CC BY
1Том 2, выпуск 1
Горная порода - очевидная и невероятная
Войтеховский Юрий Леонидович1
Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена, Санкт-Петербург, Россия
В статье обращено внимание на то, что современная петрография не имеет теоретической концепции горной породы. Наглядное представление «горная порода - агрегат большого числа минеральных зерен» (сравним: минерал - совокупность большого числа атомов) в методологическом аспекте системно не состоятельно, в философском аспекте демонстрирует вульгарный материализм, чуждый теоретическому мышлению. Быстрый переход от структурного, собственно петрографического понимания горной породы к ее генезису - это, конечно, познание, но в рамках других (каузальной, генетической, эволюционной...) методологий и за счет иных (в первую очередь физики и химии) научных дисциплин. Между тем, средствами современной математики можно выразить ряд первичных истин о горной породе, если от морфометрии минеральных зерен (интересной, но вторичной) обратиться к их системным отношениям, но не к любым, а тоже к первичным, которых в горной породе не может не быть.
Ключевые слова', горная порода, минеральный вид и индивид, структура; простран-ствотопологическое, толерантное, измеримое, метрическое, коррелированное (ча-стично упорядоченное); случайная функция, автоморфизм.
The Obvious and Unbelievable Rock
Yuri L. Voytekhovsky
A.I. Herzen Russian State Pedagogical University, Saint-Petersburg, Russia
The article draws attention to the fact that modern petrography has no theoretical concept of rock. The visual representation "a rock is an aggregate of a large number of mineral grains" (compare: a mineral is a set of a large number of atoms) in the methodological aspect is systematically inconsistent, in the philosophical aspect demonstrates vulgar mate-
i__rialism, alien to theoretical thinking. The rapid transition from structural, proper petro-
graphic understanding of a rock to its genesis is, of course, cognition, but within the
ei-
1 ORCID 0000-0002-5380-9191
X Q_
framework of other (causal, genetic, evolutionary...) methodologies and at the expense of other (primarily physics and chemistry) scientific disciplines. Meanwhile, it is possible to express a number of primary truths about a rock by means of modern mathematics, if we turn from the morphometry of min eral grains (interesting, but secondary) to their systemic relations, but not to any, but also to primary ones, which cannot be absent in a rock.
Keywords: rock, mineral species and indi vidual, structure; topological, tolerance, measurable, metric, correlated (partly ordered) space; random function, auto morphism.
Введение
Петрография - одна из важнейших дисциплин в системе наук о Земле. Тем более странно, что она до сих пор не сформулировала теоретической концепции о горной породе, отстав в этом от минералогии (родившей кристаллографию как систему представлений об идеальном минерале) на полтора века. Мы настаиваем на этой категорической формулировке, поскольку «горная порода как агрегат большого числа минеральных зерен» -это не научная концепция, а лишь очевидная, физически удостоверяемая невооруженным глазом или с помощью микроскопа отправная точка для поиска такой концепции. Эта формулировка не есть концепция в той же мере, как если бы мы определили «минерал как сочетание большого числа атомов», что удостоверяется химическим анализом. Но поиски концеп-ции в истории этой науки были. К.Ф. Науманн сформулировал «закон агрегации минеральных индивидов» и идею «различных степеней агрегации » , признанные Н.И. Кокшаровым, надолго забытые, но возвращенные в обиход Н.П. Юшкиным. А. Харкер сожалел, что «петрология до сих пор не выработала никакой философской классификации горных пород <...> а использованная ниже (генетическая - Ю.В.) систематика должна рассматриваться как одно из соглашений. а не как принцип». Гениальный Е.С . Федоров, радикально преобразивший кристаллографию, не нашел в своей «Петрографии» подходящей математической концепции для горной породы, хотя для ее диагностики указал приоритет структуры над ми -неральным и химическим составами. Вероятно, дело в том, что этой кон -цепции (укажем ее далее) в математике того времени еще не было. Впрочем, все по порядку.
