Gl(v )-продолжения векторных полей и одномерные когомологии алгебр Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

Вестник Омского университета, 2002. №2. С. 32-34.

© Омский государственный университет УДК 534.123:530.712-534.12

GL(V) -ПРОДОЛЖЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И ОДНОМЕРНЫЕ КОГОМОЛОГИИ АЛГЕБР ЛИ

С. П. Барановский

Омский государственный университет, кафедра общей физики 644077, Омск, пр.Мира, 55A1

Получена 29 января 2002 г.

In the present paper the theorem, that provides isomorphism between space of non-trivial prolongations for one-dimensional representations and one-dimensional cohomolgy of an appropriate Lie algebra, has been proven. As an illustration of the proposed formalism the one-dimensional cohomology groups for Lie algebras of vector fields on R1 and S1 have been calculated.

1. )-продолжения векторных по-

лей

Пусть M-вещественное гладкое многообразие размерности dim M, G — алгебра Ли однородных дифференциальных операторов первого порядка (векторных полей) на пространстве M, то есть G = {Xi = Ха(ж)Джа} (a = 1,...,dimM, i = 1,..., dim G) так, что

[Xi,Xj ] = Cj Xk,

где Ck — структурные константы алгебры Ли G. Пусть V — некоторое векторное пространство, GL(V) — группа Ли преобразований пространства V и gl(V) — алгебра Ли группы GL(V). Без потери общности будем считать, что под группой GL(V) и соответственно под алгеброй gi(V) подразумевается их конкретная (например матричная) реализация.

Введем следующее:

Определение 1 Назовем неоднородный линейный оператор

Xi = Xi + Xi

(1)

gl(V) -продолжением векторного поля Xi, если имеется отображение (dim G -компонентная функция )

X : M ^ gl(V),

такое, что операторы Xi удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли G

[Xi, Xj] = Cj Xfc.

(2)

1 e-mail: [email protected]

Далее, gi(V) -продолжения будут называться просто продолжениями, и кроме того там, где это возможно, продолжением будет называться и сама функция X.

Используя формулы (1) и (2), получим нелинейное уравнение на компоненты функции X:

X? Xj - XJ Xi,a + [Xi, Xj ] = Ck Xk. (3)

Пусть оператор X является gi(V) -продолжением векторного поля X , тогда легко проверить, что оператор

X' = A-1(x)X A(x) (4)

также является gi(V)-продолжением (здесь A(x) — произвольная гладкая GL(V) -значная функция на M). Соотношение (4) позволяет нам ввести соотношение эквивалентности.

Определение 2 gl(V) -продолжения Xi и X' будем называть эквивалентными, если существует такая гладкая GL(V) -значная функция на M, что выполняется соотношение (4).

Простейшим решением уравнения (3) с очевидностью является нулевое отображение X , то есть Xi = 0 для всех i = 1,..., dim G. Применяя к такому решению эквивалентность (4), получим

X 'i = A-1(x)XiA(x) = Xi + XJA-1 (x)A(x),„.

Полученный класс эквивалентности играет важную роль в построении продолжений векторных полей на однородных пространствах, поэтому мы выделим этот класс, введя следующее

Определение 3 Продолжение, эквивалентное нулевому, будем называть тривиальным.

gl(V) -продолжения векторных полей.

33

Явный вид dim G-компонентной функции х для тривиальных продолжений легко получить из соотношения (4), а именно, для продолжения х эквивалентность (4) принимает вид

X' = A-1(x) xA(x) + XaA-1(x)A(x),a. (5) Отсюда получим для тривиального продолжения Xtr = A-1(x) XaA(x),a.

Отметим, что приведенная здесь задача является обобщением проблемы построения алгебр Ли неоднородных дифференциальных операторов первого порядка (см. [1]).

2. Одномерные когомологии алгебр Ли

Рассмотрим специальный случай, когда dim V = 1. В этом случае имеем [xi, Xj ] = 0, что приводит к значительному упрощению уравнения (3). Более того, появляется возможность связать с задачу о gl(V)-продолжениях с топологическими характеристиками алгебры Ли G. А именно, имеет место следующая

Теорема 1 Пространство нетривиальных gi(V)-продолжений для одномерного пространства V изоморфно одномерной группе когомологий ff1(©,CTO(M)) алгебры Ли G .

Доказательство. Будем следовать обозначениям и терминологии, принятым в работах [2,3].

Пусть р — естественное представление алгебры Ли G, то есть (см. [3]), представление G векторными полями, определенными на M. Пусть ш — 1-коцепь, тогда, согласно [3], действие когра-ничного оператора s на коцепь представляется в виде

(sw)(ei,ej) = p(ej)w(ej) - p(ej)w(ei) - w([ei,ej]),

(6)

где ei — базис алгебры Ли G.

