CC BY
149
УДК 51-72 + 539 + 539.5
Гомогенизация многоуровневых многокомпонентных гетерогенных структур для определения физико-механических характеристик
композиционных материалов
А.П. Соколов1, А.Ю. Першин1, А.В. Козов1, Н.Д. Кириллов2
1 Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия 2 Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, Москва, 125047, Россия
Предложена математическая модель многомасштабной многокомпонентной гетерогенной структуры, предназначенная для описания микроструктур армирования композиционных материалов. Модель обладает иерархической структурой и основана на концепции многомасштабной многокомпонентной гетерогенной структуры с частично определенными характеристиками компонентов. Модель может быть использована при разработке вычислительных процедур оценки конкретных эффективных характеристик (упругих, тепловых, прочностных и прочих) композитов в рамках моделей механики сплошных сред, а также в рамках специальных моделей механики наномодифицированных материалов. На основе разработанной модели был формализован метод реверсивной многомасштабной гомогенизации численной оценки эффективных физико-механических характеристик композиционных материалов. Метод реверсивной многомасштабной гомогенизации был реализован с использованием языка программирования C++ и применения разработанного подхода на основе понятий теории графов. Новый подход был интегрирован в распределенную вычислительную систему GCD. В работе представлены примеры применения модели на основе введенного понятия многомасштабной многокомпонентной гетерогенной структуры для описания полимерных композиционных материалов с Ш-армированной структурой на основе эпоксидной матрицы и полых пористых волокон, керамоматричных дисперсно-армированных высокопрочных композиционных материалов, модифицированных углеродными нанотрубками, и катализатора алкиро-вания бензола этиленом на основе цеолита. С использованием модели развит обобщенный подход к описанию гетерогенных структур, включая композиционные материалы с учетом физико-механических характеристик компонентов и структуры в целом.
Ключевые слова: модели гетерогенных структур, композиционный материал, иерархические структуры, моделирование материалов, многомасштабная гомогенизация, нанокомпозит DOI 10.24411/1683-805X-2018-15010
Homogenization of multilevel multicomponent heterogeneous structures for determining the physical and mechanical characteristics of composites
A.P. Sokolov1, A.Yu. Pershin1, A.V. Kozov1, and N.D. Kirillov2
1 Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia 2 Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, Moscow, 125047, Russia
A mathematical model of a multiscale multicomponent heterogeneous structure has been proposed for the description of composite reinforcement microstructures. The model has a hierarchical structure and is based on the introduction of the concept of a multiscale multicomponent heterogeneous structure with partially defined characteristics of the components. The model can be used both in the development of computational procedures for evaluating specific effective characteristics (elastic, thermal, strength, etc.) of composites within continuum mechanics models, and within special models of the mechanics of nanomodified materials. The proposed model was used to formalize the method of reversible multiscale homogenization of the numerical values of the effective physical and mechanical characteristics of composites. The reversible multiscale homogenization method was implemented using the C++ programming language and a special approach developed on the basis of the graph theory concepts. The new approach was integrated into the GCD Distributed Computational System. This paper presents application examples of the model based on the introduced concept of a multiscale multicomponent heterogeneous structure to describe polymer composite materials with a 1D-reinforced structure on the basis of an epoxy matrix and hollow porous fibers, high-strength particle-reinforced ceramic matrix composites modified by carbon nanotubes, and a zeolite-based catalyst for the alkylation of benzene with ethylene. The model outlined a generalized approach to the description of heterogeneous structures and composite materials, including the physical and mechanical characteristics of ramponents and structure as a whole.
Keywords: heterogeneous structure models, composite material, hierarchical structures, material modeling, multiscale homogenization, nanocomposite
© Соколов A.n., Першин А.Ю., Козов A.B., Кириллов Н.Д., 2018
1. Введение
При проектировании конструкции должна быть решена задача оценки запаса прочности под действием эксплуатационной нагрузки. В современном проектировании технических объектов для решения задач прочности конструкций используются автоматизированные системы инженерного анализа (computer-aided engineering (CAE)) ANSYS, ABAQUS, MSC NASTRAN, LS-DYNA и пр. [1]. В основе многих CAE-систем, применяемых для решения задач о напряженно-деформированном состоянии при действии механических и/или тепловых нагрузок, включая задачи анализа запасов прочности, лежит применение метода конечных элементов.
Применение композиционных материалов в конструкциях обычно обусловлено невозможностью применения традиционных конструкционных материалов при заданных технических требованиях к массе, прочности, термостойкости и прочим свойствам конструкции в целом. Часто проектирование композитной конструкции сопряжено с проектированием самих композиционных материалов, которые предполагается применять для изготовления отдельных элементов конструкции [2]. В указанном случае численный анализ прочности композитных конструкций представляет особую сложность в связи с отсутствием данных о физико-механических характеристиках применяемых композиционных материалов.
В работе рассматривается одна из основных задач проектирования новых композиционных материалов — оценка их эффективных физико-механических характеристик. Понятие эффективных характеристик вводится в рамках теорий эффективных сред [3], а их вычисление осуществляется с использованием методов гомогенизации [4, 5]. Основой методов гомогенизации является «замена» неоднородной гетерогенной среды на однородную с новыми характеристиками, называемыми эффективными, которая в сравнении с исходной при приложении нагрузки ведет себя схожим образом. С точки зрения моделей механики сплошной среды методы гомогенизации предполагают замену определяющих соотношений (закона Гука, закона Фурье и пр.) с быст-роосциллирующими параметрами для гетерогенной среды на определяющие соотношения, зависящие от средних (эффективных) параметров однородной эффективной среды.
Наиболее важными с прикладной точки зрения и исследуемыми с помощью методов гомогенизации характеристиками композиционных материалов являются упругие, упругопластические, тепловые, прочностные, вязкие, электрические и пр. После их оценки возможно численное решение задач механики композитных конструкций с помощью применения метода конечных элементов с использованием CAE-систем.
Для корректной численной оценки характеристик композиционных материалов необходимо учитывать
следующие наиболее важные особенности процесса их проектирования:
- характеристики отдельных компонентов обычно известны частично либо неизвестны (для их предварительного определения могут использоваться методы решения задач обратной гомогенизации [6, 7]);
- применяемая модель материала должна учитывать параметры технологии изготовления композитных элементов конструкции (температурные режимы и режимы отверждения, концентрации наполнителей, использование аппретирующих веществ и пр.), которые влияют на конечные характеристики готового композитного изделия [2, 8-11];
- в процессе изготовления возможно появление дефектов, пор, в случае применения полимерных связующих за счет свойств усадки при отверждении возможно получение остаточных напряжений.
Важной практически значимой задачей является автоматизированное проектирование композиционных материалов с заранее заданными физико-механическими характеристиками [12]. Для решения указанной задачи в общем случае должна быть создана достаточно универсальная программная система, в основе которой должны лежать достаточно универсальный метод гомогенизации и соответствующая универсальная модель материала, позволяющие учитывать указанные особенности явно или неявно.
Несмотря на активное развитие вычислительной техники и огромное множество проведенных исследований в области применения различных методов гомогенизации для оценки физико-механических характеристик композиционных материалов (обзор работ представлен в [4, 13, 14]), известных авторам многофункциональных систем численной оценки эффективных характеристик композиционных материалов немного [1], например Digimat, MCQ, Fibersim, Helius, EVEN. Все указанные системы часто являются несамостоятельными программными продуктами, интегрируемыми в известные CAE-системы, и требуют специальных знаний для их использования. Многие проектные организации разрабатывают модули расширения в используемые ими CAE-системы (в том числе открытые CAE, например OpenFoam, SALOME и др.). Это приводит к необходимости при проектировании новых композиционных материалов в большем объеме проводить экспериментальные исследования, обеспечивает решение лишь частных задач численного анализа конкретных характеристик композиционных материалов, приводит к сложностям сопровождения разработанных модулей расширения [15], требованиям верификации и валидации применяемых моделей.
Исторически вычислительные методы микромеханики композиционных материалов разрабатывались для решения задач прямой гомогенизации (оценка эффективных свойств композиционных материалов на основе
свойств отдельных компонентов) [3], затем для решения задач обратной гомогенизации (оценка характеристик компонентов по известным эффективным свойствам) [12] и, наконец, для решения задач проектирования композиционных материалов [16, 17]. Методы решения обратных задач и задач проектирования композиционных материалов активно развиваются сейчас, что стало возможным с развитием вычислительной техники.
