CC BY
9
УДК 512.45
Группа автоморфизмов кольца ZD12
Ася М.Попова*
Новосибирский государственный технический университет, пр. Карла Маркса, 20, Новосибирск, 630092,
Россия
Получена 10.03.2008, окончательный вариант 15.05.2008, принята 15.06.2008
Описывается строение группы автоморфизмов целочисленного группового кольца диэдральной группы Б12 порядка 12.
Ключевые слова: групповое кольцо, единицы, автоморфизмы.
При изучении строения групп единиц целочисленных групповых колец конечных групп удобным оказалось использование теории представлений групп. На этом пути автором с соавторами было описано строение групп единиц следующих целочисленных групповых колец: ZS3, ZA4, ZD12, ZS4, ZSL2(3), ZA5, ZS5, ZA6 ([1]—[5]). Но оказалось, что на этом же пути возможно изучать группы автоморфизмов целочисленных групповых колец. Идея состоит в том, чтобы находить автоморфизмы групповых колец как линейные операторы, заданные на аддитивном базисе группового кольца. Первый результат получен для кольца ZSз. На основе этого результата в данной работе рассматривается группа AutZDl2 автоморфизмов группового кольца диэдральной группы D\2 порядка 12.
Напомним, что мы пользуемся следующим клеточно-диагональным представлением конечной группы О. Пусть Т\,...,Т8 — все неприводимые неэквивалентные представления конечной группы О, тогда рассмотрим клеточно-диагональное представление D(G) = diag (Т1,..., Тн). Так как при этом, очевидно, ZО = ZD(G), то все вычисления проводятся с ZD(G). Группа Dl2 имеет 4 одномерных и 2 двумерных представления. Если каждую матрицу представления D(Dl2) "растянуть" в столбец, а затем полученный из таких столбцов аддитивный базис кольца ZD(Dl2) привести к нижнетреугольному виду, то получим следующее удобное представление кольца ZD(Dl2) как целочисленной линейной оболочки следующего набора матриц.
\
0 0 -1 1 /
* e-mail: algebra@nstu.ru © Siberian Federal University. All rights reserved
1
10
01
10 01
0
-2
-2
00
11
1
1
0
1
e =
a =
/о
о о оо
2 0 0 2/
о
-4
оо
оо
оо
-2 2/
е1
в1в2 =
/1 =
) \ 0 \
о 0
о 0
о 0
-1 1 , е2 = 0 -3
-1 1 0 0
-1 1 0 -3
-1 1 / 00 /
/0 \ 0 \
о 0
0 0
0 0
0 3 , е2в1 = 3 -3
0 3 0 0
0 3 3 -3
03 00 /
0 \ 0\
0 0
0 0
0 0
, /2
00 00
0 0 0 0
-2 2 0 -6
-2 2 / 00
о
\
о
0 0
0 0
0 1 0
00 , 2 /2/1 = 00
0 0 0 0
6 0 6- 6
\
/
Поскольку строение группы AutZD(Dl2) целиком опирается на строение группы AutZD(Sз), приведем представление кольца ZD(Sз), обозначив сходные элементы теми же буквами со значком
о
о
2
о
2
Ь
с
/1
ZD(S3)
/0
б2 =
\
0
V
0 -3
00
0
е1е2 =
\
10
01
0
0
-2
00 -1 1
0
, ei
\
-1 1 -1 1
\
0
e2ei =
V
\
0
V
3 -3
00
0 3
0 з/
В кольце ZD(Dl2) рассмотрим подкольцо К = {в,а,е\,e2,ele2,e2el}z = ZD(Sз). К является характеристическим подкольцом кольца ZD(Dl2), так как выдерживает все автоморфизмы этого кольца. Действительно, пусть ^ € AutZD(Dl2). На одномерных клетках матриц е, а, в1, в2, в1в2, в2в1 ^ является тождественным, а это означает, что у>(а) = а + х, где х не содержит в качестве слагаемых ни Ь, ни с, аналогично у>(е1), у>(е2), ^(е^), ^^е^ тоже не содержат в качестве слагаемых ни Ь, ни с. Так как ^ является автоморфизмом, т.е. не может ненулевой элемент перевести в нулевой, то <£>(е!), . . . , У>(е2е1) не могут содержать
в качестве слагаемых /1, /2, —/1/2, ^/2/1. Поэтому любой автоморфизм кольца ZD(Dl2) задает автоморфизм на К и AutK = AutZ(Sз). Отсюда следует, что любой автоморфизм ^ кольца ZD(Dl2) на элементах е, а, е1, е2, е1е2, е2е1 действует только как автоморфизм из AutZD(S3).
