Глобальная оптимизация каскада экстракторов с рециклом по экономическому критерию Текст научной статьи по специальности «Математика»

растворителя не являются определяющими в общем значении экзотермической величины энтальпии растворения. По-видимому, более значительную роль играют экзотермические эффекты специфических и неспецифических взаимодействий.

ЛИТЕРАТУРА

1. Новоселов Н.П. и др. // ЖПХ. 1999. Т.72. №7. С.1192.

2. Новоселов Н.П., Сашина Е.С. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 1999. Т.42. Вып. 4. С.91.

3. Новоселов Н.П., Сашина Е.С., Козлов И.Л. // ЖФХ. 2001. Т.75. №7. С.1254-1257.

4. Kabrelian V. et al. //Acta Polym. 1988. V.39. №12. P.710-714.

Кафедра теоретической и прикладной химии

5. Berger W. et al. // Acta Polym. 1989. V.40. №5. P.351-358.

6. Berger W. et al. // Acta Polym. 1990. V.41. №1. P.25-31.

7. Рожкова О.В., Мясоедова В.В., Крестов Г.А. //

Химия древесины. 1985. №1. С.26.

8. Цветков Г.А. // В кн.: Термодинамика органических соединений. Изд-во Горьковского гос. ун-та. Горький.

9. Белоусов В.П., Морачевский А.Г. Теплоты смешения жидкостей. Л.: Химия. 1970.

10. Волынская А.В., Годовский Ю.К., Папков В.С. //

ВМС. 1979. А21. №5. С.1059-1063.

11. Тагер А. А. Физико-химия полимеров. М.: Химия. 1972.

УДК 658.512.011.56

А.Г. АНАНЧЕНКО, В.А.ХОЛОДНОВ, А.Е. ПУНИН

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ КАСКАДА ЭКСТРАКТОРОВ С РЕЦИКЛОМ ПО ЭКОНОМИЧЕСКОМУ КРИТЕРИЮ

(Санкт-Петербургский государственный технологический институт (ТУ))

В статье приводится метод глобальной оптимизации для решения различных задач химической технологии. Предложенный подход к решению задачи глобальной оптимизации поверхности отклика позволяет определить глобальный экстремум в процессе вычислительного эксперимента на модели химико-технологической системы (ХТС). В качестве примера рассмотрена задача определения глобального максимума дохода для каскада экстракторов с рециклом.

Проблемы глобальной оптимизации в настоящее время являются передним краем теории математического программирования и вычислительной науки в целом. В тоже время они имеют важнейшее значение для практики.

Специфика задачи оптимизации (ХТС) заставляет предполагать многоэкстремальность целевой функции. Среди факторов и задач, порождающих многоэкстремальность следует отметить следующие:

- билинейность детерминированных математических моделей,

- рециклы по теплоте и веществу, которые часто порождают множественность стационарных состояний,

- решение обратных задач химической технологии.

Кроме этого, в задаче экономической оптимизации всегда есть основания предполагать,

что наилучшее значение критерия может лежать близко к границе множества оптимизации. При этом без масштабирования размеры множества оптимизации относительно велики.

Эти соображения позволяют предположить, что методы глобальной оптимизации для решения рассматриваемых задач будут весьма эффективны в сравнении с локальными методами оптимизации.

Один из способов решения задачи глобальной оптимизации ХТС состоит в реализации двух основных этапов.

На первом этапе формируется математическая модель ХТС, с ее помощью проводится вычислительный эксперимент и по его результатам строится аппроксимация поверхности отклика. Эта аппроксимация является моделью целевой функции. Вычисляются оценки погрешности такой аппроксимации.

На втором этапе одним из эмпирических методов глобальной оптимизации [1] находится приближение к глобальному экстремуму. Погрешность этого приближения лишь в исключительных случаях оценивается по известным формулам [1,5] и существенно зависит от значений параметров метода. Описанный ниже подход к решению задачи глобальной оптимизации поверхности отклика позволяет определить глобальный экстремум в процессе вычислительного эксперимента на модели ХТС.

