CC BY
45
ЭЛЕКТРОНИКА
УДК517.862
ХАОТИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ ГЕНЕРАЦИИ В ПРОТЯЖЕННОЙ МИКРОПОЛОСКОВОЙ ЛИНИИ с ЦЕПОЧКОЙДИОДОВ ГАННА
ЮРЧЕНКО Л.В., ЮРЧЕНКО В.Б.______________
Разрабатывается эффективная математическая модель для расчета во временной области сложных широкополосных автоколебаний в цепочках диодов Ганна с учетом их нелинейного взаимодействия в открытой микрополосковой линии передачи с запаздыванием. Предлагаются режимы генерации многочастотных и хаотических колебаний и условия перехода системы от регулярной динамики к хаотической в зависимости от величины параметра нелинейности и нагрузочного сопротивления.
1. Введение
Одним из возможных подходов к созданию генераторов шума с управляемыми характеристиками, широко применяющихся в различных областях науки и техники (радиолокация, связь, медицина, биология, криптография), является принцип динамической хао-тизации колебаний в системах с пространственно локализованными нелинейными элементами. Со времени появления теории динамического хаоса в этой области получено большое количество результатов, которые свидетельствуют о возможности применения генераторов хаоса в тех областях, где ранее использовались шумовые источники, построенные по схеме усиления шумов естественного происхождения [1,2].
Одним из перспективных направлений по использованию динамического хаоса является создание автоколебательных систем типа «активный нелинейный элемент - задержанная обратная связь» [3-5]. Обобщением этой схемы является построение цепочки активных элементов, соединенных протяженными участками микрополосковых линий, в которых происходит задержка сигналов взаимной связи между отдельными элементами. Синхронизация сигналов взаимной связи, приходящих к каждому активному элементу (узлу цепочки) от соседних элементов, во многих случаях приводит к возникновению в линии режима многочастотной генерации [6]. В то же время, в условиях сильной нелинейности и достаточно больших времен задержки можно ожидать появления более сложных хаотических режимов колебаний.
Эффекты, связанные с хаотизацией колебаний в многоэлементных нелинейных системах с запаздыванием, еще недостаточно изучены и не используются в полной мере. Имеются отдельные работы, где хаотические колебания реализуются и изучаются в одно-14
элементных системах на основе активных твердотельных приборов [5,7]. Однако в этих работах внимание уделяется скорее исследованию сложной внутренней динамики отдельного прибора (хаосу множественных доменов, например, в диодах Ганна, в квантовых сверхрешетках), чем влиянию запаздывания обратной связи на процесс хаотизации.
Целью даннойработы является численное моделирование во временной области широкополосных и хаотических автоколебаний в открытых микрополосковых линиях с дискретными активными элементами (диода-миГ анна), между которыми существу етобратная связь с задержками, вызваннымираспространением волн на участках микрополосковых соединений.
В простейшем виде роль задержек проявляется в системах, которые описываются алгебраически-раз-ностными уравнениями [ 8]. Такие уравнения описывают дискретные отображения, которые в определенных условиях приводят к явлению «перемешивания» в фазовом пространстве решений, что и обуславливает хаотическую динамику. В чистом виде дискретные отображения реализуются тогда, когда нелинейный элемент обладает мгновенной реакцией на внешнее воздействие. Приближение мгновенного отклика активного элемента лежало в основе наших предыдущих исследований электродинамических систем со сложной динамикой поля [9,10].
Данное исследование является логическим продолжением работы [6], в которой рассматривались системы иэффекты, впервые учитывающие собственные характерные времена активных у стройств в задачах с запаздыванием. Эти времена обусловлены собственными емкостями и индуктивностями и ограничивают частоты колебаний сверху таким образом, что хаотические режимы, если они существуют, возможны лишь в диапазоне ниже собственных частот активных устройств.
Активные системы с линиями передачи изучались ранее в частотной области [11,12], когда применима концепция комплексного импеданса как функции частоты. Наиболее продвинутой формойтакого подхода являются гибридные методы [13] и методы гармонического баланса. В этих методах линейная часть задачи (распространение и рассеяние волн в пассивных компонентах структуры) в определенном смысле решается точно, а нелинейная анализируется в рамках приближений, справедливых для выбранного диапазона частот.
