Гипотеза о точности расчёта силы резания. Разработка математической модели Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

RESEARCH OF TERMOMECHANICAL PROCESSES OF CUTTING PARTS OF THE SUBMERSIBLE PNEUMATIC PERCUSSION TOOLS

E. V. Pavlov

The article presents the study of contact interaction of a lathe tool of composite-10 with the processed materials of basic parts of submersible pneumatic percussion tools, accompanied by the formation of the aggregate macro and microscopic irregularities, occurrence of processes of hardening and softening and structural-phase transformations. Based on the surface microhardness values from front angle and radius tool. With the help of X-ray structural analysis has established changing the atomic crystal structure of the surface layer.

Key words: turning, residual stress, hardening, cutting modes, processing quality, submersible pneumatic percussion tools.

Pavlov Evgeniy Vasilevich, candidate of technical science, docent, manager of department, evp.kstu@mail.ru, Russia, Kursk, South-West State University

УДК 621.91

ГИПОТЕЗА О ТОЧНОСТИ РАСЧЁТА СИЛЫ РЕЗАНИЯ.

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

А.В. Волков

На основе анализа и оценки возможностей априорного определения точности расчёта силы резания в случае значительного роста учитываемого количества параметров резания разработана гипотетическая математическая модель предварительной оценки точности расчётов сил резания при точении конструкционных сталей. Реализация модели позволит выработать рекомендации по оценке точности аналитического определения сил резания при изменении количества учитываемых параметров процесса, а также по проведению априорных оценок погрешностей расчёта усилий резания в подмодулях СА0/САМ/САЕ/РПМ-систем.

Ключевые слова: математическая модель, система резания, параметры, факторы, гипотеза о точности, погрешности, гиперболическая зависимость.

Из предшествующего анализа становится ясным, что система резания создана, в некотором смысле, на основе понятия усилия резания, т.е. практически все составляющие системы резания в той или иной степени взаимосвязаны и взаимозависят от подсистемы усилия резания. Именно потому подсистема усилия резания в некоторых случаях предварительного анализа может подменить саму систему резания, тем самым приобретя некоторые черты и свойства этой системы, и, в частности, приближения к оценке Ю.М. Ермакова в 3,8 • 1031 параметров системы и их взаимодейст-

вий [6]. Т.е. данная оценка может быть распространена и на подсистему усилия резания, с вытекающими последствиями. Например, можно вполне обоснованно представить, что подсистема усилия резания имеет лишь на порядок или два меньше подпараметров и составляющих взаимодействий, чем вся система резания. С малой погрешностью не противоречит оценке Ю.М. Ермакова и версия, что число подпараметров подсистемы усилия резания примерно равно полной оценке Ю.М. Ермакова, т.к. на сжатой функциональной шкале графика функции в 31-й степени точки со степенями, отличающимися на единицу, другую, в конце шкалы просто сольются.

Имея в виду оценку Ю.М. Ермакова для параметров системы резания и их взаимодействий, с точки зрения чисто аналитического подхода с целью расчёта выходных параметров, исследователям можно было бы опустить руки и перейти исключительно на эмпирические методы определения режимов резания, как это сделали некоторые зарубежные коллеги [13, 14]. Однако не всё так однозначно. Опыт многих научных школ показывает, что путём решения задач даже в узких рамках механики резания, при условии оптимальной алгоритмизации, композиции и декомпозиции групп параметров, их основных характеристик, к настоящему времени для определённого числа конкретных схем резания уже выполнены аналитические расчёты усилий резания с довольно высокой точностью, т.е. в пределах 10 - 30 % [4, 7, 11, 12, 15].

В этой связи представляет несомненный интерес вопрос обеспечения заданной точности определения усилий резания с учётом представлений Ю.М. Ермакова и других исследователей как в уже разработанных алгоритмах и формулах, не имеющих оценки точности, так и в перспективных разработках.

