Графический метод решения тригонометрических уравнений и неравенств Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОД РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

© Чекмарева И.А.*

Краснодарский гуманитарно-технологический колледж, г. Краснодар

Актуальность представленной работы заключается в практической направленности предлагаемого метода, поскольку графическое решение тригонометрических уравнений и неравенств дает возможность определить корни намного проще, чем при аналитическом методе.

Преимущество метода заключается в том, что он не требует особых технических навыков в тригонометрических преобразованиях, а теоретическую сторону дела позволяет продемонстрировать очень наглядно. Конечно, при графическом решении уравнений корни определяются приближенно, но, тем не менее, той точности, которую обеспечивает графический метод, бывает вполне достаточно для решения практических задач.

Пусть необходимо решить уравнение Ffcos t; sin t) = 0 (1), где F(x, у) -многочлен от двух переменных х и у. Идея решения состоит в том, чтобы дополнить уравнение (1) тождеством cos2t + sin2t = 1, ввести обозначение х = tos t, у = sin t и решить графически систему, состоящую из двух уравне-

„ \F(x; y) = 0 ний: i 2 2

[ x2 + y2 = 1

Получим точки пересечения (если они существуют) единичной окружности с графиком функции Ffo у), координаты которых определить не сложно. Но в этом нет никакой необходимости. Для того, чтобы найти корни уравнения (1), достаточно измерить углы между положительным направлением оси Ох и радиус-векторами полученных точек пересечения графиков с помощью транспортира: t1 и а1, t2 и а2 (рис. 1). Учитывая периодичность

* Технологическое отделение. Научный руководитель: Андрюхина М.И., преподаватель математики.

тригонометрических функций, получим окончательный ответ: tj и а\ + 360° n, t2и а2 + 360° к, где n e Z, к e Z.

Рис. 1

содержащей два уравнения:

Рассмотрим уравнение F(ctg t; tg t) = 0 (2). Дополним его тождеством ctg t • tg t = 1 и введем обозначения х = ctg t, у = tg t. Мы пришли к системе,

[F (x; j) = 0 xy = 1 .

Решая графически эту систему, получим точки пересечения (если они существуют) ветвей гиперболы ху = 1 с графиком уравнения F(x; у) = 0.

Для нахождения решения уравнения (2) достаточно спроецировать полученные точки пересечения графиков на линию тангенсов, т.е. на прямую х = 1, и определить с помощью транспортира углы между положительным направлением оси Ох и радиус-векторами построенных проекций (рис. 2): t1 и а1, t2 и а2. Учитывая периодичность тригонометрических функций, получим окончательный ответ: t1 и а1 + 180° n, t2 и а2 + 180° к, где n e Z, к e Z.

Рассмотрим примеры.

1. Решим уравнение соб t = 2sm t - 1.

Введем обозначение х = oos t, у = sin t и введем вспомогательную систему:

J x = 2y-1 Ix2 + y2 = 1

Рис. 2

Преобразуем ее следующим образом: ,

(У = log2(x +1) I X2 + y2 = 1 • Графическое решение системы показано на рис. 3.

Рис. 3

Проведя радиус-векторы точек пересечения единичной окружности с графиком функции у = log2(x + 1), получим tx и -117°, t2 и 48°. С учетом периодичности: t1 и -117 ° + 360° n, t2 и 48° + 360° к, где n e Z, к e Z. 2. Пусть дано уравнение 8 tg t - 4 ctg2 t - 4 ctg t + 23 = 0.

Введем обозначение х = ctg t, у = tg t, перепишем уравнение в новых обозначениях: 8у - 4-х2 - 4х + 23 = 0 и приведем его к виду: у = 0,5(х + 0,5)2 - 3.

Гy = 0,5(х + 0,5)2 -3 Решим графически систему: ^ .

[ ХУ = 1

По рисунку 4 находим, что ti и -71°, t2 и -20°, t3 и 25°. С учетом периодичности: ti « -71° + 360° n, t2 и -20° + 360° к, t3 и 25° + 360°m, п e Z, к e Z, m e Z.

А У

Рис. 4

3. Перейдем к неравенству:

8 eos3/ - 14 cos2t + 6 eos t - 2 sin2t + 8 sin t - 3 > 0.

Заменим sin2t на 1 - eos2t и введем обозначения х = eos t, у = sin t. Это позволит привести неравенство к виду у > -(х - 0,5)3 + 0,5.

[y >-(х - 0,5)3 + 0,5

Решим графически систему: ^ , , .

[ х + y = 1

Дуга АВ единичной окружности и является графическим решением этой вспомогательной системы (рис. 5). Каждая точка этой дуги имеет радиус-вектор, образующий с положительным направлением оси Ох угол, величина которого изменяется в промежутке [26°; 106°].С учетом периодичности получим: t е [26° + 360° к; 106°+ 360° к], где к е Z.

У ' U >-••: - 0.5)' - 0.5

-lf 0 /юе 'хЗйшШШШШШШШШ ¡^^стмммжщ

- 0.S)3у 0,5 plllllll ■1 11111111 1

Рис. 5

4. Решим неравенство 2 tg t + ctg2 t - 2 ctg t - 4 < 0. Введем обозначения х = ctg t, у = tg t и приведем неравенство к виду, удобному для построения графика: у < -(x - 1)2 + 2,5.

Гy <-(x -1)2 + 2,5 Решим графически систему: s .

I ХУ =1

Этой системе удовлетворяют координаты точек гиперболы, попадающие в область решений неравенства у < -(x - 1)2 + 2,5 (рис. 6).

2,5 i il 1111 x= 1 , A\

А -90a v <" (я - 1 p2 +2.5 \

Рис. 6

Вернемся к введенному ранее обозначению у = tg t и выделим на оси тангенсов промежутки, состоящие из точек, чьи ординаты такие же, как и ординаты точек гиперболы, попадающие в область решений неравенства у < -(х - 1)2 + 2,5. Углы, которые составляют радиус-векторы точек, лежащих на отрезке АВ и на луче СЕ линии тангенсов, и являются решениями исходного неравенства: t е [-90°; -33°] или t е [18°; 67°]. Учитывая периодичность, получим: t е [-90° + 360° к; -33°+ 360° к] или t е [18° + 360° п; 67°+ + 360° п], где к е г, п е г.

Список литературы:

1. Вавилов В.В., Мельников И.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие. - М.: Наука, 1987. - 240 с.

2. Фальке Л.Я. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические материалы по математике. - изд. 3-е. - М.: Народное образование; Илекса; Ставрополь: Сервис школа, 2008. - 120 с.

3. Шарыгин И.Ф. Решение задач: Учебное пособие 10-11кл. - М.: Просвещение, 1994. - 335 с.