Характеристики равновесия на рынке кредитов с фиксированной и корректируемой процентной ставкой Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Характеристики равновесия на рынке кредитов с фиксированной и корректируемой процентной ставкой

Наталуха Игорь Анатольевич, доктор физико-математических наук, профессор Кисловодского института экономики и права;

in63@mail.ru

Аннотация: Определены характеристики равновесия на кредитном рынке с учетом влияния самостоятельного выбора заемщиками кредитов с фиксированной и корректируемой процентной ставкой.

Ключевые слова: моделирование, кредитный рынок, равновесие, процентная ставка

Abstract. Characteristics of equilibrium at the credit market taking account of the influence of self-choices by borrowers of credits with fixed and flexible interest rate are obtained.

Keywords. modeling, credit market, equilibrium, interest rate

В работе представлен анализ сравнительной статики равновесия кредитного рынка, изученного в [1]. Целью является выяснить, как изменения в рыночной среде влияют на равновесное распределение заемщиков между КФС и ККС. Анализ основан на рис. 1 из [1] и сосредотачивается на устойчивости равновесия. Из рис. 1 видно, что любое изменение параметров, сдви-

*

гающее кривую Q вверх, увеличивает равновесное значение р и уменьшает равновесное значение i. Напротив, любое изменение параметров, кото* * рое сдвигает кривую Ф вверх, уменьшает равновесное значение р и увеличивает равновесное значение i (сдвиги кривых Q и Ф вниз приводят к противоположным эффектам). Следует отметить, что если существует несколько положений равновесия, результаты сравнительно-статического анализа могут давать искаженную картину влияния на равновесие конечного из-

менения параметров. При нескольких точках пересечения кривых О и Ф конечный сдвиг любой из этих кривых может уничтожить одно из положений равновесия, приводя к тому, что р* и i будут соответствовать соседним положениям равновесия.

Влияние изменения параметров на расположение кривой Ф можно выяснить непосредственно дифференцированием равенства (17). Влияние параметров на высоту расположения кривой О выясняется путем дифференциро-

псч 8' (дп')/(дп') 1 я

вания равенства (15), что дает — = - — —г , где Я обозначает пара-

дЛ

\дЛл

д'

дО дО

метр. Поскольку — < 0, кривая О сдвигается вверх (вниз), если — поло-

д' дЛ

жительна (отрицательна). Интуитивно ясно, что любое изменение, увеличивающее относительную привлекательность КФС (увеличение О) требует увеличения ', чтобы восстановить безразличие заемщика с критическим значением между типами кредитов.

Рассмотрим сначала влияние возрастания процентного риска, проявляющегося в увеличении рисковой премии R. Более высокий риск может быть следствием изменения распределения случайной величины г (например, увеличения дисперсии при неизменном математическом ожидании). Более высокая рисковая премия R влияет на заемщиков, увеличивая риск, связанный с выбором ККС, что делает их менее привлекательными. Разность полезностей КФС-ККС поэтому увеличивается, что видно из дифференцирования по R равенства (9):

д° = (1 - р*У'(у-Г + Л-R)>0. (1)

дR

В соответствии с рассуждениями, проведенными выше, условие (1) предполагает, что кривая О на рис. 1 сдвигается вверх при увеличении R. Поскольку кривая Ф не испытывает при этом влияния, отсюда следует

дР* п д'

----> 0 и — < 0 .

дR дR

В результате приходим к следующему результату.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Увеличение риска (более высокая рисковая премия) при-

*

водит к увеличению р , расширяя пул заемщиков, заключивших КФС. Процентная ставка по КФС ' уменьшается.

