CC BY
39
"УДК 512.53-.514.174.6-. 538.911
В.В. Юдин, Е.С. Старцев, И.Г. Пермякова1
ГРУППОВАЯ СВЯЗКА ИНВЕРСНЫХ ПОЛУГРУПП ФИБОНАЧЧИ-ПЕНРОУЗА
В рамках аксиоматического подхода построена групп-повая связка инверсных полугрупп Фибоначчи, для которой также найдена собственная подполугруппа. Она является соответствующей связкой полугрупп Пен-роуза. Последнее можно трактовать как порождающую грамматику морфогенетического синтеза пен-тасимметричного паркета Пенроуза в числах замощения.
Введение
На множестве квазикристаллических симметрии разумно выделить минимальную подгруппу симметрии, которая в определенном смысле была бы достаточно близка к классическим симметриям. Таковыми, по нашему мнению, являются квартетная 4/8 решетка, мозаика Пенроуза и бигексагональный паркет Дюно-Каца2. В свою очередь, среди представителей этого минимального класса квазикристаллических симметрий стоит выделить паркет Пенроуза3. В нем в единый узел завя-
1 Юдин Виталий Витальевич, доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, заведующий кафедрой Физических основ технологий информационных сред ДВГу, профессор кафедры электроники
вгуэс
e-mail: mih-alexey@yandex.ru;
Пермякова Ирина Геннадьевна, ведущий инженер кафедры электроники
вгуэс
e-mail: irse@vimo.dvgu.ru; Научный руководитель Гряник Владимир Николаевич, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой электроники ВГУЭС. Специальность 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
Старцев Евгений Сергеевич, ведущий инженер-программист кафедры Физических основ технологий информационных сред ДВГу E-mail: ses_l@mail.ru
2 Гратиа Д. УФН. 1988. Т. 156. С. 347; Братковский A.M., Данилов Ю.А., Кузнецов Г.И. ФММ. 1989. Т. 68. С. 1045.
3 Стивенз П.В., Гоулдман А.И. В мире науки. 1991. Т. 6. С. 14; Нельсон ДР. В мире науки. 1986. Т. 10. С. 19; Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. - М.: Мир, 1993. - 416 с.
заны три аспекта: в мозаике Пенроуза усматривается органическое проявление золотой симметрии, налицо внутренняя причастность ряда Фибоначчи, и все это завершается свойством пентасимметричности.
В общих чертах задача, которую решал Пенроуз и другие математики1, состояла в бездефектном замощении минимальным числом плиток пространств Яп . Можно было бы ввести понятие алфавита плиток, который, по нашему мнению, для мозаики Пенроуза имеет трехуровневый характер. Первый уровень образуется парой золотых треугольников Робинсона, второй является объединением треугольников Робинсона по золотым сторонам - пара золотых ромбов. Именно этим уровнем и работал Пенроуз при конструктивном построении своего пентасимметрич-ного паркета2. На этом уровне не существует алгоритма пентасим-метричного покрытия в тыоринговской логике. Как отмечал сам Пенроуз, поочередное присоединение плиток, как правило, требует некоторой перестройки предыдущего окружения. Именно здесь он привлекает квантомеханическую парадигму для трактовки интегрального, целостного эффекта3.
Был сформулирован и третий уровень алфавита - дорзальный и звездчатый десятиугольники, состоящие из пяти широких и пяти узких золотых ромбов. На них гораздо проще было реализовать покрытие в конструктивных, нерекурсивных процедурах, хотя необходимо разрешить возможность минимальной пересекаемости. С точки зрения теоре-тико-информационной4, если иметь ввиду теорию кодирования в приложении к задачам замощения, то возможно реализовать покрытие более простыми конструктивными процедурами. Наши десятиугольники это и есть кодировочные блоки, которыми «записывается текст» Пенроуза5.
