Гипотеза о соответствии алгоритма построения аксонометрии изделия общему подходу решения геометрических задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 744: 004.924: 378.147 А. Ю. Браилов, д.т.н., ст. науч. сотр., проф.

ГИПОТЕЗА О СООТВЕТСТВИИ АЛГОРИТМА ПОСТРОЕНИЯ

АКСОНОМЕТРИИ ИЗДЕЛИЯ ОБЩЕМУ ПОДХОДУ РЕШЕНИЯ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Одесская государственная академия строительства и архитектуры, Украина

email: [email protected]

Аннотация. В настоящей работе выявлена суть проблемы доказательства справедливости разработанного алгоритма для бесконечного количества видов аксонометрий. Определено необходимое условие разрешения рассматриваемого противоречия. Для обоснования возможности разрешения выявленного противоречия предложена гипотеза о соответствии алгоритмов различной степени общности. Выполнен сравнительный анализ содержания и структур алгоритма построения аксонометрии изделия и алгоритма общего подхода к решению типовых геометрических инженерных задач.

Постановка проблемы. Государственный стандарт СССР (ГОСТ 2.31769) определяет пять видов аксонометрических проекций: прямоугольная изометрия, прямоугольная диметрия, косоугольная фронтальная изометрия, косоугольная фронтальная диметрия, косоугольная горизонтальная изометрия [1-12].

Используя различные сочетания элементов аппарата аксонометрического проецирования, можно создать бесконечное количество видов аксонометрий.

В результате теоретических исследований и практического конструирования предложен алгоритм построения аксонометрии изделия [7].

Суть противоречия (проблема) заключается в том, что за реальный конечный промежуток времени проверить справедливость разработанного алгоритма для бесконечного количества видов аксонометрий практически невозможно.

Тем не менее, для решения типовых геометрических инженерных задач: позиционных, метрических, построения развертки - разработан общий подход

[5, 6].

Поскольку построение аксонометрии изделия также является типовой геометрической инженерной задачей, то необходимым условием устранения имеющегося противоречия является сравнительный анализ алгоритма построения аксонометрии изделия [7] и алгоритма общего подхода к решению типовых геометрических инженерных задач [5, 6].

Анализ исследований и публикаций. Содержание и структура алгоритма построения аксонометрии изделия [7] и алгоритма общего подхода к решению типовых геометрических инженерных задач [5, 6] обсуждены на международных научно-практических конференциях и опубликованы.

При этом сравнительный анализ этих алгоритмов не выполнен.

Для обоснования возможности разрешения выявленной проблемы предлагается гипотеза о соответствии алгоритма построения аксонометрии изделия общему подходу решения типовых геометрических задач.

Подтверждение истинности предложенной гипотезы есть необходимое условие применения алгоритма для построения аксонометрии изделия в бесконечном множестве видов аксонометрических проекций.

Цель и задачи статьи. Цель настоящей статьи — обосновать возможность применения разработанного алгоритма для построения аксонометрии изделия в бесконечном множестве видов аксонометрических проекций. Такой алгоритм поможет инженерам глубже понять геометрическую суть явления и эффективнее решать новые практические задачи.

Задачей статьи является выполнение сравнительного анализа содержания и структур алгоритма построения аксонометрии изделия [7] и алгоритма общего подхода к решению типовых геометрических инженерных задач [5, 6, 12].

Основная часть. Разработанные алгоритмы построения аксонометрии изделия и общего подхода имеют одинаковую структуру и состоят из подготовительного нулевого этапа и семи основных этапов (Рис. 1).

Одинаковая структура алгоритмов построения аксонометрии изделия и общего подхода позволяет выполнить сравнительный анализ их содержания.

При описании этапов алгоритма построения аксонометрии перед порядковым номером этапа размещается буква "А". При описании алгоритма общего подхода к номеру этапа присоединяется буква "О".

А0. Подготовительный нулевой этап построения аксонометрии.

Выполняется геометрический анализ двухмерной модели (проекционного чертежа) изделия или трехмерных изображений (фотографий) прототипа. Геометрический анализ изделия заключается в определении его характерных тел (шар, цилиндр, конус, призма, пирамида и т. д.), поверхностей (сфера, геликоид, цилиндроид, коноид и т. д.), плоскостей, ребер, точек.

