Граничные условия для пространственных состояний идеально пластических тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СОСТОЯНИЙ ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ

© 2008 Ю.Н.Радаев1

Рассматривается постановка краевых задач теории идеальной пластичности для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Кулона—Треска. Решение пространственных задач теории теории идеальной пластичности подразумевает формулировку граничных условий на поверхности идеально пластического тела. Определение граничных данных для тензора напряжений не представляет трудностей в плоском и осесимметричном случае. В пространственном случае постановка граничных условий сопряжена с решением задачи о нахождении на поверхности тела ориентаций главных направлений тензора напряжений, соответствующих наибольшему (наименьшему) главному нормальному напряжению. Показано, что на свободной граничной поверхности векторное поле, указывающее главные направления, соответствующие наибольшему (наименьшему) главному нормальному напряжению, является поверхностно безвихревым, и поэтому его векторные линии являются геодезическими.

1. Вводные замечания

Подход к исследованию пространственных задач теории идеальной пластичности, развитый в монографиях [1, 2], позволяет дать математическую формулировку основных краевых задач, решение которых должно вскрыть особенности пространственного напряженно-деформированного состояния. Предполагается, что течение тела происходит на ребре призмы Кулона—Треска, что соответствует условию "полной пластичности" Хаара—Кармана. Зная о формальной статической определимости пространственных задач для состояний, соответствующих ребру призмы Кулона—Треска, мы ограничимся рассмотрением граничных условий для напряжений. Определение граничных данных для тензора напряжений не представляет трудностей в плоском и осесимметричном случае. В отличии от плоской и осесимметричной задачи теории идеальной пластичности, формулировка граничных условий и постановка краевых задач в пространственном случае не являются столь простыми. Соответствующий круг вопросов впервые был рассмотрен Г.И. Быковцевым (см. [3, гл. 5, с. 205-246]), однако в этой работе осталась в стороне геометрическая сторона вопроса о нахождении на поверхности тела ориентаций главных направлений, соответствующих наибольшему (наименьшему) главному нормальному напряжению.

1 Радаев Юрий Николаевич (radayev@ssu.samara.ru), кафедра механики сплошных сред Самарского государственного университета, 443011, Россия, г.Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

Заметим, что при формулировке граничных условий в напряжениях в пространственном случае все еще остается много неясных вопросов. Важнейшим из них является проблема определения граничных данных для пространственных уравнений равновесия на свободной поверхности тела, когда, как известно, свободная поверхность будет характеристической для системы уравнений в частных производных пространственного равновесия2. Одним из основных результатов настоящего исследования является вывод точных соотношений для вычисления направлений поля главных осей тензора напряжений, соответствующих наибольшему (наименьшему) главному нормальному напряжению, на поверхности идеально пластического тела. Приводится также доказательство того, что в случае свободной граничной поверхности векторное поле, указывающее главные направления, соответствующие наибольшему (наименьшему) главному нормальному напряжению, является поверхностно безвихревым, и поэтому его векторные линии являются геодезическими. Поэтому на свободной граничной поверхности не удается однозначно определить геометрию указанных векторных линий, поскольку геодезические на двумерной поверхности образуют двухпараметрическую систему.

Понимание излагаемого ниже материала требует знания основ теории векторных полей на поверхности3.

2. Различные формы уравнений равновесия для пространственных состояний, соответствующих ребру призмы Кулона—Треска

Вывод уравнений пространственной задачи теории идеальной пластичности для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Треска, в координатной сетке линий главных напряжений приведен в работах [1, 2].

Условие текучести Треска4 или условие максимального касательного напряжения выражается в терминах главных нормальных напряжений в форме

max(|0i - 021, |oi - оз|, 0 - оэ!) = 2k, (2.1)

где 01, 02, 0з —собственные значения тензора напряжений (главные нормальные напряжения); k — предел текучести при чистом сдвиге. В пространстве главных напряжений поверхность текучести, определяемая уравнением (2.1), представляет собой правильную шестигранную призму (призма Кулона—Треска), ось которой равнонаклонена к декартовым осям этого пространства. Кривая текучести (сечение призмы Кулона—Треска девиаторной плоскостью oi + 02 + 03 = 0) представляет собой правильный шестиугольник с центром в начале координат и стороной, равной У2/32&.

2Заметим, что в случае плоской и осесимметричной задачи свободная граница тела не будет являться характеристической.

^Например, в объеме известной монографии: Норден, А.П. Теория поверхностей / А.П.Норден. — М.: Гостехтеоретиздат, 1956. — 260 с. Здесь изложение в значительной мере основывается на преимуществах векторного и тензорного анализа, характерных для двумерных поверхностей в трехмерном пространстве. Теория векторных полей на двумерных поверхностях здесь дополненяется понятием основного дифференциального уравнения поля и трансверсаль-ного вектора.

4 В научной литературе разных стран иногда это условие текучести связывают (с различной степенью обоснованности) с именами Кулона (C.A.Coulomb, 1773 г.), Геста (J. Guest, 1900 г.) и Мора (O.Mohr, 1900 г.).

Рассмотрим уравнения равновесия для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Кулона—Треска. Обозначим через о тензор напряжений; 1, m, n — ортонормированный базис из собственных векторов тензора напряжений.