Из истории
«Агрегация и неопределенный размер индивидов. Индивиды ми -нерального царства отличаются от таковых органической природы среди многих прочих свойств в особенности тем, что свободное и полное образование форм является для них редчайшим случаем, в то время как они подчиняются господствующему закону агрегации и потому обычно обра -зуются в большом количестве друг около друга, друг на друге и один сквозь другого. <...> Отдельные индивиды появляются только в более или менее угнетенных или искалеченных формах, контуры которых определяются совершенно случайными и незакономерными контактными поверх -ностями, которые большей частью не имеют никакого отношения к тем кристаллическим формам, над созданием которых природа все же, в сущности. трудилась в каждом индивиде. <...> Еще одно отличие полностью
образованных индивидов одного и того же минерала от индивидов орга-нического мира состоит в том, что их абсолютный размер не связан ни с каким определенным средним нормальным размером, а колеблется в очень широких границах» (Naumann, 1859, с. 3, здесь и далее пер. нем. и англ. авт.).
Этим рассуждением выдающийся немецкий минералог К.Ф. Науманн указал, что в составе минерального агрегата (особенно большого, коим и является горная порода) минеральные индивиды не достигают идеаль-ных огранок, их формы «совершенно случайны». Тогда спрашивается: все еще пытаться узнать в них искаженные идеалы или пойти другим пу-тем? Акцент может быть разный.
«Различная степень агрегации. В результате схождения многих ин-дивидов образуются своеобразные агрегационные формы, которые, хотя и отличаются от кристаллических форм, но иногда ещё позволяют распо-знать некоторую закономерность. Первые формы, образованные непосредственно благодаря срастанию индивидов, мы называем агрегацион-ными формами 1-й степени. Но агрегация очень часто повторяется, в ре -зультате чего около или на ранее образованном агрегате формируются 2-й, 3-й, 4-й и т.д., при повторном составлении которых возникают агрегационные формы 2-й степени, ближайшими элементами которых являются не индивиды, а агрегаты 1-й степени. В результате ещё одного повторения агрегации агрегаты 2-й степени могут быть снова объединены в arpe -гаты, которые, следовательно, могли бы быть названы таковыми 3-й степени» (там же, с. 170).
Эта цитата показывает, что другого пути К.Ф. Науманн не увидел. Распознавание агрегатов разных степеней - это, по сути, превращение пространственных отношений «что на чем» во временные «что за чем». В целом эти рассуждения принял и привел в своем учебнике Н.И. Кокшаров (1863, с. 6-7). Уже в наше время отечественному читателю их возвратил из небытия Н.П. Юшкин (1984). К петрографии рассуждение К.Ф. Науман-на адаптировал Г. Розенбуш (1934), предложивший идеологию идиомор-физма-ксеноморфизма: идиоморфный минерал образовался до ксено-морфного. Сегодня известно, что это не всегда так, особенно в метаморфических горных породах.
«Классификация и номенклатура горных пород. Петрология до сих пор не выработала никакой философской классификации горных по -род. Далее, легко видеть, что не может быть создана никакая классификация , которая обладала бы определенностью и точностью, найденными в некоторых других областях науки. Математически точные законы химии и физики, которые придают индивидуальность минеральным видам, не по -могают нам в работе со сложными минеральными агрегатами и какой-то фундаментальный принцип <...> еще должен быть найден в петрологии. Горные породы различных типов часто связаны непрерывными перехо-
0. дами, так что никакая искусственная классификация с резкими разделительными границами не может истинно представлять факты природы.
Сегодня, следовательно, наилучшей систематикой является та, которая объединяет, насколько это возможно ради удобства описания, горные породы с общими свойствами, в первую очередь имея в виду те свойства, которые наиболее прямо зависят от важных генетических условий. Испо-льзованная ниже систематика должна рассматриваться как одно из согла-шений, а не как принцип» (Harker, 1908, p. 20).
Рассуждение А. Харкера лукавое: все классификации по определению имеют резкие разделительные границы; надо искать естественные, а не строить искусственные классификации; бессмысленно говорить о непре-рывных переходах между типами горных пород, не определив для них математически категорию структуры. Заметим, что «ниже использована» вполне современная генетическая классификация горных пород на абис-сальные, гипабиссальные, вулканические, осадочные- с дальнейшим де -лением по химическому и минеральному составу и структуре, и метамор-фические - с делением по типу метаморфизма.
