CC BY
1
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 3.
УДК 512.56, 517.982.272 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-86-100
Характеризация дедекиндова и счётно-дедекиндова расширения решёточного линейного пространства непрерывных ограниченных функций посредством порядковых границ
В. К. Захаров, Т. В. Родионов
Захаров Валерий Константинович — доктор физико-математических наук, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: zakharov_ [email protected]
Родионов Тимофей Викторович — кандидат физико-математических наук, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: [email protected]
Аннотация
В 1872 году Р. Дедекиндом была построено множество вещественных чисел R как некоторое расширение множества рациональных чисел Q способом взятия счётных порядковых регулярных сечений. Этот способ был обобщён и применён Г. Макнейлом к некоторым упорядоченным математическим системам. В данной статье способ Дедекинда — Макнейла применяется к математической системе С, порождённой семейством Сь(Т, Q) всех непрерывных ограниченных функций f: Т —R на тихоновском топологическом пространстве
(Т, G).
Рассматривается дедекиндово расширение С>—D(C), а также счётно-дедекиндово расширение С>—D0(C), как более близкий аналог классического расширения Q>—R. Даются функционально-факторные описания указанных расширений через семейства равномерных функций относительно ансамблей подмножеств множества Т, обладающих свойством Стоуна и конуль-свойством Стоуна.
Даются характеризации указанных расширений как некоторых пополнений решёточного линейного пространства С, наделённого некоторой локальной структурой идеального измельчения.
Функциональное описание и характеризация счётно-дедекиндова расширения С >— >—D0(C) оказываются удивительным образом совпадающим с функциональным описанием и характеризацией риманова расширения С>—Дм, порождённого фактор-семейством всех функций на тихоновском пространстве (Т, Q), ^-интегрируемых по Рпману относительно положительной ограниченной радоновской меры
Ключевые слова: равномерные функции, латлинеалы, сгь-пополнение.
Библиография: 17 названий.
Для цитирования:
Захаров, В.К., Родионов, Т.В. Характеризация дедекиндова и счётно-дедекиндова расширений решёточного линейного пространства непрерывных ограниченных функций посредством порядковых границ // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 3, с. 86-100.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 3.
UDC 512.56, 517.982.272 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-86-100
Characterization of the Dedekind and countably Dedekind extensions of the lattice linear space of continuous bounded functions by means of order boundaries
V. K. Zakharov, Т. V. Rodionov
Zakharov Valeriy Konstantinovich — doctor of physical and mathematical sciences, Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: zakharov_ valeriy Mist, ru
Rodionov Timofey Victorovich — candidate of physical and mathematical sciences, Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: [email protected]
Abstract
In 1872 R. Dedekind constructed the set of real numbers R as a certain extension of the set of rational numbers Q by taking countable order regular cuts. This method was generalized and applied by G. MacNeille to some ordered mathematical systems. In this article the Dedekind-MacNeille method is applied to the mathematical system С generated % the family Сь(Т, Q) of all continuous bounded functions f: T—R on the Tikhonov topological space (T, Q).
We consider Dedekind extension С >—D(C), and also countably Dedekind extension C>—D0(C) as a closer analogue of the classical extension Q>—R. Functional-factor descriptions of these extensions are given through families of functions uniform with respect to ensembles of subsets of the set T having the Stone property and the Stone cozero property.
Characterizations of these extensions are given as some completions of the lattice linear space С endowed with some local structure of ideal refinement.
The functional description and characterization of the countable Dedekind extension C>—D0(C) turn out to be surprisingly similar with the functional description and characterization of the Riemannian extension C>—Дм generated by the factor-family of all functions on the Tikhonov space (T, Q) ^-Riemann integrable with respect to a positive bounded Radon measure p.
Keywords: uniform functions, latlineals, crь-completions.
Bibliography: 17 titles.
For citation:
Zakharov, V.K., Rodionov, T.V., 2024, "Characterization of the Dedekind and countably Dedekind extensions of the lattice linear space of continuous bounded functions by means of order boundaries" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 3, pp. 86-100.
1. Введение
Ещё в 1872 году Р. Дедекиндом была построено множество вещественных чисел R как некоторое расширение множества рациональных чисел Q способом взятия счётных порядковых сечений. В 1937 году этот способ был обобщён и применён Г. Макнейлом к произвольным упорядоченным множествам и решёткам [1]. Затем способ Дедекинда-Макнейла был распространён на упорядоченные абелевы группы и на решёточные линейные пространства.
Напомним, что решёточным линейным пространством (короче лат,линеалом,) называется такая математическая система (A, R, 0, +, -r, V, Л), что:
• 1А, М, 0, +, -м| является линейным пространством над полем М;
• 1А, V, Л1 является решёткой;
• Уа,Ъ,с е А (а V Ь + с = (а + с) V (Ь + с) и Уа,Ь,с е А (а Л Ь + с = (а + с) Л (Ь + с));
• Уг е М+ Уа,Ъ е А (г (а V Ь) = га V гЬ и Уг е М+ Уа,Ъ е А (г (а Л Ь) = га Л гЬ).
В латлинеале А вводится отношение порядка: а < Ь, если аЛЪ = а. Если а е ^о а+ = аУ0 и а- = а Л 0. В латлинеале выполнены равенства а = а+ + а- и |а| = а V (-а) = а+ — а-.
Пара подмножеств (Р, О) упорядоченного множества (А, называется сечением в А, если р ^ д для всех р е е Сечен ие (Р, О) называется сечением Макнейла или регулярным,
если д = Ри = [к е А I Ур е Р (к ^ р)} и Р = = {д е А I Уд е Я (д < д)}. В [1] было построено расширение Дедекинда - Макнейла ад: —О (А), в котором О(А) является упорядоченным множеством всех регулярных сечений упорядоченного множества (А, к которым добавлены множества А1 и А, а ад(а) = ({а}и1, [а}м) для любого а е А.
Кроме классического расширения ад: —^(Q) особый интерес представляет дедекин-дово расширение ад: С>—И (С) сем ейст ва, С = Сь (Т, Я) всех непрерывных ограниченных функции / : Т —М на тихоновском (вполне регулярном) топологическом пространстве (Т, Я) с ансамблем открытых подмножеств
Долгое время функциональное описание абстрактного дедекиндова расширения ад: С>— >—И(С) через какие-либо функции на Т было неизвестно. Краткие изложения этого описания были даны в работе [2] в общем виде, а в работе [3] — через фактор-семейство 2 равномерных функций относительно ансамбля БР подмножеств множества Т со свойством Стоуна. Полное изложение этого функционального описания даётся в разделе 2 настоящей статьи.
После нахождения функционального описания И(С) ~ 2 возникла задача, характериза-ции дедекиндова, расширения и: С>—2 математической системы С в терминах структур 0, 1, +, •, -к, V, Л, аналогичная задаче характеризации классического дедекиндова, расширения и: Q>—М математической системы рациональных чисел ^ ^ структур 0 1 + •)
V л.
Построение классического дедекиндова расширения и: ^ >—М обладает одной важной особенностью: регулярные сечения (Р, Q) в М являются счётным,и. Поэтому в качестве более близкого аналога расширения и: —М в разделе 2.3 для семейства С рассматривается счётно-дедекиндово расширение и: С>—И0 (С) и даётся функциональное описание множества И0 (С) всех счётно-тесных сечений семейства С через фактор-семейство 20 равномерных функций относительно ансамбля БР0 подмножеств множества Т с конуль-свойством Стоуна.