Спектральное разложение тензора напряжений имеет вид:

о = Oil ® 1 + 02m ® m + 03n ® n. (2.2)

В пространстве главных напряжений ребра призмы Кулона—Треска определяются уравнениями

Oi ± 2k = 02 = 03, öi = 02 ± 2k = 03, Oi = 02 = 03 ± 2k.

Для данного напряженного состояния, соответствующего ребру призмы Треска, всегда можно перенумеровать главные оси тензора напряжений так, чтобы выполнялось равенство

0i = 02 = 03 ± 2k. (2.3)

Последнее условие означает, что два главных напряжения равны по величине, а главное напряжение 03 является либо наименьшим, либо наибольшим главным нормальным напряжением. Равенство двух главных напряжений 01 = 02, устанавливаемое (2.3), означает, что любое направление, расположенное в плоскости, ортогональной вектору п, является главным. Ясно поэтому, что при соответствии напряженного состояния ребру призмы Кулона—Треска имеется известная доля произвола при выборе собственных векторов 1 и m (они определены с точностью до поворотов в плоскости, ортогональной вектору n).

Так как 1, m, n — ортонормированный базис, то

1 ® 1 + m ® m + n ® n = I, (2.4)

где I — единичный тензор.

Учитывая (2.2), (2.4) и уравнение ребра призмы Кулона—Треска 01 = 02 = = 03 ± 2k, получим

о = (03 ± 2k)I + 2kn <8> n. (2.5)

Следовательно, на ребре призмы Кулона—Треска тензор напряжений о определяется скалярным полем 03 и единичным векторным полем n.

Уравнение равновесия divo = 0 после подстановки в него разложения (2.5) можно представить в форме одного векторного уравнения (см. [1])

grad03 + 2kdiv(n ® n) = 0, (2.6)

где n — единичное векторное поле, имеющее направление главной оси тензора напряжений, соответствующей наибольшему (наименьшему) собственному значению 03 тензора напряжений. Следовательно, задача о равновесии тела, напряженное состояние которого соответствует ребру призмы Кулона—Треска, формально статически определима (поскольку имеется ровно три уравнения для определения трех неизвестных: собственного значения 03 и, например, двух углов, задающих ориентацию единичного вектора n), если граничные условия заданы в напряжениях. Уравнения равновесия могут быть поэтому рассмотрены независимо от кинематических уравнений.

Обозначим через 2 отношение 03 к +2k и приведем уравнение (2.6) к виду:

grad2 + div(n ® n) = 0 (n ■ n = 1). (2.7)

В декартовых координатах векторное уравнение (2.7) эквивалентно системе трех скалярных уравнений (i, k = 1,2,3):

д2 dni dnk

-7— + пк— + щ— = 0 (пкпк = 1).

dxi dxk dxk

Отметим также еще одну инвариантную форму уравнения (2.6):

V2 + (n ■ V)n + n(V ■ n) = 0, (2.8)

где V — пространственный оператор Гамильтона.

Для единичного векторного поля справедлива формула5

(n ■ V)n = -n X rot n, (2.9)

с помощью которой векторное уравнение (2.8) может быть также представлено в виде

V2 - n X rot n + ndivn = 0. (2.10)

Это уравнение в силу своего инвариантного характера может служить основой для геометрического исследования поля n.

Векторное уравнение (2.6) является квазилинейным и принадлежит к гиперболическому типу. Его характеристическое уравнение имеет три различных вещественных корня. Нормали к характеристическим поверхностям образуют круговой конус с углом полураствора я/4 и осью, ориентированной вдоль вектора n. Ясно, что характеристические поверхности являются также и поверхностями максимального касательного напряжения (поверхностями скольжения). Характеристическими являются не только поверхности скольжения, но и интегральные поверхности поля n (т.е. поверхности, составленные из интегральных кривых векторного поля n).

Ключевым для анализа уравнения (2.6) выступает условие расслоенности векторного поля n в зоне пластического течения. Для разрешимости уравнения (2.6) необходима расслоенность векторного поля n, т.е. выполнение условия

n ■ rotn = 0. (2.11)

Этот круг вопросов в деталях рассмотрен в монографии [1].

Уравнение (2.6) было получено при условии, что напряженное состояние соответствует ребру призмы Кулона—Треска. Тем не менее удается показать, что этим же самым уравнением определяется поле напряжений в условиях пластического плоского деформированного состояния, которое, очевидно, соответствует грани призмы Кулона—Треска. Заметим, что пластическое плоское деформированное состояние формально статически определимо.

При использовании критерия текучести Треска

f (Ol, 02, Оз) = [(01 - 02)2 - У2] [(Оз - Oi)2 - У2] [(02 - Оз)2 - У2] = 0 на основании сформулированного в главных осях напряжений ассоциированного

закона течения

= —dk

} doj

5 Приводимая ниже формула является прямым следствием тождества

1

- V(n • n) = (п • V)n + n х rot n

и условия n • n = 1.