Из приведенных цитат ясно, что классики минералогии и петрографии XIX века настойчиво искали общую структурную (агенетическую, догене-тическую) концепцию минерального агрегата, в том числе горной породы, на границе натурфилософии и точного знания. К.Ф. Науманн и Н.И. Кок-шаров видели нетривиальное содержание в «законе агрегации». Для ми -неральных индивидов это своего рода закон тяготения, недостает лишь его математического выражения. Об этом сожалел и кембриджский кпас-сик петрологии А. Харкер, ведь генетическая систематика - лишь удобное соглашение, а не «философская классификация». Для непрерывного многообразия горных пород он утверждает невозможность естественной классификации, которая только и могла бы «истинно представлять факты природы».
Из философии
Заглянем в философию, которую не случайно упомянул А. Харкер. В те годы не считалось зазорным обращаться за мудростью к философии, отвлекаясь от специальных научных проблем. Ныне она далеко отстоит от естественных наук.
«Гранит состоит, как известно, из кремня, кварца, абсолютной земли, упорствующей точечное™. из слюды - поверхности. развивающейся в противоположность, раскрывающейся точечности, момента горючести, содержащего в себе зародыш всех абстракций; и наконец, из полевого шпата - намечающейся нейтральности. <...> Смысл и дух процесса со -ставляет внутренняя связь, необходимое соотношение этих образова-ний , к которому последовательность ничего не прибавляет. Требуется по -знать всеобщий закон этой последовательности формаций, не прибегая к форме истории, - вот что существенно, вот что разумно и единственно интересно для понятия; надо познать в данной последовательности черты понятия. <...> Внутренняя связь существует в настоящем как рядополож-ность; и она должна зависеть от свойств, от содержания самих этих
образований. <...> Весь интерес заключается в том, что существует на -лично в этой системе различенных образований» (Гегель, 1975, с. 372-373).
Начало этой фразы нам уже не понять. Вероятно, она была понятна современникам Г. Гегеля, избравшим его в Общество естествоиспытателей Вестфалии за первый же курс лекций по «Философии природы». А вот то, что «смысл и дух процесса составляет внутренняя связь», которая «существует в настоящем как рядоположность» образований - это не что иное как современный системный подход и годится в качестве основания развиваемой далее концепции.
Концепция
В описании горных пород наступил момент, когда нужно ввести в рассмотрение математические конструкции, на языке которых только и можно перейти от зримого петрографического представления к понятию. Далее приводится цепочка таких конструкций. За строгими определениями отсылаем читателя к специальной литературе.
Множество. Это самый абстрактный уровень рассмотрения. Здесь следует определить, что мы считаем ее элементами, «атомами» горной породы. По общему мнению, это минеральные зерна (т.е. не их части и не агрегаты). Но не следует думать, что здесь все просто. При больших увеличениях микроскопа на контактах двух. чаще трех минеральных зерен
Рис.1 Граниты (1-5).
Фотографии автора
видны мелкие новообразования. Тогда соприкасаются ли видимые нами минеральные зерна? Этот вопрос отсылает нас к левкипп-демокритовым атомам и пустоте. Признаем, что и сегодня в начале описания горной породы на определенном масштабном уровне (при данном оптическом разрешении) мы должны постановить: что видим - то и есть горная порода с верно определенной видовой принадлежностью каждого минерального зерна и их межзерновыми контактами. Множество с явно определенными межэлементными отношениями - это пространство.
Кстати, насколько велико может быть это пространство? Замечательный мысленный эксперимент поставил Архимед, засыпав мир песком до 0. «сферы неподвижных звезд». «Есть люди, думающие, что число песчинок бесконечно. Я не говорю о песке в окрестностях Сиракуз и других местах
Сицилии, но о всем его количестве как в странах населенных, так и необи-таемых. <...> Есть числа, превышающие число песчинок, которые можно вместить не только в пространстве, равном объему Земли. <...> Число песчинок, заключающихся в шаре неподвижных звезд, предполагаемом Аристархом, будет меньше тысячи мириад чисел «восьмых»(1063 - Ю.В.). <...> Сказанное мною покажется, конечно, невероятным многим из тех, кто не изучал математики» (Архимед, 1932), Сегодня мы можем раздвинуть границы сферы в бесконечность и показать, что для ее заполнения понадо-бится счетная бесконечность песчинок - наименьшая из возможных (Кантор, 1985). Зачем это нужно? В минералогии и кристаллографии такое представление уже есть. Когда теоретический кристалл совмещают с со -бой при трансляции, он незаметно, но обязательно мыслится бесконечным -счетно-бесконечным, если строить его из ячеек Браве. И это не противоре-чит конечности реального кристалла, устремленного в бесконечность при росте. Теперь подобное представление есть и в петрографии.
