CC BY
5
DOI 10.36622/VSTU.2022.18.5.003 УДК 551.582.2
ГИСТЕРЕЗИСНАЯ МОДЕЛЬ ВЛАГООБМЕНА В ПОДСТИЛАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ В.И. Ряжских1, Ж.Б. Холмуродов2, В.С. Ножкин2, О.И. Канищева3
воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия 2Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», г. Воронеж, Россия 3Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Россия
Аннотация: динамика влагосодержания в подстилающей поверхности и атмосфере играет ключевую роль в моделях атмосферных процессов и явлений. В частности, процессы генезиса внутримассовой облачности, туманов испарения, дымок и др. напрямую связаны с влагосодержанием почвы и атмосферной влажностью. Кроме того, с учетом существенного вклада влагосодержания на энергетику атмосферы указанный параметр является ключевым фактором в формировании мезо- и микромасштабных движений воздушных масс. Наконец, атмосферное и связанное с ним влаго-содержание почвы вместе с барическим и температурным полем фактически определяют наличие (отсутствие) таких опасных природных явлений, как ливни, грозы, обледенение и др. В этой связи совершенствование моделей динамики влагосодержания подстилающей поверхности представляется важной и интересной задачей. Предлагается новая модель, описывающая динамику влагосодержания в почве, основанная на гистерезисной связи между удельным содержанием влаги в почве и матричным потенциалом. Указанная модель формализуется посредством системы дифференциальных и алгебраических уравнений. При этом в качестве модели гистерезисных связей используется преобразователь Прейсаха - модель континуальной системы неидеальных реле, соединенных параллельно. Полученные результаты в рамках вычислительного эксперимента - динамика влагосодержания в течение конечного временного промежутка - сравниваются с реальными данными на примере территорий, расположенных в южной части России и Узбекистана
Ключевые слова: влагосодержание в почве, гистерезис, дифференциальные уравнения, преобразователь Прейсаха
Введение
Изменение влагосодержания в подстилающей поверхности и атмосфере играет важную роль в атмосферных процессах и явлениях. В частности, процессы генезиса внутримассовой облачности, туманов испарения, дымок и др. напрямую связаны с влагосодержанием почвы и атмосферной влажностью. Влагосодержание почвы - важный климатический параметр, влияющий на основные метеорологические величины. Кроме того, учет в прогнозных моделях вла-госодержания почвы чрезвычайно важен при принятии решений об использовании сельскохозяйственных угодий. Существует несколько определений водного режима (ВР). В настоящей статье под таковым понимается совокупность явлений и процессов влагообмена в системе атмосфера - почва: перераспределение влаги, динамика ее содержания в капиллярах и др. [1-3]. Динамика влагосодержания почвы определяется ее расходом в течении некоторого промежутка времени. Известно, что водный режим оказывает определяющее влияние на генезис почвы и, в
© Ряжских В.И., Холмуродов Ж.Б., Ножкин В.С., Канищева О.И., 2022
свою очередь, обуславливается своей предысторией. Кроме того, водный режим определяется почвенными водно-физическими свойствами и биоклиматическими, литолого-
геоморфологическими факторами.
В начале XX века Г.Н. Высоцким были определены основы классификации ВР почв, позднее в середине века развиты А.А. Роде [13]. Согласно его трактовкам, основные типы ВР идентифицируются посредством связи между испарением влаги из почвы и ее проникновением в глубь почвы [2-7]. Указанная трактовка позволила выделить такие типы, как промывной и периодически промывной ВР. Непромывной ВР выделяется тем, что в многолетнем цикле испарения влаги в атмосферу меньше величины инфильтрации. Следует отметить также, что испарение влаги приближенно равно величине ее проникновения вглубь [5-7]. Кроме того, особо выделяют ирригационный и мерзлотный типы ВР. Указанное свойство обусловлено тем, что соотношение между трансфером влаги в атмосферу и ее проникновением в глубь почвы может изменяться в достаточно широких пределах. Что касается мерзлотного режима, то его свойства напрямую определяются наличием водоупорного слоя вечной мерзлоты, в то время как у ирригационного режима - внешнее регу-
лирование (в основном это связано с организацией дренажной сети, частоты и интенсивности поливов). Вместе с тем существуют подтипы ВР, в которых, в свою очередь, определяющими являются источники поступления влаги в почву, также принимаются во внимание среднегодовые показатели влажности почвы [7-10].