6 В приводимой ниже записи ассоциированного закона течения deP — собственные значения тензора приращений пластических деформаций которые, вообще говоря, отличны от приращений собственных значений eP тензора пластических деформаций £P. Поэтому спектральное разложение тензора dzP в силу соосности тензора приращений пластических деформаций и тензора напряжений будет иметь следующий вид:

d£P = l ® ldeP + m ® mdeP + n ® ndeP. При этом следует учитывать одно важное обстоятельство: для состояний на ребре призмы Кулона—Треска Oi = 02 = 03 ±2k собственные векторы тензора напряжений l, m могут указывать

с учетом того, что в условиях плоского деформированного состояния третье направление главное и ¿г^ = 0, находим

К

доз

откуда сразу же следует

= 2 [(О! - а2)2 - Y2] [(а3 - oi)(a3 - а2) - Y2] [а3 - ai + а3 - а2] = 0,

ОЗ = + °2).

т.е. а3—медианное главное нормальное напряжение7. Соотношение a3 = +

+ а2) между главными нормальными напряжениями приводит к заключению, что третий инвариант девиатора тензора напряжений

■/3 = " °2 - аз)(2а2 - о3 - ai)(2a3 - ai - a2)

оказывается равным нулю. Ясно также, что условие de^ = 0 выполняется, если сразу принять уравнение грани призмы Треска ai - 02 = 2k, но тогда главное напряжение a3 остается неопределенным, т.е. невозможно однозначно указать соотношение a3 = 03(01, 02), что препятствует построению "двумерной" функции текучести

f(ai, 02) = f (01,02,03(01, 02)).

Следовательно, в пользу соотношения a3 = "^iVi + 02), в отличии от других вариантов, имеется существенный рациональный довод: именно при таком выборе соотношения 03 = 03(01 , 02) третий инвариант девиатора тензора напряжений становится равным нулю /3 = 0.

В случае плоской деформации, как нетрудно показать, любой критерий текучести изотропной среды f(0i, 02, 03) = const после подстановки в него зависимости 03 = 03(01, 02), устанавливаемой из условия

|-=0, (2.12)

приводится к виду

01 - 02 = 2k (2.13)

и, следовательно, описывается в рамках критерия текучести Треска. Т.е. наиболее общий критерий текучести изотропного тела f(01 , 02, 03) = const после исключения третьего главного напряжения на основании (2.12) приводится к форме

f(01,02) = f(01, 02, 03(01, 02)) = const

на любое направление, ортогональное вектору п, в то время как в спектральном разложении тензора они ориентированы, вообще говоря, без какой бы то ни было степени произвола, т.е. указывают на вполне определенные направления в пространстве. 7 На самом деле условие

д/

выполняется также, если

Л =0 003

(03 - 01X03 - 02) - 4k2 = 0,

ai + 02 Л/(oi - аг)2 + 16к2

= -± —-.

J 2 2

Если, к тому же, учесть, что при выполнении критерия текучести Треска разность главных напряжений постоянна 01 —02 = 2к, то третье главное нормальное напряжение выражается через два других по формуле

т.е.

с некоторой новой "двумерной" функцией текучести f (01, 02), а затем — к форме критерия Треска (2.13). Другими словами8, если f(01, 02, 03) — функция текучести изотропного тела, то три уравнения

+ = 0, = 0, /(оь а2, о3) = const

d01 d02 d03

совместно удовлетворяются лишь при выполнении условия

d01 - d02 = 0

вдоль действительного процесса нагружения. Ясно, что пластическому плоскому деформированному состоянию отвечает грань призмы Кулона—Треска, определяемая уравнением (2.13), если пытаться интерпретировать критерий текучести в терминах геометрии призмы Кулона—Треска.

Весьма интересным оказывается то обстоятельство, что при использовании критерия текучести Мизеса мы по-прежнему имеем условие текучести в форме (2.13), и удается также показать, что в условиях плоского деформированного состояния Оз = —(oi + 02), т.е. аз—медианное главное нормальное напряжение. Действительно, при применении критерия текучести Мизеса

f(01, 02, 03) = (01 - 02)2 + (02 - 03)2 + (03 - 01 )2 - 2У2 = 0

ассоциированный закон течения

d^ = -rj—dk

}

сразу же приводит (с учетом того, что третье направление главное и d£p = 0) к равенству

0 = -2(02 - оз) - 2(oi - 03)

или

оз = ^(oi + о2).

Это соотношение между главными нормальными напряжениями приводит, как указывалось выше, к заключению, что третий инвариант девиатора тензора напряжений J3 оказывается равным нулю.

Условие текучести (2.13) может быть сформулировано в компонентах тензора напряжений в следующем виде:

(oii - 022)2 + 4о12 = 4k2. (2.14)

Поле напряжений в пластической зоне можно представить в форме, предложенной Леви, так чтобы удовлетворялось условие текучести (2.14):

011 = p + k cos 28,

о22 = p - kcos 28, (2.15)

012 = k sin 28,

где p = 1/2(oii + 022) = 1/2(oi + 02), 8 —угол наклона к оси xi главной оси напряжений, соответствующей наибольшему главному напряжению 01. Напомним, что p = 03 для условий текучести Мизеса и Треска.

8 И более точно.

Уравнения равновесия жесткопластического тела в случае плоской деформации имеют вид (см., например, [4])

-í- - 2fc(sin 20 ---cos 26—) = 0,

t m m (2Л6)

-t- + 2fc(cos 28 —— + sin 28-—) = 0 dx2 dx1 dx2

и получаются подстановкой соотношений Леви (2.15) в уравнения равновесия.