Указанные выше структуры для системы С разделяются на две принципиально разные части. Если брать только кольцевые структуры 0 1 + ') т0 они связаны дистрибутивным равенством а(Ь + с) = аЬ + ас. Если же брать только структуры решёточного линейного пространства 0 1 + 'М V, Л, то они связаны лишь дистрибутивным неравенством а Л (Ь + с) ^ а Л Ь + а Л с. По этой причине работа с последними структурами является концептуально более сложной, чем с первыми.
Поэтому вначале в работах [5] - [9] была дана характеризация функционально-факторных расширений и: С>—2 и и: С>—как некоторых делимых оболочек и: С>—А кольца С.
Наличие у решёточных линейных пространств только дистрибутивного неравенства а Л Л (Ь + с) ^ а Л Ь + а Л с вместо дистрибутивного равенства а(Ь + с) = аЬ + асу колец приводит к тому, что кажущийся на первый взгляд параллелизм между свойством кольцевой, делим,ости, как хорошего продолжения гомоморфизма (р е А) для идеала гомоморфиз-
ма ф е Ноша(А,А), и свойством порядковой полноты, как существования хорошей зазорной, границы, Р ^ а ^ ^ ^^^ течения Р ^ Q ъ А, некотором этапе теряется. Поэтому долгое
время не удавалось найти свойство, характеризующее узость зазора, в сечении Р ^ Q и позволяющее создать в этом зазоре указанный элемент а & А. Такое свойство было найдено в работе [10] (см. также [11]).
Раздел 3 данной работы посвящён характеризации функционально-факторных расширений и: С>—Z и и: С>—Z0 как некоторых порядковых пополнений и: С>—А решёточного линейного пространства С. Представленная характеризация была анонсирована в [12].
В данной работе систематически используются понятия и обозначения из книг [13] и [14].
2. Функциональное описание дедекиндова расширения семейства непрерывных ограниченных функций. Счётно-дедекин-дово расширение
2.1. Функциональное описание дедекиндова расширения
Через U обозначим подансамбль ансамбля Q, состоящий из всех всюду плотных открытых множеств U. Рассмотрим идеальный ансамбль [14, 2.1.4] fa = {R С Т | 3 U &U (R С Т \ U)}, состоящий из всех подмножеств нигде не плотных замкнутых множеств. Рассмотрим ансамбль SV = {Р С Т I 3G & Q 3R &fa (Р = G U R)} всех множеств из Т со свойством Стоуна.
Рассмотрим семейство U(Т, SV) всех SV-равномерных функций, т. е. таких функций, что для любого п & N существует конечное покрытие (Sk & SV | к & К) множества Т, для которого колебание w(f,Sk) = sup{|/(t) — f(s)| | s,t & Sk} меньше 1/n для любого к & К [14, 2.4.1]. Фактор-семейство U(Т, SV)/fa по идеальному ансамблю fa [14, 2.2.6] обозначим через Z. Определим инъективное отображение и: С>—^адагая ис = с mod fa.
Обозначим через SCI(Т, Q) и SC¡¡(T, Q) подсемейства всех полунепрерывных снизу и, соответственно, сверху функций семейства Fb(T) всех ограниченных вещественнозначных функций f: Т^ R. Имеет место вложение SClb(Т, Q) U SC^(T, Q) С U(Т, SV).
Если (Р, Q) — ^^тение в С, то ему можно сопоставить функции g = sup Р и h = inf Q, где супремум и инфимум берутся в упорядоченном множестве F^(T) относительно поточечного порядка. Легко проверить, что g & SClb(Т, Q), h & SCb(T, Q^ g ^ h.
Теорема 1. Пусть (T, Q) — тихоновское прост,pa,нет,во и С = Съ(Т, Q). Тогда:
1) если (Р, Q) & D(C) mo для определённых выше функций g и h имеет место равенство С mod fa = h mod fa в факт,ор-м,ноже cm,ее Z\
2) отображение v: D(C) —Z, такое что v(P, Q) = a = g = h, является биективным;
3) (v o w)c = с для любой функции с & С.
Доказательство. Рассмотрим множества Un = {t&ТI3p&P3q&Q(q(t) — p(t) > 1/n),n & N}. Предположим, что S = T \ cl Un = 0. Тогдa q(t) — p(t) ^ 1/n для любых p и q и любого t & S. Так как наше пространство тихоновское, существует такая ненулевая функция х & С+, что coz ж С S,x < 1/(3п) и Sx = {t & S I x(t) = 1/(3n)} = 0.
Рассмотрим функции q = q — x. Ясно, что q ^ p ^^я любой p & P. По условию q & Pu = Q. Следовательно, для t & Sx имеем h(t) = inf(q(t) |q & Q) = inf(q(t) | q & Q)—x(t) = h(t) — 1/(3n) < < h(t) (см. лемму 1 в [13, 1.4.5]). С другой стороны, в силу регулярности сечения, из q & Ри = Q вытекает h(t) ^ h(t). Из противоречия следует R = . Un & U.
Если t & Un, то h(t) — g(t) ^ q(t) — p(t) < 1/n. Значит, Rn = {t & T | h(t) — g(t) ^ 1/n} = = T \ Un &fa влечёт Rn & fa для любо го n & N Поэтому g ~ h mod fa.
По теореме 1 из [14, 2.5.2] имеем g,h & QUb(T, Q, fa), где последнее семейство определяется как множество ограниченных функций ( f: Т —R) ^^^^х ^то для любого е > 0 существуют множество R & fa и конечная коллекция ((Gí & Q | i & I)), для которых коллекция
((С1П И | г е I)) является покрытием множества (И = Т\ К) и (со(Р, Ог П И) < е) для каждого (г е I). По предложению 5 из [14, 2.5.2] Щ(Т, Я, Щ) = и(Т, ЭР). Поэтому д = к е 2.
Таким образом, регулярному сечению (Р, О) мы сопоставили элемент а = д = к е 2. Отображение (Р, О) ^^ а из Б(С) в 2 обозначим через V.
Убедимся в сюръективности отображения V. Пусть а = / е 2. По теореме 1 из [14, 2.5.2] существуют такие функции д е ЗС1Ь (Т, 0) и к е ЗС£'(Т, 0), что д ^ £ ^ к и д = а = ]. По предложению 2 из [14, 2.3.8] для функций д и к существуют такие множества Р и ^ в С, что д = вир Р и д = т£ ^ в Рь(Т).
Поскольку сечение (Р, О) не обязательно регулярно, рассмотрим пару (Р', С,)') в С, где Р' = [р е С | р ^ к} и $ = [д е Ц | д ^ д}.
Если р е Р' и д е ^^о р ^ к и д ^ д. Поэтому д — р ^ д — к влечёт д(Ь) — р(Ь) ^ д(Ь) — к(Ь) > — 1/п для любого Ь е ип, откуда в силу непрерывности функций р и д и плотности множества ип следует, что д(Ь) — р(Ь) ^ —1/п для всех £ е Т. Далее, в силу архимедовости М и произвольности п получаем д(Ь) ^ р(Ь) и д ^ р. Следовательно, (Р', С,)') является сечением.
