ГРАВИТАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ, ЗАНИМАЮЩЕЙ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ОБЪЁМ, ПОВЕРХНОСТЬ КОТОРОГО ПОКРЫТА УПРУГОЙ ПЛАСТИНОЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИ ДВИЖУЩЕЙСЯ ПО НЕЙ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКОЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

PHYSICS AND MATHEMATICS

ГРАВИТАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ, ЗАНИМАЮЩЕЙ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ОБЪЁМ, ПОВЕРХНОСТЬ КОТОРОГО ПОКРЫТА УПРУГОЙ ПЛАСТИНОЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИ ДВИЖУЩЕЙСЯ ПО НЕЙ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКОЙ

Лавров Ю.А.

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, профессор, доктор физико-математических наук

GRAVITATIONAL OSCILLATIONS OF LIQUID FILLING A RECTANGULAR VOLUME, THE UPPER SURFACE OF WHICH IS COVERED WITH AN ELASTIC PLATE WITH AN EXTERNAL

LOAD PERIODICALLY MOVING ALONG IT

Lavrov Yu.A.

Saint-Petersburg polytechnic university,

professor

Аннотация

Рассмотрена двумерная задача определения стационарного поля вынужденных совместных гравитационных движений несжимаемой жидкости и покрывающей её поверхность упругой пластины. Точечная нагрузка совершает периодические перемещения по внешней поверхности пластины, возбуждая в системе гармонические колебания. Предложена процедура построения точного аналитического представления для искомых полей. Названы условия возникновения нежелательных механических резонансов.

Abstract

The two-dimensional problem of determining the steady-state field of enforced joint gravitational motions of incompressible fluid and an elastic plate covering its surface is considered. The point load makes periodic movements along the outer surface of the plate, exciting harmonic oscillations in the system. A procedure for constructing an exact analytical representation for the required fields is proposed. The conditions for the occurrence of undesirable mechanical resonances are formulated.

Ключевые слова: гравитационные движения жидкости, упругая пластина, движущаяся нагрузка, гармонические колебания.

Keywords: gravitational fluid motions, elastic plate, moving load, harmonic oscillations.

Введение

Переправа наземных транспортных средств по слою льда, покрывающего водоём, требует тщательной подготовки и точных расчётов. Известны успешно, на протяжении десятилетий, возобновлявшиеся зимние ледовые переправы в крупных городах, например, временные железнодорожные пути по льду реки Волга в Казани с 1892 по 1913 годы. Истории известны и негативные примеры, приведшие к материальным и людским потерям.

Организованная ледовая переправа означает, как правило, периодическое движение транспорта по слою льда. Частота такого движения обычно намного меньше низшей из собственных частот системы «Лёд-вода» и не может повлечь вредных ре-зонансов. Вместе с тем, частота колебаний силовой установки и прочих агрегатов транспортного средства может опасно сблизиться с собственной частотой системы, а такое сближение следует предвидеть и предотвращать.

В литературе представлены решения разнообразных задач о гравитационных колебаниях жидкости в водоёме, поверхность которого покрыта упругой пластиной. В работе [1] решена задача определения частот и форм свободных колебаний, в работах [2], [4] рассмотрены задачи о вынужденных колебаниях под действием периодической

внешней силы, в работе [3] построено численное решение задачи о колебательных процессах при движении нагрузки по пластине, покрывающей водоём. В данной работе предлагается точное аналитическое решение родственной задачи.

Постановка задачи

Идеальная несжимаемая жидкость заполняет прямоугольный объём -В/2 < х < В/2, 0 < г <

Н. Функция гр(х, г, £), такая, что есть потен-

циал скоростей в жидкости, подчиняется уравнению Лапласа

( д2 д2\ , + = (1)

Процессы зависят от пространственных координат х, г, и от времени £. Зависимость от пространственной координаты у отсутствует.

Нижняя (г =0) и боковые (х = ±В/2) границы объёма являются идеально жёсткими дф(х, г, 0

■ =0, (2)

2=0

dz

dxp(x, z, t)

dx

= 0 (3)

х=±В/2

Изгибное смещение ш(х, Ь) срединной поверхности упругой пластины, лежащей на поверхности жидкости г = Н, подчиняетсяуравнению [1-3]

-4 Qo9 ph d2

— + Td?=

d2^(x, z, t) dt2

+ q(x, t)

(4)

Здесь ц(х, £) - давление, которое оказывает на пластину внешняя нагрузка, д0 - плотность жидкости, д - ускорение свободного падения, р - плотность материала пластины, И - её толщина, О = ЕН3/(12(1 — а2)) - цилиндрическая жёсткость, Е - модуль Юнга материала пластины, а - коэффициент Пуассона.