Теперь рассмотрим идеалы /1 и /2, порожденные в кольце ZD(Dl2) элементами Ь и (2е - Ь):
Ii = (b) = b ■ K = {b, 6a = c, bei = /i, be2 = /2, beie2 = 1 /i/2,be2ei = 2/2/i}z,
/2 = (2e — b) = (2e — b)K = {2e — b, (2e — b)ei,..., (2e — b)e2ei}z.
Понятно, что li П /2 = {0}, / = li ® /2 является характеристическим.
Рассмотрим действие x G Aut ZD(Di2) на этих идеалах. Пусть x = bx G Ii, y = (2e — b)y G /2, где e, e G K. Тогда x(x) = x(be) = x(b)x(e) = bx(e), x(y) = x((2e — b)y) = x(2e — b)x(y) = (2e — b)x(y). Но на x и у действие x совпадает с действием автоморфизма из AutZD(S3), поэтому на / = Ii ® /2 действует только прямое произведение AutZD(S3) х AutZD(S3), задаваемое равенством
(^, ^}(х + У) = ¥>(х) + ^(У).
Таким образом, для нахождения автоморфизмов кольца ZD(Dl2) нужно понять, какие пары (у>, ^} продолжаются до автоморфизма всего кольца. Достаточно понять это на элементах а, е1, е2, е^2, е2е1, так как остальные элементы аддитивного базиса лежат в /. Представим а следующим образом:
а = — Ьа + ^(2е — Ь)а.
Тогда (<л ^}(а) = 2 ^(Ьа)+2 ^((2е—Ь)а) = — Ь^(а)+^(а)—2 Ь^(а) = ^(а)+2 Ь(^(а)—^(а)).
Так как — Ь € ZD(Dl2), то для того, чтобы (у>, ^}(а) € ZD(Dl2), необходимо и достаточно,
1
0
чтобы слагаемое — (у>(а) — ф(а)) разлагалось по аддитивному базису ZD(Dl2) с целыми
коэффициентами. То есть, если у>(а) = а+«1е1+«2е2+«зе1е2+ще2е1,ф(а) = а+Д_е1+в2е2 + взе1е2 + в4е2е1 (см. [6]), то отсюда следует, что а = Дг(шоё2), 1 = 1,..., 4, и, следовательно, у>(а) = ф(а)(шоё 2ZD(Sз)). Аналогично для остальных элементов е1, е2, е1е2, е2е1. Из этих рассуждений вытекает
Лемма 1. Автоморфизм идеала /, задаваемый парой (у>, ф}, продолжается до автоморфизма всего кольца ZD(Dl2) тогда и только тогда, когда <^(х) = ф(х)(шоё2К) для любого х € К.
Обозначим через Н С AutZD(Sз) подгруппу таких автоморфизмов а, что а(х) = х(шоё 2ZD(Sз)). Тогда по лемме 1 пара (у>, ф} продолжается до автоморфизма всего кольца ZD(Dl2) тогда и только тогда, когда ф = ухг, где а € Н. Из разложения х по аддитивному базису кольца ZD(Dl2) очевидно, что х = х' + х1, где х' € К, х1 € /1. Поэтому действие а € Н можно определить на х следующим образом: а(х) = а(х') + а(х1) = х' + х'' + а(х1) = х' + х1 — х1 + х'' + а(х1) = х + Ьх2 + (2е — Ь)х|, где х2, х| € К. Определим действие пары (у>, ^а} на х по формуле:
(^,^а}(х) = ^(х) + (2е — Ь)^(х2 ). (1)
Здесь (2е — Ь)х2 = ^(2е — Ь)(а(х) — х). Непосредственными вычислениями нетрудно проверить, что (1) задает автоморфизм на ZD(Dl2), при этом пары перемножаются обычным образом: (у>, ^а} • (ф, фт} = (<^ф,<^фа'т}, где аф = фа' в силу нормальности Н. Так что
(<Л ^а} = (^,^} • (1,а}.