Предположим далее, что существует экзогенное увеличение вероятности досрочной предоплаты заемщиков, которая отражается в изменении плотности распределения вероятностей мобильности g (•). А именно, предположим, что функция g зависит от параметра у, который затем становится

параметром функции h (функция теперь записывается ,у)). Предположим, что увеличение у увеличивает значение h в текущем равновесии р*, показывая, что средняя вероятность расторжения контракта в данном пуле

ди(р *, у)

заемщиков КФС увеличивается экзогенно, т.е. —^^ > 0 .Можно показать,

ду

что при условиях Предложения 2 сдвиг вправо в плотности g(•) приводит к увеличению h . Например, пусть g однородна на интервале [у, у + а]. Тогда

Жр*^)= (р* + у)/2, т.е. является возрастающей функцией у. Добавляя у в качестве аргумента h в равенстве (17) и дифференцируя, получаем

дФ дh

0^- = Ь' — Iк 0, (2)

ду ду

показывающее, что кривая Ф сдвигается вниз по мере роста у . Поскольку у

др * д'

не влияет на кривую О (см. (9)), из рис. 1 следует, что--> 0 и — < 0, что

ду ду

позволяет сформулировать следующее Утверждение.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Экзогенное увеличение мобильности (более высокие у)

*

приводит к увеличению р . Процентная ставка КФС при этом уменьшается.

Заметим, что, сдвигая кривую Ф, экзогенное увеличение вероятности

досрочной предоплаты понижает значение ', соответствующее первоначаль-

ному равновесию р . Это делает О положительной, что приводит к переходу предельных заемщиков пула ККС в пул КФС.

Рассмотрим далее влияние изменений предпочтений заемщика. Если. дисконтный фактор 8 уменьшается, заемщик меньше заботится о будущем потреблении, и часть разности полезностей КФС-ККС, соответствующая первому периоду, получает меньший вес. Поскольку разность полезностей, соответствующая первому периоду, положительна, уменьшение 8 уменьша-

дО

ет привлекательность КФС. Производная — поэтому положительна, и кри-

д8

вая О сдвигается вниз в ответ на снижение 8. Поскольку кривая Ф при

*

этом не испытывает влияния, р снижается и ' увеличивается, т.е.

др* п д'

----> 0 и — < 0,

д8 д8

В результате получаем следующее Утверждение.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Снижение дисконтного фактора заемщиков 8 уменьшает

*

р , сокращая пул заемщиков КФС. Процентная ставка КФС увеличивается.

С эмпирической точки зрения Утверждение 5 предсказывает, что всякое изменение, снижающее временные предпочтения заемщиков в пользу настоящего (уменьшение рождаемости, например), сокращает долю КФС на кредитном рынке и увеличивает их цену.

Предположим теперь, что коэффициент неприятия риска заемщика увеличивается. Чтобы параметризовать этот эффект, предположим, что предпочтения соответствуют постоянному абсолютному неприятию риска, что предполагает, что функция полезности имеет вид

V (л)=е

V"

где с = -— - коэффициент абсолютного неприятия риска. В этом случае

разность полезностей КФС-ККС (используем (7) вместо (9)) пропорциональна следующему выражению

1 -

1 + (1 - р* р]™-г°) + (1 - р* р ]е™ f(s)ds (3)

(коэффициент пропорциональности равен е г°)). Дифференцируя выражение (3), получаем, что производная — имеет тот же знак, что и выраже-

д™

ние

- 1 + ( - р))? (<• - г° И-г°) + | ее™ /(е)ае. (4)

V1 - р р -го

Поскольку функция хе™ является выпуклой, неравенство Йенсена дает

ГО

- це™ + | ее™ f (е)<^е > ° .

-ГО

Поэтому, если выражение

1 + ( - р' р /. - г \ст((-г° )

(1 - ррр { г°)е

не превосходит /ле™, то выражение (4) будет положительным, т.е.

®> 0. д™

Разность полезностей КФС-ККС является в таком случае возрастающей функцией коэффициента абсолютного неприятия риска. Докажем, что предполагаемое соотношение между /ле™ и выражением (4) действительно выполняется. Подставляя выражение I - г° из (3), полагая

а = и(р*)

и собирая члены, содержащие экспоненту, приводим это соотношение к следующему виду

1+(1 - р" р 1 - Ф* Ь

(1 - р* р 1 + [1 - Ир )]э

< ехр

Л

к1 + 1 - И(р* Ь)

(5)

Используя неравенство

е™л > 1 + х,

—00

заключаем, что (5) будет удовлетворено, если левая часть его не превосходит выражения

, 1 1 +1 + (1 - н(р )> •

После преобразования это неравенство сводится к следующему

1 - к(р* )в < 2(1 - р* р.