Определяется наиболее приемлемый к выделенным конструктивным особенностям изделия вид аксонометрии или выбирается один из стандартных видов аксонометрических проекций. Выбор стандартного вида аксонометрии обосновывается.

К конструкторским базам изделия привязывается первичная ортогональная система Оху7 координат отнесения объекта [6].

Если изделие симметрично, то целесообразно начало О первичной ортогональной системы Охуг координат совместить с точкой пересечения осей симметрии. Как правило, точка пересечения осей симметрии выбирается в качестве одной из возможных конструкторских баз.

Если основанием изделия является плоскость, то целесообразно с основанием совместить координатную плоскость Оху.

На аксонометрической (картинной) плоскости проекций П' изображается вторичная система О'х'уУ координат. Взаимное расположение аксонометрических осей координат О'х', О'у', ОУ соответствует выбранному виду аксонометрии.

Рис. 1. Схема алгоритмов построения аксонометрии изделия и общего подхода.

00. Подготовительный нулевой этап общего подхода к решению типовых геометрических инженерных задач.

Выполняется геометрический анализ двухмерной модели (проекционного чертежа) изделия или трехмерных изображений (фотографий) прототипа. Анализируется корректность постановки типовой геометрической инженерной задачи.

Таким образом, содержания подготовительного этапа обоих алгоритмов, по сути, соответствуют.

А1. В комплексном проекционном чертеже (или фотографии прототипа) выделяется ортогональная проекция А (вид спереди, вид сверху, вид слева и т. д.), содержащая максимальную информацию о конструктивных особенностях изделия (отверстия, бобышки, лыски, фаски, канавки и т. д.).

Ортогональная проекция с максимальным количеством изображений конструктивных элементов не обязательно является видом спереди. По определению вид спереди дает "наиболее полное представление о форме и размерах предмета" [9]. Построение аксонометрии облегчается, если его начинать с изображения ортогональной проекции, отражающей наибольшее количество конструктивных элементов изделия.

Количество рассматриваемых ортогональных плоскостей проекций при построении аксонометрии, как правило, равно трем — ] = 0, 1, 2.

Счетчику ] рассматриваемых ортогональных плоскостей проекций ]=0,М присваивается первое значение ноль — ]=0. Число M принадлежит множеству натуральных чисел.

01. Таким образом, действительно, на первом этапе решения типовой геометрической задачи определяется вспомогательный образ А, которым, при построении аксонометрии, является ортогональная проекция с изображениями максимального количества конструктивных элементов в первичной системе Оху7 координат отнесения объекта [6].

А2. Выполняется геометрический анализ ортогональной проекции А с максимальным количеством изображений конструктивных элементов с целью определения характерных геометрических образов (окружностей, дуг, отрезков прямых линий, точек).

Для построения аксонометрии характерных геометрических образов выделяются их характерные точки Ki(Ki1, К2, К^), 1=1,М Число N принадлежит множеству натуральных чисел. Например, аксонометрическую проекцию отрезка прямой линии можно построить по двум характерным точкам К1^, К2, К^), 1=1,2.

Для каждой характерной точки К^х1, у1, 71), 1=1,Ы анализируемой ортогональной проекции А определяются её первичные координаты х1, у1, 71, 1=1,М

02. Таким образом, на втором этапе решения типовой геометрической задачи для вспомогательного образа А выполняется первая группа вспомогательных действий а, в результате которых определяются первичные координаты х1, у1, 71, 1=1,Ы характерных точек изделия.

А3. На третьем этапе построения аксонометрии изделия с помощью натуральных коэффициентов искажения кх, ку, к7 для координатных осей Ох, Оу, О7 определяются вторичные аксонометрические координаты х'к, у'к, 7'к аксонометрической проекции К' по первичным ортогональным координатам хк, ук, 7к точки К1(х1, у1, 71), 1=1 ,N1

х'к = кх ■ хк, у'к = ку ■ ук, 7'к = к ■ 7к.

Результатом Ь третьего этапа для задачи построения аксонометрии являются вторичные аксонометрические координаты х'к, у'к, 7'к для каждой характерной точки — (к' (х'к, у'к, 7'к))1, 1=1,М

03. Таким образом, на третьем этапе решения типовой геометрической задачи для вспомогательного образа А выполняется вторая группа вспомогательных действий Ь, в результате которых определяются вторичные аксонометрические координаты (х'к, у'к, 7'к)1, 1=1,К характерных точек к1(х1, у1, 71), 1=1,К изделия.