Известна роль золотой симметрии, Фибоначчиевой последовательности в пентасимметричной мозаике Пенроуза. Поэтому было бы разумно остановиться на выяснении той алгебраической структуры, системы, которая лежит в основе процесса Фибоначчи. Это проделано в параграфах 1-2, что привело к построению групповой связки инверсных полугрупп Фибоначчи (ГСИПФ). Такая алгебраическая конструкция предполагает выполнимость очень важного скейлингового свойства (аксиома 4).
Фактически, задача покрытия осуществляется не абсолютно твердыми плитками, а плитками с золотым форм-фактором при сохранении постоянства отношения метрических характеристик этих золотых плиток. Нами предлагается морфогенетический принцип генерации моза-
1 Пенроуз Р. Новый ум короля. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 384 с.
2 Гарднер М. Указ. соч.; Пенроуз Р. Указ. соч.
3 Пенроуз Р. Указ. соч.
4 Юдин В.В., Любченко Е.А., Писаренко Т.А. Инормодинамика сетевых структур. - Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2003. - 244 с.
5 Полянский Д.А. Дис. ... канд физ.-мат. наук. - Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2005.
ик1. Полугрупповые конструкции работают в задаче морфогенеза на числах заполнения золотыми ромбами, которые как раз и подчиняются сформулированной нами аксиоматике. Поскольку ГСИПФ относится к несобственным полугруппам, необходимо получить собственную подпо-лугруппу. Это проделано в третьем параграфе, именно на этом пути мы получаем полугрупповую связку инверсных полугрупп Пенроуза - Фибоначчи.
Аксиоматика системы Фибоначчи
Под Р-системой мы будем понимать итеративно, рекурсивно функционирующий «черный ящик», четырехполюсник, выходом которого является известный ряд Фибоначчи. Его было бы лучше именовать Р-генератором. Как всякий четырехполюсник, генератор описывается в терминах «вход-выход» и оператором перехода. Состояние системы задается вектором на входе и выходе четырехполюсника, а движение, преобразование векторных состояний, осуществляется соответствующим оператором единичного сдвига (рис. 1). На этом рисунке приведена эквивалентная схема цепной логики движения по ряду Фибоначчи в терминах обратной связи. Такая логическая схема обладает некоторым скейлинго-вым свойством, что весьма важно для дальнейшего рассмотрения.
/Г'
Рис. 1. Общая схема черного ящика Фибоначчи. р -матрица
Фибоначчи правого единичного сдвига. Уо)>(х\> У/)} - бивектора
состояния, входа-выхода
Наша ближайшая задача состоит в установлении структуры «черного ящика», четырехполюсника (рис. 1), исходя из простейших предположений. Эту задачу можно отнести к классу задач идентификации, синтеза систем. Простейшее представление системы Фибоначчи будет реализовано в схеме векторного представления и в представлении линейного,
1 Карыгина Ю.А. Дис. ... канд физ.-мат. наук. - Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2002; Юдин В.В., Карыгина Ю.А. Кристаллография. - М., 2001. Т. 46. С. 1004; Карыгина Ю.А., Юдин В.В. Материаловедение. - М„ 2001. Т. 12. С. 12; Юдин В.В., Любченко Е.А., Писаренко Т.А. Прикладная синергетика, фракталы и компьютерное моделирование структур: Сб. науч. трудов. - Томск, 2002. С. 343.
матричного оператора единичного (правого) сдвига. Уравнение движения ^ -генератора:
(хп;Л) = ...Д+;(Д+;(А+ЛХ0;Л))). (1)
Бивектора и Л].] - генератор, его матричные элементы, определены
на множестве N - натуральных чисел. Выходом итеративно-рекуррент-ной процедуры (1) должна быть последовательность Фибоначчи. Сформулируем несколько аксиом, которые позволят «вскрыть» структуру «черного ящика» (рис. 1).
