CC BY
150
Риск-менеджмент
УДК 336.76
ХЕДЖИРОВАНИЕ НА НЕФТЯНОМ РЫНКЕ: МНОГОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ С ДИНАМИЧЕСКИМИ УСЛОВНЫМИ КОРРЕЛЯЦИЯМИ
О.О. НЕВЕРОВИЧ, аспирант кафедры фондового рынка и рынка инвестиций
E-mail: [email protected] Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»
В статье определена практическая ценность применения многомерных моделей условной вола-тильности, а именно — моделей постоянных условных корреляций CCC, динамических условных корреляций DCC и асимметричных динамических условных корреляций A-DCC, в отношении рядов спотовых и фьючерсных доходностей на рынке нефти марки Brent для расчета оптимальных коэффициентов хеджирования.
В этих целях подверглась исследованию и сравнению результативность расчетных многомерных моделей с динамическими условными корреляциями путем применения показателя эффективности хеджирования.
С помощью многомерных моделей обобщенной авторегрессионной условной гетероскедас-тичности GARCH рассчитаны коэффициенты оптимального хеджирования с учетом сведений о нестационарной ковариационной матрице для спотовых и фьючерсных цен на нефть. Динамика цен описана AR-EGARCH-моделью, волатильность и корреляция — многомерными GARCH-моделями с динамическими условными корреляциями. Рассчитанные посредством конкурирующих моделей коэффициенты оптимального хеджирования оценены в соответствии с критерием снижения дисперсии портфеля и риска по сравнению с нехеджированным портфелем.
Полученные показатели дисперсии и эффективности хеджирования свидетельствуют о том,
что A-DCC-модель имеет лучшую способность к снижению дисперсии портфеля.
Сделан вывод о том, что эффективность хеджирования повышается, если учитываются асимметричные характеристики волатильности. Кроме того, предлагается использовать динамический коэффициент оптимального хеджирования для построения стратегии хеджирования на рынке нефти на основе моделей условной волатильности с динамическими условными корреляциями. Методология, представленная в этой статье, может быть адаптирована к рынкам других активов.
Ключевые слова: многомерные GARCH модели, условные корреляции, оптимальный коэффициент хеджирования, эффективность хеджирования, фьючерсы на нефть
Введение
Основной проблемой хеджирования является определение коэффициента оптимального хеджирования. Наиболее широко используемые стратегии хеджирования основываются на минимизации дисперсии портфеля — так называемом коэффициенте хеджирования с минимальной дисперсией.
В настоящее время признано, что волатильность доходности финансовых активов, ковариации и корреляции постоянно изменяется во времени, поэтому
следует полагаться на такие техники, как модели условной волатильности. Так как совместное распределение спотовых и фьючерсных цен меняется со временем, то расчет постоянного коэффициента хеджирования не может быть целесообразным.
Таким образом, коэффициент оптимального хеджирования может быть рассчитан с учетом сведений о нестационарной ковариационной матрице для спотовых и фьючерсных цен, которую целесообразно оценить посредством многомерных моделей, основанных на методологии GARCH, а именно — моделей постоянных и динамических условных корреляций (ССС, DCC и А-ОСС). Исследование и сравнение эффективности коэффициентов оптимального хеджирования, полученных на основе расчетной многомерной модели условной волатильности, может проводиться путем применения показателя эффективности хеджирования по критерию снижения дисперсии портфеля.
Простейшей моделью для положительно определенной матрицы является модель постоянных условных корреляций ССС Боллерслева. К сожалению, предположение о постоянстве условных корреляций зачастую приводит к ошибочности анализа и неточности прогноза. Новый класс моделей — динамические условные корреляции ОСС предложил Энгл. Они позволяют изменять во времени корреляцию доходности активов. В этой модели корреляция между доходностями активов корректируется с учетом новой информации. Проведя модификацию ОСС, в своей работе Каппиелло и его соавторы [6] предложили асимметричную модель динамических условных корреляций А-ОСС, которая допускает условные асимметрии в корреляции.