Основным источником влаги для почв являются атмосферные осадки. Кроме того, на ВР в значительной степени влияет внутрипочвен-ная конденсация влаги, происходящая как во внутренних объемах, так и на поверхности почвенного слоя. Систему таких источников принято считать атмосферным увлажнением почвы. При этом увлажнение почвы происходит неравномерно, во многом это связанно с перераспределением атмосферных осадков на ее поверхности. Кроме того, в большинстве случаев увлажнение почвы имеет нерегулярный характер, но есть и исключения, так, например, почвы низин, опушечных участков местности, частей склонов. Кроме атмосферных осадков, такие почвы питают местные (автохтонные) грунтовые воды. Среди иных источников влаги почв следует рассмотреть: грунтовые воды, характеризующиеся значительным ареалом, далеко уходящим за пределы рассматриваемых территорий, а также влагу, поступающую в процессе приливов и отливов морских и речных вод. На территории Российской Федерации зачастую встречаются почвы атмосферного увлажнения. При этом в северных широтах, а также Западной части Сибири и в низменностях Приморского края преобладают болотные почвы. Кроме того, в Западной Сибири, южной ее части присутствуют черноземно-луговые, луговые и лугово-болотные почвы с притекающим со стороны (аллохтонным) грунтовым увлажнением. Такие же почвы, но уже в меньшей степени, можно наблюдать на в европейской части России и на Дальнем Востоке. Аллювиальные и маршевые грунты выделяют в отдельную группу, это связано с дополнительным увлажнением за счет речных или приливно-морских вод. В [1] приведено понятие режим влажности почвы, который является динамическим показателем и под которым понимают функцию динамики влаги со временем. Явления, связанные с количественным и качественным содержанием влаги, вызывают движения между горизонтами. Кроме того, важную роль играют такие процессы, как испарение и конденсация, а также таяние и замерзание. Именно с их помощью определяется концентрация вещества в почве, а также его перенос в пределах
почвенного ареала.
Законы фильтрации жидкости. Закон Дарси
Движение жидкости в породах определяется многими факторами, среди которых важную роль играет размер пор в этих породах. В таблице представлены размеры и наименование пор.
Размеры и наименование пор
№ Наименование пор Размер пор, мкм
1 Сверхкапиллярные >508
2 Капиллярные от 0,2 до 508
3 Субкапиллярные <0,2
Движение жидкости в порах описывается известными законами гидравлики, особенно хорошо они работают в сверхкапиллярных порах. Силы молекулярного сцепления, возникающие в капиллярных порах, вызывают затруднение продвижения жидкости. При этом в субкапиллярных и вовсе данное движение исключено [8-10]. В связи с этим в подземной гидромеханике принято разделять горные породы на плотные и проницаемые.
Традиционно, формализованные законы фильтрации устанавливают соотношение между градиентом поля давления, которое, в свою очередь, определяет фильтрацию, и вектором скорости движения жидкости. Одним из наиболее известных законов является Закон Дарси (по имени автора - Анри Дарси), этот закон формализует фильтрацию жидкостей и газов в пористой среде. Дарси открыл его экспериментальным путем, однако этот закон является следствием осредненных уравнений Навье - Стокса, описывающих движение жидкости в пористой среде. В этой связи отметим работы [5] и [14], где закон Дарси устанавливается для пористых сред с периодической и случайной микроструктурой. Существенно, что этот же закон имеет место в ситуации фильтрации жидкостей, описываемых законом вязкого трения Ньютона. Применение закона Дарси в задачах фильтрации в неньютоновских жидкостях связанно с некоторыми ограничениями, обусловленными нелинейной (в общем случае) связью между градиентом давления и скоростью фильтрации. В этом случае применение закона Дарси (в классическом виде) корректно лишь при малых скоростях (т.е. когда уравнение Навье-Стокса допускает линеаризацию), в противном случае при больших скоростях зависимость становится нелинейной [1].
В настоящей работе предлагается новая
модель динамики влагосодержания в почвенных средах, основанная на гистерезисных свойствах процесса влагообмена. Для описания указанной модели нам понадобится привести основные свойства используемых в дальнейшем гистере-зисных преобразователей.
