своим отдаленным родственником Якобом Германом, который считался ведущим математиком среди всех академических математиков в Петербурге той поры <...>. Но самые сильные математические импульсы Эйлер получал от одаренного богатой математической фантазией Христиана Гольдбаха, позднее - крестного отца его старшего сына Иоганна Альберта Эйлера» [Юшкевич, Капелевич 1983].
Конечно, математическое дарование Гольдбаха не могло идти в сравнение с гением Эйлера, тем не менее работы Гольдбаха, а главное - непосредственное духовное общение между ними долгие годы действительно сильно стимулировали творчество Эйлера. Ярким свидетельством этого служит долгая переписка ученых. В ней насчитывается 101 письмо Эйлера и 95 Гольдбаха1. При этом Гольдбах выступал как достойный партнер великого ученого, причем особенно сильный в постановке вопросов, побуждавших Эйлера к новым исследованиям. Главной темой переписки служили теория рядов и теория чисел.
Тем не менее Гольдбах не только ставил вопросы и задачи, но и излагал Эйлеру собственные соображения и доказательства, при этом особенно не стремясь к установлению своего приоритета в печатных работах. Насколько ценил Эйлер общение с Гольдбахом, свидетельствует не только объем и продолжительность их переписки, но и непосредственные высказывания самого Эйлера.
1 Фусс. Т. 1. Переписка Гольдбаха с Эйлером с 13.10.1729 по 17.03.1764. 196 писем.
Здесь следует привести наиболее известную гипотезу Гольдбаха (часто называемую Проблемой Гольдбаха), о которой он писал Эйлеру 7 июня 1742 г. следующее: «Я считаю небесполезными и такие предложения, которые весьма вероятны, хотя и не достает их настоящего доказательства, ибо если даже они затем окажутся ложными, они могут дать повод к открытию какой-либо новой истины». И далее: «Таким образом, я хочу решиться высказать предположение ... каждое число, большее чем 2 есть сумма трех простых чисел»1.
30 июня Эйлер ответил, что еще ранее Гольдбах сообщил ему свое наблюдение: «Каждое четное число есть сумма двух простых чисел... Если же п нечетное число, то оно несомненно сумма трех простых чисел... А что каждое четное число есть сумма двух простых, я считаю верной теоремой, хотя и не могу ее доказать»2.
Гольдбах относил к простым числам и 1, что в современной математике не принято. С учетом этого замечания в современной математике гипотеза Гольдбаха естественно звучит иначе. Кроме того, из общей формулировки гипотезы в настоящее время принято выделять две взаимосвязанные части.
Первая часть получила название тернарной (или слабой) гипотезы Гольдбаха. Она утверждает, что всякое нечетное целое число больше пяти представляется в виде суммы трех (не обязательно попарно различных) простых чисел. Вторая часть - бинарная (или сильная) гипотеза Гольдбаха утверждает, что всякое целое четное число больше двух представляется в виде суммы двух простых чисел. Эту гипотезу называют сильной, потому что слабая гипотеза из нее вытекает. Действительно, добавляя ко всем четным число 3, могут быть получены все возможные нечетные числа больше пяти.
Начиная с XVIII в., математики постоянно предпринимали попытки приблизиться к решению вопроса о справедливости гипотезы Гольдбаха.
В 1894 г. немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) проверил справедливость гипотезы для четных чисел до 1000 и подсчитал число их представлений в виде суммы двух простых.
В 1923 г. английские математики Харди (1877-1947) и Литтлвуд (1885-1977) показали, что гипотеза Гольдбаха справедлива для всех
1 Фусс. Т. 1. Переписка Гольдбаха с Эйлером ... . С. 104.
2 Там же, с. 110-111.
достаточно больших нечетных чисел, при некоторых дополнительных предположениях [Юшкевич, Капелевич 1983].
В 1930 г. советский математик Лев Шнирельман (1905-1938) доказал, что существует такое целое число С, что любое натуральное число есть сумма не более С простых чисел. Это число получило известность как постоянная Шнирельмана. Оценка этого числа, полученная Шнирельманом, приблизительно равнялась 800 000. Позднее удалось снизить значение оценки числа С до 20; однако дальше продвинуться с помощью метода Шнирельмана не удалось1.
