CC BY
17
УДК 533.95
ГОФРИРОВОЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН РАЗРЕЖЕНИЯ И ГЕНЕРАЦИЯ ФИЛАМЕНТОВ В ПЛАЗМЕННОМ ФОКУСЕ
С. П. Цыбенко, А. Е. Гурей
Исследуется гофрировочная неустойчивость ударных волн разрежения (УВР) в простой модели плазмы с лондоновским током. Рассмотрена генерация филамен-тов в плазменном фокусе (ПФ), связанная с гофриро-вочной неустойчивостью УВР. Для получения оптимальной структуры филаментов токовой оболочки ПФ предложено использовать специальные металлические вставки у изолятора.
Ключевые слова: ударная волна разрежения, гофрировочная неустойчивость, фила-мент, лондоновский ток, плазменный фокус.
Введение. Важной особенностью разряда в ПФ являются процессы генерации и динамики токовых филаментов, которые оказывают значительное влияние на параметры плазмы и ее излучательные характеристики [1]. Хотя движущиеся филаменты наблюдались еще в ранних экспериментах [2], теоретическое описание сверхзвуковых, дозвуковых и стационарных филаментов было получено недавно в простой модели плазмы с лондоновским током [3]. В этой же модели было найдено решение для УВР [4]. Модифицированная модель с лондоновским током для лазерной плазмы также обладает решением для УВР [5]. В ударных волнах сжатия в гидродинамике жидкости и плазмы развивается гофрировочная неустойчивость [6, 7], которая проявляет себя также в солнечной короне [8] и в ферромагнетиках [9]. Ниже исследуется гофрировочная неустойчивость УВР в простой модели плазмы с лондоновским током и обсуждается генерация филаментов в ПФ, связанная с этой неустойчивостью.
Основные соотношения. Основу разрабатываемой теории составляют бездиссипа-тивные уравнения двухжидкостной гидродинамики плазмы, следующие из вариационных принципов [4]. Эти уравнения использовались, например, в теории сверхпроводимости Лондона [10], в которой установлено соотношение для лондоновского тока
ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: tsybenkosp@lebedev.ru.
j = —е2пеА/тес, где пе - концентрация электронов, А - векторный потенциал электромагнитного поля. Если гидродинамическая скорость плазмы много меньше токовой скорости, можно перейти от уравнений двухжидкостной гидродинамики плазмы к од-ножидкостной модели квазинейтральной полностью ионизованной плазмы, названной простой моделью плазмы с лондоновским током [4]:
% + Щри) = 0, ^ + = -— - К0УА2, УхУх А = -К0рА, (1)
оъ оъ р 8п
где Р - давление плазмы, р и v - плотность и скорость плазмы. К0 = 4п Z е2 /тетгсС2, Ze и тг - заряд и масса иона, те - масса электрона, с - скорость света в вакууме. Из последнего уравнения системы (1) следует, что при А ± Ур имеем кулоновскую калибровку для А.
Решение уравнений (1) для УВР представляет собой ток, текущий по поверхности разрыва, который распространяется в сторону плазмы с большей плотностью [4]. Этот ток генерирует магнитное поле по обе стороны разрыва, причем большее магнитное поле генерируется на стороне с большей плотностью плазмы. Магнитное поле, в свою очередь, индуцирует обратные лондоновские токи на обеих сторонах разрыва. УВР сверхзвуковая так же, как и ударная волна сжатия.
Гофрировочная неустойчивость УВР. Рассмотрим плоскую УВР в системе координат, движущейся вместе с разрывом. Можно считать, что плазма движется перпендикулярно поверхности разрыва с обеих его сторон, т.е. скорость плазмы Vl,2 параллельна п, где п - единичная нормаль к поверхности разрыва, а индексы 1 и 2 обозначают невозмущенную скорость на сторонах разрыва. Исследуем периодические возмущения плоской УВР с волновым вектором к, перпендикулярным к п, причем берем такие к, что к и п перпендикулярны к направлению тока, текущего по поверхности разрыва, а значит, и к невозмущенному значению А. Будем искать возмущение скорости плазмы в виде 8v = 8vtk/k, а возмущение векторного потенциала а примем параллельным А. При этом возмущение произвольного параметра плазмы или поля является плоской волной, в которой ш - частота возмущения, к - компонента волнового вектора вдоль п, а к - волновой вектор вдоль поверхности разрыва. Далее действуем в рамках подхода, развитого в [11, 12].