Если ввести обозначение 2 = p/(2k) и плоское векторное поле n с компонентами u\ = cos 6, П2 = sin 8, то уравнения (2.16) приводятся к двумерному уравнению (2.7). Тем самым устанавливается аналогия между статическими уравнениями плоского деформированного состояния и пространственными уравнениями для ребра призмы Кулона—Треска, и находит объяснение гиперболичность соответствующих систем уравнений.

3. Постановка краевых задач

для пространственных состояний, соответствующих ребру призмы Кулона—Треска

Пусть на поверхности A, являющейся частью граничной поверхности идеально пластического тела, задан вектор поверхностных сил p. Соответствующее граничное условие имеет вид

p(x) = oía • V, (3.1)

где V — единичный вектор нормали к поверхности A. Таким образом, отыскание напряжений в идеально пластическом теле в окрестности граничной поверхности A при условии "полной пластичности" Oí = 02 = 03 ± 2к состоит в решении следующей краевой задачи в некоторой области, примыкающей к поверхности A:

div o = 0,

O = о2 = о3 ± 2к, (3.2)

p = °ia •V-

В условиях "полной пластичности" тензор напряжений выражается, как было установлено выше, в форме

o = o3I ± 2k(I - n <8> n), (3.3)

где знаки согласованы со знаками в условии Oí = 02 = 03 ± 2k. Подставляя (3.3) в граничное условие (3.1), находим

p = о3V ± 2k(v - n(n • v)). (3.4)

Умножая обе части полученного равенства скалярно на вектор V, имеем

p • V = 03 ± 2k(1 - (n • V)2), (3.5)

что позволяет исключить главное напряжение 03 и преобразовать (3.4) к виду

p - (p • v)v = ±2k((n • v)2v - n(n • V)). (3.6)

Умножая скалярно левую и правую части этого уравнения соответственно на p -— (p • v)v и ±2k((n • v)2v - n(n • v)), приходим к соотношению

p • p - (p • v)2 = 4k2((n • v)2 - (n • v)4). (3.7)

Полученное уравнение является биквадратным относительно скалярного произведения п ■ V, а это позволяет найти

= (3.8)

где знаки уже не согласованы между собой, и, кроме того, они никак не согласованы с выбором знака в условии "полной пластичности".

Значение скалярного произведения п ■ V будет вещественным (и по абсолютной величине меньшим единицы) лишь при выполнении условия

к2 > р ■ р - (р ■ V)2. (3.9)

Поскольку величина р ■ р - (р ■ V)2 есть квадрат касательного напряжения, действующего на площадке, ортогональной вектору V, т.е.

т2 = р ■ р - (р ■ V)2, (3.10)

то вместо (3.8) имеем

Согласно критерию текучести Треска квадрат касательного напряжения не может в идеально пластическом теле превосходить квадрата предела текучести к2. В этом смысле ограничение (3.9) для идеально пластического тела, подчиняющегося критерию текучести Треска, вполне естественно. Следовательно, если вести речь об определении напряжений в идеально пластическом теле, то условие на граничной поверхности

т2 < к2 (3.12)

должно заведомо выполняться.

Итак, граничному условию (3.1), если для него выполняется естественное ограничение (3.12), всегда можно удовлетворить, подбирая для этого напряжения, характеризующиеся условием "полной пластичности". Это обстоятельство является важным дополнительным свидетельством в пользу того, что многие основные пространственные краевые задачи могут быть поставлены и решены в рамках схемы "полной пластичности".

После того как на граничной поверхности определено значение п ■ V, граничное значение п вычисляется с помощью (3.6), а граничное значение Оэ —с помощью (3.5). На практике формулировка граничного условия для вектора п в случае пространственных уравнений часто сопряжена со значительными трудностями. Чтобы яснее представить себе ситуацию, рассмотрим один специальный тип граничных условий.

При решении прикладных задач особый интерес представляет граничное условие

р = pv,

т.е. когда вектор контактного усилия на граничной поверхности А имеет направление нормали к этой поверхности. На основании (3.8) заключаем, что возможны два варианта граничных условий: п ■ V = ±1 и тогда собственный вектор п кол-линеарен вектору нормали V; п ■ V = 0, т.е. вектор п располагается в плоскости, касающейся поверхности А, причем ориентация вектора п в указанной плоскости граничным условием не предписывается, и тогда поверхность А будет характеристической для уравнения равновесия, которое мы преобразуем, учитывая то обстоятельство, что напряженное состояние идеально пластического тела соответствует

ребру призмы Кулона—Треска. Упомянутое уравнение, как уже указывалось, может быть представлено в инвариантной форме в виде (2.6).

В первом случае на основании граничного условия можно сформулировать математическую задачу Коши для уравнения (2.6) с начальными данными на поверхности А, поскольку на этой поверхности будет задана ориентация вектора п и значения главного напряжения 039.

Во втором случае10 сформулировать задачу Коши для уравнения (2.6) с начальными данными на поверхности А без дополнительного анализа не представляется возможным, поскольку, во-первых, ориентация вектора п в касательной к поверхности А плоскости не задана, а во-вторых, в силу того, что эта поверхность будет характеристической для уравнения (2.6), указать упомянутую ориентацию необходимо так, чтобы на самой граничной поверхности А выполнялось уравнение (2.6). Мы поэтому сосредоточимся пока на граничном условии второго типа.