Для процессов с произвольной и сложной зависимостью от времени, таких как короткие импульсы, широкополосные сигналы, хаотическая динамика, требуется прямое моделирование во временной области, так как типичные методы анализа активных систем в частотной области не вполне применимы. Нами предложена такая модель активной системы с запаздыванием, которая позволяет получить эффективное решение данного класса задач во временной области, используя минимальные вычислительные ресурсы.
РИ, 2009, № 3
2. Постановка задачи
В случае малой пространственной дисперсии м икрополосковой линии эффектом дисперсии на ограниченном участке линии можно пренебречь. При этом линейная часть задачи существенно упрощается и распространение волн на волноводных участках описывается известным решением Римана-Даламбера одномерного волнового уравнения. В наших расчетах мы используем это приближение для линейной части задачи, решаемой во временной области, в то время как нелинейная часть моделируется в полном объеме.
Рассмотрим полубесконечную одномерную линию передачи (рис.1,а). Четырехполюсные блоки п (рис. 1 ,б) представляют собой цепи с активными элементами, которые могут иметь любой вид. В данной работе в качестве активных элементов мы рассматриваем диоды Ганна. В настоящее время они могут работать в широком диапазоне частот, а отдельные их виды (например, на основе нитрида галлия GaN) работают при частотах f > ЮОГГц. В этом исследовании диоды Ганна моделируются в терминах заданных вольтамперных характеристик (ВАХ), имеющих участки с отрицательным дифференциальным сопротивлением (ОДС).
tln V (lN+l
-----‘ 1 It
‘п ln
ч * — и 11 Ui, V + 1 It • • • N
Un Р„ х„ XN *N + 1
а
Рис. 1. Линия передачи с N-активными блоками (а); активный блок, состоящий из диода Г анна Gn , нагрузочного сопротивления гп , емкости Сп , индуктивности Ln и источника напряжения VBn (б )
Вольтамперная характеристика диода Ганна (рис.2) дается той же аппроксимацией, как в [14], которая является типичной для структур на основе арсенида и нитрида галлия:
iGn=Gn(E)=G0 [(Е+0,2Е4)/(1+0,2Е4)+0,05Е], (1)
где ion = Ionzo /у0 иЕ = EGn = vGn /V0 - безразмерные ток и напряжение на дно де (Е >0); Iqo и Vo -ток и напряжение, характеризующие диод (в точке максимума Gn (Е) , І0ПШХ —1,35 Iqo и VQmax —1,77 Vq ), G0 =zoIg0 / Vo -коэффициент связи диода с линией [9]; Z0 -импеданс линии (для GaN диода, описанного ВІ15І- ^Ішах *9Аи VGmax «45В,что при Z0 =50 Ом дает G() = 13 ).
Необходимо отметить, что подобная модель для диода стала инженерной нормой для расчетов во временной области и применяется, например, в известной системе проектирования HSPICE.
Приближение, описанное выше, соответствует модели прибора, работающего с ограниченным накоплением объемного заряда (ОНОЗ). Режим ОНОЗ обеспечивает более широкополосное функционирование диодов Г анна (здесь отношение максимальной частоты генерации к минимальной больше десяти: fmax / ГП1Ш > 10 ). Приближение этого вида означает мгновенный отклик диодов на изменение внешнего напряжения и соответствует пренебрежению детальным моделированием сильно-полевых областей в диодных структурах. Вместо этого в нашей работе собственные характерные времена, свойственные диодам, моделируются эквивалентной емкостью и индуктивностью активных устройств (см. рис. 1,6).
Е
Рис. 2. Вольтамперная характеристика Gn =Gn(E)n дифференциальная проводимость gn (Е) = dGn (Е) /dE диода Ганна
Электромагнитное самовозбуждение возникает, когда напряжение на диоде попадает в область ОДС. Колебанияразвиваются в ответ на малую флуктуацию напряжения смещения в этой области или же в результате переключения напряжения смещения из устойчивой области в нестабильную область ОДС.
