ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22) 2010
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010
УДК 517.55
ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ КЛАССА НЕВАНЛИННЫ а *
© С. И. ФЕДИН
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа e-mail: rector@penza-spu.ru
Федин С. И. - Граничные свойства функций класса Неванлинны а * // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 26-29. - В статье мы рассмотрели свойства функций класса Неванлинны а* в области класса (T ) пространства C2.
Ключевые слова: область класса (T ), класс Неванлинные а*, внешняя функция.
Fedin S. I. - Boundary properties of functions Nevanlinna's class а* // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belin-skogo. 2010. № 18 (22). P. 26-29. - In this article we considered some properties of functions Nevanlinna’s class а* in domain of class (T ) in space C .
Keywords: domain class (T ), Nevanlinna’s class а*, external function.
Пусть D - выпуклая ограниченная полная двоякокруговая область с центром в начале координат пространства C2 двух комплексных переменных, граница которой дважды непрерывно дифференцируема и аналитически выпукла извне (область класса ( T )) [2].
Для любой области D класса (T) существует параметризация
zi = r (т)ре’9, Z2 = Г2 (т)ре’(9 t ^,
где r (т), Г2 (т) - функции А. А. Темлякова, р е [0,1] 9 е [0,2п] t е [0,2п] т е [0,1]
На границе dD области D естественным образом вводится трехмерная мера Лебега исходя из объема «гипермногоугольников», расположенных на ней.
Определение 1 [1]. Мы скажем, что регулярная в области D функция f (Zi ,Z2) принадлежит:
1) классу а , если
2п 1 2п
lim | dtIdт J ln + f (ri (т)рег9, Г2 (т)ре’(9 t))
P^1 AAA
0 0
d 9 < да,
2) классу h5 (0 < 8 < да), если
2п 1 2п
lim j dt j d т j f ( Г1 (т)рег9, Г2 (т)ре’(9 t ^)
0 0
8
3) классу р , если f (z1 2) ограничена в D.
Определение 2. Функцию g (21,22) е Р назовём внутренней в D, если её радиальные предельные значения удо-
влетворяют условию
g(r1 (т)e’9,r2(т)e’(9 t))
= 1 почти всюду на границе области D.
Определение 3. Скажем, что функция f (21,22) класса а принадлежит классу а *, если
2п 1 2п
0 0
2п 1 2п
lim j dt j d т j ln+ f (Г1 (т)ре’9, Г2 (т)ре’(9 t)) d9 = j dtj d т j ln+ f (r (т) e’9, Г2 (т) e’(9 t))
00
d 9.
Введённый класс находится в следующем отношении: h8cа, с а .
ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы голоморфная в области D функция f (21,22) принадлежала классу а* необходимо и достаточно:
1) для почти всех (/, т) (в смысле слоской лебеговой меры) f (Г2 (т) и, Г2 (т) ие— ) в единичном круге |и| < 1 принадлежала классу N*,
2) на границе D ln+
f (r1 (т)e’9, r2 (т) e’(9 -))
суммируема.
Доказательство. По теореме Б. Леви и определению 3 получим
2п 1 2п 2п 1 2п
. dtГdт Г ln+ f (r (т)ре’9,r, (т)ре’(9-?)) d9 = Г dt
р^1
0 0 0
lim j dt j d т j ln + f (Г1 (т)ре’9, Г2 (т)ре’(9 -)) d 9 = j dt j d т lim j ln + f (Г1 (т)ре’9, Г2 (т)ре’(9 -))
р^'1 “ 0 0 р^'1 0
2п 1 2п
j dtjdт j ln + f (r1 (т)e’9,Г2(т)e’(9-t))
d 9 =
000
Следовательно, для почти всех (/, т) в единичном круге |и| < 1
d9 < да.
2п 2п
lim j ln + f (Г1 (т)ре’9,Г2(т)ре’(9-?^) d9= j ln + f (r(т)e’9,Г2(т)e’(9-t^)
Тем самым необходимость доказана.
d9 < да.
Достаточность. По условию теоремы и теореме Б. Леви получим
2n 1 2n 2n 1 2n
lim j dtjdт j ln+ f (Г1 (т)ре’9,Г2 (т)ре’(9 f)) d9 = j dtjdт j ln+ f (Г1 (т)e’9,Г2 (т)e’(9 f))
р^'1 0 0 0 0 0 0
d 9 < да,
то есть f (21,22 )еа*.
ТЕОРЕМА 2. Для того чтобы голоморфная в области D функция f (21,22), f (21,22) & 0, удовлетворяющая
условию
ln
2п 1 2п D4 л ^2г>2
< 47 j dt j d тГ
л л л
R - 4р R + 4р R cos (9-ф)-р
000 [r2 +р2 - 2рR cos (9 — ф)Ц
х ln
f (r1 (т)Re’9,r2(т)Re’(9 ?))
d9,
1 -т
рe’ф=^-z1 +^\z2e-’1, 0 <р< R < 1,
r (т) 1 r2 (т)
принадлежала классу а *, необходимо и достаточно, чтобы наименьшая бигармоническая мажоранта
Г ft М 1 ( л ( R - 4р R +4р R cos (9-ф)-р 1 fj ( )D ’9 ( )D ’(9-1 )\
(Lf (z1, Z2 ^TT j dtf dт j г 2 2---------- ----х ln f (r1 (т) Re , Г2 (т) Re’ 1)
4n 00 0 [R +р - 2рR cos (9-ф)]
d9
для 1п|f (21,22) принадлежала классу а*.