Входно-выходные соответствия гистерезисного преобразователя
В работе рассматривается двухпозицион-ное реле с границами а и ß , при условии, что (а<ß).
Пространством состояний неидеального реле является пара чисел (0, 1). Связь между входом u(t) е с[о, T] и переменным выходом x(t) е{од} устанавливается оператором R[a, ß, x0 ] [10]
x(t) = R[a, ß, X0 ]u(t),
(1)
где х0 - начальное состояние преобразователя.
Само начальное состояние х0 должно удовлетворять следующим условиям:
- если и(0) < а , то х0 = 0 ; если и(0) > р , то х0 = 1;
- если а < и(0) < р , то х0 = 0 или х0 = 1.
При этом выход преобразователя х(О (0 < t < т) определяется из выражения (2):
0,еслиu(t) < а,
1,если u(t) > ß, Х0,еслиu(t) е (а,ß)при всехт е [0,t],
x(t ) = 0, если u (t ) е (а, ß) и найдется такое (2) t1 е [0, t ),что u(t1) = а и u (т) е (а, ß)привсех те (t1, t ], 1,если u (t ) е (а, ß) и найдется такое t1 е [0, t ), чтоu(tj) = ßH u(t) е (а,ß)при всехт е (tj,t]
тальное описание этого преобразователя, а также его свойств приведено, например, в [15].
Континуальная система неидеальных реле, соединенных параллельно (преобразователь Прейсаха)
Для описания реальных гистерезисных явлений обычно используется континуальный аналог преобразователя, состоящего из реле, соединенных параллельно. Впервые этот преобразователь был введен Прейсахом [10, 12] для описания ферримагнитного гистерезиса. На основе дальнейших исследований было выявлено, что данная модель может использоваться для формализации гистерезисных звеньев и может быть внедрена в модели высокого уровня.
С этой целью рассмотрим один из частных классов гистерезисных преобразователей Прейсаха. Положим, что на полуплоскости вида Рар ={а, р: а < р} определена функция
X = Х(а,р). Данная функция является абсолютно непрерывной, неотрицательной и суммируемой на всей полуплоскости. Тогда на данной полуплоскости Рар имеет места мера /иар, которая определяется из следующего уравнения:
dßa ß = ^(а,ß)dodß .
(3)
влечет
При этом измеримость по мере /лаф
за собой измеримость функции по Лебегу. Таким образом, из самого определения следует, что мера является абсолютно непрерывной
относительно двумерной Лебеговой меры при выполнении следующего условия
Динамику входно-выходных соответствий неидеального реле демонстрирует следующий рис. 1.
а Р u
Рис. 1. Характеристика неидеального реле
Таким образом, можно сделать заключение, что преобразователь определен на пространстве непрерывных функций, он также является детерминированным и статическим. Де-
jV(v)dv •
(4)
где a-(v) определяется из соотношения
<j(v) = max Х(а,ß) .
а,ß,v=(а2 + ß2)1/2
(5)
Далее предполагается, что условия (4), (5) являются выполненными.
Следует отметить, что у - класс ограниченных функций, заданных на неотрицательной полуоси и удовлетворяющих условию Липшица с коэффициентом равным единице. Установим в рассмотрение множество скалярных
функций т(а,р), заданных на полуплоскости
x
Pa ß = {a,ß : а < ß}, и таких, что
а(а, ß) =
0, если а + 3 > \(3 -а),
1, если а + / < \(3 - а),
(6)
где у - параметр, с помощью которого определяются точки полуплоскости Ра з .
Наряду с этим выход преобразователя (Г,£) определяется из выражения (9):
где у(у) е \. Множество - пространство
состояний преобразователя Прейсаха. На рис. 2 представлен элемент данного множества.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Рис. 2. Элемент множества П\
Множество можно снабдить метрикой р , определяемой следующим соотношением
P(®2(a,ß),®l(a,ß)) = Wi(y)-W2(y)\
ф,о>);
(7)
где ю1(а,/), ®2(а,3), Уl(v), \2(у) - функции, связь между которыми определяется соотношением (6).
Здесь и далее норма в пространстве с[0, да) непрерывных на положительной полуоси функций определяется соотношени-
ем 1М1с [0да) = 8ЦР \у(у)\.