4. Ориентация граничного поля главных

направлений, соответствующих наибольшему (наименьшему) главному напряжению

Вводя безразмерную величину 2 = 0з/(+2к), рассмотрим уравнение (2.6) в форме

VI — п X (V X п) + п(У ■ п) = 0 (п ■ п = 1). (4.1)

В силу расслоенности векторного поля п имеем

п ■ (V X п) = 0. (4.2)

Представим пространственное дифференциальное уравнение (4.1) на граничной поверхности, пользуясь следующими выражениями для пространственных дифференциальных операторов на поверхности:

VI = ((V • У)2)у + Л« —,

й дТдп (4.3)

УФп = уФ(у • У)п + —

дтв

где V — пространственный оператор Гамильтона, тв — Гауссовы координаты на граничной поверхности, 1а — ковариантные локальные базисные векторы на указанной поверхности, — компоненты фундаментального тензора граничной поверх-

9 Первый из рассматриваемых вариантов не подходит, например, в качестве граничного условия на свободной боковой поверхности осесимметричной шейки в одноосно растягиваемом образце. Однако минимальное сечение шейки будет слоем векторного поля п, как это следует из соображений симметрии. Поэтому на плоской поверхности, являющейся минимальным сечением шейки, векторное поле п будет направлено по нормали, т.е. реализуется первый возможный тип граничного условия.

10А

именно этот случай представляет наибольший интерес. Анализ решений осесимметрич-ных задач (в частности, об одноосном растяжении образца с осесимметричной шейкой) показывает, что на свободной границе реализуется граничное условие именно второго типа. Правда, в условиях осевой симметрии можно перейти к соответствующей двумерной задаче, на свободной граничной линии вектор п будет касаться ее, т.е. она будет изостатической траекторией, поэтому указанная линия не будет характеристикой и, следовательно, на ней можно корректно поставить задачу Коши. В уравнениях осесимметричного и плоского деформированного состояния теряется специфика трехмерных уравнений: на свободной границе ориентация вектора п становится вполне определенной, и векторные линии поля п перестают быть характеристическими.

(4.4)

ности, V — единичный вектор нормали к граничной поверхности, символ ♦ указывает один из операторов ■, X, <8>. Доказательство (4.3) проводится внутренним умножением слева на базисные орты 11, 12, V. Имеем формулы

п • (V х п) = п • (V х (V • У)п) + аа|3п • (¡а х

п х (V х п) = п х (V х (V • У)п) + аа|3п х (¡а х —5-).

Зхр

Преобразуя двойные векторные произведения и учитывая, что

п ■ V = 0, дп

п-^=0, (4.5)

п ■ (V ■ У)п = 0,

второе из уравнений (4.4) можно привести к виду

пх(Ухп) = -аа13(п-1а)|^. (4.6)

Умножая обе части векторного уравнения (4.1) скалярно сначала на вектор п, а затем — на V и V X п, с учетом (4.6) приходим к соотношениям

• !„) Л + V • (V • У)п + '0=0,

(уУ)2 + аа13(п-1а)(у|^) = 0, (4.7)

• (V X п) Л + аа|3(п • ¡а)(у хп).0=О.

Первое и второе из этих уравнений связывают значения 2 и п на граничной поверхности с нормальными (по отношению к этой поверхности) производными (v•V)n, Третье из них связывает между собой значения 2 и п на граничной

поверхности, что собственно и является проявлением того обстоятельства, что в случае п ■ V = 0 граничная поверхность есть характеристика, а, следовательно, данные для 2 и п на ней нельзя задавать произвольно.

Вектор vxn в дифференциальной геометрии поверхностей обычно называют дополнительным вектору п (см.: Норден, А.П. Теория поверхностей / А.П.Норден. -М.: Гостехтеоретиздат, 1956. - 260 с.). Вектор, дополнительный вектору п, в дальнейшем будем обозначать через п*.

Для упрощения анализа уравнений, составляющих систему (4.7), введем на по-

12

верхности ортогональную сетку т , т , определяемую векторными линиями полей п и п*. Тогда указанные уравнения приобретают простую форму

, „ч д2 . дп п

(у.У)1 + у~=0, (4.8)

д2 дп

Здесь дифференциальные операторы

дд

обозначают соответственно производные по направлению поля п и дополнительного поля п*. Замечая, что

, _ _ дп^

*

dn dn* dn

к„ = n • —к = -n • —-, к„ = -v • —

8 dS1 8 dS2 dS1

где к^ — геодезическая кривизна векторных линий поля n, к* — геодезическая кривизна векторных линий поля n*, кп —нормальная кривизна векторных линий поля n, в итоге приходим к уравнениям

v • (v • V)n + — + Kg = О,

(v ■ V)E - кп = 0, (4.9)

д^

—- + к„ = 0.

dS2 8

Заметим также, что геодезические кривизны векторных линий полей n и n* выражаются через поверхностные роторы этих полей в соответствии с формулами (см.: Норден, А.П. Теория поверхностей / А.П. Норден. - М.: Гостехтеоретиздат, 1956. - С. 141-143)

к8 = v ■ (surf(V) х n), к* = v ■ (surf(V) x n*) = surf(V) ■ n,

где surf(V) — поверхностный оператор Гамильтона11, следовательно12,

1 (дп2 дп\ \ I д .— д .—

и поэтому третье соотношение в (4.9) оказывается интегрируемым и дает конечное соотношение вдоль векторных линий поля n*:

о

— (2-1п V^T) = 0. (4.Ю)

Рассмотрим условие расслоенности векторного поля n (см. уравнение (4.2)). Принимая во внимание первое из уравнений (4.4), находим

п • (v х (v • V)n) + Л • (ia X 0) = о, (4.11)

Этот оператор определяется как "часть" пространственного оператора Гамильтона

^(У) =

дта

12Доказательство приводимого далее уравнения может быть проведено следующим образом. Если Ь есть поверхностное векторное поле, то в силу (Гв, — символы Кристоффеля второго

1 рь

рода на поверхности, ^ — коэффициенты второй квадратичной формы поверхности смешанного па)

Поскольку

dlY Y д Y

-о = -Гй!1 + KV

dTß ß

db

V • (surf(V) X b) = V • (aaßia Xf^)+V (aa% i„ X (-r^/ + bjjv)).

ßlß, v x ia = caßlß

V x ia = Caßl' , v x l = с ''iß,

„12 _ _„21 _ .

где caß =< v, ia, iß > — дискриминантный тензор (c\2 — —''21 — V"- c12 = —c21 = —— ). то

ya

v• (surf(V) Xb) = (ia Xi"0 - aaßbYr^v • (ia X i^) = -CA + = j.

Отсюда сразу же находим

имеем

»12

откуда в ортогональной сетке т , т , определяемой векторными линиями полей n и n*, имеем

п • (V х (V • V)n) + п • |п* х J^J = О,

т.е.

< n, V, (v ■ V)n > + < n, n*, (n* ■ V)n >= 0. (4.12)

Проскольку векторы (n* ■ V)n, (v ■ V)n располагаются в плоскости, определяемой ортами n*, v, то векторные произведения v X (v ■ V)n и n* X ((n* ■ V)n) коллинеарны вектору n. Обозначая через yi (0 ^ y1 ^ я) угол между векторами (n* ■ V)n и n*, а через y2 (0 ^ У2 ^ п) угол между векторами (v ■ V)n и v, приводим уравнение (4.12) к следующему виду:

|(v ■ V)n| siny2 ± |(n* ■ V)n| siny1 = 0. (4.13)

Здесь знак плюс соответствует тому случаю, когда векторные произведения

v X (v ■ V)n, n* X ((n* ■ V)n)

либо оба имеют направление вектора n, либо оба противоположно направлены по отношению к вектору n. Знак минус необходимо выбрать, если одно из указанных векторных произведений сонаправлено, а другое противоположно направлено по отношению к вектору n.

Система (4.9), если ввести в ее запись углы yi, y2, приобретает следующую форму:

|(v ■ V)n| cos y2 + (n ■ V)2 + |(n* ■ V)n| cos y1 = 0,

(v ■ V)2 - кп = 0, (4.14)

(n* ■ V)2 + Kg = 0.

В случае, когда наибольшее (наименьшее) главное нормальное напряжение на поверхности A является постоянным13, система соотношений (4.9) упрощается

v ■ (v ■ V)n + к* = 0,

(v ■ V)2 - Kn = 0, (4.15)

Kg = 0.

Заметим, что при выводе этих соотношений мы использовали специальную ортогональную сетку т1, т2 на поверхности A, определяемую векторными линиями полей n и n*. Однако сами соотношения (4.15) уже не зависят от выбора той или иной координатной сетки на рассматриваемой поверхности, ибо они носят инвариантный характер. Поэтому мы можем с этого момента снова не связывать себя, конкретизируя ее выбор.

Последнее из соотношений (4.15) устанавливает замечательное свойство векторных линий поля n: указанные векторные линии имеют нулевую геодезическую кривизну, т.е. являются геодезическими линиями на поверхности A. Такие векторные поля называются геодезическими14. Ясно, что тогда поверхностный ротор

13Что имеет место в том случае, когда граничная поверхность свободна от нагрузок.

14Теория геодезических векторных полей на поверхности изложена, например, в книге: Нор-ден, А.П. Теория поверхностей / А.П. Норден. М.: Гостехтеоретиздат, 1956. С. 145-148. Векторные линии таких полей обладают рядом замечательных геометрических свойств. Ясно также, что геодезическое векторное поле п на поверхности будет полностью определено, если известна его ориентация на некоторой кривой, которая сама не является векторной линией этого поля. Тогда из каждой точки указанной кривой в направлении п можно выпустить геодезическую линию, образуя геодезическое поле на поверхности, которое будет задавать ориентацию

векторного поля n равен нулю, следовательно, поле n потенциально. Обозначая через f геодезический потенциал поля n, имеем

Иа = (4.16)

Линии уровня геодезического потенциала f есть ортогональные траектории векторных линий поля n, поэтому они будут векторными линиями дополнительного поля n*. Производная по направлению поля n от геодезического потенциала f равна единице

(n ■ V)f = 1,

откуда можно сделать вывод о том, что длины дуг векторных линий поля n, заключенных между двумя векторными линиями поля n*, одинаковы15. Заметим также, что геодезический потенциал f есть переменная длина дуги, измеряемая вдоль векторных линий поля n от некоторой заданной векторной линии дополнительного поля n*. Он удовлетворяет следующему уравнению в частных производных первого порядка:

|surf(V) f | = 1, (4.17)

т.е.

aß —1— = 1. (4.18)

dt« ötß v '

Уравнение (4.17) вполне аналогично известному "уравнению песчаной насыпи". Для ряда поверхностей известен его полный интеграл. Обычно его удается определить методом Якоби в том случае, когда переменные т1, т2 разделяются.