Естественно предположить, и предварительный анализ это подтверждает, что реальная точность определения параметра усилия резания, интегрально отражающего весь процесс резания и в значительной степени зависящего от множества характеристик системы «станок -приспособление - инструмент - деталь - среда» (СПИДС), будет определяться большинством параметров системы резания. Т.е. точность определения усилия резания на пределе доступных для практики погрешностей может быть установлена при числе вариантов взаимодействий параметров по Ю.М. Ермакову, с погрешностью, например, 0,1 %, что вполне объяснимо и сверху и снизу, учитывая столь экстремальное количество вариантов взаимодействий в подсистеме.

Положим, что имеется зависимость, определяющая функциональную связь точности расчёта усилия резания с количеством учитываемых параметров процесса резания. Причём данная зависимость с большой долей вероятности должна представлять собой уравнение второго порядка, а точнее, гиперболу. Имея данные такой зависимости лишь по пяти точкам,

возможно точное её построение [16]. Для простоты будем считать, что эта кривая должна быть равнобочной гиперболой, расположенной в первом квадранте, т.к. можно предположить, что оба её луча стремятся к числу сочетаний 3,8 • 1031 с одинаковой скоростью (первый по оси у — при значительном возрастании погрешности расчёта с одним расчётным параметром либо одной характеристикой этого единственного параметра, а второй по оси x — при снижении погрешности расчёта усилия резания до весьма малой величины и стремлении количества параметров к числу сочетаний по Ю.М. Ермакову). После роста погрешности до сотни процентов положение левого луча станет не существенным, и его можно будет исключить из анализа, имея в виду целесообразность упрощения зависимости. Т.о., первоначально мы можем иметь две точки кривой, обусловленные как долями процента погрешности при максимальном числе параметров и их сочетаний по Ю.М. Ермакову, так и бесспорно весьма высокой погрешностью при незначительном количестве учитываемых параметров резания. Определив ещё три точки из имеющихся литературных данных по точности расчёта усилий резания при конкретном, использованном различными авторами количестве параметров, сможем найти все пять точек для построения равнобочной гиперболы, и тем самым кривая зависимости точности расчётов усилий резания от количества учитываемых параметров и их сочетаний будет определена.

При выборе асимптот в качестве осей координат имеем простое уравнение равнобочной гиперболы [16] в случае х > 0,1 и y > 0,1, где х -количество параметров резания и их сочетаний с учётом характеристик параметров, а у - точность определения параметров усилия резания в долях процента:

ху = a2/2, (1)

где а - расстояние от центра симметрии до вершины гиперболы, т.е. половина действительной оси.

Ограничения величин х и у в формуле (1) введены для упрощения анализа зависимости, т.к. х = 0,1 означает, что не считается значимым параметр, который определяется менее чем одной характеристикой из десяти ему принадлежащих, а также не считается достижимым определение у = 0,1 %, т.к. само число параметров, необходимых для определения усилия резания, столь велико, что не позволяет надеяться на получение столь высокой точности расчётов.

Координаты третьей точки для построения кривой «точность расчёта усилий резания - количество учитываемых параметров процесса резания» найдём из классического литературного источника [17]. Н.Н. Зоревым было показано, что разброс результатов расчёта усилия резания по одному из двух его оригинальных алгоритмов для сталей и чугу-нов (для постоянной стойкости инструмента) при сопоставлении 128 зна-

чений проекций силы резания, найденных им экспериментально, а также по разработанным номограммам колеблется в пределах 10-15 %, т.е. средняя погрешность вычислений составляет 10 %, а максимальная - 15 %, с относительной приведённой погрешностью 0,8 % [17]. При этом количество сочетаний основных учитываемых параметров в более точном алгоритме оценивается числом одиннадцать (следует отметить, что точность его расчётов по усадке стружки при использовании всего восьми параметров несколько ниже [17]). Т.е. расчётами Н.Н. Зорева при постоянной стойкости инструмента фактически может быть установлено положение третьей точки на гиперболе, которая будет определяться средней погрешностью 10 % при максимальной погрешности 15 % и количеством параметров — 11.