Аксиома 1. Состояние Р-системы будет задавать бивектор (х;у)е ЯР(х;у) Ям(х;у). Пространство Яы(х;у) представляет собой двумерную решетку па N - множестве натуральных чисел. Подпространство Яр(х;у) - тоже двумерная подрешетка Фибоначчи на Я„(х;у). Начальным бивектором объявляется (х0;,у0) = (1;1). Ыогт(х; у) = х + у, ас ней определена на ЯИ (х; у) метрика «города».
Аксиома 2. Функционирование генератора Фибоначчи задается Р-цепъю:
(х0;у0)Лр =(х1; у,), (хх;У,)а;х =
................................... (2)
(хп;уп)Др = (хпн>'Упч\ (х0 ;у0)(Л;х)"=(хп;у„). Выражение (2) запишем в «фильтровой» форме (рис .2):
4"=ГКЧ^'У- (3)
Выражения (2,3) указывают, что )' -генераторы образуют матричную, операторную орбиту, траекторию с групповым свойством.
Рис. 2. Скейлинговая декомпозиция - цепи. \/(х; у) £ Яр (х; у) с Яы (х; у). А у е {(2 х 2) - матриц; е^сА'}
Аксиома 3. Наложим на А^ - (2x2) - матрицы единичного правого сдвига с матричными элементами {4^2 }е N, условия специальности и простоты. Потребуем, чтобы:
|с1еЦ!.' | = 1; Бр4'= 1, каИо^М' ЛГ0 = Оу1.
В общем плане: х' = (р\{х',у)\ у' = <р2(х\у) и эти функции линейные. Введем дисимметричное условие, при этом:
х' = <рх{х-,у), у' = (рг{х\ Д+2'-0. (5)
Фактически вводится некоторое отношение типа старшинства в пространстве Яы(х;у). Для установления структуры ¿^'-генератора достаточно (4,5), а не общей линейной зависимости. Условие (4) сразу приводит к:
Е*{л?)\п = \Х... (6)
Это выражение означает, что операторная орбита (3) обладает полугрупповым свойством. Правая компонента ряда Фибоначчи характеризуется существенно необратимой эволюцией и представляет разрастающийся, развертывающийся F -ряд. Для -генератора определим норму:
Иогт{А]})=8р{А?.А?)^±А«. (7)
Норма (7) согласована с нормой бивекторов (аксиома 1). Выражение (6) также показывает, что никакое инфинитезимальное преобразование
(а^ )" -орбиты ' -генераторов не может стартовать от единичного, тривиального идемпотента. Тем самым свойство полугрупповости -ряда существенно и принципиально.
Аксиома 4. Наделим полугрупповую орбиту Д+л' -генератора естественным эндоморфизмом. Для \/(х; е Яг (х; у) с Лн (х; у):
Иогт(хп;уп) Л Ногт(хяА ;у„_,)
Г Могт(хп;уп) 4 Когт(х^;упЧ)
»И
(8)
(9)
(10)
Как видно из (8-9), Р ' -эволюция согласована, не сохраняет норму, метрику, однако, она сохраняет их отношение. Причем, при правых (8) -левых (9) сдвигах выполняется (10) - условие дуальности, сопряжения. Для Р -эволюции IV = а2 » 1,618 - большое золотое число, а дтя Т7" -процесса IV' = а, « 0,618 - малое золотое число. Очевидно, а2а, = 1 конкретизирует (10) именно для системы Фибоначчи.
Введенный аксиомой 4 эндоморфизм - скейлингового типа. Процесс Фибоначчи реализуется преобразованиями подобия (рис. 2).
Групповая связка инверсных полугрупп Фибоначчи
Изложенные выше аксиомы, предлагают следующий явный вид Р -генератора:
п = 1,
1
о J det д+; = -1.