Полная система уравнений, описывающая токи и напряжения в цепочках, состоит из следующих трех групп уравнений:
1) волнового уравнения для тока in (т, х) и напряжения Еп(т, х) в каждой секции и микрополосковой линии передачи \п_| < х < хп ;
РИ, 2009, № 3
15
2) уравнений цепи, записанных для каждого блока п в терминах тока in (т) и напряжения Еп (т), определенных, как показано на рис. 1,6;
3) граничных условий для волновых уравнений в точке подсоединения цепи в линию (х* = хп +0), которые устанавливают связь между током и напряжением в линии в точке X* (i*(x) = in(x.x*) -Е* (т) = Еп (х, xj)) итоком и напряжением цепи (in (т), Еп (т)), как показано на рис. 1,а.
Здесь мы рассматриваем последовательную цепочку (см. рис.І.а) с активными блоками, показанными на рис. 1,6 (все блоки считаются идентичными). Для данной цепочки из N блоков система уравнений при-обретаетвид:
ЗЕП / дх = -йп / дт ,діп/дх = -сЕп / дт , (2)
ЕП =inRn+TLndi„/dT-EBn,
С = Gn(En) + xCndEGn/dx, Еп = £(}„ =ЕСп, (3)
= in *n ’En=En_En ’
где n = 1...N • Точки подключения блоков в линию описываются координатами xn+1 = xn + dn+1, где Xj = 0 , dj = 0 . Системауравнений дополняется условием излучения при X = -со (нет приходящих волн от открытого конца линии передачи) и условием короткого замыкания Е = 0 при х = xN+1, обеспечивающим отражение волны в этой точке.
У равнения (2) - (4) записаны в терминах нормированных переменных, таких как относительная координата х = Х/а, время т = ct/a , напряжение En = V,, / V() и ток in = Z()In / V0, где а - пространственный масштаб, используемый для нормировки, с - скорость волны в линии передачи, Rn = rn/Z0, xCn = cZ()Cn /а , TLn = cLn /(Z0a), и xn =27i(TLn-TCn)1/2.
После подстановки решения Римана и соответствующих упрощений этиуравнения приобретают вид дифференциально-разностных уравнений:
dUn/dT = %n(Un,Pn), dPn /dx= Er,(Un.Pn), (5)
где FUn . Fpn - алгебраические функции неизвестных Un и Pn , взятые с различными задержками по времени 5П и с отсутствием задержек по отношению ктекущему моменту времени х = ct/a . Функции Un . Рп - профили волны напряжения, определяемые в точке локализации цепи х = хп (слева от п -го активного блока) и распространяющиеся влево и вправо вдоль п -й секции микрополосковой линии. Функции F)in . FPn определяются следующим образом:
%п (\)= FUn+l (^п+1 - dn+l) -
-0.5[FLn(On) + FCn(On)], (6)
Fpn (Ид) — Fpn-11 ®n-l — dn) + чнО. 5[FT n (Sn) - FCn (Sn)], (7)
FL„(S„) = ®L„{Un(Sn)-
-Pn-i(Hn-i -dn) +
+Rn [Un (dn) + Pn-i (^n-l -dn)--Un+1(0n+1-dn+1)-Pn(0n)]}, (8)
Fcil(^n ) — ®Cn < (^П+1 _ dn + 1 ) +
+Pn(dn) + Gn (EGn)} + dEBn(x)/dx, (9)
где n = l,2,...N, 0n =xn+x, P0 = O.SRjG^Eqo),
Fp0 = 0, I")] n+i(^n+i -dN+)) =FP N(0N -2dN+1),
coCn = I/TCn и го і n = 1 / xг n - характерные частоты, связанные с емкостью Сп и индуктивностью Ln цепи; Rn - сопротивление, нормализованное на импеданс линии Z0 (какивсеимпедансы); Gn(EGn) -ток в диоде,
Е<Зп(т) = ЕВп(т)-
-Un+i(Sn+i - dn+1) + Pn (0n) + Un(0n )-Pn-i(^n-i -dn)
- напряжение на диоде (EG0 = EGn (0) - начальное напряжение) и EBn - напряжение смещения. Самовозбуждение является результатом малой начальной флуктуации ЕВп(т), которая впоследствииуменыпа-ется до нуля.