А4. Строятся аксонометрические проекции характерных точек — (к' (х'к, у'к, 7'к))1, 1=1,М

Соединением тонкой линией аксонометрических проекций (к' (х'к, у'к, 7'к))1, 1=1,К характерных точек к1(х1, у1, 71), 1=1,К выделяются построенные проекции геометрических образов, принадлежащих ортогональной проекции А изделия.

Результатом четвертого этапа являются аксонометрические проекции (к' (х'к, у'к, 7'к))1, 1=1,К характерных точек к1(х1, у1, 71), 1=1,К и выделенные тонкой линией аксонометрические проекции геометрических образов, принадлежащих ортогональной проекции А изделия.

04. Таким образом, на четвертом этапе решения типовой геометрической задачи для вспомогательного образа А строятся необходимые проекции геометрических образов.

А5. Выполняется проверка достаточности полученного количества аксонометрических проекций (к' (х'к, у'к, 7'к))1, 1=1,К характерных точек к1(х1, у1, 71), 1=1,К для выделения и обозначения конечного результата решения аксонометрической задачи.

Если для получения конечного результата аксонометрических проекций (к' (х'к, у'к, 7'к))1, 1=1,К характерных точек к1(х1, у1, 71), 1=1,К достаточно, то выполняется последний седьмой этап данного алгоритма. Например, для плоской пластины её аксонометрическая проекция может быть выделена толстой линией.

Если для получения конечного результата аксонометрических проекций (к' (х'к, у'к, 7'к))1, 1=1,К характерных точек к1(х1, у1, 71), 1=1,К не достаточно, то выполняется следующий шестой этап данного алгоритма.

05. Таким образом, на пятом этапе решения типовой геометрической задачи для вспомогательного образа А выполняется проверка достаточности получения требуемого результата.

А6. Определяются дополнительные точки к4, 1=1,Ь, ]=1,М для однозначного выделения и обозначения конечного результата решения

аксонометрической задачи. Число Ь принадлежит множеству натуральных чисел.

Счетчику 1 следующей ортогональной проекции изделия А1, 1=1,М присваивается второе значение (единица) — 1=1.

Об. Таким образом, на шестом этапе решения типовой геометрической задачи определяются дополнительные точки К4, 1=1,Ы, 1=1,М строимого геометрического образа для однозначного выделения и обозначения конечного результата решения задачи.

А6.1. В комплексном проекционном чертеже (или фотографии прототипа) выделяется ортогональная проекция 1=1,М (вид спереди, вид сверху, вид слева и т.д.), содержащая максимальную информацию о конструктивных особенностях изделия (отверстия, бобышки, лыски, фаски, канавки и т.д.) по сравнению с оставшимися ортогональными проекциями 1=2,М.

Для новой ортогональной проекции 1=1,М аналогично пунктам 2, 3, 4 выполняются пункты 6.2, 6.3, 6.4 данного алгоритма.

06.1. Для решения типовой геометрической задачи выделяется новый геометрический образ 1=1,М.

А6.2. Выполняется геометрический анализ новой ортогональной проекции А1, 1=1,М с целью определения характерных геометрических образов (окружностей, дуг, отрезков прямых линий, точек).

Для построения аксонометрии характерных геометрических образов выделяются их характерные точки КЧ(КЧЬ Кч2, К1^), 1=1,Ь; 1=1,М.

В число Ь новых характерных точек КЧ(КЧЬ Кч2, Кч3), 1=1,Ь; 1=1,М не включаются характерные точки К1(К11, К12, К13), 1=1,N, для которых уже построены аксонометрические проекции (К' (х'К, у'к, 7'К))1, 1=1,N.

Для каждой характерной точки Кч(хч, y1J, 7Ч), 1=1,Ь; 1=1,М анализируемой ортогональной проекции А определяются её первичные координаты хч, у1-1, 7Ч, 1=1,Ь; 1=1,М.

06.2. Таким образом, на данной итерации решения типовой геометрической задачи для вспомогательного образа А1, 1=1,М выполняется первая группа вспомогательных действий а], в результате которых определяются первичные координаты хч, у1-1, 7Ч, 1=1,Ь; 1=1,М дополнительных характерных точек КЧ(КЧЬ К112, Кч3), 1=1,Ь; 1=1,М изделия.