Топологическое пространство. Эта конструкция придумана мате -матиками, чтобы обосновать понятие непрерывности и понять устройство прямой, плоскости, пространства... Но общее определение применимо к любому множеству. Здесь важно определить, какие мыслительные теоретико-множественные ма-нипуляции с минеральньI-ми зернами разрешены в пределах горной породы. Важно, что на любом множестве можно задать две крайние топологии - при -митивную (тривиальную) и дискретную, Первая -когда множество (горная порода, берется целиком , без выделения частей. Это именно то, что геолог называет терми-
нами «штуф», «образец», «проба», что делает каменщик, когда выкладывает стену или мостовую... Вторая - множество всех подмножеств исход -ного множества (булеан). В этом случае минеральные зерна образуют «базу топологии». Булеан является «алгеброй», она встретится нам далее . Замечательно, что эти конструкции минералоги уже используют, того не подозревая. Когда определяют минералы под микроскопом - работают в базе топологии. Если объединяют минеральные зерна в ассоциации (па -рагенетические, мономинеральные... - любые) - работают в топологии. Но
Рис.2. Мигматиты (мигматизированные гнейсы) (6-11).
Фотографии автора
вот вопрос: можно ли определить для горных пород содержательную топологию в зазоре между примитивной и дискретной? Есть основание полагать, что нам нужна именно дискретная топология. И тогда заметим, что булеан счетно-бесконечного множества имеет мощность континуума. В теории кристалла такая структура не используется.
В истории отечественной геологии нам известны лишь две работы в этом направлении. «Сущность проблемы, по-видимому, состоит в том, чтобы обнаружить такие математические структуры и алгебры, которые были бы изоморфны геологическим системам, т.е, позволили бы их опи-сывать на математическом языке» (Косыгин, Соловьев, 1969, с. 16). «Фактом является отсутствие в настоящее время достаточно мотивированно -го и конструктивного общего определения понятия горной породы. <...> Классическая трактовка горной породы как природного минерального агрегата <...> может считаться системно состоятельной. (Увы, не может. Не ясно, как из минеральных зерен формируется горная порода - система со структурой. Ведь последняя еще не определена. - Ю.В.) Но без дополнительной расшифровки она мало конструктивна... <...> Формулировку об -щей модели происхождения горной породы, по-видимому, будет целесо-образно связать прямо с выяснением стержневого вопроса о том, что же в принципе необходимо и достаточно, чтобы могла появиться горная поро-да любого существующего типа (не в смысле механизмов и условий обра -зования, а как феномен - Ю.В.), Весьма конструктивной в этом смысле представляется обобщенная модель воспроизведения» (Белоусов, 1987, с. 2, 3, 7).
Если мы угадали конструкцию «пространство с дискретной топологи -ей», то она позволяет объяснить отсутствие правильных форм для геологических тел, Из 230 пространственных групп симметрии для кристалли-ческих структур строго выводятся 32 точечные группы для внешних форм кристаллов (как фактор-группы по подгруппам трансляций). Для горных пород такой выводимости внешней формы из внутренней организации нет , Дискретная топология лабильна и допускает любую внешнюю фор -му, предоставляемую средой (трещины для жил и даек, зоны отслоения для силлов и лакколитов, и т.д.)