(11)
Это известная (^-матрица Фибоначчи- [1]. Нетрудно дтя (11) выписать элементарные диаграммы. Норма Л'^ , согласно (7), будет следующая:
Могт[Лу)= ^Д;' =3. Спектр собственных значений Р -системы
(И) двухточечный и равен:
Л+ = а2 » 1,618, = -а, * -0,618 (12)
Положительное собственное значение (12) и будет определять темп функционирования генератора Г" -эволюции. Отрицательность детерминанта (11) указывает на несобственный характер действия Р* -генератора. Следовательно, необходимо выделить и собственную компоненту полугрупповой орбиты, налагая условия: ск^^.1) = +1.
Х0 Yi
о
х
X! Yi
Рис. 3. Структура четырехполюсника Фибоначчи для разрастающегося ряда Фибоначчи
Выражения (11) позволяют вскрыть структуру четырехполюсника Фибоначчи. Из (рис. 3) видна принципиально дисимметричная структу-
1 Gould H.W. Fib. Quart. 1981. V. 19. P. 250.
-119-
ра -черного ящика, что обусловлено структурой генератора Фибоначчи (11). Образуем Г' -цепь:
(%-1/1 П = (2;1); Г2Д/1 П = П = (13)
а oJ и oJ и oJ
Из (13) видно, что А]} - генератор осуществляет единичный правый сдвиг бивекторов и генерирует из (х0;у0)= (1,1) последовательность Фибоначчи. Выражения (11) указывают на один момент в арифметическом алгоритме ряда Фибоначчи. Наряду с попарным суммированием (у1+ х1) = х)+1 надо предусмотреть инверсию: х, = у,ч . Именно это преобразование как раз и содержится в структуре (11) А]} -генератора и фильтра Фибоначчи (рис. 3). Теперь на (2,3) строим ^' -полугрупповую орбиту:
/••и К \ (14)
'1 р
.1 о.
1 1
-
о;
(15)
Матричные элементы степеней А,,' -генератора (14) состоят из членов -ряда с условием унимодулярности (15). Последнее показывает, что в -орбите (14) можно выделить собственную подорбиту с положительным детерминантом. Очевидно, этому условию удовлетворяют четные степени. Именно так и была получена полугрупповая орбита
Пенроуза1. В выражении (14) матричную форму (д,.1-орбиты можно эквивалентно отобразить в триплетную. Этот триплетный единичный правый сдвиг и наследует полугрупповую Р' -орбиту в ряде Фибоначчи. Условие положительности детерминанта степеней -генераторов видимо является условием морфогенетической реализуемости паркета Пенроуза2, конечно, с учетом скейлингового эндоморфизма.
1 Юдин В.В., Писаренко Т.А., Любченко Е.А. и др. Кристаллография. - М., 2002. Т. 47. С. 224; Карыгина Ю. А. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2002.
2 Карыгина Ю.А. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2002; Юдин В.В., Карыгина Ю.А. Кристаллография. - М„ 2001. Т. 46. С. 1004; Карыгина Ю.А., Юдин В.В. Материаловедение. - М„ 2001. Т.12. С. 12; Юдин В.В., Любченко Е.А., Писаренко Т.А Прикладная синергетика, фракталы и компьютерное моделирование структур: Сб. науч. трудов. - Томск, 2002. С. 343.
В.В. Юдин, Е.С. Старцев, И.Г. Пермякова. ГРУППОВАЯ СВЯЗКА ПОЛУГРУПП...
Обсуждаемое скейлинговое свойство полугруппы Фибоначчи (аксиома 4) можно сделать наглядным, если осуществить комплексифика-цию Р' -полугруппы в - пространстве:
(*„ ;Уп)-> (К + > иогт{рп++//<,_, - ^^)=
В выражении (16) использована метрика «города». При комплекси-фикации Ар -генератора должны выполняться условия специальности (11) и сохраняться спектр собственных значений (12). Комплексифи-цированный ' )-генератора Фибоначчи (11) запишется:
(16)
о/ ае1(д+;)* = -!.