Проводя вычислительный эксперимент, исследователь фактически многократно находит решение задачи с априори известной ошибкой. Поэтому естественно предложить для проведения таких экспериментов стратегии планирования, использующие методологию какого-либо эмпирического алгоритма глобального поиска. Процедура вычисления значений целевой функции, заданной явно в указанной точке, заменяется определением значения отклика в соответствующей точке факторного пространства.

Подробно трех точечный алгоритм, взятый за основу в данной работе, описан в [2]. Ниже представлена процедура построения плана экстремального вычислительного эксперимента с модификацией, позволившей увеличить эффективность алгоритма. Предлагаемый подход иллюстрируется на примере решения задачи глобальной оптимизации приведенного дохода для последовательности экстракторов с рециклом. Рассмотрим задачу оптимизации поверхности отклика с помощью вычислительного эксперимента.

Пусть М (р, х) - математическая модель ХТС, реализованная на ЭВМ. Здесь р - вектор параметров модели (может содержать неопределенные параметры), х = (х1, х2, ...хп) - вектор влияющих факторов. Для каждой компоненты определяются пределы изменения

Я1 < X; < Ь; 1 = 1...П (1)

причем ^ = |а; - Ь; | достаточно велико для всех 1=1...п.

Параллелепипед, определяемый неравенствами (1), назовем множеством оптимизации Х. Пусть У- реализация М (р, х) в некоторой точке х е Х при некотором наборе параметров р. Назовем У откликом в точке х. Задача оптимального эксперимента:

^ *

(I) Определить точку х е Х такую, что

^ ^ *

У= М (р, х ) наилучший (минимальный или максимальный) отклик на всем множестве Х.

(II) Определить степень влияния составляющих

вектора р на наилучшее значение отклика.

Заметим, что решение задачи (I) возможно только в вероятностном смысле, то есть определяется значение У, которое с некоторой вероятностью р является приближением к наилучшему.

Ниже предлагается метод решения задачи (I). Решение задачи (II) возможно, в частности, построением мультипликативной функции по методу Брандона [3].

Процедура проведения глобального экстремального эксперимента состоит из следующих шагов:

1. Построение начальной сетки 8 = {X; }=1. На множестве оптимизации Х т раз моделируется равномерное распределение Р(ц), где ц - мера на отрезке [0,1].

2. Построение траектории Т из каждой точки .

2.1. Процедура построения сетки-плана в окрестности точки факторного пространства. Множество точек сетки

80(1) = ^(1) = Х(1) + а^, к=0.

Здесь а - эмпирический параметр поиска, определяющий величину окрестности; т - число точек сетки; ^ ^ _)-я реализация равномерного случайного вектора.

2.2. Оптимальный вычислительный эксперимент.

В точках Х(-1) сетки определяются значения отклика Yj и выбирается наилучшее (минимальное или максимальное в зависимости от

*(1)

постановки задачи) Ук , соответствующее точке

-* - *(1) ^ = хк •

2.3. Процедура построения сетки в окрестности

точки X

*(1) . к .

2.4. Алгоритм отсечения.

2.4.1. Построение гиперконуса К^ с данным углом раскрытия р;

Осью К

(1)

(хк-)),хк(1)). Для точек х(к е К

является гиперпрямая (1) е К(1)

jk

выполняется

условие

п

Е а1Ь1

1=1

< 008(^2), где

_, *(1)ч , *(1)ч

а 1 = (хк )1 - (хк+1 )1

Ь1 = (хк*(1))1 - ^к*(1))1

1 = 1...п

здесь круглые скобки означают, что рассматривается 1-я координата данной точки.

2.4.2 Исключение из сетки точек х(к ,

таких что

х(к) * б« п кк1)

обозначим

8« = 8« п кк1)

2.5. Оптимальный вычислительный эксперимент в точках .