Пространство толерантности, В любой системе первичны эле -менты, Но в теории систем обосновано, что ее специфику и сложность оп-ределяют именно межэлементные отношения. В горных породах фундаментальных отношений два (с отрицаниями - четыре): логическое (принад-лежать / не принадлежать одному виду) и пространственное (контактиро-вать / не контактировать). С точки зрения логических свойств (рефлексив-ности, симметричности, транзитивности, их отрицаний и композиций) отно-шение «принадлежать к одному виду» - эквивалентность и разбивает (классифицирует) минеральный агрегат на мономинеральные ассоциации. Отношение «не контактировать» - толерантность и определяет горную породу как пространство толерантности. Отношение «не контактировать» содержит две возможности: «не контактировать с другим зерном» и «не контактировать с собой». Первое определено выше как толерантность. Второе - эквивалентность и ведет к разбиению горной породы на отдельные
х
о_
зерна. Отношение «непустого пересечения» для минеральных агрегатов - еще одна толерантность и определяет ту же горную породу как пространство толерантности иным способом. Наконец, в горных породах с «пойкилитовыми структурами» включения хадакристаллов в ойкокри-сталлы - это отношения строгого порядка, порождающие локальные структуры. В отечественной геологии об этом писал только Ф.А. Усманов (1977). Теория популярно изложена Ю.А. Шрейдером (1971).
Измеримое пространство. Меры как вещественные, неотрицатель -ные , монотонные и аддитивные функции задаются на элементах множе-ства. В основании меры лежит конструкция, обозначенная выше как алгебра. Уже поэтому без нее не обойтись. Для горных пород меры применялись всегда: объемные и весовые доли минералов в штуфах, площади сечений в шлифах. Возможны не столь очевидные меры и полумеры (статистическая энтропия со свойством полуаддитивности, при этом термо-динамическая энтропия - мера). Не всякая численная характеристика -мера вопреки употреблению слова «измерять». Температура тела, давление газа - не меры, хотя мы их измеряем.
Метрическое пространство. Метрика - синоним расстояния. Три ее аксиомы (неотрицательность, симметричность и «неравенство треугольника») известны из школьного курса. Но определять расстояния между минеральными зернами в горной породе - совсем не то, что определять евклидово расстояние между точками. Пример корректной метрики -минимальное число бинарных границ на непрерывном пути из одного зер-на в другое. Как правило, кратчайший путь бывает не единственным. Минимаксная метрика Ф. Хаусдорфа позволяет определять расстояния между любыми ассоциациями минеральных зерен в пространстве горной по -роды. Метрики можно задать и через меры множеств (мера их объединения минус мера пересечения, здесь под мерой можно понимать число зерен в агрегате, их объем, площадь в шлифе...). В этом случае метрика определена, а кратчайший путь из одного агрегата в другой - нет. Иначе говоря, все эти метрики неевклидовы, следовательно, горная порода - неевклидово пространство. Геометрия горной породы с разными метриками -открытое поле исследований.
Вероятностное пространство. Когда мы смотрим на горную породу в естественном залегании, то вполне понимаем, что в ее формирова-нии на фоне закономерностей разного порядка имели место и флуктуа-ции . «Весь интерес заключается в том, что существует налично в этой си -стеме различенных образований. Это очень обширная эмпирическая нау-ка. Все в этом трупе не может быть охвачено понятием, ибо свою роль сыграл здесь случай» (Гегель, 1975, с. 373). И тогда все в этой системе -наличие минерального зерна данного вида в этой точке пространства, ми -неральных зерен именно этих видов на данном контакте - можно рассматривать с некоторой вероятностью. Здесь работает «пространственно распределенная случайная функция», также известная в геостатистике под именем «индикаторной функции».
Коррелированное пространство. Взяв ту или иную метрику и воспользовавшись индикаторами, можно рассчитать пространственные ко -вариограммы минеральных индивидов или их агрегатов в пространстве горной породы, тем самым скоррелировав их взаимное положение. Теория индикаторного кригинга изложена в работах (Rivoirard, 1994; Armstrong, 1998). С помощью этого математического аппарата показана частичная упорядоченность норитов и габбро-норитов (т.е. коррелируемость пироксенов и полевых шпатов в них на расстояниях не более, чем две оболочки зерен) Федорово-Панских тундр, Кольский полуостров (Voytek-hovsky, Fishman, 2003).