Четвёртую точку определим путём сравнения расчёта усилия резания конструкционных сталей (в нашем случае ст.10 и ст.50) по упрощённому уравнению Г.И. Грановского [3], полученного с помощью всего трёх параметров резания (коэффициента Kp, предела прочности sb материала

заготовки на разрыв и площади сечения среза fH) с экспериментальными данными Н.Н. Зорева [17] и А.М. Розенберга [18] - (табл. 1). Для обработки конструкционных сталей резцами из твёрдого сплава с заданной геометрией упрощённая формула Г.И. Грановского имеет вид:

P = Kp-sb • fH, (2)

где Kp » 2,5 - коэффициент по Г.И. Грановскому; sb - предел прочности материала заготовки на разрыв, ГПа; fH = t • S - площадь сечения среза (табл. 1).

Таблица 1

Погрешности расчёта усилия резания по упрощённому уравнению

Обрабатываемый материал и его характеристики Режимы резания: t мм / s мм/об / v м/мин Коэффициент Кр по Г.И. Грановскому, кН /передний угол резца у° [3] Усилие резания по расчёту Г.И. Грановского, кН [31 Усилие резания по эксперименту кН [17, 18] Погрешность расчёта усилия резания по формуле [3], % Ссылка

Ст.10, S = 0,575 ГПа 3/0,291/188 2,5/0 1,25 1,51 - 17,2 Табл. 10 [18]

Ст.10, S = 0,575 ГПа 3/0,291/33 2,5/0 1,25 2,49 - 49,8 Табл. 10 [18]

Ст.10, S = 0,575 ГПа 3/0,291/33 2,5/20 1,25 1,76 - 29,0 Табл. 10 [18]

Ст.10, sb = 0,575 ГПа 3/0,291/188 2,5/20 1,25 1,21 3,3 Табл. 10 [18]

Окончание табл. 1

Обрабатываемый материал и его характеристики Режимы резания: X мм / 8 мм/об / V м/мин Коэффициент Кр по Г.И. Грановскому, кН /передний угол резца у° [3] Усилие резания по расчёту Г.И. Грановского, кН [3] Усилие резания по эксперименту кН [17, 18] Погрешность расчёта усилия резания по формуле [3], % Ссылка

Ст.10, оВ = 0,398ГПа 4/0,51/47 2,5/20 2,03 4,23 - 52,0 Табл. с.30 [17]

Ст.10, ^ = 0,398 гПа 4/0,51/182 2,5/10 2,03 3,06 - 33,7 Табл. с.30 [17]

Ст.50, &ь = 0,714 ГПа 12/0,85/19 2,5/20 18,2 16,82 8,2 Табл. с.30 [17]

Ст.50, &ь = 0,714 ГПа 12/0,85/72 2,5/10 18,2 16,16 12,6 Табл. с.30 [17]

Ст.50, &ь = 0,714 ГПа 12/1,42/52 2,5/10 30,42 26,5 14,8 Табл. с.30 [17]

Ст.50, &ь = 0,714 ГПа 12/2,38/37 2,5/10 51,0 45,87 11,2 Табл. с.30 [17]

В результате обработки данных получим среднюю и максимальную погрешности расчёта усилия резания по трём параметрам: 8ср = 23,2 %,

Зтах = 52,0 %, с относительной приведённой погрешностью 8 % (табл. 1).

Пятая точка может быть определена из сравнения результатов расчёта по справочным формулам режимов резания, например, по формуле А.В. Панкина [19], с экспериментальными данными Н.Н. Зорева [17] и А.М. Розенберга [18] (табл. 2).

Таблица 2

Погрешности расчёта усилия резания по упрощённому уравнению

А.В. Панкина [19]

Обрабатываемый материал и его характеристики Режимы резания ( мм / 5 мм/об / V м/мин Экспериментальный коэффициент по А.В. Панкину 190 к передний угол резца у° Усилие резания по формуле А.В. Панкина, кН Усилие резания по эксперименту, кН Погрешность расчёта усилия резания по А.В. Панкину, % Ссылка

Ст.У8, &ь = 0,765 ГПа 4/0,51/84 190/10 0,468 0,43 8,84 Табл. с.30 [17]

Ст.У8, &ь = 0,765 ГПа 4/0,156/180 190/10 1,21 1,42 - 22,9 Табл. с.30 [17]

