ГіРОСКОПіЧНИЙ ГРАВіМЕТР З АЛГОРИТМіЧНОЮ КОМПЕНСАЦієЮ ПОХИБОК Текст научной статьи по специальности «Математика»

Розроблено Hoei алгоритми для автома-тично1 компенсаци похибок гiрoскoпiчнoгo гравiметра

Ключoвi слова: гiрoскoпiчний гравiметр, алгоритм, похибки, швидкoдiя

Разработаны новые алгоритмы для автоматической компенсации погрешностей гироскопического гравиметра

Ключевые слова: гироскопический гравиметр, алгоритм, погрешности, быстродей-ствиея

Developed new algorithms for autoerror compensation of gyroscopic gravimeter

Key words: gyroscopic gravimeter, algorithm, errors, velocity

■o о

УДК 621.317

Г1РОСКОП1ЧНИЙ ГРАВ1МЕТР З АЛГОРИТМ1ЧНОЮ КОМПЕНСАЦИЮ ПОХИБОК

О.М. Безвес1льна

Заслужений дiяч науки i техшки УкраТни, доктор техычних наук, професор* Контактний тел.: 044-236-09-26 E-mail: bezvesilna@mail.ru

А. В. Ко вал ь

Астрант

Кафедра автоматизацп i комп'ютеризованих технолопй Житомирський державний технолопчний унiверситет Контактний тел.: 093-772-08-88 E-mail: koval.anton@gmail.com

е.В. Гура

Астрант* E-mail: verstand@bigmir.net Контактний тел. 093-751-80-52 *Кафедра приладобудування Нацюнальний техшчний ушверситет УкраТни "КиТвський

полiтехнiчний шститут"

Вступ

Необхщшсть пiдвищення точностi та швидкодп гiроскопiчного гравiметра (ГГ)[1] з автоматичною об-робкою iнформацii зумовлена потребою в розробщ ефективних i простих у реалiзацii алгоритмiв оцiнки стану ГГ.

Метою дано! роботи е вирiшення проблеми роз-робки теорп похибок оцiнки стану ГГ з цифровою об-робкою iнформацii.

Для цього треба:

1) розробити алгоритми ощнки стану ГГ при орiен-тацп його вiсi чутливостi на твшч на базi методу най-менших квадратiв (МНК) i фшьтру Калмана (ФК);

2) дослiдити похибки ощнки, встановити iх залеж-шсть вiд параметрiв збурень, початкових умов руху гiроскопа - чутливого елемента (ЧЕ);

3) проаналiзувати похибки ощнки, зумовлеш чут-ливiстю алгоритмiв ощнки до невщповщносп прийня-тоi моделi й реального вихiдного сигналу ГГ;

4) дослщити вплив викривлення закону руху ГГ, який спостер^аеться, типовими перешкодами та шумами датчика кута (ДК) каналу вимiрювання;

5) провести порiвняльний аналiз to4hoctî i швидкодп алгоритмiв обробки шформацп за методами МНК та ФК.

Основна частина

Як правило, при дослщженш точност ГГ не врахо-вуеться вплив похибок гiрогравiметра, спричинених нелшшними викривленнями траекторii руху проско-па; нерiвнiстю нулю показника затухання прецесшних коливань через дiю на проскоп моментiв типу в'язкого тертя, неiзохроннiстю прецесiйних коливань; розбiгом колово'Т частоти прецесiйних коливань, яка використо-вуеться в алгоритмах оцiнки, з частотою прецесшних коливань проскопа; перешкодами, як викривлюють закон руху проскопа. Водночас вплив цих похибок, якщо його не враховувати, може бути неприпустимо великим (10...30 мГл). Тому постае завдання тдвищен-ня точност й швидкодп вимiрювання ГГ через усунен-ня зазначених похибок.

Вихщний сигнал ГГ, який знiмаеться з ДК, пода-еться на вхщ цифрово'Т обчислювально'Т машини

(ЦОМ). ЦОМ визначае за розробленими алгоритмами значення похибок i здшснюе автоматичну ком-пенсацiю цих похибок у вихщному сигналi програвь метра. Поим уточнений сигнал гiрогравiметра, rnpiBrn з сигналами вiд iнших тдсистем, використовуеться для обчислення Ag.