Известным, достаточно универсальным и широко применяемым численным методом гомогенизации для определения эффективных характеристик композиционных материалов является метод асимптотического осреднения [18] для решения задач гомогенизации при исследовании упругих, вязкоупругих и упругоплас-тических характеристик композиционных материалов [19]. Анализ погрешностей метода асимптотического осреднения был сделан в работе [20]. Однако на практике основными методами определения различных эффективных характеристик композиционных материалов (прочностных, упругих, теплофизических, электростатических и пр.) продолжают оставаться экспериментальные исследования [8] и приближенные аналитические и эмпирические зависимости [8-11].
В настоящей работе предложена достаточно универсальная структурная модель гетерогенного материала, которая позволяет создать достаточно универсальную программную реализацию и может быть использована в различных методах гомогенизации. Представлено формальное описание структурной математической модели многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры (ММГС), а также введены вспомогательные определения. Предложенная модель стала развитием моделей, представленных в работах [21, 22], и метода асимптотического осреднения для решения практических задач [2, 23, 24].
2. Постановка задачи
Одной из целей построения математической модели многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры стала необходимость разработки формального описания метода реверсивной гомогенизации [25], применяемого для оценки эффективных характеристик композиционных материалов и их компонентов при учете неполного множества исходных данных. Модель многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры позволила описывать произвольные композиционные материалы со сложной многокомпонентной иерархически вложенной микроструктурой.
Основной задачей было обеспечение возможности автоматизированного проектирования новых композиционных материалов с заранее определяемыми характеристиками на основе создания устойчивой вычислительной процедуры определения эффективных физико-механических характеристик проектируемых компози-
ционных материалов при учете недостатка исходных данных.
3. Математическая постановка
3.1. Базовые понятия
Введем следующие базовые понятия. Определение 1 (множество отрезков):
T = \
[vmin' ~1
Vv е R v e[vn
x ]: vm
v ■ < V
1 mm ~ max^
: v ■ < v < v
mm ~ max
Cl
(1)
Определение 2 (множества именованных входных параметров):
'§ = {(а, V): (а, V)е©хМ},
= {(а, v):(a, V) е©хФ}, (2)
& = {(а, V): (а, V) е©хФ}, Ф= М иТ, где для всех множеств (а, V) элемент а е© называется ключом, V — значение, соответствующее ключу а; © — множество текстовых наименований (ключей); Ф = К и {0} — множество действительных чисел, дополненное одним элементом 0, указывающим неопределенность значения; § — множество определенных именованных входных параметров; I — множество не-доопределенных именованных входных параметров (очевидно, что § с I); М — дополненное множество именованных входных параметров.
Формально множества § , I и М являются моноидами [26] с нейтральным элементом {0} и бинарной ассоциативной операцией объединения по одинаковым значениям ключей. В информатике такие множества известны как словари данных. В рассматриваемой статье для указанных множеств имена параметров всегда текстовые и всегда определены, а значения либо являются действительными числами, либо не заданы. Замечание 1. Эквивалентные обозначения: (а, V) ^ а = V — именованный параметр, 0^ ? — неопределенное значение.
3.2. Многокомпонентные гетерогенные структуры
Определение 3. Пространством многокомпонентных гетерогенных структур (МГС) Й(Хп, N) с заданным числом компонентов N е N и заданным числом параметров п е N каждого компонента над пространством X будем называть следующее декартово произведение:
^(Хп, N) = |хП(Хп х В) ^х G, (4)
В = {0,1}, пе N Nе N где В — множество индикаторов типа компонентов многокомпонентных гетерогенных структур (0 — простой гомогенный компонент, 1 — составной гетерогенный компонент); G — множество всех возможных геометрий ячеек периодичности.
(3)
Замечание 2. Примеры пространств многокомпонентных гетерогенных структур:
^(§й, N) — пространство многокомпонентных гетерогенных структур с определенными параметрами компонентов,
, N) — пространство многокомпонентных гетерогенных структур с недоопределенными (5) параметрами компонентов,
Ми, N) — пространство многокомпонентных гетерогенных структур с дополненными значениями параметров компонентов. Определение 4. Многокомпонентной гетерогенной структурой будем называть элемент юх е ^(Хи, N).
Замечание 3. Свойства многокомпонентных гетерогенных структур: Vюх е ^(Хи, N) юх с Xй х{0,1},|юх| = N, юх = {с{а} = (с{а}, Ь{а}, я): со{а} е Xй,
Ь{а} е {0,1}, я е G, а = 1,..., N}, (6)
со{а} = (со{а},...,й{а},..., сойа})т,
со= (а{а}, vlf) е X, ] = 1,..., и, где ю{а} — вектор параметров компонента а рассматриваемой многокомпонентной гетерогенной структуры; N — количество компонентов многокомпонентной гетерогенной структуры; п — количество параметров каждого компонента многокомпонентной гетерогенной структуры; Ь{а} — индикатор типа компонентов многокомпонентной гетерогенной структуры (см. определение 3); g — геометрия представительного элемента объема (для метода асимптотического осреднения — ячейки периодичности) исследуемой гетерогенной структуры.
Для наглядности будем также использовать следующее обозначение:
со{а} = ((а{а} = ^а}),(а*а} = ^а}),...,
(а{а} = vlf х.ма = е}»т.
Замечание 4. Примеры многокомпонентной гетерогенной структуры:
X = § ^ ю§ е ^(§й, N) — многокомпонентная гетерогенная структура с определенными параметрами компонентов, X = I ^ ю1 еА( Iй, N) — многокомпонентная гетерогенная структура с недоопределенными (7) параметрами компонентов,
X = М ^ юм ей( Ми, N) — многокомпонентная гетерогенная структура с дополненными значениями параметров компонентов.
3.3. Обобщение понятия пространства многокомпонентных гетерогенных структур на многомасштабный случай
Обобщение понятия пространства многокомпонентных гетерогенных структур на многомасштабный слу-
чай возможно с использованием следующих подходов:
1) на основе формального рекурсивного определения: X ^^, N),
2) на основе определения понятия масштабного уровня и алгоритма нумерования компонентов вложенных многокомпонентных гетерогенных структур, входящих в состав компонентов многокомпонентных гетерогенных структур верхних масштабных уровней.
Первая альтернатива сопряжена с необходимостью модификации определений 3 и 4 и последующей сложной программной реализации. Таким образом, была выбрана вторая альтернатива, которая позволяет использовать определения 3 и 4 в неизменном виде.
Замечание 5 (многомасштабный компонент многокомпонентной гетерогенной структуры). Согласно определению 3 юх с Xй х {0,1}, но с{а} е Xй х{0,1} = = , 1), т.е. компоненты многокомпонентной гетерогенной структуры сами по себе являются частным случаем многокомпонентной гетерогенной структуры — многокомпонентные гетерогенные структуры могут состоять из других многокомпонентных гетерогенных структур. В таком случае будем говорить о многомасштабной многокомпонентной гетерогенной структуре (формальное определение представлено далее).
Замечание 6. Везде далее будем полагать, что X е {§, I, М} и, если не оговорено специально, X = §.
3.4. Специальная нумерация компонентов многокомпонентной гетерогенной структуры
Определение 5. Пусть дана многокомпонентная гетерогенная структура юх е , N). В рамках определения 3 номер компонента ае N будем называть глобальным номером компонента многокомпонентной гетерогенной структуры.
Обозначение 1. Пусть формально ^ е — номер масштабного уровня компонента многокомпонентной гетерогенной структуры ю{а} е ю^ Чем 5 больше, тем масштабный уровень ниже (рис. 1). Масштабный уровень верхний, если 5 = 0.
Обозначение 2. Пусть ^е N — глобальный номер группы компонентов многокомпонентной гетерогенной структуры ю л с ю , входящих в состав рассматриваемой многокомпонентной гетерогенной структуры (рис. 1).