В случае малых колебаний условия их возникновения ичастотный спектр могут быть найдены приближенно с помощью концепции нулевого комплексного импеданса системы в режиме генерации [12,13]. В работе [6] мы обобщили этот подход, применив его для открытой системы, излучающей энергию на бесконечность, что позволило для системы с одним диодом получить хорошую корреляцию аналитических результатов с численным моделированием.
3. Численные результаты
Для численного моделирования выбирались такие же параметры устройств, как в работах [9,15], и использовался метод [16] Дормана-Принса для решения уравнений (5) - (9).
Рассмотрим линию, состоящую из N активных блоков (рис. 1,6). В отличие от системы с одним диодом с увеличением N наблюдается уширение спектральных линий и увеличение их числа даже в случае регулярной цепи идентичных блоков. Если есть достаточное сопротивление в каждом блоке (например, R = 5), линии спектра остаются узкими (см. рис. 4,а [6]).
Последовательное соединение активных элементов (сосредоточенных цепей с диодами Ганна) протяженными секциями микрополосковой линии, создающими значительные задержки обратной связи, может привести к динамическому хаосу в системе даже в случае не мгновенного отклика активных элементов, обусловленного их реактивными компонентами.
16
РИ, 2009, № 3
Сравним колебания, возникающие при малых и больших значениях нагрузочных сопротивлений в активных блоках. Рис. З, а, б показывают профиль волны, излучаемой из системы с N = 4 активными блоками в бесконечную открытую линию, когда нагрузочное сопротивление есть R = 0,1 (см. рис. 3,а) и R = 0.5 (см. рис. 3,6) (R = rn /Zq одинаково для всех п).
5000 5Ю0 5 200 5ЛОО 5400
Т =cf J , О ПІ.СД.
а
б
Рис. 3. Профиль излученной волны для цепи, состоящей из N = 4 блоков, когда Gq = 13 , d]=6,91. сі2=3,77. СІ3 =8,17, d.|=3.14. а - если R = 0,1 и б - если R = 0,5 ; в - частотный спектр излучения в обоих случаях
При этом длины микрополосковых секций выбраны произвольным нерегу лярным образом и составляют dj = 6,91, d2 = 3,77 , d3 = 8,17, d4 = 3,14 , а коэффициент связи диода с линией (параметр нелинейности) G0 =13.
Рис. 3,в показывает частотный спектр излучаемого поля, который в обоих случаях R = 0,1 и R = 0,5 выглядиточень похоже, несмотря на внешнее отличие временных зависимостей поля, приведенных на рис. 3, а, б.
Нерегулярность цепи активных блоков приводит к тому, что расширение спектральных линий при малых R становится более сложным, а спектр - квазинепрерывным (рис. 3,в). Профиль волны излучения выглядит весьма хаотическим в течение всего длительного времени вычисления, если R мало (вплоть
до времени X = 8000, до которого велись вычисления при R = 0,1 ,рис.З,а),нопереключаетсяврегулярный режим после длительного периода времени xs, если R не очень мало ( ts = 1400 , R = 0,5 , рис. 3,6). Оба спектра, однако, имеютзаметную квазинепрерывную компоненту.
Более чувствительными методами идентификации хаоса по сравнению с анализом спектра мощности колебаний являются сечения Пуанкаре и автокорреляционные функции у(т) сигнала. Автокорреляционные функции, построенные для двух случаев колебаний поля, представленных на рис.3,а,б, приведены на рис.4. Как видим, более нерегулярному колебанию как функции времени (см.рис.3,а) соответствует достаточно быстрый спад автокорреляции от 1 до уровня 0,1 за относительные времена ct / а —10 (кривая 1, рис.4) и остаются ниже этого уровня все последующее время. Такое поведение автокорреляционной функции является характерным признаком достаточно хаотичных сигналов. В случае же временной зависимости, приведенной на рис. 3,6, автокорреляционная функцияобнаруживает очень четкую периодическую структуру (кривая 2, рис.4) с достаточно точным воспроизведением временной формы сигнала с периодом Т ~ 68 в относительных единицах (отметим, что полная длина цепочки L ~ 22 )•
Рис. 4. Автокорреляционная функция для случая нерегулярной цепочки, состоящей из N = 4 блоков: R = 0.1 (кривая Г) и R = 0.5 (кривая 2)
Переход от регулярной динамики к хаотической особенно хорошо виден на сечениях Пуанкаре (рис.5-8). Рис. 5 показывает удвоение периода колебаний с увеличением параметра нелинейности диода G в системе с одним диодом и бал ансньгм отрезком d = 3.14 . Этот отрезок способствует возникновению колебаний и переходу в сильно нелинейный режим, но хаос, тем не менее, еще не наблюдается.