Рух ЧЕ, який спостер^аеться за допомогою ДК, можна представити функщею

a(t) = Rn + a1 (t) + e(t),

(1)

де R - кут мiж нулем ДК та обчисленим напрямком на nÍBHÍ4; a1 (t) - поточний кутовий стан ЧЕ, який виз-начаеться розв'язком рiвняння

a1 + 2^1<х 1 + ю0 sin a1 = 0 ,

(2)

де ю0 - колова частота малих прецесшних коли-вань ЧЕ; e(t) - викривлення траекторп прецесiйного руху ЧЕ; - параметр затухання.

У разi малих коливань ЧЕ (sinа1 ~а1) функцiю а1 (t) можна представити у виглядi

a1 (t) = Ae 5*'sin(rnt + ф).

(3)

Тут ю = ^/ю2 -£,42 ; A, ф - aмплiтудa i початкова фаза прецесшних коливань ЧЕ ввдповщно.

На пiдстaвi виразу (3) модель руху ЧЕ, яка спосте-рiгaеться по ДК, можна представити у виглядi

a (t) = RN + Ae^1' sin (rnt + ф).

(4)

Тут R - обчислений кут м1ж нулем ДК та обчисленим напрямком на твшч; A , ф - обчислеш A , ф.

У загальному випадку у вирaзi (4) величини R , A , ф , ю , ^ - невiдомi.

З урахуванням прийнятих припущень модель руху (4) можна описати виразом

Умови (7) е^валентш матричному рiвнянню cNx N = zN, (8)

де

n | sin a0ti i=1 | cos a0ti i=1

| sin ю0' i=1 | sin2 a0ti i=1 | sin a0ticos a0ti i=1

| cos a0ti i=1 | sin a0ti cos a0ti i=1 | cos2 a0ti i=1

|ai |a^in ю0' |a^os ю0'

i=i i=i

Дослiдимо розв'язнiсть або, що те саме, визначимо спостертння системи (8). Вiдомо, що неоднорщна система алгебра1чних рiвнянь мае единий розв'язок, коли 11 головний визначник не дорiвнюе нулю. Пока-жемо, при яких умовах det cN Ф 0 .

З теорii матриць вщомо, що визначник Грамма - це визначник вигляду

(xA) (x1x2) . . (x1xm)

D= (x2x1) (x2x2) . . (x2xm) , (9)

_(xmx1) (xmx2) . . (xmxm).

де x1,x2,...,xm - нaбiр n - мiрних векторiв, (xixj) -скалярний добуток векторiв xi, xj причому i,je[1,n] . Визначник D - позитивний, коли вектори x1,x2,...,xm лiнiйно незалежнь Якщо прийняти

"1" sin rnt1 cos rnt1

1 , x2 = sin rnt2 , x2 = cos rnt2 , (10)

_1_ sin rntn cos rntn

^ N ^ ^

a(t) = R + A csin ю' + A seos ю',

(5)

де Ac = A cos ф , As = A sin ф.

Вектор стану, який треба ощнити у випадку, що розглядаеться, можна представити у виглядi

x N = R A c A s .

то визначник системи (8) е визначником Грамма. Отже, якщо x1,x2,x3 лiнiйно незалежнi, то detcN >0 i система (8) завжди розв'язувана i единим способом. Знайдемо умови, коли X1,x2,x3 лшшно незалежнi.

Розглянемо випадок, коли n = 3. Дослiдження ль ншно'1 залежностi векторiв X1,x2,x3 еквiвалентне до-слiдженню системи рiвнянь

b1x1 + b2x2 + b3x3 = 0 ,

(11)

Для розглядання задачi оцшювання методом най-менших квадраив складемо функцiонал

2

Fn =

I (

R + A csin at + A scos at -a¡

(6)

Тут ai =a(ti) кутове положення ЧЕ в моменти часу ti =(i- 1)At, (i = 1,n) при спостереженнi за рухом ЧЕ протягом часу спостереження шформацп TC; At - дискретнiсть зйому шформацп; n = TCAt-1 +1 - юль-кiсть спостережуваних ввдлжв за TC .