Замечание 7 (группа компонентов многокомпонентной гетерогенной структуры также является многокомпонентной гетерогенной структурой). Очевидно, что для любой многокомпонентной гетерогенной структуры юх е , N) любое подмножество ее компонентов определяет новую многокомпонентную гетерогенную структуру ю^ е , N5), где N5 < N.
Обозначение 3. Количество групп, сформированных на основе фиксированного количества компонентов конкретной многокомпонентной гетерогенной структуры ю е Q(Xи, N), будем обозначать М.
х ос = 1 ос = 2 ... а = 5 а = 6 ... ... ... а =15
1 Х=\ Х = 2 ... А, = 5 Х=\ Х = 2 Х = 3 Х=1 Х = 2 Х = 3 Х=1 Х = 2 Х=1 Х = 2
со«1* ш<2> со<3> со<4> ш{5> со<6> <DW ю{10} со«1'} ш{13> coi14> ш<15>
.V = 1 ^ 1 ФХ>2 s = 2 ^ 4 т7-4 5 = 3 ш ^ 1 (0х-3 s = 2 ^ \ <öx>5 s = 3
Рис. 1. Специальная нумерация компонентов многокомпонентной гетерогенной структуры
Определение 6. Пусть Хе N — локальный номер компонента многокомпонентной гетерогенной структуры ш{а} е шXс шX в группе Ъ, где Ъ — глобальный
X ъ
номер группы компонентов ш ' s на масштабном уровне 5 (рис. 1).
3.5. Операторы прямой и обратной гомогенизации параметров многокомпонентной гетерогенной структуры
Определение 7. Определим преобразования (операторы) } и (н N})-1 прямой и обратной гомогенизации параметров компонентов многокомпонентной гетерогенной структуры:
H{ N}: Q" (X n,N) ^Q5-1( X n ,1) , (Н{N})-1: Qs-1(Xn,1)^Qs(Xn,N), (8)
где Qs (Xn,N), Qs-1(Xn ,1) — пространства многокомпонентной гетерогенной структуры масштабных уровней 5 и (s - 1) соответственно; H{ N} — оператор прямой гомогенизации, позволяет «подняться» с более низкого масштабного уровня на более высокий; — опе-
ратор обратной гомогенизации, позволяет ««опуститься» с более высокого масштабного уровня на более низкий (рис. 2).
Замечание 8. На практике будем предполагать, что оператор обратной гомогенизации применяется для идентификации параметров лишь одного компонента исследуемой многокомпонентной гетерогенной структуры, другими словами, для практических задач формальное определение (HN}) 1 примет вид:
(H{N})-1: Qs-1(Xn ,1) xQs (Xn, N -1) ^Qs (Xn ,1). (9) Задача обратной гомогенизации в форме (9) является достаточно сложной и в общем случае не может быть
решена аналитически, при использовании численных методов зачастую предполагает многократное решение задач прямой гомогенизации на базе оператора Н N}, которое само по себе может представлять сложную ресурсоемкую вычислительную процедуру. К примеру, оператор НN} потребует применения метода конечных элементов в случае использования метода асимптотического осреднения.
Задача (9), не говоря уже о задаче (8), является некорректно поставленной по Адамару [6], что не позволяет предполагать единственность решения и устойчивость к погрешностям во входных данных. Поэтому при программной реализации операторов обратной гомогенизации следует использовать регуляризирующие подходы [6].
3.6. Эффективные характеристики и многомасштабный компонент многокомпонентной гетерогенной структуры
Определение 8 (эффективные характеристики многокомпонентной гетерогенной структуры). Пусть дана
X ь
многокомпонентная гетерогенная структура ю е й5 (Xп, N Ь1) и существует оператор гомогенизации Нтогда должен существовать элемент ш{0} е П5 -1( Xп, 1), для которого верно (рис. 3)
ь'}(ю х ¿1) = ю{0} ей5-1( X п ,1),
(Н{^})-1(мт) = ю^ ей5 (Xп, N4 (10)
В таком случае ш{0} будем называть эффективными параметрами (характеристиками) многокомпонентной
X ь
гетерогенной структуры ш .
Замечание 9 (многомасштабный компонент многокомпонентной гетерогенной структуры). Пусть дана
Рис. 2. Пример многокомпонентной гетерогенной структуры с функционально связанными параметрами компонентов
Рис. 3. Обобщение понятия многокомпонентной гетерогенной структуры с помощью преобразований гомогенизации
X 5
многокомпонентная гетерогенная структура ю е О * (Xй, N 51). Рассмотрим ее отдельный компонент
ш
, для которого Ь{а1} = 1, где 1 <а1 < Предположим, что существуют многокомпонентные гетерогенные структуры юх'52 е О*+1(Xй, N52) и операторы го-
N52} (и{ N52} \-1
могенизации г\ 2 и (г\ 2 ) , такие что
^} (ю ) = се О5 (X, ^'),
(Н{)-1 (ю{а1}) = юх'52 е О(Xй,N52), (11) тогда возможно построить новую многокомпонентную гетерогенную структуру юх'5з е О(Xй, N5з), где N5з = = N51 + N52, которая будет включать в свой состав ком-
X 5 х 5
поненты ю и ю (рис. 3).
На рис. 3 приведен пример многокомпонентной гетерогенной структуры с одним составным компонентом ю{а1} =с{2}: N51 = 5 , где 51 = 1; N52 = 3 , где 52 = 2; N5 = 8 , где 53 = 3; юх'5з = юх'3 е О(Xй,8).
3.7. Функция идентификации компонента многокомпонентной гетерогенной структуры
Определение 9. Определим взаимнооднозначную обратимую функцию идентификации компонента многокомпонентной гетерогенной структуры С, которая по глобальному номеру а компонента са е юх е О(Xй, N) позволяет определять соответствующие глобальный номер группы компонентов 5 многокомпонентной гетерогенной структуры, локальный номер компонента X в группе 5 и соответствующий номер масштабного уровня 5:
С: N ^ N х N х X +, С(а) ^ (5, X, *), С-1: N х N х N С-1(5, X, *) ^ (а).
Обозначение 4. Эквивалентные обозначения компонента:
с{а} ^ш{5,х(13) где С( а) = (5, X, *) — функция идентификации компонента многомасштабной многокомпонентной гетерогенной структуры.
3.8. Пространства многомасштабных многокомпонентных гетерогенных структур
Определение 10. Рассмотрим пространство многокомпонентных гетерогенных структур О(Xй, N) (со-
(12)
гласно определению 3). Пространством многомасштабных многокомпонентных гетерогенных структур (пространство многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры) с заданным общим числом компонентов N е N (возможно, составных), с заданным числом параметров й е N каждого компонента над пространством X, с заданным числом групп компонентов М е N (см. обозначение 3), а также с заданным множеством операторов прямой гомогенизации Н будем называть:
ОМ (Xй, N) = <О(Xй, N), Н, С), й е N
N = ^ 51,..., N 5м}, М е N, М < N = 5,
/=1
Н = {Ц{^}: О*(Xй,^) ^О*-1 (Xй,1), (14)
N5 е N, * е Ъ +, Зю{а} е О(Xй, Ю,
с{а} € О * (Xй, N5)}, где Н — множество преобразований (операторов) прямой гомогенизации, функционально связывающих группы компонентов 5/ с конкретными компонентами с{а}, входящими в другие группы 57 (/ ^ 7); N5 — количество компонентов в группе 5/, для которых вы-М 5
полняется соотношение ^ N5/ = N; С(а) ^ (5, X, *) —
/=1
функция идентификации любого компонента многокомпонентной гетерогенной структуры (см. определение 9).
Определение 11. Многомасштабной многокомпонентной гетерогенной структурой будем называть элемент юх е ОМ (Xй, N5).
Пример многомасштабной многокомпонентной гетерогенной структуры юх е ОМ(Xй,N) = О5(Xй,15) представлен на рис. 4, где N = 15 — общее количество компонентов рассматриваемой базовой дМногокомпонент-
ной гетерогенной структуры ю ; N = £ N5/ = £ N5/ =
/=1 /=1
= 15; М = 5 — количество групп компонентов, сформированных на основе компонентов рассматриваемой базовой многокомпонентной гетерогенной структуры; N = {N1, N2, N3, N4, N5} = {5,3, 2,3, 2}; 5 = 0 — формально определенный виртуальный верхний масштабный уровень; с{0} € юх и верно, что НN }(юхд) = с{0}.
