Групповая скорость волнового пакета, образованного двумя свободными идентичными частицами с разными нерелятивистскими скоростями Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2015 Математика и механика № 3(35)

УДК 530.145.65

БОТ 10.17223/19988621/35/9

И.П. Попов

ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ ВОЛНОВОГО ПАКЕТА, ОБРАЗОВАННОГО ДВУМЯ СВОБОДНЫМИ ИДЕНТИЧНЫМИ ЧАСТИЦАМИ С РАЗНЫМИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИМИ СКОРОСТЯМИ

Доказаны две теоремы, связывающие групповую скорость волнового пакета, образованного двумя свободными идентичными частицами с разными нерелятивистскими скоростями, с параметрами гармоник.

Ключевые слова: циклическая частота, волновое число, постоянная Планка, фазовая скорость.

В ряде задач исследуются квантовые системы, состоящие из двух частиц [1-3]. При этом преимущественно рассматриваются частицы, связанные взаимодействием в большей [1, 2] или меньшей [3] степени. Потенциал взаимодействия существенно влияет на вид волновой функции и в любом случае обусловливает непрерывный спектр ее гармоник. Установление квазиимпульса двухчастичной системы [1] и интерпретация волновой функции как ядра интегрального оператора (Гильберта - Шмидта) [3] предполагают определение групповых скоростей волновых пакетов, что не представляет затруднений в силу непрерывности их спектров.

При движении частиц (не связанных взаимодействием) с неравными фиксированными скоростями частоты волн де Бройля образуют дискретный спектр, в связи с чем для определения групповой скорости волнового пакета формула

ё ю

^ = ё (1)

[4] не подходит, поскольку предполагает, по крайней мере, кусочно-непрерывную зависимость ю(к). Здесь ю - циклическая частота, к - волновое число.

Задача, таким образом, заключается в отыскании формулы групповой скорости для дискретных значений ю и к. Результаты решения этой задачи могут быть применены к классу частиц, не связанных полевыми взаимодействиями, в том числе нейтронам, которые в результате некоторых ядерных реакций образуют двухчастичные квантовые системы, например

235тт . 1 . 139^ . 95с, . 1

92и+0п ^ 54Хе + 388г + 20п .

Пусть две частицы образуют квантовую систему в пространстве М3, имеют одинаковые массы т и движутся с фиксированными нерелятивистскими скоростями у1 и VI. В начальный момент координаты частиц совпадают. Соответствующий им волновой пакет имеет вид

¥ (х, г) = Св-'(ю1'-к1х) + Св-'(ю2'-к2х), (2)

где С определяется из условий нормировки волновой функции.

При этом

к =

шу 2 2Й шу

Й

ю

т

(3)

(4)

(5)

где к - постоянная Планка, уф - фазовая скорость [4, 5].

Для названных условий имеют место две теоремы, первую из которых предваряет следующая

Лемма. Справедлива формула

е-1 + егг2 = 2со81 —-1 I е2

Доказательство.

е 1 + е 2 = соБ г1 + г Б1п г1 + соб г2 + г Б1п г2 = = соб г1 + СОБ г2 + г (Б1П г1 + Б1П г2 ) =

= 2со81 г^г! I со* | 1 + 2г со* I 151п I г + г2

= 2соб' ———

г, + г2 I . I г, + г2 соб| —-2 1+ г Б1п' —-2

= ^ е 21

Лемма доказана.

Теорема 1. Групповая скорость волнового пакета (2) определяется выражением

ю2 -ю, к2 - к1

(6)

Доказательство. В соответствии с леммой выражение (2) приводится к виду

¥(х, г ) = 2С соб ^

ю2-ю, к2 - к, I -г[(ю1 +ю2 )г-(к1+к2)х]

Модуль волновой функции

= 2С

соб

г —--- х I е

2 )

ю-ю, К -к

2 2

Групповая скорость - это скорость перемещения максимума модуля [4], который достигается при условии

ю2 -ю, к2 - к,

—1 г —2—1 х = о.

=

Групповая скорость волнового пакета

71

За время t максимум модуля перемещается на расстояние х [6]. Таким образом, его скорость, или групповая скорость,

х и2 — и, t ^2 к,

Теорема доказана.

Замечание. (6) можно представить в виде

Ди ^ = Д£ '

Таким образом (1) является предельным случаем (6).