Интересно также отметить, что если известен полный интеграл уравнения (4.18), точнее та его часть, в которую произвольная постоянная C входит неаддитивно,

f = Ф(т1, т2, C)

то кривые на поверхности, определяемые конечным уравнением

дФ(т1, т2, C)

дС

= С,

где С — произвольная постоянная, будут геодезическими линиями, и это двухпара-метрическое семейство будет, вообще говоря, включать все геодезические линии.

Таким образом, полный интеграл "уравнения песчаной насыпи" (4.17), при координатной записи которого (4.18) мы можем использовать любую удобную для себя криволинейную сетку т1 , т2, позволяет определить все геодезические линии на поверхности и, тем самым, определить все ориентации векторного поля п, не противоречащие рассматриваемому граничному условию. Естественно, что необходимо стремиться максимально упростить форму уравнения (4.18) за счет выбора 12

координат т , т .

вектора n в естественных пределах поля, т.е. в той части поверхности, которая покрывается построенными непересекающимися геодезическими линиями. В итоге можно сформулировать следующее существенное заключение о граничных данных для поля n на свободном от контактных усилий участке поверхности: ориентация векторного поля n на свободной граничной поверхности может быть a priori однозначно указана, только если указана его ориентация вдоль некоторой кривой, расположенной на поверхности, которая сама не является векторной линией этого поля.

15 Частным случаем этого утверждения является известная теорема о постоянстве расстояний между соответственными точками двух эволют данной кривой.

Преобразуем несколько систему (4.15), вводя углы yi, У2, |(v ■ V)n| cos y2 + |(n* ■ V)n| cos y1 = 0,

(v ■ V)2 - Kn = 0, (4.19)

Kg = 0.

Первое уравнение приведенной системы вместе с (4.13) образуют систему

|(v ■ V)n| cos y2 + |(n* ■ V)n| cos yi = 0, (4

|(v ■ V)n| siny2 ±|(n* ■ V)n| sinyi = 0, ( . )

откуда следует, что если (соответственно для знака плюс и минус во втором уравнении) выполняются условия yi Ф y2 и yi + y2 + п, то на граничной поверхности

(v ■ V)n = 0, (n*- V)n = 0. (4.21)

Если yi = y2, то при выборе положительного знака во втором из уравнений (4.20) снова приходим к соотношениям (4.21). Следствием (4.21) является Kg = 0, т.е. дополнительное векторное поле n* является геодезическим, откуда (т.к. и само поле n геодезическое) следует, что граничная поверхность изгибается на плоскость (см.: Норден, А.П. Теория поверхностей / А.П. Норден. - М.: Гостехтеоретиздат, 1956. - С. 149, 150). Поэтому граничным условиям (4.21) заведомо нельзя удовлетворить в том случае, когда граничная поверхность не изгибаема на плоскость. Тогда остается лишь вариант yi + y2 = п, соответствующий знаку минус во втором из уравнений (4.20).

Если выбрать знак минус и положить yi + y2 = п, то система (4.19) сводится к

|(v ■ V)n| - |(n* ■ V)n| = 0,

(v ■ V)2 - Kn = 0, (4.22)

Kg = 0.

Условие расслоенности векторного поля n будет выполнено в силу первого из уравнений (4.22). Напомним также, что при рассматриваемых условиях одно из векторных произведений

v X (v ■ V)n, n* X ((n* ■ V)n)

должно быть сонаправлено, а другое антинаправлено по отношению к вектору n.

5. О касательных векторных полях на двумерной поверхности

Дальнейшее исследование вопросов, связанных с поведением поля п на граничной поверхности, невозможно без привлечения более тонких результатов теории векторных полей на двумерной поверхности. Ниже мы приводим краткий очерк соответствующей теории.

Пусть имеется векторное поле Ь, касающееся поверхности А, параметризованной с помощью уравнения г = г(т1, т2). Вводя коэффициенты первой квадратичной формы поверхности

д2г д^ . дv .

находим производные ковариантных базисных векторов

ff = Tlßli + (5-2)

где raß — символы Кристоффеля поверхности, v — единичный вектор нормали. Дискриминантный тензор поверхности, определяемый как

Caß =< v, la, lß >,

позволяет осуществить переход от поля b к дополнительному полю b* согласно

b*a = bßCßa = bßCPa •

Поверхностный градиент векторного поля b на основании (5.2) вычисляется в виде

/ dba \

surf(V) ® ь = — + ix® ia + b^ß1 ix ® v =

= (V,ba)l^ 0 Ia + b^b^ 0 v = (5.3)

= (V,ba)^ 0 la + (b^bV1)^ 0 la,

где

dba

= —(5.4)

есть так называемая ковариантная производная контравариантного поверхностного вектора ba.