Цель исследования, положенного в основу этой статьи, заключается не в разработке реальной стратегии, а в оценке эффективности применения многомерных моделей постоянных и динамических условных корреляций для определения оптимальных коэффициентов хеджирования на рынках нефти, т.е. способности моделей наиболее точно оценивать и прогнозировать условные ковариации.
Эконометрические модели
Модель AR-EGARCH. Для оценивания условных дисперсий спотовых и фьючерсных доходнос-тей используется модель AR-EGARCH, которая выражена формулами:
Zk
==1 ф.у -I +st ;
) = ш + £ ^ (а,.1 1 + у ) +
+1 ^Р, ), (1)
где у( — спотовые или фьючерсные доходности на рынке нефти;
б. = , Е-1 (б.) = 0 (б') = . Предполагается, что случайная величина имеет стандартное нормальное распределение. Асимметричный эффект положительных и отрицательных шоков представлен в том числе 2.. Если у. > 0, то 2-_. = б Д . положительна. Инерционность
шоков условной дисперсии задается £ р Р,- .
Многомерн ые модели условной волатил ьнос-ти. Получив условные волатильности из уравнения (1), переходим к условным корреляциям.
Постоянные условные корреляции ССС — многомерная модель, предложенная Боллерслевом, выраженная следующей формулой [4]:
У = Е (у ) + б , б = D t п,
уаг(Б.р._1) = DtГtDt, (2)
где у = Оъ, • Ут1)',(г1»,Лт)' — последовательность независимых и одинаково распределенных случайных векторов; Ц. _1 — прошлые значения, доступные во время .;
diag(й11/2,^, О; . = 1, ..., п.
При этом т — количество доходностей. Так как
Г. = Е Р.-1)=Е ЛХ
где Г. = {р..} для ,,] = 1, ..., т,
то матрица постоянных условных корреляций безусловных шоков п. является эквивалентом матрицы постоянных условных ковариаций условных шоков е., по уравнению (2):
е4 В; = Dt ^ , Dt = (^ Qt )1/2,
а Е (б. б'Щ-1) = = Р ГР,
где Qt — условная ковариационная матрица.
ССС-модель предполагает, что условная дисперсия для каждой доходности к , = 1, ..., т придерживается одномерного GARCH-процесса:
г 5
К=ш+£а. < -. +£Р. К. -.,
.=1 .=1
где а.. — ARCH-эффект,
X!а1 +ХР. _ долгосрочное постоянство,
1=1 1=1
р.. — GARCH-эффект.
Чтобы сделать условную корреляционную матрицу зависимой от времени, Энгл предложил модель динамических условных корреляций DCC.
Для начала определим условную ковариационную матрицу:
а*=Dt гА ,
где = diag(h1/2, • • •, Ь]^) — диагональная матрица условных дисперсий.
Условная дисперсия Ни может быть определена как одномерная GARCH-модель:
f i К =®, +Уагк zlt-k + У ß il hi
i,t-l ■
k=l
l=l
Оценка динамических условных корреляций может проводиться следующим образом:
Г* = {(diag (0, )-1/2 {(diag (0, )-1/2};
Qt = (i-ei-e2 )Q+eint-in'-i +e2Qt -,
(3)
(4)
где — kxk — симметричная положительно определенная матрица, в которой 91 и 92 — скалярные параметры для фиксирования эффектов предыдущих шоков и предыдущих динамических условных корреляций на текущую динамическую условную корреляцию. При этом 91 и 92 — неотрицательные скалярные параметры, удовлетворяющие 91 + 92 < 1, из чего следует, что > 0. Когда 91 = 92 = 0, в уравнении (4) эквивалентно ССС. Так как условно на векторе стандартизированных остатков, уравнение (4) является условной ковариационной матрицей, а б — kxk — безусловной дисперсионной матрицей от п,. Если п, — вектор независимых и одинаково распределенных случайных величин, с нулевым средним и единичной дисперсией, б ( по уравнению (3) является условной ковариационной матрицей
(Пи = У„ ).