Причина таких корреляций в магматических горных породах понятна. «Рассмотрим теперь кристаллизацию участка гомогенного расплава. <...> Пусть кристаллизация идет так, что выделяющиеся кристаллы не претер-певают взаимного смещения. <...> В этом случае <...> при росте I происхо-дит в окрестности I обеднение расплава веществом, формирующим I. <...> Вследствие этого рядом с I скорее всего появится зерно минерала не I» (Вистелиус, 1980, с, 241), Выше показано, что логическое отношение «не контактировать» выявляет в горной породе пространство толерантности. В приведенной схеме кристаллизации оно реализуется через «отталкивание» минеральных зерен одного вида.
Автоморфизм. Сказанное о множестве и пространствах в полной мере применимо к любой горной породе. Но, создав необходимый базис, мы только подошли к определению, отталкивающемуся от эмпирических представлений о горной породе и ведущему к понятию петрографической структуры. «Понятие есть, собственно, только там, где в многоразличных абстрактных определениях найдено необходимое их единство. Понятие и есть реальное бытие конкретного целого в сознании» (Ильенков, 2017, с. 210). Определение: минеральный агрегат -автоморфизм минеральных видов, реализованный через контакты минеральных индивидов.
{mi} 1 —{mi }nv
Представляется, что это и есть «замысел природы». В горной породе контактируют минеральные зерна разных видов, Через контакты минеральных индивидов минеральные виды отображаются друг в друга, вся горная порода - в себя. Это подсказывает идею, что корректно определенная «петрографическая структура» должна быть инвариантом относительно цветных преобразований (перестановок, переименований) минеральных зерен в породе. Ранее автоморфизмы использованы (в форме графов) на уровне минеральных видов для описания текстур гранитоидов Восточного Забайкалья (Миронов, 1975, с. 161-201) и на уровне минеральных индивидов для описания небольших друз (Маликов, 1985, 1987) и структуры выборгского гранита рапакиви (Кобзева, 2002).
^ Петрографическая структура. Проблема корректного определе-
0. ния петрографической структуры состоит в том, чтобы в организации горной породы, схваченной статистикой межзерновых контактов, выделить
устойчивый момент. Минеральные зерна в горной породе контактируют по два (по поверхности), три (по ребру) и четыре (в точке). Простейшее решение проблемы состоит в том, чтобы описать организацию горной породы в форме статистики бинарных контактов:
X Pijmimj
], <1
< [т 1 m2 ... mn ]
Р11 P21
P12
P22
pn 1 pn2
P1n
P2n
Pnn
m 1 m 2
тп
< [Е].
В этом уравнении матрица Р^ определяет коэффициенты л-мерной квадратичной формы. Ее тип вполне определен диагональной формой матрицы, которую естественно считать алгебраическим выражением петрографиче-ской структуры. Тем самым систематика л-минеральных петрографических структур сведена к таковой для п-мерных квадратичных поверхностей и опробована в работах автора (Войтеховский, 1995, 2000). Намного более сложный подход задействует кубические формы (Манин, 1972), самый общий - формы 4-го порядка. Такой теории в современной алгебре нет. Заметим, что предложенный подход решает «проблему Харкера» о границах классификации: непрерывное изменение вероятностей р^ не противоречит резким границам, разделяющим топологически разные квадратичные поверхности (структурные индикатрисы: эллипсоиды, гиперболоидь|).
Заключение
Автор не утверждает, что предложенный абрис теории - наилучший, хотя определение «горная порода - автоморфизм минеральных видов, реализуемый через контакты минеральных индивидов» не теряет ничего из того , что мы знаем о минеральных агрегатах в понятии, безотноситель-но к их онтогении. Систематика л-минеральных петрографических структур, изоморфная таковой п-мерных квадратичных поверхностей - что может быть математически более прозрачным, к тому же решающим петрографическую «проблему Харкера»?
Исторически по-прежнему интересен вопрос, почему петрография отстала от минералогии в разработке теоретической концепции (кристаллографии) на полтора столетия. Осмысливая биографию Е.С. Федорова, увенчавшего кристаллографию теорией пространственных групп симмет-рии, написавшего ряд статей по аналитической и проективной геометрии, но при этом издавшего весьма традиционные «Основания петрографии» (Федоров, 1897), приходим к выводу, среди математических концепций своего времени его оригинальный ум не нашел той, которую можно было положить в основания петрографии. Сегодня на эту роль подходит концепция дискретного топологического пространства.