Рис. 6 показывает отсутствие хаоса в структуре с одним диодом без балансного отрезка и без нагрузочного сопротивления (R = 0) даже при значении G = 16 , и наличие явно выраженного хаоса в структуре с N = 4 диодами и G = 13, R = 0, тогда как при R = 5 в этой же структуре (N = 4) имеются лишь многочастотные колебания. На рис. 7 видно, как степень хаотичности динамики несколько уменьшается с ростом R от R = 0 до R = 0,3 и далее до R = 0,5 в нерегулярной цепочке с N = 4 диодами при относи-
РИ, 2009, № 3
17
тельно небольших временах развития процесса отТ = 300 до Т = 1300.
Рис. 5. Сечения Пуанкаре для волн, излученных цепочкой, состоящей из N = 1 блоков (d = 3,14): а - G = 2 ; б - G = 10;b - G = 11.2
б в
Рис. 6. Сечения Пуанкаре для волн, излученных цепочкой, состоящей из: а - N = 1 блоков, d = 0; G = 16 ,
R = 0; б - N = 4,G = 13,R = 0,d = 5;B-N==4-G=13-R=5-d=5
При достаточно длительном протекании процесса в структуре с R = 0,5 динамика несколько упрощается, оставаясь все же весьма сложной, многочастотной, тогда как при достаточно малых значениях R = ОД динамика остается хаотической даже при Т = 2000-3000, как видно из рис. 8.
В целом, при анализе подобных систем наблюдается тенденция, что хаотические режимы проявляются тогда, когда активное сопротивление нагрузки диодов мало по сравнению с собственным импедансом линии (R «1).
-і л і
І', отаві
а
Ю
5
- о
-10
-і о і 2 -і о і :
Ч. ота в! І', ота сі
б в
Рис. 7. Сечения Пуанкаре для волн, излученных цепочкой, состоящей из N = 4 блоков: а - R = 0 ,
Т = 2000-3000; б - R = 0,3, Т = 300-1300; в-R = 0,5 , Т = 300-1300
-I о і
V, отн.ед.
а
І0 0 Е э 10 0 Е
л 0 ІГмМИРп,/' - о
— —
-10 -L0
-10 12 -10 1 Г,отн.ед. Г,втн.ед.
б в
Рис. 8. Сечения Пуанкаре для волн, излученных цепочкой, состоящей из N = 4 блоков, Т = 2000 - 3000 : а -R = 0.1;6 - R = 0,3;b - R = 0,5
4. Заключение
Построена эффективная математическая модель для расчета во временной области сложных широкополосных автоколебаний в цепочках диодов Ганна в
18
РИ, 2009, № 3
микрополосковой линии передачи с учетом задержки обратной связи. В последовательных цепочках с диодами Ганна выявлена возможность сложной многочастотной генерации колебаний. Для системы с одним диодом и балансным отрезком увеличение параметра нелинейности диода G способствует переходу колебаний в сильно нелинейный режим, в то время как в этой же структуре без балансного отрезка и без нагрузочного сопротивления наблюдаются регулярные колебания даже при большом значении G •
Переход от регулярной динамики к хаотической особенно хорошо виден в структурах с несколькими диодами. При этом увеличение или уменьшение значений параметра нелинейности не играет столь су ще-ственной роли, как изменение значений нагрузочного сопротивления. С ростом нагрузочного сопротивления степень хаотичности динамикиуменыпается. Напротив, в цепочках с малым нагрузочным сопротивлением в открытый бесконечный участок линии может излучаться хаотическое колебание, иногда сопровождаемое многочастотной генерацией.
Предложенные методы моделирования и анализа активных микрополосковых систем, а также эффекты многочастотной и хаотической генерации, описанные в работе, представляют интерес для создания новых приборов, таких как генераторы сложных сигналов для шумовой радиолокации и т.п. на основе компактных твердотельных устройств.