Теорема 2. Групповая скорость волнового пакета (2) равна сумме фазовых скоростей его гармоник

и, и2 У„ = Ут1 + =--+ "

ф1 ф2 к к 1 "2

Доказательство. Очевидно тождество

2 2

2т2у1 2ш2у2 В соответствии с (3) и (4) оно приводится к виду

Йи, Йю2 & к, & к2 — и2к,2 = 0 ,

И 2 к, к2 И1 к, ^2 — И1 ^2 И 2 к, + И 2 к, ^2 И1 к, ^2 ,

к1к2 (И2 — И1 ) = И1к2 (к2 — к1 ) + И2к1 (к2 — к1 ) , и2 —и, И,к2 +и2 к, и, +и2

(7)

к 2 к, к, ^2 к, к2

Или с учетом (5) и (6)

= Уф1 + Уф2.

Теорема доказана. В [7-9] показано, что

2

Шу ,оч

и = ——. (8)

п

При этом вместо (7) следует записать

Йи, Йи2

2Й2 к,2 2Й2к22

Дальнейшие рассуждения не изменяются и теорема 2 справедлива также при условии (8).

ЛИТЕРАТУРА

1. Лакаев С.Н., Алладустов Ш. У. Положительность собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // Теоретическая и математическая физика. 2014. Т. 178. № 3. С. 390-402.

2. Бутлицкий М.А., Зеленер Б.Б., Зеленер Б.В., Маныкин Э.А. Двухчастичная матрица плотности и псевдопотенциал электрон-протонного взаимодействия для ультранизких температур // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48. № 1. С. 154-158.

3. Хренников А.Ю. Интегральная интерпретация двухчастичной волновой функции и представление квантовых корреляций с помощью случайных полей // Теоретическая и математическая физика. 2010. Т. 164. № 3. С. 386-393.

4. БлохинцевД.И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1976. 664 с.

5. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир, 1968. 384 с.

6. СивухинД.В. Общий курс физики. Т. 4. Оптика. М.: Наука, 1980. 752 с.

7. Попов И.П. Об одном проявлении инертности // Естественные и технические науки. 2013. № 1(63). С. 23-24.

8. Попов И.П. О влиянии инертности частицы на ее волновое представление // Вестник Забайкальского государственного университета. 2013. № 04(95). С. 90-94.

9. Попов И.П. О волновой энергии инертной частицы // Зауральский научный вестник. 2013. № 1(3). С. 60-61.

Статья поступила 29.07.2013 г.

Popov I.P. THE GROUP VELOCITY OF A WAVE PACKET FORMED BY TWO FREE

IDENTICAL PARTICLES WITH DIFFERENT NON-RELATIVISTIC VELOCITIES

DOI 10.17223/19988621/35/9

Two theorems relating the group velocity of a wave packet formed by two identical free

particles with different non-relativistic velocities with the parameters of harmonics are proved.

Keywords: angular frequency, wave number, Planck's constant, phase velocity.

POPOV Igor Pavlovich (Government of the Kurgan region, Kurgan, Russian Federation)

E-mail: [email protected]

REFERENCES

1. Lakaev S.N., Alladustov Sh.U. Polozhitel'nost' sobstvennykh znacheniy dvukhchastichnogo operatora Shredingera na reshetke. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika, 2014, vol. 178, no. 3, pp. 390-402. (in Russian)

2. Butlitskiy M.A., Zelener B.B., Zelener B.V., Manykin E.A. Dvukhchastichnaya matritsa plot-nosti i psevdopotentsial elektron-protonnogo vzaimodeystviya dlya ul'tranizkikh temperatur. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki, 2008, vol. 48, no. 1, pp. 154-158. (in Russian)

3. Khrennikov A.Yu. Integral'naya interpretatsiya dvukhchastichnoy volnovoy funktsii i pred-stavlenie kvantovykh korrelyatsiy s pomoshch'yu sluchaynykh poley. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika, 2010, vol. 164, no. 3, pp. 386-393. (in Russian)

4. Blokhintsev D.I. Osnovy kvantovoy mekhaniki. Moskow, Nauka Publ., 1976. 664 p. (in Russian)

5. Feynman R., Khibs A. Kvantovaya mekhanika i integraly po traektoriyam. Moskow, Mir Publ., 1968. 384 p. (in Russian)

6. Sivukhin D.V. Obshchiy kurs fiziki. Vol. 4. Optika. Moskow, Nauka Publ., 1980. 752 p. (in Russian)

7. Popov I.P. Ob odnom proyavlenii inertnosti. Estestvennye i tekhnicheskie nauki, 2013, no. 1(63), pp. 23-24. (in Russian)

8. Popov I.P. O vliyanii inertnosti chastitsy na ee volnovoe predstavlenie. Vestnik Zabaykal'skogo gosudarstvennogo universiteta, 2013, no. 04(95), pp. 90-94. (in Russian)

9. Popov I.P. O volnovoy energii inertnoy chastitsy. Zaural'skiy nauchnyy vestnik, 2013, no. 1(3), pp. 60-61. (in Russian)