По определению, коцепь ш является 1-коцик-лом, если sw = 0, кроме того, ш — 1-кограница, если имеет место соотношение ш = sa = p(ei)a, где а — некоторый нульмерный коцикл (функция). Учитывая формулу (6), условие коциклич-ности можно переписать в явном виде:

p(ei)w(ej) - p(ej)w(ei) - w([eb ej]) = 0. (7)

Для того чтобы завершить доказательство, в приведенных выше соотношениях положим p(ei) = Xi, w(ei) = Xi. Тогда с очевидностью имеем, что

уравнение (7) тождественно совпадает с уравнением (3) в случае, когда [Xi,Xj] = 0, а кограницы - есть ничто иное как тривиальные продолжения. Из определения группы когомологий )) как фактор-множества всех коциклов по всем кограницам немедленно приходим к утверждению теоремы.

Результаты, приведенные выше, могут быть обобщены на случай, когда © — бесконечномерная алгебра Ли. Отметим, что в этом случае возникает связь предложенного в первом параграфе подхода с когомологиями бесконечномерных алгебр Ли (см. [4]). В качестве примера рассмотрим группу диффеоморфизмов окружности БШ (Я1), генераторами действия этой группы на Я1 являются операторы

Xm = ехр(гшф)Дф, m G Z,

(8)

которые удовлетворяют коммутационным соотношениям:

[Xm,X„] = i(m - n)X.

m+n

m,n G Z. (9)

В теоретической физике алгебра, задаваемая соотношениями (9), называется алгеброй Вирасо-ро. Сама окружность Я1 является однородным многообразием группы БШ (Я1), где алгебра Н группы изотропии Н порождается операторами {Ет = Хт — Хо} и удовлетворяет следующим коммутационным соотношениям:

[Ет, Е„] = г(п — ш)Ет+„ — тЕ„ + гшЕга. (10)

Будем искать решение уравнения (7) в виде

Хт = ехр(гтф)Ат.

Тогда, с учетом (9), получим уравнение, которому должны удовлетворять величины Ат :

(п — ш)Ап+т + тАт — пА„ = 0. (11)

Данное уравнение имеет следующее решение:

Am = (1 - m)Ao + mA1;

(12)

где Ао и А1 — произвольные комплексные числа, откуда следует, что множество всех продолжений изоморфно С2. Приведем явный вид функций Хт(ф) :

Хт(Ф) = ехр(гшф)((1 — ш)Ао + ША1). (13)

Рассмотрим соотношение эквивалентности (5). В качестве функций А выберем скалярные функции вида А = ехр(г^ф), тогда

Am = Am + Ф, ^ G Z.

(14)

34

С. П. Барановский

Из последнего выражения получим, что тривиальные продолжения операторов (8) определяются целым числом ^, следовательно, пространство тривиальных продолжений изоморфно Z. Отсюда имеем, что пространство нетривиальных продолжений операторов (8) изоморфно фактор-пространству С2^.

Рассмотрим теперь пространство М1, которое является универсальным накрытием окружности. Действительно, для этого достаточно отказаться от требования целочисленности величин т и п в соотношениях (8) и (9). Таким образом, пространство всех продолжений в этом случае также изоморфно С2, но в выражении (14) ^ теперь может быть произвольным комплексным числом, то есть пространство тривиальных продолжений изоморфно С . Тогда для продолжений на М1 окончательно получим, что пространство всех нетривиальных продолжений изоморфно С2/С = С.

Из сказанного выше имеем: Н 1)) =

С2^ и Н 1(©2,СТО(М1)) = С, где ©1 - алгебра Вирасоро (9), ©2 — соответствующая алгебра для пространства М1. Отметим, что результат для группы одномерных когомологий прямой М1 совпадает с результатом, полученным в работе [3], а также , что приведенные результаты можно было получить, основываясь на Предложении 2 из работы [5]. Применение данного предложения позволяет сразу же рассматривать соотношение (11), не решая уравнения (7), так как рассматриваемые нами продолжения индуцируются одномерными представлениями подалгебры изотропии Н (в нашем случае Н задается соотношениями (10)). При этом одномерное представление определяется ковектором Л, удовлетворяющим уравнению

(Л, [Н,Н]> =0.

Откуда, используя (10), немедленно получаем (11).

[1] Широков И.В. // Изв. ВУЗ. Физика. 1997. №6. С. 25.

[2] de Azcárraga J.A., Izquierdo J.M., Pérez Bueno J.C. arXiv:physics/9803046.

[3] Жаринов В.В. // ТМФ. 2001. Т. 128. №2. С. 147.

[4] Фукс Д.Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. М.: Наука, 1984.

[5] Широков И.В. // ТМФ. 2000. Т. 123. №3. С. 407.