Для невозмущенных значений плазмы и поля и для их возмущений на сторонах УВР получим из системы (1) соотношения для непрерывности потока импульса
{Р + pvl + В2/8п} = 0, {¿Р + 5pvl + БА/4п] = 0, (р^ - Бфп/4п} = 0. (2)
Фигурными скобками обозначена разность значений параметра на сторонах разрыва, B = V х A - магнитная индукция, причем B = Btk/k. Индексы t и n обозначают тангенциальные и нормальные к разрыву компоненты векторов. Здесь SP и Sp - возмущения давления и плотности плазмы, а bn и bt - компоненты возмущения магнитной индукции. Второе уравнение из системы (1) запишем для возмущений плазмы и поля следующим образом
âôvt д ( Btôbt\ д ( х Btbn\
pJn = -дП[6Р — -Щ \pvjvt — -4П-) , (3)
где п и £ - координаты вдоль векторов k и n, соответственно.
Для возмущения скорости ôvt используем уравнение дт/dt + vndr/д£ = 8vt. Параметр т определяет смещение возмущения плазмы вдоль вектора k. С помощью выражений (2) преобразуем уравнение (3) к дисперсионному соотношению для гофрировочной неустойчивости УВР
ш(ш — Kvn)p + k2(^7pv2n + 3и^ | = 0. (4)
Здесь U = 2nj2/ш"2 - плотность собственной энергии токов, индуцированных на сторонах разрыва, а шр - плазменная частота. При выводе соотношения (4) принималось, что давление плазмы P изменяется по адиабатическому закону на сторонах разрыва.
Далее будем рассматривать случай сильной УВР, когда pi ^ p2 и Ui ^ U2. А также Ui ^ p1 v"2, p2v\ и |ш| ^ K1v1. В итоге соотношение (4) примет вид ш2p1 + 5U1k2/3 ~ 0. Тогда для инкремента гофрировочной неустойчивости сильной УВР запишем выражение v = (5U1/3p1)1/2k. Из системы (1) также следует, что ш2 ~ —2U1p-1(k2 + к1)(1 + L2(k2 + к1)) 1, где L = c/шр - лондоновская глубина проникновения. Отсюда, используя дисперсионное соотношение для сильной УВР, получим связь между волновыми числами k и к1, которая показана на рис. 1 для безразмерных волновых чисел kL ^ k и к1 L ^ K.
Имея в виду пинчевые разряды, теорию гофрировочной неустойчивости сильной плоской УВР можно применить в случае цилиндрической УВР, учитывая, что L ^ R, и рассматривая возмущения с K1L > 1, где R- радиус цилиндрической УВР, определяемый, например, радиусом изолятора.
Мы связываем генерацию токовых филаментов в ПФ с гофрировочной неустойчивостью сильной УВР, причем период формирования филаментов tp определяется инкрементом гофрировочной неустойчивости v, а именно tp > v-1. Оценим период формирования филаментов tp в ПФ. Для сильной УВР v ^ vs1k, где vs1 - ионно-звуковая
1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5
0.41-.-.-*-х-.-
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
К
Рис. 1: Безразмерные волновые числа гофрировочной неустойчивости сильной УВР.
скорость в плазме перед УВР. При к ~ шр/с можно записать, что < с/(ш^31). Подставим сюда значения электронной температуры плазмы Те ^ 1 эВ и концентрации Пе ^^
1015 см 3, что соответствует нескольким процентам ионизации газообразного дейтерия. Тогда Ър < 100 нс. Заметим, что для вычисления Ър необходимо развить нелинейную теорию гофрировочной неустойчивости УВР, что, впрочем, выходит за рамки нашего исследования.