Проверим его регулярность. Пусть у е Р'и, т. е .у е С ш р ^ к влечёт у ^ р. Если р е Р, то р ^ д ^ к влечёт у ^ р, т.е. у ^ д. Следовательно, у е . Таким образом, Р'и С . Пусть у е ф', т.е. д ^ у. Пусть р е Р', т.е. р е Сир ^ к. Для £ е ип имеем к(1) — д({) < 1/п. Следовательно, у(Ь) ^ д(Ь) > к(Ь) — 1/п ^ р(Ь) — 1/п. В силу плотности ип и непрерывности функций у и р получаем у(Ь) ^ р(Ь) — 1/п для всех £ е Т, т.е. у ^ р. Поэтому у е Р'и. Таким образом, С Р'и. В итоге Р'и =
Пусть теперь г е (^а,т.е .г е Сад ^ д влечёт г ^ д,т.е. х ^ к. Следовательно, г е Р'. Таким образом, С Р'. Пусть г е Р', т.е. г ^ к. Пусть д е ,т.е. д е Сад ^ д. Для £ е ип имеем к(1) — д(1) < 1/п. Следовательно, х(1) ^ к(1) < д(1) + 1/п ^ д(1) + 1/п. Как и выше это неравенство влечёт неравенство г ^ д. Поэтому г е О,'1 ■ Таким образом, Р' С СЦ'1. В итоге Я'1 = Р'.
Для регулярного сечения (Р',$) рассмотрим соответствующие функции д' = вир Р' и к' = 1п1 ф' в Ръ(Т). что д' ^ к'.
Пусть р е Р. Тогда р ^ д ^ к ^дачёт р е Р'. Значит, Р С Р'. Пусть д е Тогда д ^ к ^ д влечёт д е ф'. ^тачит, С
Отсюда следует, что д ^ д' и к ^ к'. Поэтому не равенство д ^ д' ^ к' ^ к означает, что а = д' = к', т.е. а = у(Р', ).
Проверим, что отображение V инъективно. Пусть (Р\^\) ш (Р2,Я2) — такие регулярные сечения, что д\ = к\, д2 = к2 и д\ = д2- Тогда существуют такие плотные открытые множества и1, ип и Уп, что к\^) — д\^) < 1/п для любого £ е и1, к2(1) — д2({) < 1/п для любого £ е ип и |д1(1) — д2(1) < 1/п для любого £ е Уп. Рассмотрим плотные открытые множества Шп = и^ Пип П Уп. Пусть р1 е Р1 и I е Шп. Тогда р1^) ^ к1(1) ^ д1(1) + 1/п < д2(1)+2/п ^ к2 (Ъ) + 2/п ^ д2(1) +2/п для люб ой д2 е <^2. По плотности Шп и непрерывности р1 ш д2 заключаем, что Р1(Ь) ^ д2^)+2/п для всех £ е Т. В силу архимедовости М заключаем, что Р1 ^ д2,т.е. Р1 е 0^2 = Р2- Зпачит, Р1 С Р2- Подобным образом устанавливается и обратное включение. Таким образом, Р1 = Р2. Тогда Ql = Р™ = Р2£ = Я2-В итоге получем равенство ( -Рь^) = (Р2,Я2)- ^
По лемме 1 из [14, 2.4.3] латлинеал и(Т, ЭР) является равномерно полным. По следствию 2 леммы 5 из [14, 2.2.7] семейство 2 является банаховым латлинеалом и банаховой латалгеброй с единицей 1 и норм о й \\= 1п1 [х е М+ | |f| ^ х\}. Легко проверить, что равномерная сходимость в 2 и сходимость по норме \\ ■ \\| равносильны. Поэтому 2 является с-латлинеалом
1
Определим с-расширение и: С>—^адагая ис = с для с е С. Назовём его дедекиндовым расширением с-латлинеала и с-латалгебры С.
2.2. Переход к тесным сечениям
Свойство регулярности сечения (Р, Q) является слишком сильным. Для того, чтобы дать характеризацию дедекиндова расширения и: С>—Z среди всех с-расширений и: С>—А, рассмотрим более слабое свойство.
Сечение (Р, Q) в латлипеале А с единицей 1, такой что Уа & А 3п & N (|а| ^ п1), назовём тесным или t-сечением ("t" от слова "tight"), если для любого х & А+ и любо го п & N из свойства Ур & Р Уд & Q ((1/п + р — q)+ Л х = 0) следует равенство х = 0.
Лемма 1. Пусть IA,¥| — с-латлинеал и (P,Q) — регулярное сечение в А. Тогда сечение (Р, Q) является тесным.
Доказательство. Обозначим упорядоченное множество всех максимальных собственных идеалов латлинеала А через Т. По теореме Крейнов-Какутани [15, XII.5] латлинеал А изоморфен латлинеалу С = Сь(Т, Q). Поэтому будем считать, что А = С. Рассмотрим плотные открытые множества Un = {t & Т | 3р & Р 3q & Q (q(t) — p(t) < 1/п)} из доказательства теоремы 1. Пусть Ур & Р yq & Q ((1 + р — q)+ Л х = 0) для х & С+.
Предположим, что х > 0. Тогда для любого t & coz х & Q и для любых р и q имеет место равенство (1/п + p(t) — q(t))+ = 0 Поскольку множество Un плотно, существует t & coz х П Un. Тогда имеет место неравенство q(t) — p(t) < 1/п для некоторых р и q. Из полученного противоречия следует, что х = 0 □
Лемма 2. Пусть (P,Q) — сечение в С и g = sup Р и q = inf Q — точные верхняя и нижняя границы, множеств Р и Q в F^(T). Тогда, следующие заключения равносильны:
1) сечение (P,Q) является тесным;
2) g ~ h mod fa;
3) g ~ h mod fa и g,h & U (T, SV).
Доказательство. 1) \- 2). Рассмотрим открытые множества Un = {t & T | 3p & P 3q & & Q (Q(t) — p(t) < 1/п)}. Тогда h(t) — g(t) < 1/п для каждого t & Un. Поэтому h(t) — g(t) ^ 1/n для любого t & Rn = T \ Un. Предположим, что Rn & fa, т. e. S = T \ cl Un = 0. Поскольку паше пространство является тихоновским, существует такая ненулевая функция х & С+, что coz х С S. Тогда для любых р rn qrnt & coz х верп о 1/п + p(t) — q(t) ^ 1/п + g(t) — h(t) ^ 0, т. е. (1/п + p(t) — q(t))+ = 0. Следовательно, (1/п + p(t) — q(t))+ Л x(t) = 0. Если же t & coz х, то также (1/п + p(t) — q(t))+ Л x(t) = 0. Поэтому Ур & Р yq & Q ((1/п + р — q)+ Л х = 0) и х > 0. Но это противоречит тесноте (Р, Q). Зпачит, Rn & fa. В итоre g ~ h mod fa.
2) \ 1) х & С+ и Ур & Р ^q & Q ((1/п + р — q)+Лх = 0). Поскольку g ~ h mod fa, мно-
жество Un является плотным. Возьмём t & Un. Тогда найдутся такие р и д, что q(t) —p(t) < 1 /п. Поэтому (1/п + p(t) — q(t))+ > 0. Из уровня па х теперь следует, что x(t) = 0. Значит, coz х П Un = 0 и coz х & Q. Из плотности Un вытекает coz х = 0 и х = 0.
2) — 3). По теореме 1 из [14, 2.5.2] функции g и h принадлежат QUb(T, Q, fa). По предложению 5 из [14, 2.5.2] имеем QUb(T, Q, fa) = U(Т, SV).