ю
{0}
i = 0
«о
--
ЮХЛ I = 1 ю«1* ю<2* ю«3* ю«4* ю«5*
i = 1
А /■- --\
ЮХ,2 I = 2 ю«6* ю«7* ю«8* ЮХ'3 I = 3 ю«12* ю«13*
i = 2
<DX'4
I = 4
ю«9* ю«10* ю«11* шх,5 I = 5 ю«14* ю«15*
i = 3
Рис. 4. Пример многомасштабной многокомпонентной гетерогенной структуры. Все «закрашенные» компоненты являются гомогенными, а «белые» — гетерогенными (см. определение 3)
Рис. 5. Последовательность вызовов операторов прямой гомогенизации Н' для выполнения оператора Н2 прямой многомасштабной гомогенизации
3.9. Многомасштабная гомогенизация параметров многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры
Определение 12. Пусть дана многоуровневая многокомпонентная гетерогенная структура юх е Цм (Xй,N). Определим преобразования (операторы) прямой Н- и обратной Н- 1 многомасштабной гомогенизации параметров компонентов многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры:
Нз: Цм(Xй,N) ^(Хй,1), (Н )-1: Ц(Хй,1) ^Цм (Xй,N), ( )
где оператор Н- позволяет определить эффективные характеристики т<0} многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры (см. определение 8); Н-1 формально позволяет определить параметры т<а} всех компонентов многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры юХ на основе известных эффективных характеристик т<0}.
Оператор Н- обеспечивает обход древовидного представления многоуровневой многокомпонентной ге-
X
терогенной структуры ю «снизу-вверх» с рекурсивным вызовом операторов Н<N Чю^'), начиная с нижнего масштабного уровня до масштабного уровня 0 (пример на рис. 5). Выражение (16) представляет явный вид оператора Н- для частного случая многоуровневой
X
многокомпонентной гетерогенной структуры ю , представленной на рис. 5:
Пример многомасштабной многокомпонентной гетерогенной структуры еЦм (Xй, N) = Ц (Xй, 15) представлен на рис. 5, где
,15) ,15), Н, С),
н = {Н<2}, Н<3}, Н<5}};
М = 5 — количество групп компонентов, сформированных на основе компонентов рассматриваемой базовой многокомпонентной гетерогенной структуры; N = = 15 — общее количество компонентов рассматриваемой базовой многокомпонентной гетерогенной структуры ; N = {N1, N2, N3, N4, N5} = <5,3,2,3,2}, N = м £ 5 £
= £ N£ = £ N£ = 15; 5 = 0 — формально определенный
' =1 ' =1 <0} X
виртуальный верхний масштабный уровень;
Нр'Чю^) = ю<0}.
3.10. Путь определения компонента многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры и обратная многомасштабная гомогенизации параметров многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры вдоль пути
Определение 13 (путь определения компонента а). Пусть дана многоуровневая многокомпонентная гетерогенная структура юX е Цм (Xй,N). Определим понятие пути определения компонента ю<а} как упорядоченную последовательность глобальных номеров групп компонентов многоуровневой многокомпонентной гетероген-
Н2(шх) =
=
ю{1}, H{3}
ю{6}, ю{7}, Н3}(юх4)
, ю{3}, H{2}
ю{12}, Hp (ю^)
, <ю
{5}
= ю{0}.
(16)
со'
ÖT
I=
ю
{0}
i = 0
со'
/----ч
ю«21} ю 22} ю«23*
И*'7 I = 7 ю 20}
н i3}
ю 1} ю 2} ю 3} ю 4} ю«5*
^=i
M'
I = 2
I = 4
rn*'u
I = 6
H^tHf})-1 н^Кч^г1
i = 2
ю«6* ю 7} ю« ю* I=
ю«9* ю«10* ю 11} со* I=
н (н '4})-1 ___-1—-^(2)--
ю«16} ю«17} ю«18} ю«19}
S---- Л
ю 12} ю«13*
HMH i2})-1
ю
{14}
ю
{15}
i = 3
i = 4
Рис. 6. Схема многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры
ной структуры р^: р1;..., рк, К< М, р"а с2, где X — множество глобальных номеров групп компонентов многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры юх, для которой
ю{а} =
= (НТК })-1((Н1{^Рк-1})-1(...((Н1<^Р1})-1(ю<0}))...)), (17)
где ю{0} е &(ХИ, 1), ю{0} = П?к (ю^1) — эффективные характеристики многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры на верхнем масштабном уровне.
Замечание 10 (единственность пути определения ю{а}). Очевидно, что Vю{а} е Ом (Xй, N) ^ ПрЦ.
Определение 14 (многомасштабная обратная гомогенизация (Щ ) 1 параметров многоуровневой много" " а \
компонентной гетерогенной структуры вдоль пути рИ ). Пусть дана многоуровневая многокомпонентная гетерогенная структура юх е Ом (Xй, N), а также известны эффективные характеристики ю{0} е ^(Хй, 1), ю{0} = = (юОпределим преобразование (оператор) обратной гомогенизации (НТ") 1 вдоль пути р"а (в рамках определения 13) от ю{0} до ю{а} как
(НРа )-1: Ом (XN) хй(Х",1)х N ^ О(Xй, 1),
ю
{а}
^ су?- )-1(®X, Hn Il(®X>l1))=
(18)
= (Нр"а) ^, ш{0}),
где путь ра обеспечивает переход от ю{0} до ю{а}.
На рис. 6 представлен пример многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры юX е О8 (Xй, 23), где все «закрашенные» компоненты являются гомогенными, а белые — гетерогенными (см. определение 3), где 5 = 0 — формально определенный верхний масштабный уровень, для которого ю{0} 2 юX;
М = 8 — количество групп компонентов, сформированных на основе компонентов рассматриваемой многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры; N = N2, N3, N5, N6, N7, N8} = {5, 3, 2, 3, 2,4,1,3}; ш{17} = (НР"7)-1( юX, ш{0}); р"0: р1 = 1,
Р2 = 8> рз = 7 (путь1); р"?: р1 = 1> р2 = 2> рз = 4>
р4 = 6 (путь 2); р"4: р1 =1, р2 = 3 рз = 5 (путь 3).
3.11. Оператор реверсивной многомасштабной гомогенизация параметров
Условия применения операторов гомогенизации Н и Н
о« °}
нр! (5)
i = 0
--—.
ö^1 I = 1 ю 1} ю 2} ю«3* ю 4} ю«5*
со
J,2
I = 2
00
J,4
I = 4
н'3}, __ti' '"(2)
ю« 6}| ю 7} ю«
н?1 ✓ '(1)
|ю( 9}| ю 10} ю 11}
Hf}\ х(4)
i = 1
<aS'3
I = 3
ooJ>5
I = 5
ю 12} ю«13*
н'Ч-f3)
f '--'
ю«14} ю«15}
i = 2
i = 3
Рис. 7. Схема многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры, для которой свойства некоторых компонентов неизвестны и для них не существует группы компонентов, входящих в эту же многоуровневую многокомпонентную гетерогенную структуру, обеспечивающей определение свойств данной компоненты (заштрихованы)
ю
,{0}
i = 0
H f}
(5)
ö)^
(H^p1(«(»))-i(m{0})
«в,
i ю
! Ш
га
S,1
I = 1
ю1} ю 2> ю 3> ю 4> Ю 5>
i = 1
H«2\(4)
(H^VVf)
I = 2
!<bJ'4
к=4
|Х = 11 Ю7> Ю8> I = 3 Ю 12> Ю13> S = 2
Н^ "О) HfVbx,
"Ч.
Х = 2 ю{ 10} ю{ 11} oaJ'5 I = 5 ю{ 14} Х = 3 ю{ 15} S = 3
(й,
нрп ы 3)))-1(ю30})
Рис. 8. Применение оператора реверсивной гомогенизации многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры
1) Оператор гомогенизации Н может быть применен только при условии определенных всех ю{а} е ю§ е О(§й, N).
