УДК 512.6
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОИЗВОДНОЙ GRAPHICAL METHOD FOR SOLVING MATHEMATICAL PROBLEMS USING A DERIVATIVE
Белеков А. А., студент Репницин И. С., студент Научный руководитель: Темербекова А. А, д-р пед. наук, профессор Физико-математический и инженерно-технологический институт ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск repnicin 16@gmail. com
Аннотация. В данной статье рассматривается определение и решения математических задач по теме производные.
Ключевые слова: производная, математика, задача.
Abstract. This article refines and solves mathematical problems on the topic of derivatives.
Key words: derivative, math, tasks, algorithm.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Алтай в рамках научного проекта № 20-413-040003 р_а.
Производные используются в большинстве математических задач и являются основой математики.
Определение. Пусть функция y = f(x) определена на некотором интервале, содержащим внутри себя некоторую точку х0. Приращение аргумента Дх - не выходит из нашего интервала. Найдем приращение Ду и составим отношение —, если существует предел этого отношения при Дх стремя-
Дх
щимся к нулю, то указанный предел называют производной функции y = f(x) в точке x0 и обозначают f'Cxo). ^
i.Y-0 Дх ^ ^^
Попробуем объяснить, что такое производная. На математическом языке: производная - предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. На физическом языке: производная - скорость изменения функции в точке x0. Давайте посмотрим геометрически графики трех функций и исследуем их взаимосвязь с производными (см. рисунок 1):
Какая из кривых растет быстрее? Первая кривая растет быстрее остальных. Мы смотрим, насколько круто идет вверх график функции. Другими словами - насколько быстро меняется ордината при изменении х. Одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной, т.е. может меняться быстрее или медленнее [2, с. 21].
Рисунок 1 - Графики трех функций
Производная на графике функции. Геометрический смысл производной Посмотрим, как же найти производную с помощью графиков функции (см. рисунок 2):
Рисунок 2 - Геометрический смысл производной функции
Посмотрим на наш график функции: Проведём в точке с абсциссой х0 касательную к графику функции. Касательная и график нашей функции соприкасаются в точке А. Нам надо оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого - тангенс угла наклона касательной.
Определение. Производная функции в точке х0 равна тангенсу угла наклона пии тельной, проведённой к графику функции в этой точке. F' (х0) = tg(a).
Угол наклона касательной выбирается как угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.
И так производная нашей функции равна:
АР
Г'Ш = =
Г Г
Итак, производная в точке х0 равна тангенсу угла наклона касательной, это геометрический смысл производной [2, с. 23].
Алгоритм нахождения производной функции у = ^х) представлен следующим: а) Зафиксировать значение х, найти ^х).
Б) Найти приращение аргумента х + Ах, и значение приращения функции ^х + Дх). в) Найти приращение функции Лу = ^х + Дх) - ^х). Г) Составить соотношение: Ау / Ах. Вычислить предел функции: Рассмотрим далее несколько задач: Задача 1. Найти производную функции: у = Зх. Решение: Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.
1) Для фиксированного значения х, значение функции у = 3х.
2) В точке х + Ах, у = ^х + Ах) = 3(х + Ах) = 3х+3Ах.
3) Найдем приращение функции: Ау = ^х + Ах) - ^х) = 3х +3 Ах -3х=3Ах.
4) Составим соотношение:
Иш —
5) Найдем предел функции:
Ответ: 1 '(*) = 3.
Задача 2. Найти производную функции у = 2х2 - х + 1. Решение: Будем пользоваться алгоритмом поиска производной. 1) Для фиксированного значения х, значение функции у = 2х2 - х + 1.
2) В точке x + Лх найдем значение функции:
y = f(x + Лх) = 2(х + Лх)2 - (х + Лх) + 1 = 2(х2 + 2хЛх + Лх2 ) - (х + Лх) + 1. Найдем приращение функции:
Лу = ^х + Лх) - ffc) = 2х2 + 4хЛх + 5Лх2 - (х + Лх) +1 - 2х2 + х - 1 = 4хЛх + 5Лх2 - Лх.
3) Составим соотношение:
Ау
|»= lim - - = lim (4х + 5 m - 1) = 4х - 1
Лх^Ь ¿ix
4) Найдем предел функции: Ответ: f '(х) = 4х - 1
Задача 3. Найти производную функции у = 5х2 Решение:
Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.
1) Для фиксированного значения х, значение функции у = 5х2
2) В точке х + Лх, у = ^х + Лх) = 5(х + Лх)2 = 5(х2 + 2хЛх + Лх2)
3) Найдем приращение функции:
Лу = ^х + Лх) - ffc) = 5х2 + 10хЛх + 5Лх2 - 5х2 = 10хЛх + 5Лх2
4) Составим соотношение:
Ау 10xAx+SAx2
Ах Ах
5) Найдем предел функции:
= 10х+5Ах
Ответ: f '(x) = 10x.
В методике преподавания математики [3, с. 283-284] важно при изучении производной рассматривать ее геометрический смысл в контексте с общим объемом содержания образования по разделу изучения производной в школьном курсе математики. Предтавленный алгоритмический подход [там же, с 188-189], поможет школьникам увидеть место представлнной темы в школьном курсе алгебры и начал анализа и реализовать межпредметные связи с другими школьными дисциплинами.
Библиографический список:
1. Лепехина, Т. А. Математика 10-11 классы. Пределы и производные. Теория и практика решения задач / Т. А. Лнрехина. - Москва : МЦНМО, 2009. - 153 с.
2. Лисичкин, В. Т. Производная и ее приложения в задачах / В. Т. Лисичкин. - Москва : Илекса, 2010. -160 с.
3. Темербекова, А. А. Методика обучения математике: учебное пособие для студентов высших учебных заведений / А. А. Темербекова, И. В. Чугунова, Г. А. Байгонакова. - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2013. - 352 с.
УДК 512
ПРОБЛЕМЫ И ТРУДНОСТИ ПРИ РЕШЕНИИ ШКОЛЬНИКАМИ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ CHALLENGES AND DIFFICULTIES IN SOLVING BY SCHOOLCHILDREN
OLYMPIAD TASKS Деев М. Е., канд. физ.-мат. наук, доцент Физико-математический и инженерно-технологический институт ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск mihdeev@mail.ru
Аннотация. В статье раскрываются причины слабого выступления учащихся Республики Алтай на региональном этапе XLVI Всероссийской математической олимпиады школьников.
Ключевые слова: нестандартная задача, математическая олимпиада, ошибки, методы решения, доказательство.