Источники и литература
1. Архимед. Исчисление песчинок. Псаммит. М.-Л.: Гостехиздат, 1932. 104 с.
2. Белоусов А.Ф. К общей концепции горной породы. Препринт. Новосибирск: ИГиГ СО АН СССР, 1987. 52 с.
3. Вистелиус А.Б. Основы математической геологии. Л.: Наука, 1980. 389 с.
4. Войтеховский Ю.Л. Приложение теории квадратичных форм к проблеме классификации структур полиминеральных горных пород II Известия ВУЗов. Геология и развед-ка. 1995. № 1. С. 32-42.
5. Войтеховский Ю.Л. Количественный анализ петрографических структур: метод структурной индикатрисы и метод вычитания акцессориев II Известия вузов. Геология и разведка. 2000. № 1. С. 50-54.
6. Гегель Г. Энциклопедия философских наук. Т. 2. Философия природы. М.: Мысль, 1975. 695 с.
7. Ильенков Э. К вопросу о понятии II От абстрактного к конкретному. М.: Канон+, 2017. С. 208-223.
8. Кантор Г. Труды по теории множеств. М.: Наука, 1985. 431 с.
9. Кобзева Ю.В. Количественное изучение строения минеральных агрегатов на основе анализа их комбинаторно-топологического подобия // Записки ВМО. 2002. № 6. С. 96-110.
10. Кокшаров Н.И. Лекции минералогии. СПб.: Императорская Академия наук, 1863. 226 с.
11. Косыгин Ю.А., Соловьев В.А. Статические динамические и ретроспективные систе-мы в геологических исследованиях// Известия АН СССР. Серия геологическая. 1969. №6. С. 9-17.
12. Маликов А.В. О моделировании закономерностей соприкосновения зерен в мине -ральных срастаниях // Доклады АН СССР. 1985. Т. 280. № 4. С. 878-880.
13. Маликов А.В. Эффект понижения комбинаторно-топологической симметрии вагре -гатах кристаллов // Доклады АН СССР. 1987. Т. 293. № 4. С. 868-871.
14. Манин Ю.И. Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика. М.: Наука, 1972. 304 с.
15. Миронов Ю.П. Теоретико-множественные модели гранитоидов. М.: Наука, 1975. 228 с.
16. Розенбуш Г. Описательная петрография. Л.; М.: Горгеонефтеиздат, 1934. 720 с.
17. Усманов Ф.А. Основы математического анализа геологических структур. Ташкент: Изд. ФАН, 1977. 206 с.
18. Федоров Е.С. Основания петрографии. СПб.: Типография П.П. Сойки на, 1897. 236 с.
19. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М.: Наука, 1971. 255 с.
20. Юшкин Н.П. История минералогии и эволюция фундаментальных минералогиче-ских идей. Препринт. Сыктывкар: Коми филиал АН СССР, 1984. 52 с.
21. Armstrong М. Basic linear geostatistic. Heidelberg: Springer Verlag, 1998. 149 p.
22. HarkerA. Petrology forstudents. An intro duction to the study of rocks underthe microscope. New York: MacMillan & Co, 1895. 306 p.
23. Naumann C.F. Elemente derMineralogie. Leipzig: Verlag von W. Engelmann, 1859. 820 p.
24. Rivoirard J. Introduction to disjunctive kriging and non-linear geostatistics. Oxford: darendon Press, 1994. 181 p.
25. Voytekhovsky Yu.L., Fishman M.A. Rock kriging with the micros cope //Math. Geol. 2003. V 35. N 4. P. 451-458.
References
1. Arkhimed. Ischisleniye peschinok. Psammit. Moscow-Leningrad, Gostekhizdat, 1932. 104 p. (In Russian).
2. Armstrong M. Basic linear geostatistic. Heidelberg, Springer Verlag, 1998. 149 p.
3. Belousov A.F. Kobshcheykontseptsiigornoyporody. Preprint. Novosibirsk: IGiG SO AN SSSR, 1987. 52 p. (In Russian).
4. Fedorov E.S. Osnovaniya petrografii. Saint Petersburg, Tipografiya P.P. Soykina, 1897. 236 p. (In Russian).
5. Gegel' G. Entsiklopediya filosofskikh nauk. Vol. 2. Filosofiya prirody. Moscow, Mysl', 1975. 695 p. (In Russian).
6. Harker A. Petrology for students. An introduction to the study of rocks under the microscope. New York: MacMillan & Co, 1895. 306 p.