1 ' 0<г<<»
Определим произвольный элемент ®0(а, 3) еП\, который будем ассоциировать с
начальным состоянием преобразователя Прей-саха. Все непрерывные на положительной полуоси функции и(г) (г > 0), для которых верно следующее равенство:
и(0) = \0(0), где ®0(а,3) и щ(у),
связаны соотношением (6) и являются классом допустимых входов для преобразователя Прейсаха в начальном его состоянии.
При этом вход преобразователя Прейсаха устанавливается оператором Г [6].
ю(а,3,г) = Г[ю0 ]м(Г) = д[ю0(а,3),а(у),3(у)]м(Г), (8)
£(г) = Jю(а, 3, г ;)фа,3 =
а<3 . (9)
= ^({а,3}: ^[®0(а,3),а,3]*(*) = 1)
Представленная выше гистерезисная модель лежит в основе гидрологической модели, описывающей проникновение и испарение влаги в почве.
Гистерезисная гидрологическая модель
Моделирование гидрологических процессов требует учета таких показателей почвы, как удельное содержание воды и ее способность впитывать воду (матричный потенциал). При этом в частично насыщенной почве между ними существует нелинейная зависимость. Первым, доказавшим гистерезисную природу данной зависимости, был Хайнс в 1930-х гг. [7], к сожалению, ее учет при моделировании динамики гидрологических процессов не проводился. Такая зависимость дает возможность по-иному взглянуть на динамические модели в гидрологии.
Ниже приведена модель, проникновение влаги в почву, учитывающая гистерезисную зависимость. При этом данные об интенсивности осадков, выпадающих на почву, являются начальными условиями для самой модели. Такие значения могут быть дискретными. Как видно, приведенная ниже модель включает в себя простое дифференциальное уравнение первого порядка. Отличительной особенностью данной модели является то, что между переменными имеется гистерезисная зависимость. Данную зависимость можно описать с помощью оператора Прейсаха [6-12]. Стоит отметить, что выпадение осадков не всегда может быть постоянным (они то начинаются, то прекращаются), кроме того, во времени они также имеют разную интенсивность, это влияет на возникновение разрывов функции в правой части уравнения. Это является отличительной особенностью данной модели. При этом численное построение решений возникающих разрывов потребовало разработки специальных методов. Кроме того, требовалось обосновать и доказать существование и единственность их решений, и только после этого, на их основе
был реализован численный алгоритм. Также следует отметить, что с момента начала или прекращения осадков мгновенно изменяется поток воды, проникающий через поверхность почвы, что приводит к переключению между атмосферным и почвенным контролем в модели.
Модель, описывающая водный баланс и позволяющая учесть такие эффекты, как гистерезис, возникающий между содержанием воды и матричным потенциалом, носит название FEST и выглядит следующим образом [7-12]:
Ld 9(t) = I (t) - D(t) - E(t), dt
(10)
где L - толщина слоя почвы, в^) - удельное содержание воды (при условии 0 < в < 1), I^) - интенсивность проникновения влаги в почву, D(t) -интенсивность дренажа под почвенный слой, Е^) - интенсивность испарения, возникающая за счет корней растений, находящихся в почвенном слое.
Правая часть данной модели определяется следующим выражением
I (t) = min \Q(t)
W(t)
E (t) =
D(t)=B I7+f
ET (t) C
(11)
где у - матричный потенциал; А, В, С - параметры уравнения; Q(t) - интенсивность наблюдаемых осадков; ЕТ^) - интенсивность испарения и транспирации.
Проникновение осадков через сеть макропор происходит равномерно и занимает весь объем почвенного слоя. В момент, когда поступающие осадки больше не могут впитываться почвой, излишек уходит под поверхность слоя и таким образом возникает «запруживание». В данной модели вариант закона Дарси представляет почвенное осушение или дренаж, а также матричные силы, удерживающие воду.
Зависимость между матричным потенциалом и удельным содержанием воды моделируется с помощью оператора Прейсаха Р. Исходя из этого, модель (10) примет вид
y (t) = f (t, x(t)) + g (t) = F (t, x(t)) y(t) = P[n(t )]x(t) :
(12)
где х^) и у^) - входные и выходные параметры оператора Прейсаха с переменным состоянием ц(г); /^,х) - функция непрерывно дифференцируема по переменным t и х; g(0 -
функция непрерывно дифференцируема, кроме точек Т = {г;}, в которых определены и ограничены значения g(гi - 0), g(гi + 0), g'(гi - 0), g'(г + 0), но g^) или g '(t) могут иметь ограниченные разрывы в г. Также следует сделать предположение о том, что любой ограниченный интервал содержит конечное число точек
Г [3-9].