2.6. Алгоритм сравнения - исследование трехточечной истории по неравенствам и определение точек, подозрительных на экстремум.

Если для трех последовательных точек хк_2,

хк-1, хк траектории выполнено

* *

Ук-2 > Ук -1 *2 * , (2) Ук > Ук-1

то точка хк-1 отмечается как подозрительная на минимум, движение по данной траектории заканчивается. Если выполнены обратные неравенства, то точка считается подозрительной на максимум. Если выполнено

Ук-2 > Ук-1 > Ук

к-1

к *(1)

Последовательность /к=1 является

полной траекторией поиска Т(1)(р), исходящей из

точки х(1). Точки хк(1) являются узлами траектории. Число узлов р является вместимостью траектории. Последовательность {хк(1)} есть проекция траектории на множество Х. Величина

р

ь= Е

к=1

*(1)

*(1)

есть длина траектории Т(1)(р).

Недостатком этого подхода является необходимость относительно большого количества опытов. Этот недостаток становится препятствием к реализации подхода для проведения реальных экспериментов. Предложенная в работе модификация алгоритма также позволяет сократить вычислительные проблемы.

В процессе построения траекторий поиска представляется целесообразным использовать эмпирическую процедуру отсеивания неперспективных траекторий. Принцип этой процедуры состоит в следующем:

После построения частичных траекторий

Т(1)(р1), 1=1. т проводится сравнение. Если для некоторых подпоследовательностей Т(1)(р1) и, Т(-')(р1) выполнено

У*(1) У*со

< Г„

то есть, если все значения подряд возрастают, то

(1)

угол у раскрытия гиперконуса К^ уменьшается вдвое.

Проверка условия останова и если условие не выполняется, то переход к шагу 2.1. с заменой к на к+1.

Блок 2 повторяется т раз. Построение траектории прекращается в одном из трех случаев: каждая траектория строится до тех пор, пока не найдена точка, подозрительная на экстремум, то есть выполняются неравенства (2), очередной узел траектории не принадлежит множеству Х. - число узлов траектории превысило заданное Р.

Таким образом, формируется список подозрительных и граничных точек. Из этого списка выбирается наилучшее (максимальное или минимальное).

3. В окрестности наилучшего значения отклика строится композиционный план и аппроксимация поверхностью второго порядка. На этой поверхности локальными методами определяется экстремум.

А для их проекций выполнено

*(1)

*о>

хк

хк

< Гх

То, если

Ук*(1) < у*

(3)

(4)

(5)

то траектория Т(1)(р1) отсеивается как неперспективная. Поиск ведется по траектории Т^^). Если выполнены противоположные неравенства, отсеивается траектория Т(-') (р1). Последний вывод, связанный со знаком неравенства (6), зависит от постановки задачи оптимизации, то есть от экономического смысла целевой функции.

Если выполнены только неравенства (4) и

(6), тогда при поиске по траектории Т(-,)(р1) на

следующем шаге увеличивается параметр а, определяющий величину окрестности и угол раскрытия конуса; если неравенство (4) выполнено для

следующих п1 шагов, то траектория Т(-') (р1) отсеивается как неперспективная.

Эмпирическими параметрами алгоритма

являются:

М- число траекторий поиска. Зависит от размеров и структуры множества оптимизации Х. а- параметр, определяющий величину окрестности

*(i)

то есть

x*(i) _ Х*(j) Xk Xk

< а за-

В качестве критерия оптимизации Я принят доход от установки:

Я = 2О(Хр - Х4) - а8-^2 + №3 + №4) (6) Уравнения равновесия имеют вид:

узла траектории хкч

висит от размеров множества Х, числа траекторий т, может изменяться в ходе поиска.

у - угол раскрытия гиперконуса К^. Зависит

также от числа траекторий, значения параметра а. Мк- число реализаций случайного вектора в окрестности узла хк . Зависит от значения параметра а.