7. Il'yenkov E. K vo prosu o ponyatii. Ot abstraktnogo k konkretnomu. Moscow, Kanon+, 2017, p. 208-223. (In Russian).
8. Kantor G. Trudypo teorii mnozhestv. Moscow, Nauka, 1985. 431 p. (In Russian).
9. Kobzeva Yu.V. Kolichestvennoye izucheniye stroy eniya mineral'nykh agregatov na os-nove anal iza ikh kombinatorno-topologicheskogo podobiya. Zapiski VMO, 2002, no. 6, p. 96-110. (In Russian).
10. Koksharov N.I. Lektsii mineralogii. Saint Peters burg, Impera torskaya Akademiya nauk, 1863. 226 p. (In Russian).
11. Kosygin Yu.A., Solov'yevV.A. Staticheskiye dinamicheskiye i retrospektivnyye si-stemy v geologicheskikh issledovaniyakh. Izvestiya AN SSSR. Seriya geologicheskay, 1969, no. 6, p. 9-17 (In Russian).
12. Malikov A.V. O modeli rovanii zakonomernostey soprikosnoveniya zeren v mineral'nykh srastaniyakh. Doklady AN SSSR, 1985, vol. 280, no. 4, p. 878-880. (In Russian).
13. Malikov A.V. Effekt ponizheniya kombinatorno-topologicheskoy simmetrii v agregatakh kristallov. Doklady AN SSSR, 1987, vol. 293, no. 4, p. 868-871. (In Russian).
14. Manin Yu.I. Kubicheskiye formy: algebra, geometriya, arifmetika. Moscow, Nauka, 1972. 304 p. (In Russian).
15. Mironov Yu.P. Teoretiko-mnozhestvennyye modeli granitoidov. Moscow, Nauka, 1975. 228 p. (In Russian).
16. Naumann C.F. Elemente der Mineralogie. Leipzig, Verlag von W. Engelmann, 1859. 820 p.
17. Rivoirard J. Introduction to disjunctive kriging and non-linear geostatistics. Oxford, Clarendon Press, 1994. 181 p.
18. Rozenbush G. Opisatel'naya petrografiya. Leningrad; Moscow, Gorgeonefteizdat, 1934. 720 p. (In Russian).
19. Shreyder Yu.A. Ravenstvo, skhodstvo, poryadok. Moscow, Nauka, 1971. 255 p. (In Russian).
20. Usmanov F.A. Osnovy matematicheskogo analiza geologicheskikh struktur. Tashkent, Izd. FAN, 1977. 206 p. (In Rus sian).
21. Vistelius A.B. Osnovy matematicheskoy geologii. Len i ngrad, Nauka, 1980. 389 p. (In Rus sian).
22. Voytekhovsky Yu.L. Prilozheniye teorii kvadratichnykh form k probleme klassifikatsii struktur polimineral'nykh gornykh porod. Izvestiya VUZov. Geologiya i razvedka, 1995, no. 1, p. 32-42. (In Russian).
23. Voytekhovsky Yu.L. Kolichestvennyy analiz petrograficheskikh struktur: metod struktur-noy indikatrisy i metod vychitaniya aktsessori yev. Izvestiya vuzov. Geologiya i razvedka, 2000, no. 1, p. 50-54. (In Russian).
24. Voytek hovsky Yu.L., Fishman M.A. Rock kriging with the microscope. Math. Geol., 2003, vol. 35, no. 4, p. 451-458.
25. Yushkin N.P. Istoriya mineralogii i evolyutsiya fundamental'nykh mineralogicheskikh idey. Preprint. Syktyvkar, Komi filial AN SSSR, 1984. 52 p. (In Russian).
Статья поступила в редакцию 01.02.2024