В своей работе Каппиелло и соавторы предложили А^СС-модель, выраженную следующей формулой:
б, = (1 -01 -02 )б -03 N+ 0^ _lZ;_1 +
+03^-1 +02Й-1 , где б, — условная корреляционная матрица от Z,, <2;
N — безусловные корреляционные матрицы от
% и п,;
П, = I , < 0] ° % , (I [•]- индикаторная функция, которая принимает значение 1, если аргумент
является достоверным и 0 — в противном случае (в то время как ° указывает на произведение Адамара) и N = E [пП ]. Вычисляем корреляционную матрицу:
Г = QrQQ*-1, где Q* = >/$3".
Коэффициент оптимального хеджирования и эффективность хеджирования. Дисперсия доходности хеджирующего портфеля в момент времени t — 1 определяется как var( RH JOt-i) = var( Rs JO^) -
-2y cov(Rs,t, Rf ,t I Ot-i)+Y2 var(RF,tQt-i), (5)
где var(Rs,t \0.t_l),var(RP,tЩ-i) и cov(Rs,t,Rf,t|Qt-i) — условные дисперсии и ковариация спотовых и фьючерсных доходностей соответственно. Коэффициент оптимального хеджирования определяется как значение у которое минимизирует условную дисперсию доходностей хеджирующего портфеля: minY [var(RH t|Qt-1)] . Доходности определяются как логарифмические разности спотовых и фьючерсных цен.
Из уравнения (5) получаем коэффициент оптимального хеджирования:
cov(Rs t,RpJOt-i) Y, |Ot-i = " "
var(Rp, tPt-i)
y;Pt-i =■
h
к,,
где Нзр, — условная ковариация между спотовыми и фьючерсными доходностями; Нр( — условная дисперсия фьючерсных доход-ностей.
Рассчитаем средний коэффициент хеджирования по формуле
AHR = - У Т у
Т ^ t=i '
где Т —размер выборки.
Для проведения анализа точности коэффициентов оптимального хеджирования, полученных на основе многомерных моделей постоянных и динамических условных корреляций, используем показатель эффективности хеджирования, в котором определяющим является критерий снижения дисперсии для любого хеджированного портфеля по сравнению с нехеджированным:
HE =
var
- var
hedged
var,
Лучшей стратегией хеджирования будет считаться модель с более высоким показателем эффективности хеджирования.
Данные
Для анализа используются ежедневные спото-вые и фьючерсные цены закрытия на нефть марки Brent с июня 2008 г. по ноябрь 2013 г. Основными источниками при этом послужили электронные ресурсы U.S. Energy Information Administration (EIA) и Intercontinental Exchange (ICE). Спотовые и фьючерсные доходности рассчитаны по формуле
^ = W /
где P и Pt-1 — цены закрытия в дни t и t — 1 соответственно.
Графики спотовых (BRSP) и фьючерсных (BRFP) цен на нефть марки Brent представлены на рис. 1. Корреляция между ценами равна 0,9, что подтверждается динамикой движения цен. На рис. 2 показаны графики спотовых (BRSR) и фьючерсных (BRFR) доходностей. Они указывают на кластеризацию волатильности, периоды высокой волатильности сменяются периодами относительного спокойствия. На графиках доходностей ярко выражен кластер чрезвычайно высокой волатиль-ности, соответствующий периоду мирового экономического кризиса 2008.