3) \ 2) □
2.3. Счётно-дедекиндово расширение и его функциональное описание
Отказ от регулярных сечений и переход к тесным сечениям в латлинеалах с единицами позволяет ввести понятие счётно-дедекиндова расширения латлинеала IA,11.
Сечение (Р, Q) в А назовём подсечен,ием, сечения (Р', Q'), если Р С Р' ш Q С Q'.
Сечение (Р', Q') в А назовём счётно-тесным, если v него существует такое счётное иод-сечение (Р, Q) со свойствами cardP ^ w0 и cardQ ^ ш0, что течения (P,Q), (P',Q) и (P,Q') являются тесными.
Рассмотрим подмножество .D0 (А) множества D(A), состоящее из всех счётно-тесных сечений латлинеала IA,11.
Пусть а & А Рассмотрим множества Ра = {р & А | р ^ а} и Qa = Р™. Пар а (Ра, Qa) является регулярным сечением, причём wa = (Ра, Qa), где w — вложение Дедекинда-Макнейла из введения и теоремы 1. Сечение ({а}, {а}) является счётным подсечением сечения (Ра, Qa). Поскольку сечения ({а}, {a}) ({о}, Qa) и (Ра, {а}) являются тесными, сечение (Ра, Qa) является счётно-тесным. Поэтому wa & D0(A).
Таким образом, вложение w[A] С D°(A) означает, что мы можем рассмотреть более узкое расширение w0 : —D0(A). Назовём его счётно-дедекиндовым расширением латлинеала |Д11.
Для нас интерес представляет счётно-дедекиндово расширение w0 : С>—D0 (С) латлинеала, 1С, 1|.
Дадим его функциональное описание. Через Q0 обозначим ансамбль конуль-множеств coz f = {t & Т I f (t) = 0} & ^ всех фупкций f & С. Через U° обозначим подансамбль ансамбля Q0, состоящий из всех плотных в Т конуль-множеств U & Q0. Рассмотрим идеальный ансамбль fa0 = {R С Т | 3 U & U0 (R С Т \ U)}, состоящий из всех подмножеств нигде не плотных нуль-множеств z f = {t & Т | f (t) = 0} фупкций f & С. Рассмотрим ансамбль SV0 = {Р С Т I3G & Я0 3R &fa0 (Р = G U R)}.
Рассмотрим семейство и (Т, SV0) всех SV0-равпомерпых функций. Фактор-семейство U (Т, SV0)/fa0 обозначим через Z0.
Лемма 3. Пусть (Р, Q) — счётное сечение в С и g = sup Р и q = inf Q — точные верхняя и нижняя границы множеств Р и Q в F^(T). Тогда следующие заключения равносильны:
1) сечение (P,Q) является тесным;
2) g ~ h mod fa0;
3) g ~ h mod fa0 и g,h & U(T, SV0).
Доказательство. 1) — 2). Рассмотрим множества Un = {t & T I3p & P 3q & Q (q(t) — p(t) < < 1/n)}. По утверждению 6) предложения 1 из [14, 2.2.5] имеем Un & Q0. Далее доказательство проводится так же, как в выводе 1) — 2) из доказательства леммы 2.
2) — 1^. Вывод полностью совпадает с выводом 2) — 1) из доказательства леммы 2 при fa fa0
2) — 3). По теореме 1 из [14, 2.5.2] функции g и h принадлежат QUb(T, Q0, fa0). По предложению 5 из [14, 2.5.2] имеем QUb(T, Q0,'fa0) = U(Т, SV0).
3) — 2) □
Лемма 4. Пусть (Р',Q') — счётно-тесное регулярное сечение в С и g' = supР' и Ы = inf Q' в Fb(T). Тогда существуют такие функции g & SClb(Т, Q0) и h & SCb(T, Q0), что g ^ g' ^ h1 ^ h, g ~ h mod fa0 и g,h & U(T, SV0).
Доказательство. По условию существует такое счётное подсечение (Р, Q) сечения (Р', Q'), что сечения (P,Q), (Р', Q) и (P,Q') являются тесными. Рассмотрим функции g = sup Р и h = inf Q в Fb(T). По 1 из [14, 2.3.6] имеем С = М(Т, Q0). Поэтому, в силу
предложения 1 из [14, 2.3.8], g & SClb (Т, Q0) и h & SCb(T, Q^о лемме 3 и меем g ~ h mod fa0 mg,h & U(T, SV0). □
Для каждого сечения d = (Р',Q') & D°(C) рассмотрим множество F¿ тех функций f & U(Т, SV0), для которых существуют такие функции g & SCb(Т, Q°) П U(Т, SV0)
и h е SC%(T, д°) П U(T, SP0), что f ~ д mod ft°, д ^ д' ^ Ы < Ы д ~ Л mod ft°. По лемме 4 оно не пусто. Если /1, f2 е Fd, то из /1 ~ д' mod ft° и f2 ~ <jf' mod ft° следует /1 ~ f2 mod ft°. Поэтому множество Fd содержится в некотором классе эквивалентности X е ZЕсли х е X, то х ~ f mod ft° для некоторого f е Fd. Возьмём для функции f функции д ^ д' ^ Ы ^ h из определения Fd. Тогда х ^ д mod ft° влечёт х е Fd. Значит, х е Fd, т.е. Fd = X е Z Поэтому мы можем определить отображение v°: D°(C)>—Z\ полагая v°d = Fd-Следующая теорема даёт функциональное описание счётно-дедекиндова множества D°(C).
Теорема 2. Отображение v°: D°(C)—Z° биективно.
Доказательство. Установим сначала инъективность v°. Пусть d1 = (Р1, Q[) и d2 = (Р2, Q'2) — элементы из D°(C), для которых v°d1 = г>°^2- Возьмём соответствующие функции g\ = supP{ и д'2 = supP^s Fb(T). По определению отображения v имеем vd1 = д[ mod ft и vd2 = д'2 mod ft. Поскольkv v°d1 = v°d2, существует такая функция f из этого множества, что f ~ д\ mod ft° и f ~ 92 mod /R°. Следовательно, g[ ~ g'2 mod ft°. Из ft° С ft вытекает, что v d1 = g[ mod /R° = g2 mod ft° = v d2. По теореме 1 отображение v ипъективпо. Поэтому d1 = d2.
Проверим теперь сюръективность v°. Пусть а е ZВозьмём f е а, т.е. f е и (Т, SP°). По предложению 5 из [14, 2.5.2] имеем f е QUb(T, Q, ft). По утверждению 5) предложения 1 из [14, 2.2.5] ансамбль Q° является отделимой совершенной ст-основой. Поэтому, согласно теореме 2 из [14, 2.5.2], для f существуют такие счётные коллекции к = (pi е C | г е I) и к = (qj е C I j е J), что pi ^ f ^ qj и д ~ h mod ft°, где д = sup к и h = inf к. Рассмотрим множества Р = {pi | г е 1} и Q = {qj | j е J} в C. По лемме 3 сечение (Р, Q) является тесным.