Доказательство проводится аналогично случая f (21,22) еа [3] и использует теорему Б. Леви. Определение 4. Функцию f (21,22) е а*. назовём внешней в Б, если
1 I f( ) 1 f м Гл П1 - 4р +4р cos (9-ф)-р , rj ( ) ’9 ( ) ’(9-t
lnf ( z1, z2 )\=—^2 г dtj ^ Г^-------------------х ln f ( r1 (т ) e , r2 (т ) e )
4п 0 0 0 |^1 +р2 - 2р cos (9 — ф)Ц
Из определения следует, что внешняя функция f (Z1 ,Z2) не имеет нулей в D и
u [ f ( Z1, z2 )]= ln|f ( zb z2 )|.
Очевидно, для того чтобы функция |f (Z1, Z2) класса а * была внешней в D, необходимо
d9.
1 2п 1 2п
ln I f ( 0,0)=—2 j dt j dт j ln f ( Г1 (т ) e’9, Г2 (т ) e’(9-t))
4П AAA
0 0 0
d9
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.
и достаточно, чтобы
1 I ft М. l f j,l j Гl - 4p +4p cos (e-ф)-p i fj ( ) /9 ( ) '{e-t
ln f (Zl, Z2 )<—f I dt I dT I —---------------^x ln f (rl (T )e , r2 (T ) ^ M
4n2 „ „ t Гі , ,^2 Ъ ((Л \12 ' '
ООО |^l +p2 - 2p cos (9-ф)]
de,
d e.
1п| / (0,0)1=-^ I dt I dг 11п / (Гі (т ) є9, т2 (т ) еі(9 г‘))
4п 0 0 0
ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы функция / (Zl) є а* была внешней в D необходимо, что для почти всех (і, т ) функция / (Гі (т ) и, г2 (т ) ие~й) есть внешняя в единичном круге |и| < 1 и достаточно, что для почти всех (^ т ) функция / (Гі (т ) и, Г2 (т ) ие~а) есть внешняя в единичном круге |и| < 1 и
d 9.
1 \f( )< 1 F jA j f 1 - 4р +4р cos (9-ф)-р i fl ( ) ’9 ( ) ’(9-t )\
ln|f (ZU z2 )|<TT f dtf ^ | —--------- ----~Г~ X ln f (Г1 (т ) e , Г2 (т ) e )
4n 000 [1 + р2 - 2р cos (9-ф)]
Доказательство. Если f (Z1 ,Z2)еа* - внешняя в области D, то для неё из интегрального представления Пуассона-Темлякова II рода следует для почти всех (t, т ) в единичном круге \ы\ < 1, что
ln
l 2п
f (rl (т ) u, r2 (т ) ue-)| = j J
l - p2
+ p - 2p cos (9-е
ln
f (rl (T)e'9, r2 (T)eI{e -))
d e.
Следовательно, для почти всех (/,т) функция f (т\ (т ) и, Г2 (т ) ие 11) - внешняя в |и| < 1. Достаточность. По условию теоремы
і I ft \l^ l Г м ^ Г 1 - 4p +4p cos (e-ф)-p і fl ( ) '9 ( ) '{e-t )\
ln f ( z1, z2 )\<—T f dt f dT f^----------x ln f ( rl (T ) e , r2 (T ) e )
4n 0 0 о |^l +p2 - 2p cos (9-ф)]
de
и для почти всех (t,т ) в единичном круге |u| < l
l 2n
in If (0,0)|=— jln f (rl (T)e'9, r2 (T)))
d e.
Интегрируя равенство по всем (t, ), получим
l 2n l 2n
ln| f (0,0)1 = —f j dt j dT j ln f ( Гі (т ) e'9, rf (т ) e^9-))
4П AAA
de,
0 0 0
то есть функция f (Z1 ,Z2) класса а* будет внешней.
Обозначим через Re P (dD) класс всех действительных функций у( r (т ) e’9, Г2 (т ) e’(9 f)) на dD, для которых функция
1 Jdijdт2П 1-4р2 + 4P3cos(9-ф)-р4J (т)е„ r (т)e’(S-1))d9
4«2J 0 0 ^ + р2 - 2р cos (9-ф)]2 1 2 ’
является действительной частью голоморфной функции в D .
ТЕОРЕМА 4. Если функция f (Z1 ,z2) класса а * является произведением внутренней и внешней функций в D, то
ln
f (ri (т)e'9, rf (т)e^9 -)) є ReP^D).
Доказательство. Пусть функция класса а* f (21,22 )= g (21,22) h (21,22), где g (21,22) - внутренняя, h (21,22) -
внешняя функции в Б. Тогда по определениям 2 и 4 получим
1 - 4p + 4p cos (9 - ф) - p 000 |^1 +p2 - 2p cos (9-ф)]
І j dt j d Tj ••І* Л Л Л
ln
f (ri (T) e'9, r2 (T) eI{e -))
d e =
(г (т)еге,Г2 (т)ег(е ?)) й?0 = 1п|h(^22)|
то есть
1п f (Г1 (т) е10, Г2 (т) ег(0 ?)) е ReР (дБ).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Айзенберг Л. А. Об интегралах Темлякова и граничных свойствах аналитических функций двух комплексных переменных // ДАН СССР. 1958. Т. 120/ № 5. С. 935-938.
2. Темляков А. А. Интегральное представление функций двух комплексных переменных // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1957. Т. 21. С. 79-82.
3. Федин С. И. Граничные свойства функций класса Неванлинны а // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2009. № 13 (17). С. 35-37.