Ст.У8А, &ь = 1>27 ГПа 0,5/0,21/- 190 1,4/8 0,42 0,32 31,3 Табл.8 [4]

Окончание табл. 2

Обрабатываемый материал и его характеристики Режимы резания t мм / S мм/об / v м/мин Экспериментальный коэффициент по А.В. Панкину 190k/ передний угол резца у° Усилие резания по формуле А.В. Панкина, кН Усилие резания по эксперименту, кН Погрешность расчёта усилия резания по А.В. Панкину, % Ссылка

Ст.10, S = 0,907 ГПа 0,5/0,21/- 190 1,2/0 0,36 0,236 52,5 Табл.8 [4]

Ст.10, S = 0,905 ГПа 0,5/0,21/- 190 1,2/8 0,36 0,228 57,9 Табл.8 [4]

Ст.20, S = 0,950 ГПа 0,5/0,21/- 190 1,2/8 0,36 0,225 60,0 Табл.8 [4]

Ст.45, sb =1,1 ГПа 0,5/0,21/- 190 1,4/8 0,42 0,255 64,7 Табл.8 [4]

Формула А.В. Панкина

Pz = C ■ t ■ 50'75 (3)

дана для обработки резцами из твёрдого сплава Т15К6 сталей с различным пределом прочности [пример А.В. Панкина дан для sb = 0,765 ГПа, т.е. стали У8 твёрдостью НВ 215, при экспериментальном коэффициенте C = 190 k (k = 1)], что позволяет нам использовать для определения составляющей усилия резания P всего два параметра — данный экспериментальный коэффициент и площадь сечения среза. Для увеличения количества данных по формуле (3) нами рассчитаны также усилия резания для сталей ст.10, ст.20, ст.45, У8А в сравнении с экспериментальными данными Н.Н. Зорева [17] и А. Л. Воронцова [4] (табл. 2).

Таким образом, получены средняя и максимальная погрешности расчёта усилия резания по двум параметрам в формуле (3): dcp = 42,6 %,

dmax = 64,7 % с относительной приведённой погрешностью 8 % (табл. 2).

Теперь мы полностью определили кривую «точность расчётов усилий резания - количество учитываемых параметров процесса резания» в виде равнобочной гиперболы. Полученные результаты показаны на графике (рис. 2).

Анализ зависимости DPzcp на рис. 2 показывает, что половина действительной оси а = const кривой равняется 13,228 и, таким образом, мы имеем простое уравнение равнобочной гиперболы [16] при х > 0,1 и у > 0,1, где х - количество параметров и сочетаний параметров резания, а у точность определения усилия резания в долях процента:

ху » 87,49. (4)

Полученное уравнение (4) — кривая второго порядка и вполне определяется пятью своими точками, если никакие четыре не лежат на одной прямой [16]. Решение уравнения кривой второго порядка, проходящей через пять точек (х1, у X (х2, У2 X (х3, У3), (х4, У4), (х5, У5):

(х,)2 ( х 2)2 ( хз)2 ( х 4)2

(х 5 ) 2

х1 У, х 2 У2 хз У,

х 4 У,

х5 У1

(У,): (У2 )

(Уз)

(У4 ) (У5 )

X

Хс

У1 У2 Уз

У4 У5

0.01 4 9 121

3.8 • 1030 85.2 69.6 110

1.444. 1063 3.8 • 10

30

1.444 • 1063 1.815 • 103 538.24 100 0.01

0.1 2 3 11 3.8 • 10

3.8 • 10 42.6 23.2 10 0,1

Рис. 2. Часть гиперболических зависимостей вида ху = а2 / 2 в зоне фокуса кривых: средней - ♦ и максимальной - ж,

погрешностей усилия резания

АР АР

гор

г тах

Ъ) от количества

параметров (сочетаний параметров) процесса резания

Следует отметить, что полученная зависимость средней погрешности усилия резания действительна для случая резания конструкционных сталей твердосплавными резцами, т.к. именно эти данные использованы для определения двух из пяти точек гиперболы (см. табл. 1 и 2). Оценка точности зависимости по отклонению действительной полуоси гиперболы а от её среднего значения аср = 13,228 в области х = 2 -11, у = 10 - 42,6 даёт