Рассмотрим множества Р" = {и е C I и ^ f} и Q" = {v е C If ^ v}. Для них Р С Р" и Q С Q". Возьмём функции д" = supP'' е SClb (Т, Q) и Ы' = infQ" е SCb(T, Q). Тогда из д ^ д" ^ f ^ Ы ' ^ h и д ~ h mod ft вытекает д" ~ f ~ Ы' mod ft. Поскольку сечение (Р'', Q") не обязательно регулярно, рассмотрим пару (Р',Q'), где Р' = {p е C | p ^ h"} и Q = {q' е C | д" ^ q'}. Так же, как это было сделано в доказательстве теоремы 1, проверя-( Р , Q ) Р С Р Q С Q
Рассмотрим функции д' = supP' иЫ = inf Q' в Fb(T). Для них g'' ^ д' и Ы ^ Ы'. Поэтому неравенство д ^ д" ^ д' ^ Ы ^ Ы' ^ h и эквивалентность д ~ h mod ft° означают, что все
Р С Р С Р Q С Q С Q ( Р, Q)
( Р , Q )
Поскольку д ~ Ы и д' ~ h, по лемме 2 сечепия (Р, Q') и (Р', Q) являются тесными. Поэтому d = (Р', Q') е D°(C).
По построению д е SClb(T, Q°) П U(T, SP°), h е SC£(T, Q°) П U(T, SP°) и g < f Ы Поскольку g ~ h mod ft^^een f ~ g mod ft°. Поэтомv f е Fd. В итоге v°d = Fd = f mod ft° = а. □
Для латлинеала | АД^ ^^^^^ ^^^^^^^^^ ^^^ ^^^^^^oeo секвенциальное пополнение CS(A) точно так же, как это делается для Q (см. [13, 1.4.3]). Из теоремы 2 и статьи [16] следует, что счётно-дедекиндово расширение C>—D°(C) совпадает с его канторовым секвенциальным пополнением C>—CS(C).
Кроме того, для кольца ^, 1| можно ^го классическое кольцо частных Qcl(C)
(см. [16]) и в нём взять его ограниченную часть Qf (C). Поскольку латалгебра Qf (C) не замкнута относительно 1-р^номерной сходимости помедовательностей, можно взять её 1" —ci
Qb ( C)
в виде изоморфизма Qb (C)^^ Z
Более того, для кольца ^, 1| можно ^го рационально-полное кольцо частных Q(C)
(см. [5] и [7]) и в нём взять его ограниченную часть Qb(C). Поскольку латалгебра Qb(C)
11 равномерное пополнение Qb(C). В работе [5] было дано его функциональное описание в виде Qb(C )^Z.
3. Характеризация дедекиндова и счётно-дедекиндова расширений с-латлинеала непрерывных ограниченных функций
В разделе 2 были даны функциональные описания множеств D(C) и D0(C) в виде функционально-факторных семейств Z и Z0. На этих семействах можно рассматривать естественные структуры 0,1, +, ■, ■ r, V, Л. Эти структуры разделяются па две принципиально разные части. Кольцевые структуры + и ■ связаны дистрибутивным равенством а(Ь+с) = ab + ас. В то же время латлинеальные структуры + и Л связаны лишь дистрибутивным неравенством а Л (b+с) < а Л b + а Л с. По этой причине работа с последними структурами является концептуально более сложной, чем с первыми. Поэтому нахождение латлинеальных аналогов важных кольцевых свойств и работа с ними занимают гораздо больше времени.
В частности, ещё в 1956 году Ю. Утуми [17] расширил понятие классической делимости в кольцах и определил понятие делимости относительно плотного идеала D кольца А. Это позволило в статье [7] дать кольцевые характеризации расширений и: С>—Z и ио : С>—Z0.
Латлинеальный аналог "горизонтального" свойства плотности идеала D в кольце А в виде "вертикального" свойства плотности сечения (P,Q) в с-латлинеале |Д11 был найден в статье [3] и в виде более общего "вертикального" свойства плотности сечения (Р, Q) в произвольном латлинеале 1А,11 был найден в статье [11].
3.1. Привлечение локальных свойств
Далее будем рассматривать только с-расширения и: 1С, 1|>—| Д 11, т. е. инъективные отображения и: С>—А, сохраняющие все с-латлипеальпые структуры с-латлинеалов 1С, 1| и
1Д1|.
Ещё в статьях [7, 6, 3] было показано, что для характеризации расширений и: С>—Z и ио: С>—Z0 общих латлинеальных свойств недостаточно и нужно привлекать "локальные" свойства, определяемые через структуру измельчения.
Идеал В латлинеала 1А,11 называется замкнутым, если для люб ого элемента а & Am для любой последовательной (Ьп & В | п & N) го услов ия У к & N Зп & N Ур & N (р > п ^ Ia — ЬР1 < < 1/к) вытекает принадлежпость а & В. Ансамбль всех замкнутых идеалов в А обозначим через С (А).
Далее Ль будет обозначать некоторую выделенную открытую ^-базу в пространстве (Т, Q), т.е. подансамбль ансамбля Q такой, что У G & Q ЗЕ & Ль (Е С G). Наделим его порядком по вложению. Элемент Е & Ль называется вершиной коллекции & Ль | £ & Е), тел и Е^ С Е для любого £ и для любого L & Л^, такого, что 0 = L С Е, существуют ^о и М С Ль, такие, что 0 = М С L и М С Е^0 (см. [7]). Обозначим это свойство через Е = top(£g | £ & Е).
Коллекция d = (Ае & С (А) | Е & Ль) называется базисным измел ьчением с-латлинеала, А, если:
а) Ае = А, если и только если Е = 0;
б) П(Ае I Е & Ъь) = {0};
в) Е\ С Е2 влечёт Аех С Ае2',
г) Е = top(E^ I £ & Е) влечёт Ае = | С & Е).
с-Латлипеал А с базисным измельчением d назовём сгь-латлинеалом (буква "г" от слова "refinement") и обозначим через IA,(11.
На исходном с-латлинеале С рассмотрим исходное выделенное базисное измельчение Lb = (СЕ & С (С) | Е & Ль), в котором СЕ = {с & С | cl Е П coz с = 0}.
с-Расширение и: С >—А, в котором ^,(1 | является сг^-латлипеалом, называется сгь-расширением сгь-латлинеа,ла ^^^ если: а) у,[Се] С Ае для любого Е е Ль и б) ис е Ае влечёт с е Се. Такое расширение обозначим через и: |C,£b|^^■ |А,С11.
Пусть В С А. Рассмотрим множество В^ = [а е А | УЬ е В (|а| Л Щ = 0)}. Коллекция (1 называется насыщенной, если для любого непустого множества Е е Ль и для любого дизъюнктно замкнутого множества В = Втакого что В^ С Ае, существует такое множество Р е Л^, что 0 = Р С Е и В С Ар. ст^-Расширение и: ^^^—^ ^,(11 называется насыщенным,, если измельчение С? является насыщенным.
Далее, для того, чтобы дать параллельные определения и для и для будем использовать значок в е [0, 0}. Если в = 0, то 2е = если в = 0, то = Я®■ Этот значок в том же смысле будем использовать и в других местах.