Мжмум функцiоналу FN досягаеться при

dFN = 9Fn = 9FN = 0 aRN 9A c 9As

D' =

1 0 1

1 sin X cos X 1 sin2X cos2X

= 2sin X cos2X,

де X = aAt. З цього виходить, що

(12)

X ф nk; Хф п||I + 2k j ; (k = 0,± 1,±2). (13)

DV 0, тобто вектори X1,x2,x3 лiнiйно незалеж-m. Очевидно, що при виконаннi умов (13) вектори X1,x2,x3, лшшно незалежш i при n > 3 .

cN =

i

z=

N

x=

Отже, в разi виконання умов

„ , пк , пк 2пк

п > 3; At Ф—; At Ф— +-;

ю 2ю ю

(14)

Ф =

Ас ,

arcsm—-,А > 0;

V с '

п-ап^т—, А <0.

А' с

система (8) розв'язувана i до того ж единим спосо- Дослвдимо похибки ощнки стану ГГ. Для цього

бом. Доведена умова рш^ш^-л системи (8) еквiва- подамо розв'язок диференщального рiвняння (2) при

лентна доказу спостер^ання розглядувано! системи. а3

Розв'яжемо систему (8), попередньо змшивши суми slnа~а-— у виглядi тригонометричних функцiй на 1хш остаточнi вирази. Пiсля замiни запишемо систему (8) у виглядi

(15)

с^,пхN = ,

1 (t) = А0е"^т(pt + Ф0) + А^4'^^^ + ф0), (19)

де

. X пsm— 2

. п^ п -1.

slп—sm-X

22

. . п^ п-1 X . . , ,

4sm—sm-со^ п sm X - smпX cos (п -1) X

22

2

. . пX п -1 X . , ,

4sm—cos-со^ smпX sm (п -1IX

2 2 2 у '

де

slп пX cos——1X 2

sinnX slп (п -п slп X + slп nX cos (п -1) X

Р =ю0

( д2Л 1 - д0 V 16/

д3

, А-1 = —- , ю0 » ^ .

1 19^ 0 1

Розклавши а1 (t) у ряд Тейлора за параметрами р i £, в околi точки (ю0,0) та, лишаючи пльки два члени розкладу, дiстанемо

N = Г^ zN zN ]т = 2 J

X п п п

slп—^а^т X^аi slп X(l -1) 2sin X^аi cos X(i -1)

2 !=1 ¡=1 !=1

Для розв'язання системи (15) можна запропонувати метод Гауса з вибiркою головного елемента, або метод Крамера. Якщо розв'язувати систему другим методом, елементи вектора х можна подати у виглядi

ЯN =(detcN,n)-1 (АЦг? + ANlzN + ANlzN),

д c = (det cN,n ) (+ Ао0^00 + ) ,

А с=^е<п )-1 (А^00++AN3zN),

А

а1 (t) = Aoc slп ю^ + Aos cos ю0t +

А30

+ ш^3^ + Ф0 )-

-Юot 16° cos (юot + Ф0) - slп (юot + Ф0).

(20)

З шшого боку, проведемо розкладення в ряд Тейлора функцп моделi руху ЧЕ (5) за параметрами Я , (16) Ас Ас, ю в околi точки (Яо ,Aoc,Aos,ю0) та, лишаючи

першi два члени розкладу в ряд, дштанемо

а (ti) = Я o + АЯ + А oc slп ю0ti + А os cos ю0ti +

де АОО - алгебраiчнi додатки елемента c0о матрицi

+А А c slп + А А б cos ю0ti +

Розкриваючи вираз Я , дштанемо

+Aюti А0 cos (ю0ti + Ф0) + е (^),

(21)

Я =

де

, . X . 2 пX пк - 4cos—slп — 1 2 2

^ ^ ~ ~ ~ ^ ^ ^

1 де АЯ = Я -Я0 , AAc = Ac -Aoc, AAs = As - Aos - по-

(к1Б1 + к2С0 + к3Б0 '), (17) хибки оцiнки стану та похибки врахування ю0.

Шсля пiдстановки виразiв (20) та (21) в функщо-нал (6), дктанемо

к1 = slпX■(пslпX + sinnX),

, п^ п -1 .