2) Оператор многомасштабной гомогенизации Н2 может быть применен только при условии, что для всех ЮМ е ^ е Ом (Iй, N) верно, что либо ю{а} гомогенная и ее параметры известны, либо ю{а} гетерогенная и всегда существует группа компонентов Зю1'^ с ю1, такая что ю{а} = Н^ю^).
На рис. 7 представлен пример, когда условие 2 не выполняется.
Определение 15 (номер недоопределенного компонента многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры). Пусть X — глобальный порядковый номер компонента ю{а(х)} е ю1 е Ом (Iй, N), для которого хотя бы один параметр не задан, х = 1 •••, R, R — количество недоопределенных компонентов. Здесь а(х) — функция, которая позволяют определить глобальный номер компонента а (в ю1) по его порядковому номеру х.
Построим преобразование Н3 для случая, когда для исследуемой ю1 е Ом (Iй, N) условие 2 не выполняется, однако существуют другие многоуровневые многокомпонентные гетерогенные структуры юХ, для которых известны эффективные характеристики а>Х°} и ко-
{х}
торые по отдельности включают компоненты ю , параметры которых известны частично.
Определение 16 (реверсивная многомасштабная гомогенизация Н3 параметров многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры). Пусть дана многоуровневая многокомпонентная гетерогенная структура ю1 е Ом (Iй, N). Компоненты юа(х) е ю1 известны частично, где х — порядковые номера компонент, параметры которых известны частично. Пусть существуют ю1 е Ом (Iй, Nх), для которых известны о>Х°} =
юIЭ юа(х) = ю£х(а(ХИ е ю!, где а(х), Рх (а(х)) — функции, которые позволяют определять глобальные номера компонентов а (в юI) и ах (в юх) по порядковому номеру компонента х, исследуемой многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры ю^ параметры которой известны частично.
Тогда определим преобразование реверсивной многомасштабной гомогенизации Н3 параметров многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры
ю^ * *
Н3: Ом (Xй, N) х П Ом% (Xй, Nх) х ПО(Хй,1) ^ О(Хй, 1), 11-.-■ 1=—-■ (19)
А В 47
где А — прямое произведение пространств, в которых определены вспомогательные многоуровневые многокомпонентные гетерогенные структуры юх; В — прямое произведение пространств, в которых определены эффективные характеристики вспомогательных многоуровневых многокомпонентных гетерогенных структур
{0} _ X
_ H2 (ю„); R — количество компонентов в иссле-
дуемои многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуре ю1, известных частично.
3.12. Пример преобразования реверсивной многомасштабной гомогенизации параметров многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры
На рис. 8 представлена многоуровневая многокомпонентная гетерогенная структура, для которой удалось найти новые многокомпонентные гетерогенные структуры, гомогенизация параметров которых позволяет найти ю{5}, ю{6}, ю{10}: а) R = 3 — число компонентов с частично известными параметрами; б) а>Х°} — эффективные характеристики вспомогательных многоуровневых многокомпонентных гетерогенных структур юХ.
Формальный вид оператора H3 реверсивной гомогенизации многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры представлен выражением (20) для
_ Н2(юх) (возможно, получены экспериментально); структуры ю ей3(]", 15) (рис. 8):
H3(roJ) = H{5}
ю{1}, H{3}
( \ ю«6}, ю{7}, Hp (J
, ю{3}, у{2}
ю{12}, Н!2}(ш 15)
, ю'
{5}
= ю{0},
(20)
где
ю1'4 = {ю«9}, ю{10}, ю{11}}, ю1'5 = {ю«14}, ю{15}}, щ!,{а(1)} ^ {нр' (а(1)) )-1 (»Г), где а(1) = 6, ю«аа)} ^(Нр?(а<2)))-1(ю20}), где а(2) = 9, ю«аа)} ^ (Нр"х<3)))-1(ю30}), где а(3) = 14.
4. Практические примеры применения многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры
Основным практическим приложением разработанной математической модели стало описание компонентного состава и характеристик неоднородных материалов, в том числе композиционных и пористых. Используя созданную модель материала, можно автоматизировать процесс построения плана проведения многомасштабного расчета эффективных характеристик композиционных материалов за счет реализации оператора Н2, при этом каждый оператор может быть реализо-
ван для каждой группы компонентов £ отдельно.
Применение метода асимптотического осреднения [18, 19] предполагает необходимость задания геометрии микроструктуры армирования исследуемого композиционного материала (так называемой ячейки периодичности) и определение физико-механических характеристик каждого отдельного его компонента, а именно, свойств матрицы (связующего) и наполнителя (волокнистого или дисперсного). В связи с тем, что для конкретной прикладной задачи исследователь фиксирует тип определяемых характеристик, то фиксируются и типы входных характеристик. Например, если требуется определить эффективные упругие характеристики композиционных материалов, то в качестве исходных данных должны быть определены упругие характеристики каждого компонента исследуемого композиционного материала. Таким образом, разработанная модель многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры становится очень удобной для задач такого типа.
Далее представлены три примера практического приложения разработанной модели. Для первого примера были получены численные результаты, которые при сравнении с результатами испытаний подтвердили обоснованность использования двухмасштабных моделей многокомпонентных гетерогенных структур для композиционных материалов представленного типа, а также необходимость учета адгезионного взаимодействия между компонентами.
4.1. Двухмасштабная модель полимерного композиционного материала на основе полых пористых мембранных волокон
На рис. 9 представлены фотографии полимерного композиционного материала на основе эпоксидного связующего и полых пористых мембранных волокон. Такой материал используется для отдельных элементов специальных промышленных конструкции газовой отрасли, например в газоразделительных мембранных модулях [2].
Непосредственный учет наличия полых волокон в составе конструкции модуля при численном решении задачи напряженно-деформированного состояния невозможен в связи с существенным количеством волокон (сотни тысяч) в реальной конструкции газоразделительных мембранных модулей и малости их диаметров (внешний диаметр около 400 мкм), поэтому актуальным становится применение методов гомогенизации для поиска эффективных свойств рассматриваемых полимерных композиционных материалов с последующим их использованием при решении макрозадачи о напряженно-деформированном состоянии и задачи прочности.
Микроструктура рассматриваемого полимерного композиционного материала близка к трансверсально изотропной, т.к. преимущественно волокна ориентированы вдоль одного направления. В процессе численного расчета использовалась более общая ортотропная модель эффективных упругих характеристик исследуемого полимерного композиционного материала, что позволяет учитывать разориентированность волокон при независимом построении моделей представительных элементов объема полимерного композиционного материала.
Для представленного материала физико-механические характеристики волокон были неизвестны, однако был известен основной материал стенки волокна (поликарбонат). При этом известно, что характеристики связующего сильно зависят от режима отверждения и объемной доли отвердителя. Указанные особенности существенно осложняют процесс определения эффективных характеристик полимерного композиционного материала в целом.
Для исследования физико-механических характеристик рассматриваемого полимерного композиционного материала были построены две различные модели многоуровневых многокомпонентных гетерогенных структур (рис. 10). Обозначения моделей представлены в табл. 1. Серым цветом обозначены известные пара-
Рис. 9. Полимерный композиционный материал на основе полых пористых мембранных волокон и эпоксидного связующего: а — полимерный композиционный материал (верхний масштабный уровень); б — отдельное мембранное волокно; в — пористый материал стенки полимерного мембранного волокна
метры, белым — неизвестные или требующие предварительной идентификации для модели 2 (рис. 10, б). Необходимость разработки модели 2 связана с требованием уточнения результатов, получаемых численно.
Построенные модели представительных элементов объема (ячейки периодичности для применения в рамках метода асимптотического осреднения) представлены на рис. 11.
Расчеты проводились с использованием распределенной вычислительной системы GCD [27]. Для прове-
дения вычислений использовался один вычислительный узел МГТУ им. Н.Э. Баумана с характеристиками: Intel(R) Xeon(R) CPU E5-2698 v3 @ 2.30GHz, 16GiB RAM, 34GB Virtual disk (System), GK210GL [Tesla K80].