В 1937 г. советский математик академик Иван Матвеевич Виноградов (1891-1983) разработал математический метод позволивший доказать, что всякое нечетное число, большее некоторой постоянной К, представимо суммой трех простых чисел. Для достаточно больших четных чисел отсюда следовало, что они являются суммами четырех простых. Упомянутый метод академика Виноградова позволил решить целый ряд других трудных задач теории чисел2.
В 1939 г. студент И. М. Виноградова Константин Бороздин доказал, что постоянная К не превосходит 314348907.
В 1995 г. французский математик Оливье Рамаре снизил верхнюю оценку постоянной С для представления нечетных чисел до 73.
К 2002 г. Лю Минчит и Ван Тяньцзэ снизили границу К до значения е3100. Это число гораздо меньше, но все же слишком велико для того, чтобы все нижележащие числа можно было проверить подбором на компьютере4.
В 2012 г. американский математик Теренс Тао (родился в 1975 г.) разработал метод, с помощью которого доказал, что каждое нечетное число можно представить в виде суммы не более чем 5 простых чисел. Это снижало постоянную Шнирельмана до 6.
Наконец в 2013 г. тернарная гипотеза Гольдбаха была окончательно доказана перуанским математиком Харальдом Гельфготтом (родился в 1977 г.) [Наварро 2014].
Однако бинарная гипотеза (проблема) Гольдбаха оказалась значительно сложнее. В 1973 г. китайский математик Чэнь Цзинжунь
1 Фусс. Т. 1. Переписка Гольдбаха с Эйлером ...
2 Там же.
3 Там же.
4 Там же.
доказал, что каждое достаточно большое четное целое может быть представлено в виде суммы простого и полупростого (это либо простое число, либо произведение двух простых) чисел. Близко, но не то.
Оливье Рамаре в 1995 г. доказал, что каждое четное целое число можно представить в виде суммы не более шести простых чисел. В 1998 г. Дезуйе, Саутер и те Риле (используя мощные компьютеры) проверили ее для всех четных чисел вплоть до 1014. К 2007 г. Томаш Оливейра-и-Сильва улучшил этот результат до 1018.
Таким образом, к настоящему времени из справедливости тернарной гипотезы Гольдбаха, доказанной в 2013 г., для бинарной гипотезы следует только то, что любое четное число является суммой не более чем 4 простых чисел.
Итак, по прошествии многих лет (с 1742 г. по настоящее время) бинарная гипотеза Гольдбаха так и не доказана и не опровергнута. На ее доказательства затрачены колоссальные усилия математиков, которые привели ко многим открытиям в различных областях математики.
Неоспоримым является вывод о том, что Христиан Гольдбах не только сильно повлиял на деятельность выдающихся современников (прежде всего на Леонарда Эйлера), но постановкой выбранных им проблем оказал и продолжает оказывать огромное влияние на прогресс математики (и даже на художественную литературу [Апостолос Доксиадис 2002]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Апостолос Доксиадис. Дядя Петрос и проблема Гольдбаха / пер. с англ.
М. Б. Левина. М. : АСТ, 2002. 208 с. Кан Д. Взломщики кодов. Центрполиграф, 2000. 480 с. (Секретная папка.) Неуловимые идеи и вечные теоремы. Великие задачи математики / Х. Навар-
ро. М. : Де Агостини, 2014. 164 с. : ил. (Мир математики.) Соболева Т. А. Тайнопись в истории России. М. : Международные отношения, 1994. 384 с.
Стюарт И. Величайшие математические задачи. М. : Альпина нон-фикшн, 2015. 460 с.
Харди Г. Х. Апология математика / пер. с англ. Ю. А. Данилова. Ижевск :
Регулярная и хаотическая динамика, 2000. 128 с. Юшкевич А. П., Капелевич Ю. Х. Христиан Гольдбах. М. : Наука, 1983.