Условие безотрывности смещений пластины и волнений поверхности жидкости имеет вид д^(х, г, I)

X(x,xt

^ = {1,

1,х Е [х0 — е/2,х0 + е/2\ 0,х £ [х0 — е/2,х0 + е/2\

w(x, t) =

dz

Заданная функция % (t), закон движения центра нагрузки по пластине, является периодической, с периодом Т, непрерывной на базовом промежутке t Е (-Т/2,Т/2), и подчиняется требованиям lim Ht) = -В/2, lim Ht) = В/2.

t^-T/2 + 0 t^T/2-0

Построение решения

Внешняя нагрузка представима в виде ряда

(5)

Края упругой пластины жёстко закреплены,

w(±B/2,t) = 0, (6)

дю(х, I)

ЧЧ = 0 (7)

УХ х=±В/2

Внешняя силовая нагрузка на пластину, равномерно распределённая по участку размером г вдоль координаты х, периодическая по переменной £ с периодом Т, имеет вид

Я(х,1)=-£^(Х(х,^(1),е) +

Х(х, К(О +В,е)+ Х(х, К(О — В, е)), - величина силы, приходящаяся на единицу длины вдоль пространственной координаты у, Х(х, х0, е) - характеристическая функция,

q(x,t) = I eiwkt ^

(8)

ЧкшпГшп(х),

_I 1—1 ¡—I

к=—ж т=0 п=0

шк = 2пк/Т, цктп - заданные постоянные коэффициенты, т = 0 и т = 1, соответственно, для чётных и для нечётных по переменной х функций /тп(х), [оп(х) = ^(аопх), аоп = 2пл/В, }1п(х) = sm(a1nx), а1п = (2п + 1)л/В.

Искомые механические поля будут найдены в

виде

1

^(x,z,t) = I

k=—o

w(x,t)= ^

I

т=0

1

I

д2 д2\

^-r + — )Vkm(x,z) = 0,

^ Мкт(х).

к=—т т=0

Относительно новых искомых функций ^кт(х, г), Щкт(х) условия (1)-(7) принимают вид

дх2 ' dz2J dxVkm(x,z)

dz

dxVkm{x,z)

= 0,

дх

= 0,

д4 дх4

х=±В/2

Wkm{x) = vk Wkm (x,H) — —Цкп

Wkm(x,t) =

dxVkm(x,z)

dz

Wkm(±B/2) = 0, dWkm(x)

дх

= 0,

x=±B/2

Vk = (Ph^k - qo3)/d, vk = Q0^2k/D. Искомые функции следует представить в виде

^km(x,z) = 1 Фkmnfmn(x)

coshCamnz) cosh(amnH)'

Щт(х) = Щт1(х) + Wkm0(X),

Wi

kml

(x) = wkmnlfmnCx),

—B( С

— В i sin Cßkx)

В ( cos Cßkx) cosh Cßkx) \

WkwCx) = c,

8ßl\smCßkB/2) sinh(ßkB/2)) ' k1 —4(cosCßkB/2) cosh(ßkB/2)) '

sinh (ßkx) \

Щт0(х) = С,

km

I

C—i)nßn

fmn (x),

4 Jmn

Pk

(9) (10) (11) (12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

Z=H

z=0

Z=H

n=0

4

a

mn

n=0

Фктп, ™ктш, скт - неизвестные пока коэффициенты. В (21) следует считать ¡}00 = 1/2, ¡}тп = 1 во всех остальных случаях. Функция кт1 (х) есть частное решение неоднородного дифференциального уравнения (12), тогда как функция Wкт0(х) есть общее решение соответствующего (12) однородного дифференциального уравнения.

Представления (16)-(21) удовлетворяют требованиям (9)-(11), (15).

1

™ктп1 = Скт(-1)ПР;

В силу единственности разложения по базису из функций Iтп(х), требования (12)-(13) позволяют построить систему уравнений относительно коэффициентов фктп и шктп1. Решение системы имеет вид

1 Чктп

фктп = Скт(-1)пРтпТ--7-п ' (22)

Çkmn ÇkmnD

qkn

Çkmn №kj Çkmn^

Çктп = amntanh(a m n

H)(a

m n -ßk) - vk.

Применение результатов (18), (21), (23) позволяет получить

, Ч V/V г Л\п 4kmn\amntanh(amnH) г , (х) = L ( Ckm(-1)n - —jp)-;-fmnix).

W

km\

Çkn

(23)

(24)

Коэффициент ртп в (24) и всюду далее не требуется, поскольку а00 = 0.

Последнее неиспользованное условие постановки задачи, условие (14), позволяет выразить последний из искомых коэффициентов,

Ckm = d'^'

(-l)nqkmnamntanh(a

mn н)

k mn

Œmntanh(amnH)

k mn

(25)

Представление (25) теряет смысл при

г

^tanh(amnH)

k mn

= 0.