Литература: 1. Кислое В.Я., Залогин Н.Н., Мясин Е.А. Исследование стохастических автоколебательных процессов в автогенераторах с запаздыванием // Радиотехника и электроника. 1979. Т.24, №6. С. 1118-1130.2. Кузнецов С.П. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью (обзор) //Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т.25, №12. С. 1410-1428. 3. Lukin К.А. Millimeter Wave Noise Radar Technology // MSMW’98 Symposium, Kharkov, Ukraine: 15-17 Sept. 1998: Proc. Vol.l. P.94-97. 4. Lukin K.A. Noise Radar Technology: the principles and short overview // Applied Radio Electronics. 2005. Vol.4, No.l. P.74-79. 5. Shiau Yuo-Hsien, Peng Yih-Ferng, Cheng Yi-Che and Hu Chin-Kun. Multistability and Chaos in a Semiconductor Microwave Device with Time-Delay Feedback // Journal of the Physical Society of Japan. April 2003. Vol.72, No.4, P.801-804. 6. Юрченко Л. В., Юрченко В. Б. Генерация многочастотных колебаний в микрополосковых линиях передачи с диодами Г анна // Радиоэлектроника и информатика. 2007. №2. С.24-29.7.LinJ. Т. andCao.J. С. Terahertz generation and chaotic dynamics in GaN NDR diode // Semicond. Sci. Technol.March2004. Vol. 19,No.3.P.451-456. 8. Lukin K. A. et al. Method of difference equation in the resonator problem with a nonlinear reflector // Soviet Physics
- Doklady. 1989. Vol.34. P.977-979. 9. Yurchenko L. V. and Yurchenko V. B. Chaos in a Cavity with Active Microwave Devices // Appl. Radio Electronics. 2005. Vol.4, No. 1. P.8084. 10. Юрченко Л. В. и Юрченко В. Б. Генерация ультракоротких импульсов в резонаторе с активным слоем и диэлектрическим зеркалом // Прикладная радиоэлектроника. 2005. Т.4, №2. С. 195-200. W.KurokawaK. The SingleCavity Multiple-Device Oscillator // IEEE Trans. Microwave Theoiy Techn. 1971. Vol. MTT-19. P.793-801. 12. RussellK.
J. Microwave Power Combining Technique // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 1979. Vol. MTT-27. P.472-478.13. Erturk V. B., Rojas R. G. and Rohlin P. Hybrid Analysis/ Design Methodfor Active Integrated Antennas // IEE Proc. Microw. AntennasPropag. 1999. Vol.146. P.131-137. \4.Shur M. GaAs Devices and Circuits // Plenum Press. -London. 1987. 15. Alekseev E. and Pavlidis D. GaN Gunn diodes for THz signal generation // IEEE MTT-S Int. Microwave Symposium Digest. 11-16 June 2000. Vol.3. P.1905-1908.16. Hairer E. and Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems // Springer-Verlag. Berlin. 1991.
Поступила в редколлегию 11.08.2009
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Лукин К.А.
Юрченко Лидия Валерьевна, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник отдела нелинейной динамики электронных систем ИРЭ им.
А. Я. Усикова НАН Украины,
Харьков. Научные интересы: моделирование динамического хаоса в электронных системах, автогенерации широкополосных шумовых сигналов и ультракоротких импульсов.
Адрес: Украина, 61085, Харьков, ул. Ак. Проскуры, 12, тел.:
+38-057-7203-349,
email: yurchenk@ire.kharkov.ua
Юрченко Владимир Борисович, д-р физ.-мат. наук, старший научный сотрудник отдела радиофизики твердого тела ИРЭ им. А.Я. Усикова НАН Украины, Харьков. Научные интересы: ранее - теория переноса горячих электронов в полупроводниковых приборах, фото- и термо-электрические эффекты, явления нестабильности и хаос; в последнее время - нелинейная динамика электронных систем, распространение волн и моделирование антенн. Адрес: Украина, 61085,
Харьков, ул. Ак. Проскуры, 12.
Тел.:+38-057-7203-569, email: yurchenk@ire. kharkov. ua
РИ, 2009, № З
19