Результаты расчетов в сравнении с результатами испытаний представлены на рис. 12 для различных объемных долей пористых мембранных волокон. Объемная доля пористых мембранных волокон при испытаниях была определена приблизительно и составляла 70 ± 2.5 %. Расчеты 24а,б,в и 28а проводились с использованием
Рис. 10. Иерархические многоуровневые многокомпонентные многомасштабные гетерогенные структуры полимерного композиционного материала на основе полых пористых мембранных волокон и эпоксидного связующего: а — без учета адгезионного взаимодействия (модель 1); б — структура с учетом адгезионного взаимодействия (модель 2)
Таблица 1
Обозначения многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры полимерного композиционного материала на основе эпоксидных компаундов и полых мембранных волокон
Обозначение Описание
ю{0} Гомогенизированный полимерный композиционный материал на основе эпоксидной матрицы и пористых мембранных волокон, объемная концентрация которых заранее определена
ю{1} Эпоксидная смола
ю{2} Пористый материал на основе полистирола (размер пор для прикладных задач должен быть задан)
ю{3} Основной материал стенок пор материала ю{2}
ю{4} Виртуальный материал адгезионного слоя
i Номер масштабного уровня
tf{2}, H{1} Преобразования (операторы) прямой гомогенизации
(Я«)"1, (H{{2})-1, (H{{3})-1 Преобразования (операторы) обратной гомогенизации
юх 0, юх1, юх 2 Обозначения моделей ячеек периодичности на соответствующих масштабных уровнях
I Номер ячейки периодичности (геометрические модели представлены на рис. 11)
модели многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры (рис. 10, а) при разных объемных концентрациях волокон: 55 и 70 %. Соответственно, адгезионное взаимодействие между компонентами не учитывалось. Расчеты 24г и 28б проводились с использованием модели многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры (рис. 10, б), учитывающей адгезионное взаимодействие компонентов (рис. 11, в). Свойства пористых мембранных волокон для расчета 24а были предварительно определены численно с использованием модели (рис. 11, г), для всех остальных расчетов использовались экспериментально определенные свойства пористых мембранных волокон. Расчет 24г осуществлялся с использованием реверсивной многомасштабной гомогенизации (объемная доля пористых мембранных волокон 55 %). Использовались экспериментально полученные свойства пористых мембранных волокон, а для оценки характеристик адгезионного слоя предварительно была поставлена и реше-
на задача обратной гомогенизации для композиционного материала с объемной долей пористых мембранных волокон 70 %, для которого были известны параметры ю^0 из эксперимента (рис. 10, б).
Кривые деформирования отдельных компонентов исследуемого полимерного композиционного материала были известны из испытаний, однако зачастую среди справочной информации по материалам они неизвестны, поэтому в процессе расчетов известными по каждому компоненту предполагались: модуль Юнга, коэффициент Пуассона, коэффициент теплопроводности, коэффициент линейного теплового расширения, предел текучести, предельно допустимая деформация. Каждый компонент считался изотропным. На основе указанных параметров кривые деформирования компонентов были аппроксимированы. На рис. 12 для расчетов 28а, 24а, 24б характерны нетипичные продолжительные участки пластического течения, что обусловлено применяемой моделью аппроксимирования кривых деформирования
Рис. 11. Ячейки периодичности для моделирования эффективных физико-механических характеристик полимерного композиционного материала на основе мембранных полых волокон и эпоксидных компаундов: а — ю^1 без учета адгезионного слоя (геометрия 1 для модели 1); б — юХ '1 без учета адгезионного слоя (геометрия 2 для модели 1); в — юХ '1 с учетом адгезионного слоя (геометрия 3 для модели 2); г — юХ '2 пористого материала стенок полых мембранных волокон (модели 1 и 2)
Рис. 12. Результаты испытаний и численных экпериментов на сжатие вдоль оси укладки полимерных мембранных волокон (ПМВ) образцов полимерного композиционного материала
отдельных компонентов (использовалась параметризованная аппроксимация на основе кубических кривых Безье) исследуемого полимерного композиционного материала. Детальное описание используемой модели выходит за рамки настоящей статьи.
Расчеты 28б и 24г демонстрируют, что для численного расчета пределов текучести учет в модели адгезионного слоя позволяет получать меньшее отклонение от результатов испытаний. Представленные отклонения связаны с неточной информацией о реальной объемной доле пористых мембранных волокон в испытанных образцах.
Результаты расчета 24б в сравнении с 24в и 24г демонстрируют, что при сравнимых упругих модулях при малых деформациях до 0.02 имеет место существенная разница в конечных пределах текучести и предельно допустимых деформациях (табл. 2).
Исходя из полученных результатов, может быть сделан вывод об очевидной обоснованности применения моделей с введением дополнительной объемной компоненты при проведении расчетов эффективных упруго-
Таблица 2
Сравнение численных результатов расчетов 24б, 24в и 24г
24б* 24в** 24г***
Предел текучести, МПа 27 38.5 39
Предельно допустимая деформация 0.037 0.07 0.07
Время расчета, мин, не более 15 180 15
* Без учета адгезии, геометрия 1 на верхнем масштабном уровне в рамках модели ММГС 1; ** без учета адгезии, геометрия 2 на верхнем масштабном уровне в рамках модели ММГС 1; *** с учетом адгезии, геометрия 3 на верхнем масштабном уровне в рамках модели ММГС 2.
прочностных характеристик гетерогенных материалов, что позволяет компенсировать отсутствие достаточной информации об отдельных компонентах исследуемого материала.
Процесс разделения исходного газового потока на два: пермеатный и ретентатный осуществляется только при особых геометрических параметрах пор в стенках полых мембранных волокон (рис. 9, б, в), а также при определенном перепаде давлений с внешней и внутренней стороны стенки. Среди практически значимых параметров мембран, применяемых для разделения газов и жидкостей, принято выделять селективность, которая определяется задерживающей способностью мембраны или фактором разделения. Таким образом, еще одной актуальной задачей при проектировании конструкций мембранных модулей является анализ эффективных параметров проницаемости мембраны в целом, а также эффективной проницаемости стенки отдельного полого волокна. Для постановки соответствующей задачи и последующего ее решения могут использоваться разработанные многоуровневые многокомпонентные гетерогенные структуры (рис. 10) без существенных изменений с точностью до формальной замены операторов гомогенизации, реализующих, к примеру, метод асимптотического осреднения для уравнений Дарси [28]. Примером численного решения указанной задачи для двух-масштабного случая является работа [29].
4.2. Многомасштабная модель наномодифици-рованного углеродными нанотрубками керамо-матричного высокопрочного композиционного материала
Для изделий оборонной, электронной и авиакосмической промышленностей получили развитие композиционные материалы на основе керамических матриц. Активно исследуются керамоматричные наномодифи-цированные однослойными и многослойными углеродными нанотрубками (УНТ) композиционные материалы (рис. 13, 14) на основе бескислородных и оксидных керамических матриц [32].
Рис. 13. Структура композита А1203 - 20 % УНТ, полученных искровым плазменным спеканием [30, 31]
Рис. 14. Многослойная углеродная нанотрубка до термообработки на воздухе
Рис. 15. Микрофотография структуры керамического материала на основе А1203 без УНТ, полученного спеканием в вакууме 10-3 мм рт. ст. [33]
Применение наномодификаторов, в частности углеродных нанотрубок, в процессе изготовления дисперсно-армированных материалов позволяет получать новые композиции с упругопрочностными характеристиками существенно превышающими аналогичные на основе классических микроскопических наполнителей [30, 32, 33].
Для построения трехмерных моделей представительных элементов объема керамоматричных композиционных материалов (рис. 13, 15) на верхнем масштабном уровне (5 = 1) использовались алгоритмы, аналогичные использованным в работе [34] для построения гетерогенной модели легочного ацинуса, основанные на трехмерном обобщении диаграммы Воронова.
Кристаллическая модель верхнего масштабного уровня многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры (рис. 16, б), а также модель межзерен-ного материала, модифицированного углеродными на-нотрубками, были получены путем создания двух новых специализированных генераторов геометрий и их встраиванием в подсистему автоматической генерации
представительных элементов объема GCDGPR распределенной вычислительной системы GCD.