Адекватность гистерезисной модели.
Проведение эксперимента
С целью апробации полученной модели с марта 2021 г. по июль 2022 г. была проведена серия экспериментов, заключавшихся в измерении количества осадков и других гидрологических величин почвы в г. Воронеже. Затем производился сравнительный анализ результатов моделирования и измерения. Суть эксперимента заключалась в следующем: на первом этапе с использованием ПЭВМ произведены численные расчеты решений модели (10). При этом для выбора плотности меры оператора Прейсаха использовалась «wedge»-модель. Более подробно об успешном ее применении в моделировании зависимости между матричным потенциалом и содержанием воды в почве представлено в работе [7]. Интенсивность осадков Q(T) рассматривалась как кусочно-постоянная функция, и в качестве расчетов использовались измерения количества осадков в г. Воронеже в период с марта 2021 г. по июль 2022 г. с дискретностью измерений в один час. Второй этап проведения эксперимента заключался в проведении замеров водного баланса почвы на том же самом участке. При этом для определения максимальной глубины проникновения влажности и понимания, насколько адекватно прогнозирует модель данное проникновение, измерения проводились на двух разных глубинах, соответственно значение Ь было выбрано равным 0,3 для первого массива данных и 0,6 для второго. При этом параметры А, В, С подбирались таким образом, чтобы оптимизировать соответствие между данными измерений и моделью [3-9].
Результаты расчетов приведены на рис. 3. На нем представлено численное решение модели (10) (в виде сплошной кривой), а также значения проведенных измерений содержания влаги в почве (в виде прерывистой кривой) для двух наборов данных измерений. При этом параметры имеют следующие значения А = 1,2 х106 с, В = 2,6 х 106 с, С = 9 х 106 с, £ = 0,3 м - верхний график, А = 1х106 с, В = 1,4 х 106 с, С = 4 х 106 с,
L = 0,6 м - нижний график.
Анализ данных подтверждает, что полученные с помощью модели значения содержа-
ния влаги в почве соответствуют результатам измерений.
2021 05.2021 07.2021 09.2021 11.2021 01.2022 03.2022 05.2022 07.2022
Рис. 3. Результаты сравнительного анализа
Графики были получены с одинаковыми параметрами «wedge»-модели. При этом серым цветом на рис. 3 показаны данные о количестве осадков.
Кроме того, следует отметить, что на рис. 3 также имеются явные «пики», которые не воссоздаются при помощи данной модели. Среди объяснимых причин этому явлению можно выделить следующие. В почве имеются, как отмечалось ранее, макропоры, они заполняются водой в первую очередь. Не стоит забывать о возможных погрешностях в результатах измерений. Кроме того, на результаты расчетов также повлияло низкое разрешение данных об осадках. Также следует отметить, что модель не учитывает множества других факторов и является упрощенной, что делает результат, полученный с ее помощью, не совсем точным.
Заключение
В настоящей работе предложена новая модель, описывающая динамику влагосодержания в почве, основанная на гистерезисной связи между удельным содержанием влаги в почве и матричным потенциалом. Указанная модель формализуется посредством системы дифференциальных и алгебраических уравнений. При этом в качестве модели гистерезисных связей используется преобразователь Прейсаха - модель континуальной системы неидеальных реле, соединенных параллельно. Отличительной особенностью представленной модели является
тот факт, что оператор, формализующий гисте-резисные связи, стоит под знаком производной. Полученные результаты в рамках вычислительного эксперимента - динамика влагосо-держания в течение конечного временного промежутка - сравниваются с реальными данными на примере территорий, расположенных в южной части России и Узбекистана.
Литература
1. Высоцкий Г.Н. Избранные сочинения. Т. II: Почвенные и почвенно-гидрологические работы. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 400 с.
2. Роде А.А. Избранные труды. Т. IV: Проблемы гидрологии почв. М.: ГНУ Почвенный ин-т им. В.В. Докучаева, 2009. 598 с.
3. Красносельский А.М., Кросс Р., Покровский А.В. Нестационарные модели Прейсаха и их свойства// Доклады Академии наук. 2001. 381 (2). С. 180-184.