(17)
Общий член комплексифицированной (р* )-цепи запишется: 1-* 0,
Нетрудно видеть из (17,18), что [А])) является гиперкомплексным натуральным числом. Комплексифицированная полугрупповая орбита (14) запишется следующим образом:
(19)
Р 'Т- '2 > Г1 Г з _ '3 /2\- '1 г 4 ( 5 /3'
1-1 о) Ь <-/ 0) ч-/2 1; о, К-13 2,
М
'1 Г
-ГЯ
Изобразим на диаграмме Аргана полутрупповую орбиту (19) комплексифицированной (р" )-эволюции в триплетном представлении. При этом надо помнить, что на Евклидовой плоскости, в которой всегда строится диаграмма Аргана, действует метрика «города» (аксиома 1), а не квадратичная метрика. На (рис. 4) приведено это неевклидово построение динамики триплетов в метрике Р-города. В частности, на (рис. 4) показана последовательность следующих триплетов из (19): (3;±/2;1), (5;±*3;2), (8;±/5;3), (13;±Й;5), (21;±ЛЗ;8).
Рис. 4. Комплексифицированная динамика триплетов Фибоначчи в гиперкомплексных натуральных числах
Отношение катетов «наконечников стрелы» подчиняется золотой инвариантности:
/г р
—= —— = а2 - Аи2 - /«V, как и требовалось в аксио-
ме 4. Комплексификация триплетов степеней (19) {Ар делает наглядным принцип самоподобия -эволюции. Такое свойство является необходимым условием фрактальности -эволюции.
Обратим четырехполюсник -системы (рис. 3) и элементарные диаграммы. Тогда структура Р~ -четырехполюсника запишется (рис. 5):
А~;=( 0 1 (20)
Рис. 5. Структура фильтра коллапсирующего ряда Фибоначчи л-1
- генератор левого единичного сдвига работает в обратном
л-1
времени. Спектр собственных значений а я- также двухточечный:
= а1'Лр2=~а 2- (21)
Сравним (21) с (12). Видно, что логика собственных значений идентична. Отталкиваясь от (11) и (20), получаем:
АрАг-Ее^А?)'[ (22)
Тем самым мы имеем две сопряженных полугрупповых Р компоненты, которые описывают разрастающуюся и коллапсируюшую полугруппы. Уже на этом уровне ясно, что мы пришли к:
SL<
Да, Г,У
■л
и
RJ х;у LA-,1
(23)
(24)
- групповой связке инверсных полугрупп Фибоначчи, причем квантор объединения идет с условием (22), но £ «г )'//? = 1,2,3...|.
Обсудим теперь, аналогично разрастающейся -эволюции, кол-лапсирующий F" -процесс (рис. 5). Действие Ар -генератора (20), являющегося единичным левым сдвигом, так же приводит к Г' -цепи:
(х„; У„)А~р = (*„_,; у„_,),
На (24) действует та же «абсолютная» норма, что ив И„(х;у) - би-векторном пространстве. Тогда, например:
- р5 К1 = ; Ъ )>' (5/зУо 1
Ь -\) (25)
(3;2) -> (2,1) (1;1) - (х0; у0 )
Из (25) видно, что это та же, но «обратная» Я последовательность с левым единичным сдвигом. Построим Р полугрупповую орбиту:
0
1 -1
-1 2 -F}
п-ч(тн.
— F F
ГП ГП + \ У
С',)
п-печИтн.
_ f-1 2л
- -з, , .. ■
г- л., Fn \
1 Fn -F
сЦДр)' = ±1.
Согласно алгебраической теории полугрупп1, структура полугруппы определяется своими идемпотентами. Наряду с тривиальными единичными, основополагающую роль играют нулевые идемпотенты - неподвижные точки, или, в общем случае, некоторые стационарные режимы. Однако для группового свойства особенно важны нетривиальные единичные идемпотенты. Для этого образуем средний генератор Фибоначчи:
= S3+Si,
д+;+д-; _ 1 '1 0 N 4- Го Г
2 " 2 ,0 -К • о,
1 Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. Т. 2. - М.: Мир, 1972. 422 е.; Ляпин Е.С. Полугруппы. - М.: Наука, 1960. 592 с.