Описательные статистики анализируемых рядов цен и доходностей приведены в табл. 1. Ряды доходностей имеют высокие коэффициенты эксцесса, которые указывают на наличие утяжеленных
BRSP
BRFP
160 140 -120 -100-
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2007 .....2008.......2009.......2010.......2011 .......2012..... 2013
а б
Рис. 1. Спотовые (BRSP) и фьючерсные (BRFP) цены на нефть марки Brent в 2007-20l3 гг., долл.:
а — BRSP; б — BRFP
BRSR
BRFR
.20 .15 .10 .05 .00 -.05 -.10 -.15 -.20
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
a б
Рис. 2. Спотовые (BRSP) и фьючерсные (BRFP) доходности на рынке нефти марки Brent в 2007-20l3 гг.:
а — BRSP; б — BRFP
Риск-менеджмент Risk management - 52 -
Таблица 1
Описательные статистики
Показатель BRSP BRFP BRSR BRFR
Среднее значение 93,29398 95,26878 0,000308 0,000320
Медиана 99,05000 96,95000 0,000795 0,000594
Максимум 143,9500 143,6700 0,181297 0,071393
Минимум 33,73000 62,41000 -0,168320 -0,082615
Стандартное отклонение 22,87209 14,92828 0,022097 0,014828
Асимметрия -0,489760 0,091566 -0,023963 -0,155303
Эксцесс 2,450241 3,090018 10,41445 5,737266
Харке-Бера 88,58142 2,923524 3859,803 532,8183
Вероятность 0,000000 0,231827 0,000000 0,000000
Таблица 2 Тест на единичный корень Дики-Фуллера
Показатель BRSP BRFP BRSR BRFR
ADF -1,687105 -2,262035 -39,16123 -39,84100
1% -3,434029 -3,434029 -3,434029 -3,434029
5% -2,863052 -2,863052 -2,863052 -2,863052
10% -2,567622 -2,567622 -2,567622 -2,567622
Вероятность 0,4377 0,1847 0,0000 0,0000
Таблица 3 Тест на коинтеграцию Йохансена
Показатель Собственное значение Статистика 0,05 Вероятность
К trace 0,010053 21,83103 15,49471 0,0048
X max 0,228670 717,1772 15,49471 0,0001
хвостов, а также отрицательные коэффициенты асимметрии, свидетельствующие, что ряды имеют более длинный левый хвост (экстремальные потери), чем правый хвост (крайние прибыли). Статистики доходностей теста Харке-Бера являются статистически значимыми, тем самым распределение доходностей не является нормальным.
Результаты ADF-теста на единичный корень для спотовых и фьючерсных цен и доходностей приведены в табл. 2. Для рядов цен ADF-тест статистически незначим, нулевая гипотеза о наличии единичного корня не отвергается. Таким образом, ряды цен являются интегрированными первого порядка 1(1). Значения ,-статистик ADF-теста для рядов доходностей значительно меньше значений ,-статистик на всех уровнях значимости, следовательно, все ряды доходностей стационарны.
Так как ряды цен являются интегрированными первого порядка, необходимо их проверить на коинтеграцию. Для этого применим тест Йо-хансена. Гипотеза эффективности рынка требует, чтобы текущие цены фьючерсов и спотовые цены в будущем были коинтегрированы. От этого зави-
сит целесообразность проведения многомерного анализа соответствующих рядов. Тест Йохансена (табл. 3) свидетельствует о наличии двух коинтег-рационных векторов на 5%-ном уровне значимости между спотовыми и фьючерсными ценами на нефть марки Brent.
Наличие коинтеграции между рядами спотовых и фьючерсных цен позволяет сделать вывод, что фьючерсные цены могут стать основой прогнозных значений спотовых цен.