Я в рассмотрим базисное измельчение (1Ь = (ZвE е С(Zв) | Е е Ль), такое что гвЕ = [/ егв ^п е N (е\Е П аоап / е Щ)}, где со2,п / ее [г е Т | |/(Щ > 1/п} (см. [14, 2.2.5]). Тогда исходное дедекиндово расширение и: С>—^превращается в сгь-расширение и: ^Хъ^^0Двь|. _
Пусть и: С >—А и и: С >—А являются с-расширепиями с-латлипеала С. Морфиз-мом из с-расширения и: С >—А в с-расширение и: С >—А называется гомоморфизм V: |А, 11 |а4, 1| латлинеалов с единицами, такой, что уои = и. Морфизмом из сгь-расширения и: ^^^—^ ^,(11 в сгъ-расширение и: ^^^—^ |^4,(3| назовём такой морфизм V из и: С>—А в и: С>—А, что у[Ае ] С Ае для любо го Е е Ль- Морфизм V из и в и назовём бим орфизмом, если отображение множеств и: А —А является биективным и системное отображение V-1: |а4, Щ>—^,(11 является морфизмом из и в и.
Если вдобавок отображение и инъективно иьа е Ае влечёт а е Ае, то скажем, что второе сг^-расширение больше первого или первое сг^-расширение вкладывается во второе.
3.2. Свойства полноты и граничности типа 2вс | А, |
Элемент а е А назовём Ь-мажорантой множества Р, если пара (Р, [а}) является ¿-сечением. Обозначим это свойство через а = ^ша] Р. Элемент а е А назовём минорантой множества ф, если пара ([а}, является ¿-сечением. Обозначим это свойство через а = ^штф.
Лемма 5. Пусть (Р, — Ь-сечение в А, а е А и р < а < д для любых р е Р и д е Тогда, а = ^ша] Р и а = ^штф.
Доказательство. Пусть Ур е Р ((1/п + р — а)+ Л х = 0) для некоторого х е А+. Так как а < д, то Ур е Р Уд е ((1/п +р — д)+ Л х = 0) Значит, а = ^ша] Р. Второе равенство выводится таким же образом. □
Пусть теперь ^,(11 — сг^-латлипеал. Сечение (Р, О) назовём г-тесным, если для любого Е е Ль, любого х е А+ и любо го п е N из Ур е Р Уд е ((1/п + р — д)+ Лх е АЕ) следует х е Ае- Из второго свойства измельчения следует, что г-тесное сечение является тесным.
Элемент а е А назовём г-тесной мажорантой или Н-мажорантой множества Р С А, если пара ( Р, [а}^ ^^дается г^сечепием. Обозначим это свойство через а = й-ша] Р. Элемент а е А назовём г-тесной минорантой или Н-минорантой множества ф, если пара ([а}, Q) является г^сечепием. Обозначим это свойство через а = й-шт^.
Лемма 6. Пусть ^,(11 — сгь-латлинеал, (Р, — Н-сечение в А, а е А ир < а < д для любых р е Р и де Я. Тогда а = г^-ша] Р и а = г^-шт Q.
Доказательство. Пусть Ур & Р ((1/п + р — а)+ Л х & Ае) для некоторого х & А+. Так как а < q, то Ур & Р yq & Q ((1/п + р — q)+ Л х & Ае)■ Значит, а = rt-maj Р. Второе равенство выводится таким же образом. □
Далее будем использовать введённый ранее значок в & {0, 0}. Скажем, что сечение (Р, Q) в А является сечением типа, в, если при в = 0 множества Р и Q имеют произвольные мощности, а при в = 0 сечение (Р, Q) является счётным.
Пусть в сг^-латлинеале IA,d| выделено подмножество В. Множество всех ri-сечений (Р, Q) типа в в А, таких, что Р С В и Q С В, обозначим через Cutв(В, А).
сгь-Латлинеал |ДА1 назовём полным типа Z вс относительно В, если для любого rt-сечепия (P,Q) & Cutв (В, А) существует эле мент а & А, такой, что а = rt-maj Р = rt-min Q. При В = А получим определение (абсолютно) полного типа aZвс сгъ-латлинеала IA,(11. сгь-Расширение и: 1С,£ь1>—IA,(11 назовём полным, типа если сг^-латлинеал |Д(11 является полным типа Z®c относительно подмножества и[С]. сг^-Расширение и: 1С,£ь1>—^ IA,(11 назовём (абсолютно) полным типа
aZ вс
если сгъ-латлинеал IA,(11 является полным типа aZ вс.
Элемент а & А назовём граничным типа Zвс относительно В, если существует ri-сечепие (P,Q) & Cutв(В, А),
такое, что а = rt-maj Р = rt-min Q. Рассмотрим в А его с-подлатлинеал Z вс(В, А), порождённый множеством всех граничных элементов типа Z®c относител ьно В. сгь-Расширение и: 1С,£ь1>—^ |ДА| назовём граничным сгь-щсширением типа Zdc сгъ-латлинеала |с,4|, если А = Zec(u[C],A).
сгь-Пополнением типа Z9cIaZвс
сгъ-латлинеала назовём насыщенное сг^-расширение
и: IC,LbI>—^ IA,(11, которое является:
а) наибольшим из всех граничных сг^-расширений типа Zвс сг^-л атлипеал а 1С,£ъ1',
б) наименьшим из всех полных сг^-расширений типа ZSc сг^-латлипеала IC,LbI',
в) полным типа aZвс.
Теорема 3. 6-Дедекиндово сгь-расширение и: IC,£bI>—| является единственным, (с точностью до бим,орфизм,а, сгь-расширений сгъ-латлинеала IC,LbI) сгь-пополнением, типа ZdcIaZвс сгъ-латлинеала IC,Lb
Доказательство этой теоремы проводится практически так же, как доказательство теоремы характеризации риманова сг^-расширения IC,L^\>—изложенное в [10].
3.3. Равносильность свойств тесноты и плотности сечений в с-латлинеалах
В работах [3] и [4] характеризация 0-дедекиндовых расширений и: С>—Z и ио : С>—Z0 была дана не через свойство тесноты сечений, а через свойство их плотности.
Покажем, что для с-латлинеалов эти свойства равносильны.
Пусть А — латлипеал. Сечение (Р, Q) в А будем называть плотным,, если inf {q — р | р & РЛ Л q & Q} = 0.
Предложение 1. Пусть IA,t| — с-л,а,т,л,инеал, и (P,Q) — сечение в А. Тогда следующие заключения равносильны:
1) сечение (P,Q) является тесным;
2) сечение (Р, Q) является плотным.
Доказательство. По упомянутой в доказательстве леммы 1 теореме Крейнов- Какутани с-латлинеал А изоморфен с-латлинеалу С = Сь(Т, Q) для некоторого тихоновского пространства (Т, Q). Поэтому будем считать, что А = С.
1) — 2). Рассмотрим открытые множества Un = {t & Т | 3р & Р 3q & Q (q(t) — p(t) < 1/п)}. Так же как в доказательстве леммы 2 проверяется, что множества Un являются плотными.
Пусть а & С ж а ^ q — р для любых р и q. Тогда a(t) ^ q(t) — p(t) < 1/п для некоторых р и q и всех t & Un. Из плотности Un и непрерывности а следует неравенство a(t) ^ 1/п для любого t & Т. Из архимедов ости R следует, ч то a(t) ^ 0 для любого t & Т, т.е. а ^ 0. Таким образом, имеет место 2).