Р1- вместимость частичной траектории, для которой необходимо проводить отсеивание неперспективных траекторий. Зависит от размеров множества Х. Ях, ЯУ -пороговые расстояния для алгоритма отсечения. Зависят от размеров множества Х. Р- длительность алгоритма, максимальная вместимость каждой траектории.

В качестве примера рассмотрена задача определения максимума дохода для каскада экстракторов с рециклом [4].

Примем следующие обозначения: О, ОЯ - расходы входного потока и потока рецикла, кмоль/час.

Хр,Х!,у! - концентрации извлекаемого вещества во входном потоке, в соответствующем потоке экстракта и рафината, мольные доли. №2, №3, №4 - расход экстрагента, кмоль/час. а8-относительная стоимость растворителя. 2- коэффициент, учитывающий стоимость извлекаемого вещества. (в расчетах 2=1).

В качестве варьируемых переменных выбраны:

О - расход входного потока, а8 -относительная стоимость растворителя. хр - концентрация извлекаемого вещества во входном потоке. Значение ОЯ =1.

№3, №4 - расход экстрагента.

Математическая модель рассматриваемой ХТС [4] представляет собой систему уравнений: О• Хр + ОЯ • х4 = (ОЯ + О) • х1 (О + Ок) • Х1 - №2 • У2 = (О + Ок) • Х2

У2 = ДХ2) (О + ОЯ) • Х2 -№3 • Уз = (О + ОЯ) • Х3

Уз =f(xз) (О + Ок) • Х3 - №4 • у4 = (О + Ок) • Х4

У 4 = ^^

У1 =

12.5 • xj + 3.7• x? _ 113• x3 xj <0.1

3.94• xj _29.6• x2 + 74• x3 xj>0.1

I=2_4.

Lj _ 29.6 • xj + /4 • xj xj 1

Вычислительный эксперимент был реализован в MATCAD PRO 2001i. План вычислительного эксперимента представлял собой равномерную случайную сетку. В качестве отклика использовали значения критерия (6) По каждой переменной равномерное распределение моделировали независимо от распределений по другим переменным. Множество оптимизации Х определяли следующими неравенствами:

0.5>G>2, 0.2>xf>1, 0.01>as>0.1, 0.1>W2>0.9, 0.1>W3>0.9, 0.1>W4>0.9 Результаты поиска при разных наборах параметров представлены в таблице 1.

Таблица 1.

Результаты поиска при разных наборах параметров.

Параметры алго ритма глобального поиска Y*

М Мк А1 а2 А3 А4 Р1 N1 Rx Ry P

5 10 45 0.25 0.15 0.01 0.07 5 2 0.01 0.2 20 1.103

7 10 45 0.25 0.15 0.01 0.06 5 2 0.01 0.2 20 1.304

10 8 30 0.15 0.1 0.01 0.05 4 2 0.01 0.2 15 1.412

12 7 30 0.5 0.1 0.01 0.05 4 2 0.01 0.2 15 1.339

Здесь параметры А! определяют величину случайного разброса точек по каждой координате. После нахождения приближения к глобальному максимуму У это приближение улучшали традиционным симплекс-методом. Результаты этой процедуры представлены в таблице 2.

Таблица 2.

Результаты локальной оптимизации.

Глобальный максимум 1.103 1.304 1.412 1.339

Улучшение локальным методом 1.388 1.401 1.421 1.421

Точки, образующие начальную сетку для набора параметров из третьей строки, представлены в таблице 3.

Таблица 3. Координаты точек начальной сетки.

G xf as W2 W3 W4 R

1 2 3 4 5 6 7

1.35 0.30 0.09 0.70 0.46 0.40 0.15

1.80 0.50 0.08 0.28 0.25 0.30 0.14

0.70 0.35 0.06 0.20 0.34 0.45 0.11

1.90 0.54 0.02 0.35 0.48 0.49 0.56

Окончание таблицы 3.