-123-
где 5з и - матрицы Паули. Они являются нетривиальными единич-
л 2 л 2
ными идемпотентами: 5з = 5"| = Е .
л А + 1 Л ~ 1
5з - матрица Паули имеет собственные значения = —, = -—,
которые обычно трактуются как спин. Со времен Ван-дер-Вардена спин является собственным значением оператора представления группы вращения БОз. В работе1 нам удалось показать, что на полугруппе релятивистских эндоморфизмов2 спиновый оператор представления в смысле Ли генерируется пространственно-временным генератором вышеуказанной полугруппы. Если интерпретировать этот результат буквально, то «стрела времени», введенная еще А. Эддингтоном, приобретает спинорную семантику а не векторную.
Система Пенроуза как собственная подполугруппа Фибоначчи
Собственная подполугруппа предполагает, что определитель генератора полугруппы должен быть положителен и равен единице. При этом достаточно образовать квадрат оператора Фибоначчи (11):
и (Л 11 \) (26)
= (2 \XspA;' = = +1.
а ь
Так, полученный генератор является порождающим мозаики Пенроуза. Спектр оператора Пенроуза Ар - двухточечный:
Лу( « 2,618 = а\, ЛР] » 0,3 82 = а,2. (27)
Как мы видим, спектр оператора Пенроуза (26) состоит из положительных собственных значений (27), в отличие от спектров операторов Фибоначчи (12,21). Положительность спектра генератора Пенроуза как раз и отражает собственный характер полугруппы Пенроуза, которая является подполугруппой Фибоначчи. Спектр собственных значений оператора Пенроуза (27) является квадратом аналогичных собственных значений полугруппы Фибоначчи (12).
Построим Р+ - цепь (Я,, (х; ,у)а (х, у) - бивекторное пространство).
Пусть стартовый бивектор: (х0 у0) = (1;1) . Тогда Р+-цепь запишется:
'2 *
(i;i)
i i
(о
(2)
(3)
->(3;2)-»(8;5)-К21;13)-
(4) (п)
►(F2n+2;F2n+I). (28)
1 Юдин В.В. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - М., Ун-т Дружбы народов, 1970.
2 Юдин В.В., Ершов А.Д. Физика // Изв. вузов СССР. 1970. Т. 6. С. 49.
-124-
ДУ - генератор Пенроуза осуществляет двоичный правый сдвиг бивекторов вдоль ряда Фибоначчи. При -сдвиге оператор осуществляет зацепляющий сдвиг вдоль цепи на единицу; это действительно обычная цепь. Генератор Пенроуза также формирует цепь, но с двоичным сдвигом.
В общем виде закон Р+ -цепи будет иметь следующий вид:
Построим полугрупповую Р -орбиту:
M
<2 1
\)
Пз
5
8s] 5
(R
2n+l
V 2n
2n
2п-1/
(29)
Согласно (29), орбита осуществляет двоичный сдвиг-триплетов, но при этом сохраняется обычное зацепление. На триплетах детерминант положительный и единичный, что и требуется для собственной полугруппы. В случае полугруппы Фибоначчи определитель степеней генераторов будет чередоваться:
Прежде чем продолжить, покажем алгоритм порождения мозаики Пенроуза. Сразу отметим, что наш подход не относится к задаче простого замощения, когда исходные плитки являются абсолютно твердыми1. Если отказаться от принципа абсолютной твердости плиток и базироваться на полугруппах подобия с соответствующим скейлингом (аксиома 4), мы придем к морфогенетическому классу синтеза паркета, мозаики2. Можно ввести трехуровневый бинарный золотой алфавит, который и будет участвовать в морфогенезе Пенроуза (рис. 6). При этом должны выполняться вышеприведенные нами аксиомы морфогенетического покрытия.