2) — 1) х & С+ и (1/п + р — q)+ Л х = 0 для всех п & N и любых р и q. Предположим, что х > 0, т. е. 0 = G = coz х & Q0. Если t & G, то (1/п + p(t) — q(t))+ = 0 влечёт 1/п + p(t) — q(t) ^ 0, т. е. q(t) — p(t) ^ 1/п. Возьмём 0 < у = х Л (1/п) & С+. Тогда q(t) — p(t) ^ у(t) для любого t & G и q(t) — p(t) ^ 0 = у(t) для любого t & Т \ G. Значит, Q — Р ^ У Д.ля любых р и q. Поскольку сечение (Р, Q) плотпым, у ^ 0. Из полученного противоречия следует, что х = 0 □
Следствие 1. Пусть IA,t| — с-ла^минеал и P,Q С А, а & А. Тогда следующие заключения равносильны:
1) а = t-majР \а = t-minQ\\
2) а = sup Р [а = inf Q\.
Доказательство. 1) — 2). Пусть а = t-majР, т.е. napa (Р, {а}) является тесным сечением. По предложению 1 сечение (Р, {а}) плотно, т.е. inf {а — р | р & Р} = 0. Отсюда 0 = а + inf {—р I р & Р} = а — sup{p | р & Р} = а — sup Р, т. е. а = sup Р.
2) — 1^. Пусть а = sup Р. Тогда как и выше inf{а—р | р & Р} = 0. Отсюда по предложению 1 вытекает, что сечение (Р, {а}) является тесным, т. е. а = t-maj Р. □
Предложение 2. Пусть IA,t | — ^^^^^^гаеал и I — замкнутый идеал в А. Тогда, А = А/1 является с-лат,линеалом,.
Доказательство. Рассмотрим норму ||a||j = inf{х & R+ | |a| ^ х\}. Далее мы будем опираться на сведения из пункта 2.2.7 книги [14]. Система IA, || ■ является банаховым пространством. Латлинеал IA, 1| является архимедовым, где 1 = 1 mod I. Легко проверяется, что он является ограниченным.
Имеем || ■ ^^ = || ■ Поэтому система IA, 1| является банаховым пространством. Поскольку t является единицей, латлинеал IA, 1| является равномерно полным относительно
равномерной сходимости последовательностей. Следовательно, IA, 1| является с-латлинеалом. □
Далее для В С А и а & А образы к[В] и ж(а) в А при фактор-отображении ж: А А/1
обозначаются кратко через В и a без указания I и ж.
Следствие 2. Пусть IA,t I — с-л,а,тлинеал, I ^ зам,кнут,ый, идеал в А, А = А/1 и (Р, Q) — сечение в А. Тогда для, с-ла,т,л,инелл,а, IA, 11 следующие заключения равносильны:
1) сечение (P,Q) в А является тесным;
2) сечение (Р, Q) в А является плотным.
□
Следствие 3. Пусть IA,tI — с-л,а,т,л,инеал, I ^ зам,кнут,ый, идеал в А, А = A/I, P,Q С А и а & А. Тогда для, с-латлинеа,ла, IA, II следующие заключения равносильны:
1) а = t-majР [а = t-minQ\,
2) а = supР [а = inf Q}.
□
Пусть теперь ^,(11 — сг^-латлипеал. Для Е е Ль будем рассматривать фактор-с-линеал А/Ае то замкнутому идеалу Ае и фактор-отображение же : А —А/Ае-
Сечение ( Р, О) в А назовём г-плотным, если И[же((^) — же(Р) ^ е РЛд е = 0 в А/АЕ для любого Е е Ль-
Предложение 3. Пусть | А,(11 — сгъ-латлинеал и (Р, О) — сечение в А. Тогда следующие заключения равносильны:
1) сечение ( Р, О) является г-тесным;
2) сечение ( Р, является г-плотным.
□
Пусть | А,(11 — сг^-латлинеал. Элемент а е А назовём г-супремумом множества Р С А [г-инфимумом множества С А], если же (а) = виржЕ [-Р] \же (а) = 'Шже [<3]] в с-латлинеале А/Ае для любого Е е Ль. Обозначим это свойство через а = г-8ирР [а = г-т£0\.
Предложение 4. Пусть ^,(11 — сгь-латлинеал, Р,(^ С А и а е А. Тогда, следующие заключения равносильны:
1) а = г^-ша] Р [а = Л-штф];
2) а = г-8ирР [а = г-т£0\.
Доказательство. Утверждение вытекает из следствия 1 предложения 1 и следствия 3 пред-□
Из предложений 3 и 4 следует, что введённые выше понятия полноты и граничности мож-плотности. Тогда теорема 3 приобретёт вид, приведённый в статье [3].
4. Заключение
Теорема 3 и теорема характеризации, упомянутого в разделе 3.2 риманова с г^-расширения ^^^—|, изложенная в статье [10], показывают удивительное сходство между возникшими в разных областях математики и в разное время 0-дедекиндовым расширением C>—Zв и римановым расширением C>—^ R^ с-латлипеала C. А именно, счётно-дедекиндово расширение C>—Z° и риманово расширение C>—R^ обладают одинаковыми общими латлине-альными свойствами. Они отличаются только локальными свойствами, выражаемыми через отличные друг от друга crb-измельчения и сг^-измельчения.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Н. М. MacNeille, Partially ordered sets // Trans. A MS. 42:4 (1937), 416-460.
2. V. K. Zakharov, Functional characterization of absolute and Dedekind completion // Bull, de l'Academia Polonais des Sci. Ser. math., 39:5-6 (1981), 293-297.
3. В. К. Захаров, Описание некоторых расширений семейства непрерывных функций посредством порядковых границ // Доклады РАН, 400:4 (2005), 444-448. EDN: OONKMB.
4. В. К. Захаров, Характеризация классических расширений семейства непрерывных функций как некоторых дедекиндовых оболочек // Доклады РАН, 411:4 (2006), 444-448. EDN: HZIUEP.
5. V. К. Zakharov, On functions connected with absolute, Dedekind completion, and divisible envelope // Periodica Math. Hungar, 18:1 (1987), 17-26.
6. В. К. Захаров, Связь между классическим кольцом частных кольца непрерывных функций и функциями, интегрируемыми по Риману // Фундам. и прикл. матем., 1:1 (1995), 161-176.
7. В. К. Захаров, Расширения кольца непрерывных функций, порождённые классическим, рациональным и регулярным кольцами частных как делимые оболочки // Матем. сб., 186:12 (1995), 81-118.
8. V. К. Zakharov, Classical extensions of the ring of continuous functions and the corresponding preimages of a completely regular space // J. of Math. Sciences, 73:1 (1995), 114-139.
9. В. К. Захаров, Связи между расширением Римана и классическим кольцом частных и между прообразом Семадени и секвенциальным абсолютом // Труды Моск. матем. об-ва, 57 (1996), 254-279.
10. В. К. Захаров, Характеризация расширения решеточного линейного пространства непрерывных ограниченных функций, порождённого функциями, ^-интегрируемыми по Риману, посредством порядковых границ // Алгебра и анализ, 35:4 (2023), 135-166. EDN: OSCXNS.
11. V. К. Zakharov, Characterization of the extension of lattice linear space of continuous bounded functions generated bv ^-Riemann-integrable functions bv means of order boundaries // Lobachevskii Journal of Math., 43:11 (2022), 3315-3334. DOI: 10.1134/S1995080222140384.
12. В. К. Захаров, Т. В. Родионов, Характеризация счетно-дедекиндова расширения решеточного линейного пространства непрерывных ограниченных функций посредством порядковых границ // Межд. конфер. "Математика в созвездии наук". К юбилею ректора МГУ, акад. В. А. Садовничего. Тезисы докладов, М.: Издательский дом МГУ, 2024, 51-52.