При 8 = в это неравенство еще упрощается:

2р* - к(р* )< 1.

* 1

Это неравенство гарантированно выполняется при р < —. Если плотность распределения g (•) однородна в интервале [0,1] , то

И(р* )= р*/2,

* 2

и предыдущее неравенство превращается в более слабое р < —.

Итак, получаем, что кривая О. сдвигается вверх при увеличении ™, и при этом тлеют место неравенства

др* л д Л

----> 0 и — < 0,

д™ д™

(кривая Ф не испытывает влияния ™). Сформулируем следующее Утверждение.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска заемщика (рост ™) приводит к увеличению р*, если исходное значение р*

* 1

уДОвлеТвОрЯеТ НеравеНСТву р < 2. в ЭТом случае с ростом СТСТавКа I понижается.

Поэтому увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска заемщиков сдвигает предельных заемщиков ККС в пул КФС, увеличивая его среднюю вероятность досрочной предоплаты и сокращая ставку по кредитам.

Обращаясь к влиянию других параметров, представляющих интерес, можно показать, что увеличение л, ожидаемого сдвига краткосрочной процентной ставки, и г0, первоначальной краткосрочной ставки, оказывает неоднозначное воздействие на равновесие кредитного рынка (в этих случаях обе кривые О и Ф сдвигаются вверх).

Заключительный вывод не является, строго говоря, результатом сравнительно-статического анализа. Этот вывод относится к влиянию введения на кредитном рынке, на котором существовал лишь один вид кредитов, другого вида кредитов (например, введения ККС при наличии на рынке только

*

КФС). Такое событие сдвигает р от неравновесного значения, равного единице (показывающего, что все кредиты представляют собой КФС), к некото-

*

рому значению 0 < р < 1, определяемому условиями равновесия предложенной модели. Модель предсказывает, что средняя вероятность досрочной предоплаты пула КФС при этом резко понизится, поскольку заемщики с высокой вероятностью досрочной предоплаты переключатся на новый кредитный инструмент. Согласно предложенной модели, это приведет к увеличению процентной ставки по КФС. В результате приходим к Предложению. УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Ставка процента по КФС увеличивается, если вводятся ранее отсутствовавшие на кредитном рынке ККС.

До настоящего момента не рассматривались финансово мотивированные предоплаты при анализе влияния самостоятельного выбора заемщиков на равновесие на кредитном рынке. Возникает естественный вопрос: как поменяются предыдущие выводы при введении в модель этого вида предоплаты. Финансово мотивированная предоплата возникает, если процентная ставка по новому виду кредита оказывается достаточно низкой по сравнению со ставкой по текущему кредиту, чтобы оправдать трансакционные издержки. Предположим, что срок кредита состоит из двух периодов. Заемщик, имеющий контракт с фиксированной ставкой, решает предоплатить кредит в пользу ККС. Предоплата целесообразна, если ставка по ККС в период 1, которая

равна г, достаточно низка по сравнению со ставкой по КФС, чтобы покрыть трансакционные издержки. Для простоты будем считать, что трансакционные издержки описываются инкрементом к ставке ККС, так что эффективная процентная ставка нового ККС в период 1 составляет г + я, где я - компонента, соответствующая трансакционным издержками. Предоплата происходит, если выполняется условие

г1 + я < i

или, учитывая, что г1 = г0 + б , при б < i - г0 - я.