0,618 1,618
Рис. 6. Трехуровневый алфавит паркета Пенроуза. (а) - пара треугольников Робинсона. (Ь) - пара золотых ромбов, (с) - дорзальный и звездчатый десятиугольники
1 Пенроуз Р. Новый ум короля. - М.: Едиториал УРСС, 2003. 384 с.
2 Карыгина Ю. А. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Владивосток: Изд-во Даль-невост. ун-та, 2002; Юдин В.В., Карыгина Ю.А.//Кристаллография. 2001. Т. 46. С. 1004; Карыгина Ю.А., Юдин В.В. Материаловедение. - М„ 2001. Т.12. С. 12; Юдин В.В., Любченко Е.А., Писаренко Т.А. Прикладная синергетика, фракталы и компьютерное моделирование структур: Сб. науч. трудов. - Томск, 2002. С.343.
-125-
Первый уровень составляют треугольники Робинсона. Второй уровень алфавита - золотые ромбы: х -ромб и у -ромб, получаемые из треугольников Робинсона путем объединения по золотому основанию (рис.бЬ). Третий уровень - десятиугольники: дорзальный и звездчатый, состоящие из пяти х -ромбов и пяти у -ромбов (рис.бс) [4].
При морфогенетическом синтезе паркета Пенроуза (рис. 7), стартовым, например, можно взять х -ромб в качестве рамки, внутри которой в уменьшенной копии показан аналогичный х -ромб (первое поколение). При этом преобразовании подобия выполняется аксиома 4, а дополнение первой окрестности до рамки реализуется золотыми треугольниками также при условии непересекаемости. На третьем поколении (рис. 7) уже сформировался представитель диады третьего уровня алфавита, им является выпуклый дорзальный десятиугольник, который основан на х-ядре. Первая координационная сфера дополняется элементами алфавита низшей размерности; аналогично строится рамочное дополнение. В четвертом поколении (рис. 7) четко видна ядерная группа дорзального и звездчатого десятиугольников из третьего уровня алфавита с минимальным пересечением по у -ромбу. Аналогично формируются координационные сферы и рамочные дополнения на золотом алфавите низших размерностей.
Полугрупповая инверсная алгебраическая структура (23) задается на числах замощения по второму уровню алфавита - парой золотых ромбов.
Обычно в алгебраической теории полугрупп понимание генераторов полугрупп требует его разложения на возможные нетривиальные идемпотенты. Или надо искать связь между генераторами Фибоначчи (11) и Пенроуза (26).
Нетрудно видеть, что:
А;' = Е + Ар'. (30)
Рис. 7. Шесть поколений морфогенетического синтеза паркета Пенроуза на основе трехуровневого дуального золотого алфавита
Как и в случае с генератором Фибоначчи, это означает существенно полугрупповой характер орбиты (29). Однако, наряду с правой полугруппой следует различать и левую полугруппу, вследствие чего можно придти к групповой связке полугрупп Пенроуза. В этом смысле, ситуа-
ция с собственными компонентами полугруппы Пенроуза аналогична ГСИПФ (23). Строим левую Р~ -полугруппу:
— /А'! М — (Г\ 1 — . j\.
Ар=(Др)г=(Ъ 1 V = fl
-1 2
(31)
VI -V БрА'' = 3, йс\А'Р1 = 1.
Условия специальности для обычных компонент подполугруппы одинаковые, что и должно бьггь для собственных орбит. Очевидно:
(2 П '1 -Г = Е. (32)
ll J 2 ,
Теперь мы подошли вплотную к групповой связке полутрупп. Однако, из (31) и (32) видно, что матричные элементы «обратных компонент» как генератора Фибоначчи (20), так и генератора Пенроуза (31), имеют отрицательные значения. Фактически, за инверсную обратимость надо заплатить расширением множества натуральных чисел до множества целых чисел. Также преобразуются элементарные диаграмм-
мы. Спектр Д~! двухточечный: Я^ = а\ , ХР - а] . И условие специальности, и спектр обеих полугрупповых компонент идентичны.