1 2 3 4 5 6 7

1.20 0.21 0.05 0.64 0.68 0.98 0.20

1.00 0.19 0.03 0.38 0.30 0.26 0.08

0.92 0.72 0.05 0.64 0.45 0.47 0.17

0.8 0.90 0.09 0.25 0.85 0.30 0.49

0.56 0.65 0.07 0.74 0.14 0.60 0.21

1.7 0.81 0.05 0.85 0.50 0.74 0.92

После четырех шагов (см. таблицу 1) было произведено отсеивание трех траекторий, исходящих из 1-ой, 6-ой и 9-ой точек. В таблице 4 представлены значения откликов для этих траекторий.

Таблица 4.

Траектории, приводящие в точки подозрительные на максимум.

0.145 0.166 0.303 0.210

0.401 0.689 0.541 (*)

0.123 0.145 0.168 0.149

(*) Вторая траектория состоит из трех узлов.

Таблица 5.

Узлы и значения отклика для траектории, приводящей к решению задачи.

G as хР W2 W3 W4 Y*(i)

1.70 0.04 0.81 0.85 0.50 0.73 0.924

1.72 0.04 0.92 0.74 0.51 0.74 1.104

1.78 0.17 0.88 0.79 0.50 0.74 1.138

1.77 0.02 0.89 0.81 0.56 0.71 1.252

Решением задачи является значение отклика У =1.252 при значениях

0=1.77, а8=0.02, хр=0.89 W2=0.81, Wз=0.56, W4=0.7L

Анализируя таблицу 1, можно сделать следующие выводы:

- Параметром, наиболее существенно влияющим на эффективность метода, является вектор-параметр А=(АьА2...Ап), который определяет количество вычислений отклика.

- Количество точек, подозрительных на экстремум, не позволяет вынести суждение об эффективности метода в смысле его глобальности.

В данном примере ни одна из трех траекторий, определившая точку, подозрительную на экстремум, не привела к решению задачи. Решением задачи является точка, которая лежит близко к границе множества оптимизации. Это говорит о том, что, во-первых, для решения этой задачи было необходимо применять глобальные методы оптимизации, во-вторых, точка, найденная в работе [4], является локальным максимумом и траектория из третьей строки таблицы 4, очевидно, попала в зону его притяжения.

Таким образом, предложенный метод позволяет решать глобальную задачу оптимизации ХТС, позволяет избежать накопления погрешности вычислений из-за отсутствия процедуры построения аппроксимации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жиглявский А. А., Жилинскас А.Г. Методы поиска глобального оптимума. М.: Наука. 1991.

2. Волынский Э.И., Зильберман И.А. К вопросу о глобальном оптимизаторе. Автоматика и вычислительная техника. 1975. № 5. С 58-61.

3. Ахназарова С. Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии. М.: Высшая школа. 1985. С.205.

4. Холоднов В.А., Хартманн К. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 1998. Т.41. Вып.6. С.66-70.

5. Стронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах. М.: Наука. 1978. 239 с.

УДК 66.061.34

И.Г. ТРУНОВА, К.М. ЭЛЬКИНД, К.Н. ТИШКОВ, Е.Г. ИВАШКИН

ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕТИКИ ВЫЩЕЛАЧИВАНИЯ ГУМИНОВЫХ КИСЛОТ

ИЗ ОСАДКОВ СТОЧНЫХ ВОД

(Нижегородский государственный технический университет)

Исследована кинетика выщелачивания гуминовых кислот из осадков сточных вод. Показано, что процесс лимитируется химической стадией. Проведено математическое моделирование и оптимизация процесса выщелачивания.

Образующиеся на городских очистных сооружениях осадки сточных вод (ОСВ) содержат ряд токсичных компонентов, таких как тяжелые метал-

лы, болезнетворные микроорганизмы и т.д., что делает их достаточно серьезным источником загрязнения окружающей среды. В то же время содержа-