Рассмотрим две подгруппы прямого произведения AutZD(Sз) х AutZD(Sз):
А = {(<£>, ^},^ € AutZD(Sз)},
В = {(1, а}, а € Н}.
Понятно, что В — нормальная подгруппа и А П В = {(1,1}}. Нами получена
Теорема 1. AutZD(D 12) = В X A, где А = AutZD(Sз), В изоморфна подгруппе автоморфизмов из AutZD(Sз), тождественных по модулю 2ZD(Sз).
В [6] показано, что AutZSз = InnZSз. Интересно сравнить аналогичные группы и для кольца ZDl2. Для этого удобно рассмотреть представления обеих групп матрицами одинаковой размерности над одним и тем же кольцом. У нас это будут матрицы порядка 2 над кольцом целых чисел. Для понимания дальнейшего напомним определение гомоморфизма Минковского:
<^>т : ) —> СЬ„(^т), (2)
где Zm — кольцо вычетов по модулю т.
Из [1] следует, что V^Д(Д12)) = Н X .0(Д12), где Н С СЬ2^) х СЬ2^) и |Н/Кег ^6 х Кег ^б| = 18. Группа внутренних автоморфизмов изоморфна фактор-группе по центру. Центр V^^(^12)) совпадает с центром ^12 и изоморфен циклической группе второго порядка, а фактор-группа ^12 по центру изоморфна £3. Отсюда получаем, что іп^Б(Б12) = Н X Б(83).
В [6] показано, что AutZD(S3) =
=гр( г = ( —11 —1 ) .> =( 11 „Ч ’Ь “О 3))=Кег и х D(Sз)'
Тогда из теоремы 1 следует, что
AutZD(Dl2) = ({(<£>, ^}, у € Кег ^з} X {(1, а}, а € AutZD(S3) П Кег ^2}) X D(S3) = N X D(S3)
Для сравнения с InnZD(D12) найдем |Ж/Кегс,г>б х Кег(^б|.
Л К ( ( 10 \ ( 13 \ ( —2 —3 \ \
Легко показать, что Кег ^3 = гр ( ( 1/,\0 1/1 3 4 ) / откуда вычис-
ляется, что Кег^з/Кег^б — Sз и |Кег^з/Кег<^б| = 6. Также нетрудно посчитать, что
(Кег ^3 X D(Sз)) П Кег ^2 = гр ^ ^ 01 14 ^ , (—4 —1 ) ,Кег ^б
и |(Кег^з X D(S3) П Кег<^>2/Кег ^б| = 6.
Таким образом, |Ж/Кег^б х Кег^>б| = 36. Из сравнения порядков |Н/Кег^б х Кег^>б| и |Н/Кег^>6 х Кег^б| эаключаем, что группа автоморфизмов кольца ZDl2 не совпадает с группой его внутренних автоморфизмов.
Более точно, справедлива
Теорема 2. Aut ZD12/Inn ZD12 — С2.
Автор использовал поддержку гранта Новосибирского государственного технического университета, 2007.
Список литературы
[1
А.М.Попова, С.В.Журков , Обратимые элементы целочисленных групповых колец, Международная алгебраическая конференция, Тезисы докладов, Екатеринбург, 2005, 69-70.
А.М.Попова, С.В.Журков , Группа единиц целочисленного группового кольца группы, Algebra and model Theory 5, Новосибирск, 2005, 170-181.
Е.В.Грачев, А.М.Попова, Единицы целочисленного группового кольца группы A5, Вестник КГУ. Физико-математические науки, 2006, №4, 54-59.
Е.В.Грачев, А.М.Попова, Группа единиц целочисленного группового кольца группы S5, Абелевы группы, Материалы Всероссийского симпозиума, Бийск, 2006, №13.
Е.В.Грачев, А.М.Попова, Мультипликативная группа кольца ZA , Международная конференция "Алгебра и ее приложения Тезисы докладов, Красноярск, 2007, 38-39.
А.М.Попова, Группа автоморфизмов кольца ZS3, Algebra and model Theory 6, Новосибирск, 2007, 84-90.
The Group of Automorphism of the Ring ZD12
Asya M.Popova
We describe the groups of automorphism of integral group rings of finite groups. We investigate the structure of the group Aut (ZD12), where D12 is the dihedral group of order 12.
Keywords: group rings, units, automorphisms.