погрешность ±12 %. У данной версии модели имеется существенная особенность — в силу различного веса параметров шкала по оси х не должна быть равномерной. Тем более что по этой оси отложены не только основные входные и выходные параметры, дополнительные параметры с их характеристиками, но и результаты взаимодействия параметров и их характеристик первого, второго и т.д. порядков. Такого вида особенность при небольшом количестве градаций преодолима путём структуризации и

нормирования, но для числа сочетаний 3,8 • 1031 не может являться принципиальным ограничением, так как число градаций столь велико, что в пределе равномерность шкалы не имеет существенного значения.

Нами показано, что путём частичного использования гипотетиче-

2

3

4

V

у

ских сведений и фактического экстраполирования зависимости погрешностей расчётов усилий резания Лр от количества параметров и их сочетаний вплоть до х = 3,8 • 1031 [6] с использованием известных результатов классических работ по теории резания [3,4,17,18] возможны разработка модели подпараметра процесса резания и с её помощью — проведение априорной оценки погрешностей составляющих расчётных модулей САD/САМ/САЕ/РDМ-систем.

Из анализа полученных предварительных результатов для токарной обработки конструкционных сталей твердосплавными резцами, например, следует, что при использовании 20 параметров резания имеется возможность достижения средней погрешности расчёта усилия резания около 4 %, при 50 — около 2 %, при 100 — около 1 % и т.д. Поэтому на основе данной работы возможно выработать рекомендации по обеспечению библиотеки модуля расчёта режимов резания САD/САМ/САЕ/РDМ-систем относительно подмодуля расчётов усилий резания моделью априорной оценки точности применяемых и новых расчётных алгоритмов в зависимости от заданного количества сочетаний параметров процесса резания.

Таким образом, на основе концепции Ю.М. Ермакова [6] разработана гипотетическая математическая модель предварительной оценки зависимости средней и максимальной погрешностей расчётов усилия резания Лр от количества параметров, сочетаний параметров (характеристик), определяющих процесс резания. Показаны возможности предварительной оценки точности новых алгоритмов расчётов усилий резания — одного из важнейших параметров процесса, т.е. усилия резания Р, на основе заданных погрешностей и количества задействованных параметров процесса резания. В качестве гипотетической модели оценки предложена действительная часть (расположенная в первом квадранте) гиперболической зависимости вида ху = а2/2 средней и максимальной погрешностей усилия резания ЛРг от количества параметров, сочетаний параметров (характеристик), определяющих процесс резания. Даны рекомендации по оценке точности определения усилия резания в зависимости от количества учитываемых факторов процесса резания.

Предложенная гипотетическая зависимость является прямым теоретическим следствием концепции Ю.М. Ермакова [6] и построена на основе уравнений механики резания, экспериментально подтверждённых авторами классических работ по теории резания [3,4,17,18]. Интерполяционные возможности модели реализованы с погрешностью в пределах ±12 % (в диапазоне 2-11 параметров), а её фактически экстраполированная часть может быть пригодна для предварительной оценки погрешностей расчётов усилий резания во всём достижимом диапазоне параметров резания. Модель удобна для анализа, включает наилучшие достигнутые к настоящему время результаты расчётов точности усилий резания и, возможно, приме-

165

нима как для конструкционных сталей при обработке резанием резцами из твёрдых сплавов, так и, с некоторыми ограничениями, для оценки погрешности расчёта усилий резания практически любых материалов.