Вынужденная фшламентация ПФ. В установках ПФ с простой конструкцией используют металлические трубчатые электроды, которые располагаются на одной оси (катод снаружи). Изолятор ПФ имеет форму полого цилиндра с высотой, меньшей высоты электродов, и помещается между электродами также соосно. Поверхность катода загнута к изолятору. В свою очередь, генерация тока в ПФ происходит у боковой цилиндрической поверхности изолятора в результате образования токовой волны, распространяющейся в сторону от изолятора, которая, тем не менее, оставляет почернение как на поверхности изолятора, так и на близлежащих поверхностях электродов [1]. Сильная расходящаяся цилиндрическая УВР обладает свойствами, необходимыми для описания генерации тока в ПФ, в том числе она описывает почернение изолятора и прилегающих к нему поверхностей электродов, так как формирует гиперзвуковые потоки разреженной плазмы, направленные на изолятор и на поверхности электродов. Будучи неустойчивой, сильная УВР порождает сверхзвуковые филаменты, которые устремляются к оси ПФ, взаимодействуют между собой и замедляются, останавливаясь вблизи оси разряда.
т-1-1-1-г
Можно добиться вынужденной генерации филаментов в ПФ, если использовать металлические вставки в местах контакта электродов с изолятором [2]. При этом вставки должны иметь зубчатый край для стимуляции гофрировочной неустойчивости с заданным масштабом модуляций, совпадающим с размером зубцов на вставках. Тогда мы способны получить любое число филаментов в токовой оболочке. Однако необходимо определить оптимальное количество филаментов в ПФ, при котором рентгеновское и нейтронное излучения максимальны. Для этого обратим внимание на результаты экспериментов в пинчевых разрядах, где такая задача была решена, а именно в сборках проволочек, используемых в сильноточных генераторах [13, 14]. Там тоже образуются филаменты, названные из-за наблюдаемой геометрии струями. При этом их число пропорционально числу проволочек. Оптимальное число проволочек определяется выражением N > 100Я, где Я - радиус массива проволочек в сантиметрах. Для поиска оптимального числа филаментов в ПФ предлагаем использовать также соотношение N ^ 100Я, где N- число зубцов в металлической вставке, а Я - радиус изолятора. Заметим, что для вынужденной филаментации токовой оболочки ПФ можно применять не только металлические вставки, но и выполнять сверление поверхности электродов вдоль линии контакта с изолятором.
Заключение. В работе представлены результаты исследования механизма генерации токовых филаментов в ПФ, связанного с развитием гофрировочной неустойчивости сильной УВР. Для этого использовалась простая модель плазмы с лондоновским током. Показано, что инкремент гофрировочной неустойчивости определяется плотностью собственной энергии токов, индуцированных на стороне сильной УВР с большей плотностью плазмы. Рассматривается возможность вынужденной оптимальной фила-ментации токовой оболочки ПФ с помощью металлических вставок специальной формы.
ЛИТЕРАТУРА
[1] A. Bernard, H. Bruzzone, P. Choi, et al., J. Moscow Phys. Soc. 8, 93 (1998).
[2] Н. В. Филиппов, Физика плазмы 9, 25 (1983).
[3] V. Ya. Nikulin, S. A. Startsev, and S. P. Tsybenko, IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series 907, 012024 (2017).
[4] V. Ya. Nikulin and S. P. Tsybenko, Phys. Scripta 55, 90 (1997).
[5] В. Я. Никулин, С. П. Цыбенко, А. Е. Гурей, Краткие сообщения по физике ФИАН 44(6), 15 (2017).
[6] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Гидродинамика (М., Наука, 1988).
[7] J. W. Bates, Phys. Rev. E 91, 013014 (2015).
[8] D. Y. Klimushkin, V. M. Nakariakov, P. N. Mager, and O. K. Cheremnykh, Solar Phys. 292, 184 (2017).
[9] Г. Е. Ходенков, Письма в ЖТФ 29(21), 62 (2003).
[10] F. London, Superfluids (New York, Wiley, 1950).
[11] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред (М., Наука, 1992).
[12] S. P. Tsybenko, J. Plasma Phys. 62, 117 (1999).
[13] T. W. L. Sanford, G. O. Allshouse, B. M. Marder, et al., Phys. Rev. Lett. 77, 5063 (1996).
[14] M. G. Haines, Plasma Phys. Control. Fusion 53, 093001 (2011).
Поступила в редакцию 22 ноября 2018 г.
После доработки 9 апреля 2019 г. Принята к публикации 10 апреля 2019 г.