к, = -2slп—slп-XslпX ,

2 2 2

, . пX п -1 . к3 = -2slп—cos-XslпX ,

2

2

=1 (<

Р0 = ^ (AЯ + AАc slп ю0ti + AАs cos ю0ti - аО

(ti)), (22)

де

^ ) = -А0

2

А

Aю + ю0 —0 0 16

ti cos(ю0t + Ф0 ) +

БО = £ап §0 = £а^тX(l-1), БО = X(l-1). +А0^т(ю0t + Ф0) +

Ощнки амплiтуди А i початково! фази Ф^ пре-цесiйних коливань визначаються через Ac i Аб та виразами

/^2 ~

А = V А c + Аб ,

(18)

А30

+7^slп3(юot; + Ф0 ) + е(ti),

192

(23)

Умова досягнення мiнiмуму функщонала еквiва-лентна матричному рiвнянню

cN°,n 8 = fN,

(24)

^ =

т

О

c

*

0

а

де матриця

<£.s"=f"

, X0 = rn0At,

■ N

s =

A R A A c A A s

AR2 =-d4 (u)—A0cos3í ф0 + u I, Юо V 2

AR22 = di (u)^фо + U] -

aRN = di (u)—Ao sin I фо + u I ,

Ю,

f N =

X n n n

sin —- ^ X N (t¡) 2 sin X0 ^ aN (t¡) sin X0 (i -1) 2 sin X0 ^ aN (t¡) cos X0 (i -1)

2 i=i i=i i=i

ARN = И™ d3 [X,n,e(ti)] = d3 [u,e(ti)] ,

At^0 Tc =const

Скориставшись методом Крамера для знаходження N

AR , отримаемо

ARN = Vnk° - 4cosX°sin2 nX0 j i (k10fiN + kfN + k3f3N), (25) де

k0 = kj|x=X0- (j = i-3)

fiN = É aN (ti) - f2N = Í aN sin X0 (i - i),

di (u) =

, s . u 2 u

(u + smu)sm--u cos—

1 ' 2_2 ,

u (u + sin u) - 8sin2 —

d2 (u) = |

n 3cosusin2 u-sin3u(u + sinu) 2 2 2 v '

3

2

u (u + sinu)- 8sin2u

u = ®0Tc -

k0Ze(ti) + k2Ze(ti)sinX(i -i) + k3^e(ti)cosX(i - i) d3 [X,n, e(t)] =——-

f3N = ^aN (ti)cosX0 (i - i).

0 X 2 nX

nki - 4cos—sin —

Розкривши вираз (25) i випустивши, у подальшому, для зручносп запису iндекс AR 5 = ю0 -при X0, отримаемо вираз похибки ощню-вання

(u + sin u) J e (t) dt - 4 sin2 u J e (t) sin rntdt - 2sin u Je (t) cos rntdt

u (u + sin u) - 8 sin2 -

N

AR = di (X,n)A0

fA2 АЮ

i6 Ю

■ 1 n - i ) % f n - i

sin I ф0 +--X I--cos I ф0 +--X

Ю„

-d2 (X,n)i92sin3|ф + ^Xj + d3 (X,n,e(ti)), (26)

де

sin nX V sin X + n sin 2Xj - (nsin X)2 cos

Вихщний сигнал ГГ подаеться на вхщ

ЦОМ. ЦОМ визначае за наведеними вище

N

алгоритмами (27) значення похибок ARi-5 i здiйснюе вiднiмання з вихщного сигналу, який знiма-

N N N

еться з датчика кута ГГ a =R - ^ ARi-5 .

i=i

Таким чином здшснюеться автоматична компен-сацiя похибок i забезпечуеться суттеве тдвищення точносп ГГ.

N

d, (X,n) = —-

nX

Y

2sin X • X, . . ... X . 2 nX nsm—(nsin X + sinnX)-4cos—sin — Г '22

Висновки

(i + 2 cos X) (cos X+sin nX) sin—sin nX - cos Xsin3 — (n sin X+sin nX) d2 (X,n) =-2-2-

cos X(i + 2cos X)

X X 2 nX

nsm—(nsin X + sinnX)-4cos—sin — 2V ; 2 2

d3 [X,n, e(ti)] - похибки, зумовлеш викривленням спостережуваного закону руху ЧЕ.