Эмпирические результаты
В табл. 4 представлены оценки параметров моделей CCC, DCC и A-DCC. ARCH- и GARCH-оценки условной дисперсии между спотовыми и фьючерсными доходностями на рынке нефти марки Brent являются статистически значимыми. Согласно ARCH(a)- и GARCH(P)-оценкам, степень долгосрочной инерционности фьючерсных доходностей на рынке выше спотовых, т.е. конвергенция к долгосрочному равновесию после шоков для фьючерсных доходностей происходит медленнее, чем для спото-
Таблица 4
Оценки параметров моделей CCC, DCC и A-DCC
Параметр CCC DCC A-DCC
Cor 0,752 - -
0i - 0,144 0,108
02 - 0,803 0,737
03 - - 0,134
Таблица 5
Показатели эффективности хеджирования
вых. Условные дисперсии спотовых и фьючерсных доходностей находятся под влиянием предыдущих долгосрочных шоков доходностей друг друга.
Анализ данных табл. 4 показывает, что CCC-оценка волатильности спотовых и фьючерсных доходностей довольно высока, но существенно меньше 1. Это свидетельствует о наличии значительной информации, влияющей на рынок. Неотрицательные оценки параметров моделей DCC (0j + 92 < 1) и A-DCC (0j + 02 + 03 < 1) обеспечивают положительную определенность матриц. Оценки являются статистически значимыми во всех случаях, гипотеза о постоянной условной корреляции для всех шоков доходностей не подтверждается.
Показатели, характеризующие эффективность хеджирования, в том числе средние коэффициенты оптимального хеджирования и дисперсии портфелей, полученные на основе многомерных моделей постоянных и динамических условных корреляций, приведены в табл. 5.
Все три многомерные модели постоянных и динамических условных корреляций эффективно уменьшают дисперсии портфелей. Эффективность совершения операций на уровне 60%. Согласно постоянным условным корреляциям хеджеру следует занять короткую позицию на рынке. Модели обеспечивают различные средние коэффициенты хеджирования. Средние значения коэффициентов являются довольно высокими. Наибольшее среднее значение получено на основе модели A-DCC, наименьшее — ССС.
Ключевым критерием в выборе модели (соответственно и стратегии) является возможность
максимального снижения дисперсии портфеля, от которой зависит определение показателя эффективности хеджирования. Из многомерных моделей условной волатильности наибольшие значения эффективности хеджирования получились на основе A-DCC-модели. Самые низкие значения эффективности хеджирования получены на основе CCC-мо-дели. Следовательно, наиболее точно оценивает и прогнозирует условные ковариации на рынке нефти марки Brent асимметричная модель динамических условных корреляций A-DCC.
Представленные результаты и методология могут быть полезны для разработки реальной стратегии хеджирования не только на нефтяных фьючерсных рынках, но и на рынках других активов.
Список литературы
1. Baillie R., Myers R. Bivariate GARCH estimation of the optimal commodity futures hedge // Journal of Applied Econometrics. 1991. № 6. P. 109-124.
2. Bauwens L., Sebastien L., Rombouts J.V.K. Multivariate GARCH models // Journal of Applied Econometrics. 2006. № 21. P. 79-109.
3. Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity // Journal of Econometrics. 1986. № 31. P. 307-327.
4. Bollerslev T. Modelling the coherence in short-run nominal exchange rates: a multivariate generalized ARCH model // The Review of Economics and Statistics. 1990. № 72. P. 498-505.
5. Brooks C., Henry O.T., Persand G. The effect of asymmetries on optimal hedge ratios // Journal of Business. 2002. № 75. P. 333-352.
6. Cappiello L., Engle R., Sheppard K. Asymmetric dynamics in the correlations of global equity and bond returns // Journal of Financial Econometrics. 2006. № 4. P. 557-552.
7. Chang C.-L., McAleer M., Tansuchat R. Analyzing and forecasting volatility spillovers, asymmetries and hedging in major oil markets // Energy Economics. 2010. № 32. P. 1445-1455.
8. Chang C.-L., McAleerM., TansuchatR. Crude oil hedging strategies using dynamic multivariate GARCH // Energy Economics. 2011. № 33. P. 912-923.
9. Dickey D.A., Fuller W.A. Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root. Journal of the American Statistical Association. 1979. № 74. P. 427-431.