Для реального керамоматричного наномодифициро-ванного композиционного материала известно, что объемная доля наномодификатора незначительна и может составлять от долей процента до 10 % [32], что при использовании метода асимптотического осреднения приведет к фактическому отсутствию вклада указанного модификатора на конечные эффективных линейные характеристики. Таким образом, для того чтобы продолжить использование метода асимптотического осреднения на каждом отдельном масштабном уровне, предлагается ввести в рассмотрение дополнительный «поверхностный» компонент ю{4} — адгезионный слой между моделью углеродных нанотрубок и керамической матрицей (рис. 16, а, в). Свойства ю{4} дополнительного компонента предполагается идентифицировать на основе известных характеристик композиционных материалов при фиксированной объемной доле углеродных нанотрубок, используя результаты экспериментальных исследований [30, 31]. Вклад адгезионного
Рис. 16. Двухуровневая модель керамоматричного наномодифицированного композиционного материала на основе углеродных нанотрубок с указанием соответствующих преобразований гомогенизации (а); модель ячейки периодичности ш1,1 керамического материала (б); модель ячейки периодичности ш1,2 межзеренного материала, модифицированного углеродными нанотрубками (в)
Таблица 3
Обозначения многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры модели керамоматричного композиционного материала, модифицированного углеродными нанотрубками
Обозначение Описание
ю{0} Эффективные свойства гомогенизированного материала
ю{1} Бескислородная керамическая матрица карбида кремния
ю{2} Компонент с неизвестными свойствами: ю{2} — межкристаллический (межзеренный) материал, модифицированный углеродными нанотрубками
ю{3} Наномодификатор — углеродные нанотрубки
ю{4} Дополнительная «поверхностная» компонента (адгезионный слой между моделью углеродных нанотрубок и керамической матрицей)
s Номер масштабного уровня
H{2}, (H{3})-1 Оператор прямой и обратной гомогенизации на основе метода асимптотического осреднения
H£},( Hg})-1 Операторы прямой и обратной гомогенизации на основе модели, учитывающей наличие наномодификатора
слоя, несмотря на незначительный объем, предполагается существенным, что связано с его существенной суммарной площадью, что будет учтено при реализации преобразования Н^. Обозначения модели представлены в табл. 3.
4.3. Модель катализатора алкирования бензола этиленом на основе цеолита ZSM-5
В процессе жидкофазного алкирования бензола этиленом [35] активно применяются катализаторы, в том числе на основе цеолитов (рис. 17). Применение катализаторов позволяет снизить энергию активации и ускорить химическую реакцию. Одним из продуктов рассматриваемой реакции является этилбензол, который применяется для получения стирола, являющегося сырьем при производстве некоторых видов пластмасс (например полистирол) и синтетических каучуков. Этилбензол используют также в органическом синтезе, а также как компонент высокооктановых бензинов.
В случае жидких реагирующих компонентов [36] скорость протекания химической реакции зависит от геометрических размеров и формы пор в зерне катализатора (рис. 17), объемной доли катализатора в объеме емкости, в которой протекает реакция, а также от вязкости реагирующей жидкофазной смеси.
Таким образом, возможно выделить следующие макропараметры, определяющие течение жидкости (эффективные параметры) в пористой среде, а именно: эффективная вязкость (для многофазной жидкости), эффективные параметры проницаемости. В работе [29] представлена модель течения в пористой среде для трехмерного случая с постановкой задачи определения эффективного тензора проницаемости.
Для расчета эффективных параметров фильтрации в пористой среде, используя подход настоящей работы,
может быть использована двухуровневая модель (рис. 18), для которой процесс осреднения на масштабном уровне 2 следует осуществлять на основе применения метода гомогенизации относительно уравнений
Рис. 17. Порошкообразный цеолит Н+^М-5: х600 (а), х2800 (б), х6800 (в)
Рис. 18. Двухуровневая модель расчета эффективных параметров для описания течения двухфазного газа или жидкости в пористой среде
диффузии, тогда как на масштабном уровне 1 следует применять метод гомогенизации относительно уравнений закона Дарси [28]. Обозначения модели представлены в табл. 4.
5. Особенности программной реализации
Для создания программной реализации многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры в 2012 г. Макаренковым В.М. (трагически погибшим в 2015 г.) была разработана специализированная структура данных — класс com: :AnyMap, на языке программирования С++ на основе STL структуры ассоциативный массив std: :map<Key,T>. Класс com: :AnyMap представляет собой многомерный ассоциативный контейнер, который позволяет хранить значения различных типов. Указанная структура позволила реализовать возможность естественного хранения параметров как многокомпонентной гетерогенной структуры, так и многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры с произвольным числом компонентов, произвольным числом масштабных уровней и произвольным фиксированным числом параметров для каждого компонента конкретной структуры.
Таблица 4
Обозначения компонентов двухуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры моделирования процесса течения двухфазной среды в пористой среде с учетом диффузии
Обозначение Описание
ш{0} Эффективные параметры проницаемости стенки мембраны
ш{1} Параметры материала зерна катализатора
ю{2} Параметры газовой фазы в порах материала катализатора
ю{3}, ю{4} Параметры отдельных диффундирующих газов: парциальное давление, концентрация
Одной из основных задач формализации понятия многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры было построение математического описания вычислительного метода реверсивной гомогенизации с целью последующего создания его универсальной программной реализации. Для создания программной реализации реверсивной многомасштабной гомогенизации был разработан специализированный программный подход, получивший название графоориентиро-ванной программной инженерии (Graph Based Software Engineering (GBSE)), http://gcad.bmstu.ru. Программная реализация реверсивной многомасштабной гомогенизации была интегрирована в состав распределенной вычислительной системы GCD и представлена в форме нового «решателя» [25]. Программная реализация была осуществлена на языке программирования С++.
6. Заключение
В работе представлено математически строгое формальное описание структурной модели многомасштабной многокомпонентной гетерогенной структуры, предназначенной для универсального описания микроструктур армирования и параметров гетерогенных и композиционных материалов. Модель позволяет формализовать метод реверсивной многомасштабной гомогенизации и создает основу для разработки его программной реализации.
Модель позволяет компактно описывать структуру исследуемого гетерогенного материала в графическом виде с указанием взаимосвязей отдельных компонентов и групп компонентов на различных масштабных уровнях. Формализованные понятия введенных операторов гомогенизации позволяют автоматизировать построение плана проведения многомасштабного расчета эффективных характеристик исследуемых материалов. Представленный подход упрощает описание процессов микромеханических расчетов с использованием различных методов гомогенизации, применяемых на различных масштабных уровнях.
При проведении численных исследований полимерного композиционного материала на основе полых пористых мембранных волокон и эпоксидного связующего получены результаты, демонстрирующие обоснованность введения дополнительных виртуальных компонентов с неизвестными характеристиками, идентифицируемыми на основе предварительного решения задач обратной гомогенизации, что является ключевой особенностью метода реверсивной гомогенизации. Для программной реализации двух- и трехмасштабных моделей полимерного композиционного материала с предварительно идентифицируемыми компонентами был использован разработанный авторами графоориентиро-ванный подход. Подход позволяет автоматизировать построение плана решения задачи и может быть исполь-
зован для решения задач микромеханики гетерогенных структур, в том числе для исследования их физико-механических характеристик.
Представленная в работе модель многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры для описания керамоматричного композиционного материала, модифицированного углеродными нанотрубками, была разработана при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (соглашение № 14.574.21.0158, уникальный идентификатор RFMEFI57417X0158).
Математическая модель многоуровневой многокомпонентной гетерогенной структуры разработана в МГТУ им. Н.Э. Баумана в рамках подготовки докторской диссертации А.П. Соколовым.
Литература
1. Павлов С.И. CAE-технологии в 2014 году: обзор достижений и анализ рынка // CAD/CAM/CAE Observer. - 2014. - Т. 96(4). -С. 25-35.
2. Соколов А.П., Михайловский К.В., Щетинин В.Н., Сапелкин А.С., Пресняков В.В. Численное определение эффективных упруго-прочностных характеристик композитных заделок газоразделительных мембранных модулей // Матер. IX Межд. конф. по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2016), Алушта, 25-31 мая 2016 г. - М.: МАИ, 2016. - С. 387-389.
3. Buryachenko V.A. Micromechanics of Heterogeneous Materials. - New York: Springer, 2007. - 687 p.
4. Horstemeyer M.F., Leszczynski J., Shukla M.K. Multiscale Modeling: A Review // Practical Aspects of Computational Chemistry. -New York: Springer, 2010. - P. 87-135.