Ясно, что поверхностный градиент поверхностного векторного поля не является поверхностным тензором, однако тензор второго ранга

(V,ba)l^ 0 la = surf(V) 0 b - (b^va)l^ 0 la (5.5)

есть поверхностный тензор.

Отметим также следующие формулы:

caß^ß=caßVZ,

dt« p' (5.6)

aaßVabß = Caß Vabß,

которые позволяют представить соответственно проекцию поверхностного ротора векторного поля b на нормаль к поверхности и поверхностную дивергенцию поля b с помощью ковариантной производной. Здесь aaß —компоненты фундаментального тензора поверхности.

Поверхностный тензор второго ранга

(V,ba)l^ 0 la,

или тождественный ему тензор

(V.ba)l' 0 la,

как и любой поверхностный тензор второго ранга, может быть представлен (поскольку векторы b и b* образуют базис в касательной плоскости) в форме суммы двух диад

(V^bJ^ 0 la = b 0 b* + b 0 b, (5.7)

где b, b — некоторые поверхностные векторные поля.

Основное дифференциальное уравнение векторного поля на поверхности есть

Vßba = bßba + bßba, (5.8)

где bß — компоненты векторного поля, трансверсального ba16; величины bß представляют собой компоненты логарифмического градиента модуля поля

о

ba = — In |Ь| , ß dtß 11

т.е.

b = surf(V) ln |b|. Ясно, что в случае единичного поля b ■ b = 1

b = 0.

Если на поверхности имеется два поверхностных поля a и b, угол между которыми мы обозначим через ф, т.е.

ba = aa cos ф + a*a sin ф,

то разность трансверсальных полей будет потенциальным полем с потенциалом, равным ф:

- Т дер Cía Da - ^

или

я - b = surf(V)ф.

Можно указать связь между векторами b, b и основными инвариантами поверхностного поля b в виде

(b ■ b)(b + b) = (caßVabß)b + (aaßVabß)b*,

или

(b ■ b)(b + b) = |rot b| b + (div b)b*,

где

|rOt b| = CaßVabß

— проекция поверхностного ротора векторного поля b на нормаль к поверхности17,

div b = aaßVabß

— поверхностная дивергенция поля b. В случае единичного векторного поля b ■ • b = 1 имеем (см. рисунок)

b = |rot b| b + (div b)b*,

откуда следует замечательное соотношение для квадрата длины трансверсального вектора поля

|b|2 = |rot b|2 + (div b)2.

В эти соотношения можно ввести геодезические кривизны векторных линий самого поля b

= |rot b|

и дополнительного поля b*

к* = div b.

16Трансверсальный вектор поля обладает многими замечательными свойствами. Он играет основную роль во всех вопросах теории векторных полей на поверхности.

17Мы используем не совсем удачное обозначение |го1 Ь| для проекции поверхностного ротора векторного поля Ь на нормаль V, т.е. для v•(surf(V)xb), исключительно из соображений простоты восприятия формул.

дополнительный вектор

А Ъ*

трансверсальный вектор

Ъ

|ю Ъ|

Ъ

вектор поля

Рис. Направление поля Ь, дополнительного вектора Ь* и трансверсального вектора Ь В результате находим

Ь = к^Ь + к*Ь*, и в случае геодезического поля к^ = 0

ь = к;Ь*,

а также тогда, когда дополнительное поле является геодезическим к^ = 0,

Ь = к^Ь

Гауссова кривизна поверхности может быть вычислена в форме (Шеогета egregium)

К = -савУ„йв = - |ю Ь| независимо от выбора поверхностного поля Ь.

Литература

[1] Радаев, Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев. - 2-е изд., перераб. и доп. - Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 2006. - 340 с. (Электронная копия опубликована в электронной библиотеке системы федеральных образовательных порталов http://window.edu.ru/window/library (рег. №63-01/0023); см. также http://mss.ssu.samara.ru/metodichka/psmtp.pdf или электронную библиотеку сайта EqWorld—Мир математических уравнений http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Radaev2004ru.pdf)

[2] Предельное состояние деформируемых твердых тел и горных пород / Д.Д.Ивлев [и др.]. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 832 с.

[3] Быковцев, Г.И. Теория пластичности / Г.И. Быковцев, Д.Д. Ивлев. Владивосток: Дальнаука, 1998. - 528 с.

[4] Соколовский, В.В. Теория пластичности / В.В.Соколовский. - М.: Высш. шк., 1969. - 608 с.

Поступила в редакцию 15/Х//2007; в окончательном варианте — 15/Х//2007.

FORMULATIONS OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THREE-DIMENSIONAL STATES OF A PERFECTLY

PLASTIC SOLID

© 2008 Y.N. Radayev18

Formulations of boundary values problems for a perfectly plastic solid are considered. Stress states are to correspond to an edge of the Tresca prism. The formulation of boundary conditions for a three-dimensional stress state is shown require the determination of the stress principal lines, situated on the boundary surface. As a free from tractions surface is a characteritics of the hyperbolic partial differential equations describing equilibrium of a perfectly plastic solid the stress principal lines on this surface can not be arbitrarily prescribed. It is demonstrated that in the case of a free from tractions boundary the stress principal lines are geodesic lines depending on two parameters.

Paper received 15/XI/2007. Paper accepted 15/XI/2007.

18Radayev Yuri Nickolaevich (radayevSssu.samara.ru), Dept. of Continuum Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.