Следует отметить ограничения в применении данной модели. Полученная зависимость отражает лишь теоретическую тенденцию снижения погрешности расчётов усилия резания при увеличении количества учитываемых параметров процесса резания, т.е. она будет выполняться в случае адекватного совершенствования теоретических положений, лежащих в основе алгоритмов расчётов усилий резания. Несомненно, ошибки от внесения исследователями дополнительных погрешностей при усложнении схемы резания (например: от допущений на основе недостаточно обоснованных теоретических положений; от внесения дополнительных погрешностей путём принятия допущений, имеющих значительные ограничения по точности), а также фактическая неравномерность функциональной шкалы, заложенная в самой модели, могут несколько нарушать плавный ход полученной теоретической зависимости и иногда приводить к получению зависимости, располагающейся выше гипотетической гиперболы. Однако общая тенденция, установленная гипотетической моделью, должна сохраниться и проявится непосредственно после устранения дополнительных погрешностей, уточнения используемых в основе расчётов теоретических положений или при значительном росте количества учитываемых факторов.

В общем результаты работы показывают, что исходя из требуемых погрешностей расчётов параметров резания, используя простейший математический аппарат, можно производить априорную оценку погрешностей составляющих расчётных модулей С А Э/С А М/С А Е/ РБМ-систем и целью нормирования их точности и указания погрешности расчётов непосредственно в теле модулей систем, без ссылок на справочники, практически не содержащие оценок точности. Кроме того, результаты данной работы позволяют оценить возможности анализа перспектив повышения точности разрабатываемых алгоритмов, наметить пути повышения экономической эффективности новых моделей того или иного параметра процесса резания и, в частности, разработки более точных аналитических моделей расчёта усилий резания.

Выводы:

1. На основе современных представлений о структурной схеме процесса резания и количестве вариантов взаимодействия параметров резания разработана гипотетическая математическая модель оценки зависимости средней и максимальной погрешностей расчётов усилия резания АРУ от количества параметров (характеристик и вариантов их взаимодействия), определяющих процесс резания.

2. В качестве гипотетической модели оценки предложена действительная часть гиперболической зависимости вида ху= а2 / 2 средней и

максимальной погрешностей усилия резания АРг от количества параметров (характеристик и их сочетаний), определяющих процесс резания.

3. Предложенная гипотетическая модель является прямым теоретическим следствием концепции Ю.М. Ермакова, построена на основе классических уравнений механики резания, удобна для анализа, базируется на данных, полученных в процессе обработки резанием конструкционных сталей резцами из твёрдых сплавов, экспериментально подтверждённых авторами классических работ по теории резания.

4. На основе задания погрешностей и количества задействованных параметров процесса резания модель позволяет производить предварительную оценку точности как уже разработанных, так и новых алгоритмов расчёта усилий резания. При этом она адекватна как с точки зрения внутренней непротиворечивости, так и с точки зрения большинства имеющихся экспериментальных данных.

5. При анализе полученных результатов для случая токарной обработки конструкционных сталей твердосплавными резцами показано, например, что при использовании 20 основных (наиболее важных) параметров резания имеется гипотетическая возможность достижения средней погрешности расчёта усилия резания около 4 %, при 50 — около 2 %, при 100 — около 1 % и т.д.

6. На основе разработанной гипотетической модели могут быть выработаны рекомендации по оценке точности определения усилия резания в зависимости от количества учитываемых параметров процесса, а также по проведению априорных оценок погрешностей расчёта усилия резания в подмодулях CAD/CAM/CAE/PDM-систем.

Волков Александр Владимирович, канд. техн. наук, доц., nina1945@li.ги, Россия, Калуга, Калужский филиал МГТУ им. Н.Э. Баумана

CUTTING FORCE CALCULATION ACCURACY HYPOTHESIS.

MATHEMATICAL MODEL DEVELOPMENT

A.V. Volkov

On the basis of the analysis and possibility estimations of the a priory determination of the cutting force accuracy in case of a considerable increase of the cutting parameters quantity to be taken into consideration, the hypothetical mathematical model of the preliminary estimation of the accuracy calculations of cutting forces in structural steels turning has been made. The model realization will result in recommendations for both accuracy estimation if the parameters quantity of the process is changed and for a priory estimation of errors of cutting efforts calculation in CAD/CAM/CAE/PDM sub modules systems.

Key words: mathematical model, cutting, system of the cutting, the parameters, the factors, hypothesis about accuracy, inaccuracy, hyperbolic of the dependency.

Volkov Aleksandr Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, nina1945@li.ru, Russia, Kaluga, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman (Kaluga Branch)