Рассмотрим, как функционирует полученный генератор А,!. Образуем Р~ -цепь:
(FnH;FJA-pl=(Fn_i;Fnj).
(33)
Если сравнить цепи (33,28), видно, что они логически идентичны, с той лишь разницей, что двоичный сдвиг левый. То есть мы имеем дело с «обратной» последовательностью Фибоначчи для Р -цепи, а именно, с цепью коллапсирующей. Генератор А]} осуществляет левый двоичный сдвиг вдоль ряда Фибоначчи, порождая при этом уже знакомую нам Р-подцепъ.
Построим теперь орбиту:
2п-1
-F-
2п
-F N
2п
2п+1 /
V(^2n-I' Р2п'Fín+l)-
(34)
И снова, что подтверждает полугрупповые свойства Р -системы (34). На Р~ -орбите осуществляется двоичный левый сдвиг триплетов, с обычным цепочным зацеплением. Нетрудно и для левого генератора Пенроуза усмотреть связь с генератором Ар :
а:1 = Е-А:',
которая аналогична структуре (30). Условия (30,35) очень похожи на ортогональное (антиортогональное) разложения единичного оператора Для растущих орбит все точки ряда Фибоначчи являются седельными, а для Р~ -орбиты в коллапсирующем варианте имеют фокусный характер.
Разрастание и коллапсирование алгебраически эквивалентны в прямом и обратном временах. Однако, Т-инвариантность приводит к невозможности построения квазивероятностных мер на коллапсирующих орбитах. Тем самым «стрела Времени» в эволюционном смысле может быть продиктована только лишь разрастающейся полугруппой Фибоначчи. Необходимо подчеркнуть, что процесс эволюции обязан снять спиновое вырождение, проведя выбор, режекцию прямого и обратного времени, породив эволюционное время или «стрелу времени». Здесь важно отме-ить, что «стрела времени» появляется в процессе размножения, который изучал Фибоначчи. Она не является следствием естественного отбора1.
Заключение
В статье на базе аксиоматики для системы Фибоначчи построена групповая связка инверсных полугрупп Фибоначчи. Установлена идем-потентная структура ГСИПФ2. Показано, что генератор Фибоначчи может быть представлен через спиновые матрицы Паули. Это позволяет предложить новую трактовку «стрелы Времени»3 на примере процесса Фибоначчи в спинорной, а не векторной форме. Полугрупповая орбита ГСИПФ, порожденная генератором Фибоначчи, сопряжена с замечательным рядом, в данном случае это ряд Фибоначчи. В гиперкомплексных натуральных числах продемонстрировано скейлинговое свойство ГСИПФ.
Построена собственная подполугруппа Фибоначчи, которая является порождающей грамматикой морфогенетического синтеза паркета Пенроуза в числах замощения. Полугруппа Пенроуза индуцирована соответствующим генератором, который является квадратом генератора Фибоначчи. Последнее эквивалентно тому, что паркет Пенроуза является прямой суммой систем Фибоначчи. Найдена связь между идемпотента-ми системы Фибоначчи и Пенроуза4.
1 Эбелинг В., Энгель А., Файстель Р. Физика процессов эволюции. - М.: Эди-ториал УРСС, 2001. 328 с.
2 Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. Т. 2. - М.: Мир, 1972. 422 е.; Ляпин Е.С. Полугруппы. - М.: Наука, 1960. 592 с.
3 Эбелинг В., Энгель А., Файстель Р. Физика процессов эволюции. - М.: Эди-ториал УРСС, 2001. 328 с.
4 Клиффорд А., Престон Г. Указ. соч., Ляпин Е.С. Указ. соч.