Определим процентную ставку по КФС. Ожидаемая дисконтированная прибыль кредитора, который учитывает возможные предоплаты, определяется следующим образом

{ГО

(I - го) + в | ( - [го + б])У(б^б + а(( - го). (6)

I -го - я _

Приравнивая (6) к нулю и решая полученное уравнение относительно г, получаем

(1 - а)в | Бf (Б)dБ

г = го +-------------г-Го-я-= го + с(1,а)п(1 X (7)

1 + (1 - а)д |Бf(б)$б

I -го - я

где

| Б (Б^Б

(Л г-Го - я

щ(г) =-----------------т - ожидаемая величина б при условии б > г - го - я,

1 - F (г - го - я)

F - кумулятивная функция плотности распределения f, а

с(г,а) = (1(- F(г(- Го - я)])1 < 1. (8)

1 + (1 - ав[1 - F(г - го - я)]

Хотя (8) не дает замкнутого решения для г (которое появляется в обоих

частях этого уравнения), дифференцирование показывает, что, как и в пре-

дыдущем анализе, имеет место неравенство < о, т.е. при наличии финан-

да

сово мотивированной предоплаты процентная ставка КФС является убывающей функцией а . Заметим, что для выполнения неравенства I > г0 требуется только условие )> 0, которое может быть удовлетворено даже в том

случае, если ц отрицательно

Выведем выражение для разности полезностей КФС-ККС. Ожидаемая полезность заемщиков, соответствующая ККС, определяется выражением (6). Ожидаемая полезность заемщиков, соответствующая КФС, определяется выражением

Г I -го - я

(1 - p)v(у -1) + 5

| V(У - ‘)/(е)^£ + } V(у - [го + е})/(е)Ле

/—Го -я -го

+ руг (у -1)

л

+

У

(9)

заметим, что интегралы в этом выражении представляют собой ожидаемую полезность периода 1 для заемщиков, не разрывающих контракт без финансово мотивированных предоплаты и при ее наличии, соответственно)^

Вычитая выражение (6) из выражения (9) и упрощая, получаем искомую разность полезностей КФС-ККС

V(У - I) - V(У - Го) + (1 - Р)$ х

(10)

х

\ V(У - I)/(е№ - \ V(У - [го + ^])/(е№

Как и раньше, последний интеграл может быть преобразован в эквивалентную детерминированную полезность. Если обозначить через Q рисковую премию, то выражение

ГО /

|V(У - [го + е])/(1 - р)

I -Го - я /

можно переписать в виде V(У - [го + Л(г)]- Q), в котором Р вычисляется при / - го - я. Окончательно разность полезностей записывается в следующем виде

Q.(р, I) = V(У - I) - V(У - го) + (1 - р)5(1 - р)[¥(У - I) - V(У - [го + т](1)] - Q)] (11)

I —Г —я

1—Гп—Я

о

о

В выражении (11) рисковая премия R заменяется Q, а разность полезностей, соответствующая периоду 1, умножается на 1-Р, т.е. на вероятность отсутствия финансово мотивированной предоплаты. Как и в выражении (9), разности полезностей в периоды о и 1 отрицательны и положительны соответственно. Последнее означает, что разность полезностей КФС-ККС является убывающей функцией р.

Как и раньше, условие о(р*, I )= о определяет кривую О в плоскости (р*, I), которая является убывающей. Аналогично, кривая Ф получается путем подстановки а = ^р*) в (7). Поскольку влияние изменений рисковой премии Q , параметров у и 5 на эти кривые такое же, как и при отсутствии финансово мотивированных предоплат, аналоги Предложений 1-5 справедливы и в рассматриваемом случае.

Итак, в работе показано, как самостоятельный выбор заемщиков позволяет проанализировать равновесие на кредитном рынке, предлагающем кредитные контракты с фиксированной и корректируемой ставкой. Анализ показывает, что цена кредита с фиксированной ставкой определяется распределением заемщиков между КФС и ККС, а само это распределение является эндогенным и отвечает условиям кредитного рынка. Любое увеличение пула заемщиков КФС (вызванное входом предельных заемщиков ККС) увеличивает среднюю вероятность досрочной предоплаты кредита заемщиками КФС и понижает процентную ставку по КФС.

Литература

1. Наталуха И.А. Модель кредитов с фиксированной и корректируемой процентной ставкой // Управление экономическими системами (электронный научный журнал), 2о11. - № 12(33).

2. Жарковская Е.П. Банковское дело. - М.: Омега-Л, 2оо3.

3. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. - М.: «ИНФРА-М», 1997.

4. Четыркин Е.М. Финансовая математика. - М.: «Дело», 2оо2.