CC BY
22Труды Петрозаводского государственного университета
Серия “Математика” Выпуск 7, 2000
УДК 515.12
ГРУППА ГОМЕОМОРФИЗМОВ КОНЕЧНОМЕРНОГО КУБА В СЕБЯ, ТОЖДЕСТВЕННЫХ НА ГРАНИЦЕ КУБА, КАК ГИЛЬБЕРТОВО МНОГООБРАЗИЕ
Н. С. Стреколовская
Результат статьи состоит в том, что пространство гомеоморфизмов Н(М) конечномерного куба в себя, тождественных на границе, в компактно открытой топологии гомеоморфно гильбертову /2-многообразию.
Хорошо известно [1, с. 152], что проблема группы гомеоморфизмов решена для одномерных, двумерных и бесконечномерных компактных многообразий. Возник следующий вопрос о топологическом строении группы гомеоморфизмов Н(М) конечномерных кубов: гомеоморфно ли гильбертову многообразию пространство гомеоморфизмов Н(1п), где 1п обозначает п-мерный куб? Мэйсон и Люк показали, что для любого компактного 2-многообразия Н(М) есть АМЯ.
Целью настоящей работы является доказательство следующей теоремы, дающей положительный ответ на сформулированный вопрос при произвольном п > 2.
Пусть 1п — п-мерный куб, Н(1п) — пространство гомеоморфизмов, тождественных на границе, в компактно открытой топологии.
Теорема. Пространство Н(1п) гомеоморфно гильбертову пространству /2 •
Доказательство. Согласно теореме Торунчика, если Н(М) есть АИЯ, то Н(М) х 12 есть ^-многообразие. Согласно теореме Гэга-на, для любого многообразия М конечной положительной размерности Н(М) произведение Н(М) х 12 есть ^-многообразие. Как следствие этого результата, известно ([1, с. 152]), что Н(М) является
© Н. С. Стреколовская, 2000
Группа гомеоморфизмов конечномерного куба в себя
107
^-многообразием тогда и только тогда, когда Н{т) есть ANR. Для доказательства теоремы достаточно установить, что пространство гомеоморфизмов куба 1П в себя, тождественных на границе, есть ANR.
JIemma. H(In) е ANR.
Так как пространство Н(1П) локально линейно связно, то в силу предложения 2 из работы [3] лемма вытекает из следующего утверждения:
Предложение. Любое непрерывное отображение g:Sn Н(1П), где
Sn есть n-мерная сфера, ограничивающая n + 1 -мерный шар Bn+1, имеет такое непрерывное продолжение g':Bn+1 —у Н(1П), что для всякого стандартного открытого базисного множества G в компактно открытой топологии пространства Н(1П) имеет место включение g'(Bn+1) С G.
Для доказательства леммы рассмотрим стандартную континуум-значную ретракцию г: Bn+1 —у exp Sn шара Bn+1 на сферу Sn. Для каждого b Е
Вп+1
определим отображение In —У In следующим образом: для каждой точки i G In положим
M(b,i) = иf(i) : f(i) е gr(b).
Пусть /(г) = 1 < m < п. У гомеоморфизма / = {/m} су-
dfi
ществуют ПОЧТИ ВСЮДУ положительные частные производные тг—,
dxj
поскольку монотонная функция на отрезке имеет производную всюду, кроме счетного множества точек. Определим отображение Fb следующим образом: положим Fb(i) равной нижней грани чисел
inf{hi(i), h G gr(b)}, I < n.
Отображение Fb определено корректно, поскольку множество M(b,i) — континуум. Взаимная однозначность отображения Fb следует из положительности частных производных гомеоморфизма /. Зададим продолжение отображения g формулой gf(b) = Fb. Рассмотрим базисное множество G = UG(Ki,Ui), где К{ — компактные, Щ — открытые подмножества куба /п,
G(KhUi) = {/:/€ H(In), f(Ki) С Ui).
108
Н. С. Стреколовская
Если g(Sn) С G, то в силу сделанного выше замечания для любого b Е Вп+1 имеем: Fb(Ki) С [/¿. Следовательно, д'(Вп+1) С G. Предложение, а с ним и лемма доказаны. □
Resume
In the paper it is proved that the space of homeomorphisms of a cube In in itself is the Hilbert space h.
Литература
[1] Чепмен Т. Лекции о Q-многообразиях. М.: Мир, 1981.
[2] Пасынков Б. А., Александров П. С. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973.
[3] Басманов В. Н., Савченко А. Г. Гильбертово пространство как пространство ретракций отрезка// Матем. заметки. Т. 42. Вып. 1. 1987. С. 94-99.
Петрозаводский государственный университет, математический факультет,
185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: [email protected]