10. Engle R. Dynamic conditional correlation: a simple class of multivariate generalized autoregressive
Показатель CCC DCC A-DCC
Средний коэффициент 0,863 0,870 0,874
хеджирования
Дисперсия портфеля (х10_4) 2,425 2,410 2,347
Эффективность 59,711 59,960 61,007
хеджирования
conditional heteroskedasticity models // Journal of Business and Economic Statistics. 2002. № 20. P. 339-350.
11. Haigh M.S., Holt M. Crack spread hedging: accounting for time-varying spillovers in the energy futures markets // Journal of Applied Econometrics. 2002. № 17. P. 269-289.
12. Jarque C.M., Bera A.K. Test for normality of observations and regression residuals // International Statistical Review. 1987. № 55. P. 163-172.
13. Johansen S. Estimation and hypothesis testing of cointegration vectors in Gaussian vector autoregressive models // Econometrica. 1991. № 59. P. 1551-1580.
14. Johnson L.L. The theory of hedging and speculation in commodity futures // The Review of Economic Studies. 1960. № 7. P. 139-151.
15. Kroner K., Ng V. Modeling asymmetric movements of asset prices // Review of Financial Studies. 1998. №. 11. P. 817-844.
16. Knill A., KristinaM., NejadmalayeriA. Selective hedging, information, asymmetry, and futures prices // Journal of Business. 2006. №. 79. P. 1475-1501.
17. Ku Y.-H., Chen H.-C., Chen K.-H. On the application of the dynamic conditional correlation model in the estimating optimal time-varying hedge ratios // Applied Economics Letters. 2007. № 14. P. 503-509.
18. Lanza A., Manera M., McAleer M. Modeling dynamic conditional correlations in WTI oil forward and future returns // Finance Research Letters. 2006. № 3. P. 114-132.
19. McAleer M., Hoti S., Chan F. Structure and asymptotic theory for multivariate asymmetric conditional volatility // Econometric Reviews. 2009. № 28. P. 422-440.
20. Regnier E. Oil and energy price volatility. Energy Economics. 2007. № 29. P. 405-427.
21. Ripple R. D., Moosa I.A. Hedging effectiveness and futures contract maturity: the case of NYMEX crude oil futures // Applied Financial Economics. 2007. № 17. P. 683-689.
Finance and credit Risk management
ISSN 2311-8709 (Online) ISSN 2071-4688 (Print)
HEDGING IN THE OIL MARKET: MULTIDIMENSIONAL MODELS WITH DYNAMIC CONDITIONAL CORRELATIONS
Oleg O. NEVEROVICH
Abstract
The article defines the practical value of applying multidimensional models of conditional volatility, i.e. the constant conditional correlations (CCC), dynamic conditional correlations (DCC) and asymmetric dynamic conditional correlations (A-DCC) models with regard to series of spot and futures yields in the Brent Crude oil market to calculate optimal hedge ratios. The author studied and compared the effectiveness of computational multidimensional models with dynamic conditional correlations by applying the indicator of hedge efficiency. Using multidimensional models of generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH), the author calculated optimal hedge ratios taking into account the data on a non-stationary covariation matrix for spot and future prices for oil. The AR-EGARCH model describes the price dynamics,
the multidimensional GARCH models with dynamic conditional correlations describe volatility and correlation. The author estimates the optimal hedge ratios, which have been calculated based on the competing models, according to the criterion of lowering variance of portfolio and risk in comparison with a non-hedged portfolio. The obtained indicators of variance and efficiency of hedging testify to the fact that the A-DCC model has the best ability to lower a portfolio variance. The author concludes that hedge efficiency increases, if asymmetric characteristics of volatility are considered. In addition, the author proposes using a dynamic ratio of optimal hedge to build a hedging strategy in the oil market on the basis of models of conditional volatility with dynamic conditional correlations. The methodology presented in this article can be adapted to the markets of other assets.