5. Bakhvalov N.S., Panasenko G.P. Homogenization: Averaging Processes in Periodic Media // Mathematical Problems in the Mechanics of Composite Materials. Mathematics and Its Applications. V. 36. -New York: Springer, 1989. - 366 p.
6. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. - М: Физматлит, 2007. - 223 с.
7. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Прямые и обратные задачи для однородных и неоднородных упругих и электроупругих тел. -Ростов-на-Дону: Изд-во Южного федерального университета, 2008. - 176 с.
8. Горкунов Э.С., Задворкин С.М., Путилова Е.А., Поволоцкая А.М., Горулева Л.С., Веретенникова И.А., Каманцев И.С. Использование магнитного структурно-фазового анализа для диагностики состояния композиционного материала «сталь 08Х18Н10Т - сталь Ст3» и составляющих его компонентов, подвергнутых пластической деформации // Дефектоскопия. - 2012. - № 6. - С. 30-43.
9. Швец Н.И., Застрогина О.Б., Минаков В.Т., Матвеева И.А. Влияние карбоксилатов олова на процесс отверждения олигомерного кремний-органического связующего и свойства трехмерно-армированного материала на его основе // Авиационные материалы и технологии. - 2016. - № 2(41). - С. 40-44.
10. Оспенникова О.Г., Базылева О.А., Евгенов А.Г., Аргинбаева Э.Г., Туренко Е.Ю. Микроструктурные и фазовые превращения в ин-терметаллидном сплаве на основе Ni3Al после воздействия термической обработки и горячего изостатического прессования // Авиационные материалы и технологии. - 2016. - № S1(43). - С. 36-43.
11. Еремичев А.Н., Кулиш Г.Г., Цветков С.В., Фомин Б.Я. Установки для исследования механических свойств композиционных материалов при сложном напряженном состоянии // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Машиностроение. - 2011. - С. 29-38.
12. Sigmund O. Materials with prescribed constitutive parameters: An inverse homogenization problem // Int. J. Solids Struct. - 1994. -V. 31. - No. 17. - P. 2313-2329.
13. СидоренкоЮ.Н., ШевченкоН.А. Прогнозирование механических свойств биметаллического материала на основе многоуровневой математической модели // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 1-2. -C. 37-41.
14. Павлов Б.П., Нусратуллин Э.М., Филиппов А.А. Моделирование характеристик упругости гибридного композиционного материала на основе борных и углеродных волокон // Вестник УГАТУ. -2011. - Т. 15. - № 4(44). - С. 73-80.
15. Scacchi W., Alspaugh T.A. Issues in development and maintenance of open architecture software systems // CrossTalk. - 2017. - V. 30. -No. 3. - P. 10-14.
16. Бобрышев А.Н., Жарин Д.Е., Шафигуллин Л.Н., Гумеров М.И. Система автоматизированного проектирования полимерных наполненных композиционных материалов специального назначения // Кузнечно-штамповочное производство. Обработка материалов давлением. - 2009. - № 8. - С. 9-16.
17. Киселев А.М. Определение перспективных направлений в построении автоматизированных систем проектирования 3d-пре-форм и прогнозирования заданных свойств композиционных материалов на их основе // Изв. вузов. Технология текстильной промышленности. - 2015. - № 2(356). - С. 141-145.
18. Бахвалов Н.С. Осреднение характеристик тел с периодической структурой // Докл. АН СССР. - 1974. - Т. 218. - № 5. - С. 10461048.
19. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. - М. : МГУ, 1984. - 336 с.
20. Oden J.T., Vemaganti K. Adaptive hierarchical modeling of heterogeneous structures // Physica D. - 1999. - V. 133. - P. 404-415.
21. Димитриенко Ю.И. Метод многоуровневой гомогенизации иерархических периодических структур // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. - 2002. - Т. 8. - № 1. - С. 58-72.
22. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П. Многомасштабное моделирование упругих композиционных материалов // Мат. моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 5. - С. 3-20.
23. Соколов А.П., Щетинин В.Н., Сапелкин А.С. Параллельный алгоритм построения поверхности прочности КМ для архитектуры Intel MIC (Intel Many Integrated Core Architecture) // Программные системы: Теория и приложения. - 2016. - № 7:2(29). - С. 3-25.
24. Соколов А.П., Щетинин В.Н. Идентификация упругих свойств адгезионного слоя дисперсно-армированных композитных материалов на основе экспериментальных данных // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2018. - T. 24. - № 4. -(В печати).
25. Соколов А.П., Першин А.Ю., Щетинин В.Н., Сапелкин А.С. Реверсивная многомасштабная гомогенизация физико-механических характеристик гетерогенных периодических сред с использованием графоориентированного программного подхода // Композиты и наноструктуры. - 2017. - Т. 9. - № 3-4. - С. 25-38.
26. Awodey S. Category Theory. Oxford Logic Guides 49. - Oxford: Oxford University Press, 2006. - P. 10.
27. Соколов А.П., Шпакова Ю.В., Першин А.Ю. Проектирование распределенной программной системы GCD численного моделирования композитов // Математические методы в технике и технологиях: Сб. трудов XXV Межд. научн. конф. T. 5. Секц. 8, 9 / Под. ред. А.А. Большакова. - Волгоград: ВолГУ, 2012. - С. 79-80.
28. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. -М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. -628 с.
29. Димитриенко Ю.И., Шпакова Ю.В., Богданов И.О., Сборщиков С.В. Моделирование процесса многоуровневой фильтрации жидкого связующего в тканевом композите при RTM-методе изготовления // Инж. журнал: Наука и инновации. - 2015. - № 12. -URL: http://engjournal.ru/catalog/msm/pmcm/1454.html.
30. Федосова Н.А., Файков П.П., Попова Н.А., Кольцова Э.М., Жариков Е.В. Керамический композиционный материал с углеродными нанотрубками, полученный по технологии искрового плазменного спекания // Стекло и керамика. - 2015. - № 1. - С. 14-17.
31. Fedosova N.A., Kol'tsova E.M., Popova N.A., Zharikov E.V., Lukin E.S. Ceramic matrix composites reinforced with carbon nanotubes: Spark plasma sintering, modeling, optimization // Refractor. Indust. Ceramics. - 2016. - V. 56. - No. 6. - P. 636-640.
32. Федосова H.A. Разработка и математическое моделирование процесса получения керамоматричного композита, армированного углеродными нанотрубками / Дис. ... канд. техн. наук. - М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2016. - 270 с.
33. Fedosova N.A., Faikov P.P., Popova N.A., Duong T.T.T., SovykD.N., Koltsova E.M., Zharikov E.V, Zaramenskikh K.S. Effect of the nature of carbon nanotubes on the structure and strength of ceramic composites // Glass Ceramics. - 2014. - V. 71. - No. 3-4. - P. 128-131.
34. Koshiyama K., Wada Sh. Mathematical model of a heterogeneous pulmonary acinus structure // Comput. Biol. Med. - 2015. - V. 62. -Iss. C. - P. 25-32.
35. Берберов А.Б., Афонин Д.С., Борзаев X.X., Иванов Е.В., Гущин П.А. Алкирование бензола этиленом // Башкирский хим. журн. - 2014. - Т.21. - № 1. - С. 5-8.
36. Павлов М.Л., Шавалеев Д.А., Кутепов Б.И., Травкина О.С., Павлова И.Н., Басимова Р.А., Эрштейн А.С., Герзелиев И.М. Синтез и исследование катализаторов алкилирования бензола этиленом на основе цеолита ZSM-5 // Нефтехимия. - 2016. - Т. 56. - №2 2. -С. 171-177.
Поступила в редакцию 13.03.2018 г., после переработки 24.09.2018 г.
Сведения об авторах
Соколов Александр Павлович, к.ф.-м.н., доц. МГТУ им. Н.Э. Баумана, [email protected], [email protected]
Першин Антон Юрьевич, ассист. МГТУ им. Н.Э. Баумана, [email protected]
Козов Алексей Владимирович, асп. МГТУ им. Н.Э. Баумана, [email protected]
Кириллов Никита Дмитриевич, магистр. РХТУ им. Д.И. Менделеева, [email protected]