(26)

Уравнение (26) есть уравнение для поиска собственных частот рассматриваемой механической системы. Если собственная частота совпадёт с частотой шк, система войдёт в состояние нежелательного резонанса, амплитуда колебаний начнёт неограниченно возрастать, что может повлечь механическое разрушение пластины. Нестационарный процесс не является предметом рассмотрения в данном исследовании.

Численные результаты

Численный эксперимент проведён для следующих значений параметров: Е = 3 • 1010 n/m?, а = 0.3, p = 919.4kg/m3, q0 = 1000 kg/m3, В = 100 m, H = 10 m, h = 0.05 m, £ = 5 m, T = 20 s, F = 1 N/m. Движение центра нагрузки считается равномерным, t) = tB/T.

На Рис. 1 показаны формы изгибных колебаний пластины. Стрелками отмечены точки центра приложения движущейся нагрузки.

t — —7.5 s

t = -5 s

t — 5 s

t = 7.5 s

+0.0001 w (х, t ), rn О

-0.0001

t = 0s

-50

50

X. m

Рис.1

1

n=0

1

n=0

n=0

Выводы

Построенное аналитическое решение задачи позволяет оценивать величины изгибных смещений пластины w(х, Ь) под движущейся нагрузкой. Величины приходящегося на единицу длины вдоль координаты х изгибающего момента Мх (х, Ь) =

д2ш(хХ) „ , Л

—и1——— и сдвиговой силы Цх(х,Ь) =

d.

дх2 d3w(x,t)

——— могут послужить для оценки прочности рассматриваемой системы.

Список литературы 1. Лавров Ю.А. О свободных гравитационных колебаниях жидкости, заполняющей прямоугольный контейнер с жесткими стенками и упругой крышкой. Труды XXV-XXVI летних школ

"Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем". Санкт-Петербург: ИПМаш РАН, 1998. С. 348-355.

2. Стурова И.В. Влияние периодического поверхностного давления на прямоугольную упругую пластину, плавающую на мелководье // Прикладная математика и механика // 2006. Вып. 3. С. 417-426.

3. Жесткая В.Д., Джабраилов М.Р. Численное решение задачи о движении нагрузки по ледяному покрову с трещиной // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49. № 3. С. 151-156.

4. Стурова И.В. Действие периодического поверхностного давления на ледовый покров в окрестности вертикальной стенки // Прикладная механика и техническая физика. 2017. Т. 58. № 1. С. 92-101.

НЕРАВЕНСТВО КОЭФФИЦИЕНТОВ В КЛАССЕ р -ЛИСТНЫХ ЗВЕЗДНЫХ ФУНКЦИИ

ПОРЯДКА (S

Султыгов М.Д.

профессор, канд. физ. - мат наук, Ингушский государственный университет, г. Магас

Вазиева Л. Т. доцент, канд. физ. - мат наук, Северо-Кавказский горно-металлургический институт (ГТУ),

г. Владикавказ

INEQUALITY OF COEFFICIENTS IN THE CLASS OF p-VALENT STARLIKE FUNCTIONS OF

ORDERp

Sultygov M.,

Professor, Candidate of Physics. - Mat of sciences, Ingush state University, Magas Vasieva L.

Associate Professor of mathematics, Candidate of Physics. - Mat of sciences, North Caucasus mining and metallurgical Institute (GTU), Vladikavkaz

Аннотация

Целью статьи является по радиусам параметризации границ областей Рейнхарта построить эффективные достаточные условия в классе р — листных звездообразных функций порядка р(0 < р < р) с параметрами Аи В (—1<B<A<1) в виде многомерного аналога гипотезы Бибербаха для областей Рейнхарта. В работе рассматриваются функции, голоморфные в полных ограниченных кратно круговых областях D с Сп или в их подобластях Dr = rD,гдеD —замыкание области D иг Е (0,1). В первой теореме доказано, как {f(z, t)} образует цепь подчинения. Во второй теореме получены точные оценки коэффициентов Тейлора |afcl,fc2|. В последующих теоремах строятся многомерные аналоги гипотезы Бибербаха в виде эффективных оценок Тейлора в бицилиндре, гиперконусе и в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области Dpq.

Abstract

The aim of the article is to construct effective sufficient conditions in the class of р — valent starlike functions of order р(0 < р < р) with parameters А and В (—1<B<A<1) in the form of a multidimensional analogue of the Bieberbach hypothesis for Reinhart regions by the parameterization radii of Reinhart regions. The paper discusses the function, holomorphic in a full confined multiple circular regions D с Сп or subareas

Dr = rD, where D is the closure of the D and иг Е (0,1). The first theorem proves how {f(z, t)} a chain of command forms. In the second theorem exact estimates of Taylor coefficients lakt,k21 are obtained. In the subsequent theorems are based multidimensional analogues of the Bieberbach conjecture in the form of effective assessments of Taylor in the cylinder bi, hyper cone and logarithmically convex complete bounded circular region in two ways Dpq.