13. V. К. Zakharov, Т. V. Rodionov, Sets, Functions, Measures. Vol. I: Fundamentals of Set and Number Theory, De Gruyter Studies in Mathematics, vol. 68/1, Berlin: de Gruvter, 2018. DOI: 10.1515/9783110550948.
14. V. K. Zakharov, Т. V. Rodionov, A. V. Mikhalev, Sets, Functions, Measures. Vol. II: Fundamentals of Function and Measure Theory, De Gruyter Studies in Mathematics, vol. 68/2, Berlin: de Gruyter, 2018. DOI: 10.1515/9783110550962.
15. К. Иосида, Функциональный анализ, Москва: Мир, 1967.
16. V. К. Zakharov, On functions connected with sequential absolute, Cantor completion, and classical ring of quotients // Periodica Math. Hungar, 19:2 (1987), 113-133.
17. Yu. Utumi, On quotient rings // Osaka Math. J., 8:1 (1956), 1-18. REFERENCES
1. MacNeille, H. M., 1937. "Partially ordered sets", Trans. AMS, vol.42, no. 4, pp. 416-460. DOI: 10.2307/1989739.
2. Zakharov, V. K., 1981. "Functional characterization of absolute and Dedekind completion", Bull, de I'Academia Polonais des Sci. Ser. math., vol.39, no. 5-6, pp. 293-297.
3. Zakharov, V. К., 2005. "Description of extensions of families of continuous functions by means of order boundaries", Doklady Math., vol.71, no. 1, pp.80-83.
4. Zakharov, V. K., 2006. "Characterization of the classical extensions of the family of continuous functions as Dedekind hulls", Doklady Math., vol.74, no. 3, pp.849-853. DOI: 10.1134/ S1064562406060160.
5. Zakharov, V. K., 1987. "On functions connected with absolute, Dedekind completion, and divisible envelope" Periodica Math. Hungar., vol. 18, no. 1, pp. 17-26.
6. Zakharov, V. K., 1995. "Connection between the classical ring of quotients of the ring of continuous functions and Riemann integrable functions", Fundam. Prikl. Mat., vol.1, no. 1, pp. 161-176 (in Russian).
7. Zakharov, V. K., 1995. "Extensions of the ring of continuous functions generated by the classical, rational, and regular rings of fractions as divisible hulls" Sb. Math., vol. 186, no. 12, pp. 17731809.
8. Zakharov, V. K., 1995. "Classical extensions of the ring of continuous functions and the corresponding preimages of a completely regular space", J. of Math. Sciences, vol.73, no. 1, pp.114-139.
9. Zakharov, V. K., 1996. "Relationships between the Riemann extension and the classical ring of quotients and between the Semadeni preimage and the sequential absolute", Trans. Moscow Math. Soc., vol.57, pp. 223-243.
10. Zakharov, V. K., 2023. "Characterization of the extension of the lattice linear space of continuous bounded functions, generated bv Riemann ^-integrable functions, bv means of order boundaries" // St. Petersburg Math. Journal, vol.35, no.4.
11. Zakharov, V. K., Rodionov, Т. V., 2024. "Characterization of the countablv Dedekind extension of the lattice linear space of continuous bounded functions by means of order boundaries", Int. confer. ^Mathematics in the Constellation of Sciences», dedicated to the 85th anniversary of V. A. Sadovnichii. Abstracts, MSU, Moscow, pp. 51-52 (in Russian).
12. Zakharov, V. K., Rodionov, Т. V., 2018. "Sets, Functions, Measures. Vol. I: Fundamentals of Set and Number Theory", De Gruyter Studies in Mathematics, vol. 68/1, de Gruyter, Berlin. DOI: 10.1515/9783110550948.
13. Zakharov, V. K., Rodionov, Т. V., Mikhalev, A. V., 2018. "Sets, Functions, Measures. Vol. II: Fundamentals of Function and Measure Theory", De Gruyter Studies in Mathematics, vol. 68/2, de Gruyter, Berlin. DOI: 10.1515/9783110550962.
14. Zakharov, V. K., 2022. "Characterization of the extension of lattice linear space of continuous bounded functions generated by ^-Riemann-integrable functions by means of order boundaries", Lobachevskii Journal of Math., vol. 43, no. 11, pp. 3315-3334. DOI: 10.1134/S1995080222140384.
15. Yosida, K., 1965. "Functional Analysis", Springer Verlag, Berlin.
16. Zakharov, V. K., 1987. "On functions connected with sequential absolute, Cantor completion, and classical ring of quotients", Periodica Math. Hungar., vol. 19, no. 2, pp. 113-133.
17. Utumi, Yu., 1956. "On quotient rings", Osaka Math. J., vol.8, no. 1, pp. 1-18.
Получено: 01.04.2024 Принято в печать: 04.09.2024
Существование неприводимых мультиобходов кратности 2
101
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 3.
УДК 515.124.4+519.852.3 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-101-117
Существование неприводимых мультиобходов кратности 2
А. О. Иванов, О. С. Щербаков
Иванов Александр Олегович — доктор физико-математических наук, профессор, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский государственный технический университет им. И. Э. Баумана (г. Москва). e-mail: aoivaQmech.math.тsu.su
Щербаков Олег Сергеевич — Университетская гимназия, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский государственный технический университет им. И. Э. Баумана (г. Москва). e-mail: shcherbakovosQyandex. ru
Аннотация
Ивановым и Тужилиным была предложена одномерная проблема Громова о минимальном заполнении конечных метрических пространств, где в качестве заполнений рассматриваются взвешенные графы с неотрицательными весами ребер. Они показали, что задача редуцируется к случаю так называемых бинарных деревьев — деревьев у которых вершины имеют только степени 1 и 3. Ерёминым была получена минимаксная формула веса минимального заполнения. Формула Ерёмина использует понятие минимального параметрического заполнения — фиксируется граф (параметризация или тип); он показал, что вес минимального параметрического заполнения равен максимальному значению так называемого мультипириметра среди всех неприводимых мультиобходов.
Сложность структуры бинарного дерева можно измерять количеством так называемых усов — пар граничных вершин с общей смежной вершиной. Настоящая работа посвящена изучению мультиобходов бинарных деревьев с тремя усами. Найдена линейная рекуррентная формула для числа бинарных деревьев с тремя усами. Установлена связь между неприводимостью мультиобходов и включениями мультиграфов мультиобходов для фиксированного бинарного дерева.
Недавно Щербаковым было доказано, что кратность неприводимого мультиобхода для бинарного дерева с тремя усами не превосходит 2, в этой работе доказано существование таких неприводимых мультиобходов у любого такого бинарного дерева.
Недавно Иванов и Тужилин предложили вычислять вес минимального параметрического заполнения, находя вершины многомерного многогранника допустимых значений переменных двойственной задачи линейного программирования с помощью компьютера. Разработанная в настоящей работе техника позволяет найти все неприводимые мультиоб-ходы у бинарного дерева с 6 граничными вершинами и 3 усами без использования компьютерных вычислений.
Ключевые слова: конечное метрическое пространство, минимальное параметрическое заполнение, линейное программирование, многогранник бинарного дерева, мультицикли-ческий порядок, неприводимый мультиобход, мультиграф мультиобхода.
Библиография: 18 названий. Для цитирования:
Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 3, с. 101-117.