4. Матвеев М.Г., Михайлов В.В. Управление организационно-технической системой в условиях метеорологической неопределенности: монография. Воронеж: ВВВАИУ (ВИ), 2006. 146 с.
5. Андронов А.А. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 357 с.
6. Колмогоров А.Н. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 543 с.
7. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. 394 с.
8. Urabe M. Numerical investigation of subhaimonic solution to Duffings equation. Rubl, Research Inst. Math. Sci., Ser. A (Kyoto Univ). 1969. 5 (1). P. 79-112.
9. Visintin A. Identification of hysteresis loop// Appl. math. and comp. phys. 1987. №2. P. 73-79.
10. Oscillations under hysteretic conditions: from simple oscillator to discrete Sine-Gordon model/ M.E. Semenov et al.// Springer Proceedings in Physics. 4th. Topics in Nonlinear Mechanics and Physics - Selected Papers from CSNDD 2018. 2019. P. 229-253.
11. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. М.Ижевск: НИЦ «РХД», 2006. 436 с.
12. Гистерезисные преобразователи со случайными параметрами/ С.В. Борзунов и др.// Математическое моделирование. 2019. № 31 (7). С. 109-126.
13. Стохастическая модель переноса тепла в приземном слое атмосферы/ В.Г. Задорожний и др. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2020.
№ 60 (3). С. 462-475.
14. Статистические характеристики решений системы стохастической модели переноса / В.Г. Задорожний и др. //Математическое моделирование. 2020. № 32 (5). С. 21-43.
15. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. 272 с.
Поступила 08.09.2022; принята к публикации 17.10.2022 Информация об авторах
Ряжских Виктор Иванович - д-р техн. наук, профессор, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: ryazhskih_vi@mail.ru, тел. +7(920) 461-69-15.
Холмуродов Жамшид Бахриддинович - адъюнкт, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил "Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина" (394064, Россия, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54а), e-mail: xolmurodov.zhamshid@mail.ru, тел. +7(980) 245-31-42.
Ножкин Владимир Сергеевич - канд. техн. наук, преподаватель, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил "Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина" (394064, Россия, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54а), e-mail: nozhkin-v@list.ru, тел. +7(951) 558-18-47.
Канищева Олеся Ивановна - канд. физ.-мат. наук, преподаватель, Воронежский государственный университет (394018, Россия, г. Воронеж, Университетская пл., 1), e-mail: oleka-olesya@mail.ru, тел. +7(910) 245-49-54.
HYSTERESIS MODEL OF MOISTURE EXCHANGE IN THE UNDERLYING SURFACE
V.I. Ryazhskih1, G.B. Kholmurodov2, V.S. Nozhkin2, O.I. Kanishcheva3
1Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia 2Military Educational and Scientific Center of the Air Force "Air Force Academy prof. N.E. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin", Voronezh, Russia 3Voronezh State University, Voronezh, Russia
Abstract: the dynamics of moisture content in the underlying surface and the atmosphere plays a key role in models of atmospheric processes and phenomena. In particular, the processes of the genesis of intramass clouds, evaporation fogs, smoke, etc. are directly related to soil moisture content and atmospheric humidity. In addition, taking into account the significant contribution of moisture content to the energy of the atmosphere, this parameter is a key factor in the formation of meso and mi-croscale movements of air masses. Finally, the atmospheric and related soil moisture content, together with the baric and temperature fields, actually determine the presence (absence) of such natural hazards as showers, thunderstorms, icing, etc. In this regard, the improvement of models of the dynamics of the moisture content of the underlying surface seems important and interesting task. The paper proposes a new model that describes the dynamics of moisture content in the soil, based on the hysteresis relationship between the specific moisture content in the soil and the matrix potential. This model is formalized by means of a system of differential and algebraic equations. In this case, the Preisach converter is used as a model of hysteresis connections - a model of a continuum system of non-ideal relays connected in parallel. The results obtained within the framework of a computational experiment - the dynamics of moisture content over a finite time period are compared with real data on the example of territories located in the southern part of Russia and Uzbekistan
Key words: soil moisture content, hysteresis, differential equations, Preisach converter
References
1. Vysotskiy G.N. "Selected writings. Volume II. Soil and soil-hydrological works" ("Izbrannyye sochineniya. T. II: Poch-vennyye i pochvenno-gidrologicheskiye raboty"), Moskow, AN USSR, 1962, 400 p.