Keywords: multidimensional, GARCH, model, conditional correlations, optimal hedge ratio, efficiency, hedging, futures, oil
References
1. Baillie R., Myers R Bivariate GARCH estimation of the optimal commodity futures hedge. Journal of Applied Econometrics, 1991, no. 6, pp. 109-124.
2. Bauwens L., Sebastien L., Rombouts J.V.K. Multivariate GARCH models. Journal of Applied Econometrics, 2006, no. 21, pp. 79-109.
3. Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 1986, no. 31, pp. 307-327.
4. Bollerslev T. Modelling the coherence in short-run nominal exchange rates: a multivariate generalized ARCH model. The Review of Economics and Statistics, 1990, no.72, p.498-505.
5. Brooks C., Henry O.T., Persand G. The effect of asymmetries on optimal hedge ratios. Journal of Business, 2002, no. 75, pp. 333-352.
6. Cappiello L., Engle R., Sheppard K. Asymmetric dynamics in the correlations of global equity and bond returns. Journal of Financial Econometrics, 2006, no. 4, pp.557-552.
7. Chang C.-L., McAleer M., Tansuchat R. Analyzing and forecasting volatility spillovers, asymmetries and hedging in major oil markets. Energy Economics, 2010, no.32, pp.1445-1455.
8. Chang C.-L., McAleer M., Tansuchat R. Crude oil hedging strategies using dynamic multi-variate GARCH. Energy Economics, 2011, no. 33, pp.912-923.
9. Dickey D.A., Fuller W.A. Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root. Journal of the American Statistical Association, 1979, no. 74, pp. 427-431.
10. Engle R. Dynamic conditional correlation: a simple class of multivariate generalized autoregressive conditional heteroskedasticity models. Journal of Business and Economic Statistics, 2002, no. 20, pp. 339-350.
11. Haigh M.S., Holt M. Crack spread hedging: accounting for time-varying spillovers in the energy
futures markets. Journal of Applied Econometrics, 2002, no. 17, pp. 269-289.
12. Jarque C.M., Bera A.K. Test for normality of observations and regression residuals. International Statistical Review, 1987, no. 55, pp. 163-172.
13. Johansen S. Estimation and hypothesis testing of cointegration vectors in Gaussian vector autoregressive models. Econometrica, 1991, no. 59, pp.1551-1580.
14. Johnson L.L. The theory of hedging and speculation in commodity futures. The Review of Economic Studies, 1960, no. 7, pp. 139-151.
15. Kroner K., Ng V.K. Modeling asymmetric movements of asset prices. Review of Financial Studies, 1998, no. 11, pp. 817-844.
16. Knill A., Kristina M., Nejadmalayeri A. Selective hedging, information, asymmetry, and futures prices. Journal of Business, 2006, no. 79, pp. 1475-1501.
17. Ku Y.-H., Chen H.-C., Chen K.-H. On the application of the dynamic conditional correlation model in the estimating optimal time-varying hedge ratios. Applied Economics Letters, 2007, no. 14, pp. 503-509.
18. Lanza A., Manera M., McAleer M. Modeling dynamic conditional correlations in WTI oil forward and future returns. Finance Research Letters, 2006, no.3,pp.114-132.
19. McAleer M., Hoti S., Chan F. Structure and asymptotic theory for multivariate asymmetric conditional volatility. Econometric Reviews, 2009, no. 28, pp. 422-440.
20. Regnier E. Oil and energy price volatility. Energy Economics, 2007, no. 29, pp. 405-427.
21. Ripple R.D., Moosa I.A. Hedging effectiveness and futures contract maturity: the case of NYMEX crude oil futures. Applied Financial Economics, 2007, no. 17, pp. 683-689.
Oleg O. NEVEROVICH
National Research University Higher School of Economics, Moscow, Russian Federation [email protected]