При At <0.0iT0, (T0 = 2пю-1 ) закономiрно спростити ФК. вираз (26) при At ^ 0 , TH = const. Здiйснюючи гранич-ний перехвд для ARN , дiстанемо

Проведет дослщження вирiшили проблему розвитку й узагальнення те-ор^ похибок ощнки стану ГГ з цифровою обробкою iнформацii. i. Розроблено алгоритми ощнки стану ГГ за умов орiентацii його о« чутливостi на твшч за МНК i

AR =XARNj,

j=i

де

A

ar i = d2 (u)i92sin3 |ф0 I,

Пряме цифрове моделювання i результати експери-ментальних дослiджень алгоритмiв оцiнки щлком тд-твердили формули похибок, одержаних аналогично. Порiвняльне цифрове моделюваннi МНК i ФК пока-(27) зало адекватшсть алгоритмiв. Виявлено, що похибки ощнки стану ГГ у разi пiвнiчноi орiентацii зумовленi

такими основними чинниками: N

- ARi - нелшшними викривленнями траекторп руху гiроскопа через апроксимащю sin a «a ;

X=X

T

T

3

- АЯ2 - нер1вн1стю нулю показника загасання прецесшних коливань через д1ю на проскоп момент1в типу в'язкого тертя;

- АЯз - не1зохроншстю прецесшних коливань;

- АЯ4 - розбпом колово! частоти прецесшних коливань, яку використовують в алгоритмах ощнки, з частотою прецесшних коливань ГГ;

- АЯ5 - перешкодами, що викривлюють закон руху ГГ.

2. Проведено анал1з похибок ощнки. В раз1 ор1ен-тацп ГГ на твтч похибки ощнки АЯ1 -АЯ4 зменшу-ються при зб1льшенш часу спостереження шформацп. Похибки АЯ13, пропорцшш кубу амплиуди прецесш-них коливань А0 1 кубу полярного рад1уса початкових умов р. Похибки АЯ2 , АЯ4 пропорцшш першому степеню А0 1 р вщповщно. Знайдено час спостере-ження шформацп, коли похибки ощнки АЯ1 - АЯ4 в раз1 ор1ентацп ГГ на твшч перетворюються на нуль при дов1льних фазах коливань. Знайдено оптимальш, у розумшш перетворення на нуль похибок ощнки АЯi = 0, (1 = 1,4), сшввщношення часу спостереження шформацп та початкових умов руху ГГ. Дослщжено впливи викривлень спостережуваного закону руху ГГ типовими перешкодами 1 шумами ДК каналу ви-

м1рювання. Показано, що перешкода типу лшшного

дрейфу показань ГГ спричиняе похибки АЯ51, як1

пропорцшш часу спостереження шформацп. Перешкода експоненщального типу зумовлюе похибки

АЯ51, як1 монотонно зменшуються при зб1льшенш часу спостереження шформацп. Зменшення похибки тим швидше, чим менша стала часу експоненти. До-слщжено похибки, спричинеш гармошчними перешкодами АЯ53 1 шумом ДК АЯ54, (у вигляд1 б1лого шуму). Встановлено, що низькочастотна перешкода, частота яко1 сум1рна з частотою прецесшних коливань, слабко приглушуеться алгоритмами ощнки для часу спостереження шформацп Тн > 0.15Т0, а при Тн < 0.15Т0 тдсилюеться. Високочастотна гармошч-на перешкода, частота яко1 вища за частоту прецесш-них коливань у 100 раз1в 1 б1льше, а також випадкова перешкода типу б1лого шуму, ефективно ф1льтрують-ся алгоритмами ощнки.

3. Запропоновано 1 дослщжено ГГ нового типу, який в1др1зняеться вщ вщомих тим, що дае змогу тдвищити точшсть вим1рювань 1 швидкод1ю б1льш, шж у два рази за рахунок застосування автоматично! компенсацп похибок за розробленими алгоритмами ощнки стану ГГ.

4. Встановлено, що час спостереження шформацп, потр1бний для приглушування похибок ощнки, мае бути не меншим 3Т0.

Лиература

1. Безвесшьна, О.М. Аиацшш грашметричш системи та грав1метри: Монограф1я. / О.М. Безвесшьна. - Житомир: ЖДТУ, 2007. - 604 с.