2. Rode A.A. "Selected works. Volume IV. Problems of soil hydrology" ("Izbrannye trudy. T. IV: Problemy gidrologii pochv"), Moskow: GNU Soil University name V.V. Dokuchaeva, 2009, 598 p.
3. Krasnosel'skiy A.M., Kross R., Pokrovskiy A.V. "Non-stationary Preisach models and their properties", Reports of the Academy of Sciences (Doklady Akademii nauk), 2001, no. 381 (2), pp. 180-184.
4. Matveev M.G., Mihailov V.V. "Management of the organizational and technical system in conditions of meteorological uncertainty" ("Upravlenie organizatsionno-tekhnicheskoy sistemoy v usloviyakh meteoro-logicheskoy neopredelennosti"), monograph, Voronezh: VVVAIU (VI), 2006, 146 p.
5. Andronov A.A. "Theory of oscillations" ("Teoriya kolebaniy"), Moscow: Fizmatgiz, 1959, 357 p.
6. Kolmogorov A.N. "Elements of the theory of function and functional analysis" ("Elementy teorii funktsii i funktsional'nogo analiza"), Moscow: Nauka, 1981, 543 p.
7. Krasnosel'skiy M.A. "Positive solutions of operator equations" ("Polozhitel'nye resheniya operatornykh uravneniy"), Mos-
cow: Fizmatgiz, 1962, 394 p.
8. Urabe M. "Numerical investigation of subharmonic solution to Duffings equation", Rubl, Research Inst. Math. Sci., Ser. A (Kyoto Univ), 1969, no. 5 (1), pp. 79-112.
9. Visintin A. "Identification of hysteresis loop", Appl. Math. and Comp. Phys., 1987, no. 2, pp. 73-79.
10. Semenov M.E. et al. "Oscillations under hysteretic conditions: from simple oscillator to discrete. Sine-Gordon model", Springer Proceedings in Physics. 4th. Cep. "Topics in Nonlinear Mechanics and Physics - Selected Papers from CSNDD 2018", 2019, pp.229-253.
11. Charnyy I.A. "Underground fluid dynamics" ("Podzemnaya gidrogazodinamika"), Moscow-Izhevsk: Research Center "RHD", 2006, 436 p.
12. Borzunov S.V. et al. "Hysteresis transducers with random parameters", Math Modeling (Matematicheskoe modelirovanie), 2019, no. 31 (7), pp. 109-126.
13. Zadorogniy V.G. et al. "Stochastic model of heat transfer in the surface layer of the atmosphere", Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics (Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki), 2020, no. 60 (3), pp. 462-475.
14. Zadorogniy V.G. et al. "Statistical characteristics of solutions to the system of the stochastic transport model", Math Modeling (Matematicheskoe modelirovanie), 2020, no. 32 (5), pp. 21-43.
15. Krasnoselskiy M.A., Pokrovskiy A.V. "Systems with hysteresis" ("Sistemy s gisterezisom"), Moscow: Nauka, 1983, 272 p.
Submitted 08.09.2022; revised 17.10.2022 Information about the authors
Viktor I. Ryazhskikh, Dr. Sci. (Technical), Professor, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya srt., Voronezh 394006, Russia), e-mail: ryazhskih_vi@mail.ru, tel.: +7(920) 461-69-15.
Zhamshid B. Kholmurodov, adjunct, Military Educational and Scientific Center of the Air Force "Air Force Academy named after Professor N.E. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin" (54a Starykh Bolsheviks st., Voronezh 394064, Russia), e-mail: xolmurodov.zhamshid@mail.ru, tel.: +7(980) 245-31-42.
Vladimir S. Nozhkin, Cand. Sci. (Technical), Assistant Professor, Military Educational and Scientific Center of the Air Force "Air Force Academy named after Professor N.E. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin" (54a Starykh Bolsheviks st., Voronezh 394064, Russia), e-mail: nozhkin-v@list.ru, tel.: +7(951) 558-18-47.
Olesya I Kanishcheva, Cand. Sci. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Voronezh State University (1 Universitetskaya sq., Voronezh 394018, Russia), e-mail: oleka-olesya@mail.ru, tel.: +7(910) 245-49-54.