А6.3. На данном этапе построения аксонометрии изделия с помощью натуральных коэффициентов искажения кх, ку, к7 для координатных осей Ох, Оу, О7 определяются вторичные аксонометрические координаты (х'К, у'К, 7'К)4, 1=1,Ь; 1=1,М аксонометрической проекции (К')11, 1=1,Ь; 1=1,М по первичным ортогональным координатам (хК, уК, 7К)11, 1=1,Ь; 1=1,М точки Кч(хч, у11, 711), 1=1,Ь; 1=1,М:

х'к = кх ■ хк, у'к = ку ■ ук, 7'к = к7 ■ 7к.

Результатом Ь1, 1=1,М данного этапа для задачи построения аксонометрии являются вторичные аксонометрические координаты (х'к, у'к, 7'к)4, 1=1,Ь; 1=1,М для каждой характерной точки Кч(хч, у1-1, 7Ч), 1=1,Ь; 1=1,М — (К' (х'к, у'к, 7'к))11, 1=1,Ь; 1=1,М.

06.3. Таким образом, на данном этапе решения типовой геометрической задачи для вспомогательного образа А', '=1,М выполняется вторая группа вспомогательных действий '=1,М, в результате которых определяются вторичные аксонометрические координаты (х'к, у'к, 7'к)4, 1=1,Ъ; '=1,М характерных точек кч(хч, y1J, 71J), 1=1,Ъ; '=1,М изделия.

А6.4. Строятся аксонометрические проекции характерных точек — к^х1', у1-', 71'), 1=1,Ь; J=1,M.

Соединением тонкой линией аксонометрических проекций (к' (х'к, у'к, 7'к))1', 1=1,Ь; '=1,М характерных точек к1'(х1', у1', 71'), 1=1,Ь; '=1,М выделяются построенные проекции геометрических образов, принадлежащих ортогональной проекции А', '=1,М изделия.

Результатом четвертого этапа являются аксонометрические проекции (к' (х'к, у'к, 7'к))1', 1=1,Ъ; '=1,М дополнительных характерных точек кч(хч, у1', 71'), 1=1,Ь; '=1,М и выделенные тонкой линией дополнительные аксонометрические проекции геометрических образов, принадлежащих ортогональной проекции А', '=1,М изделия.

06.4. Таким образом, на четвертом этапе решения типовой геометрической задачи для вспомогательного образа А', '=1,М строятся дополнительные необходимые проекции геометрических образов.

А6.5. и О6.5. Принимается решение об однозначности построения конечного результата решения задачи.

Если количества точек к1', 1=1,№Ь, '=1,М, принадлежащих геометрическим образам ортогональных проекций А', '=0,М достаточно для однозначного выделения и обозначения результата решения аксонометрической задачи, то выполняется седьмой этап данного алгоритма.

Иначе - значение счетчика' дополнительных ортогональных проекций А', '=2,М увеличивается на единицу С='+1). Выделяется новая ортогональная проекция А' '=2,М, выполняются вспомогательные действия а], Ь1, '=1,М, и принимается решение об однозначности построения конечного результата, то есть повторяется выполнение шестого этапа данного алгоритма.

Разработанная структурная схема алгоритма построения аксонометрии изделия отражает повторение первых пяти этапов на шестом этапе для новых ортогональных проекций А', '=1,М (Рис. 1). Такая же закономерность присуща алгоритму общего подхода.

Таким образом, содержания шестого этапа обоих алгоритмов, по сути, соответствуют.

А7. Выделяется и обозначается результат решения аксонометрической задачи соединением гладкой линией полученных точек к1', 1=1,№Ь+Р, '=1,М с учетом их видимости на проекционном чертеже.

Для построенной аксонометрии изделия проставляются присоединительные и габаритные размеры.

О7. Таким образом, на седьмом этапе решения типовой геометрической задачи выделяется и обозначается результат решения.

Следовательно, содержания обоих алгоритмов, по сути, соответствуют.

Поскольку содержание и структура алгоритма построения аксонометрии изделия [7] соответствуют содержанию и структуре общего алгоритма решения типовых геометрических задач [5, 6, 12], то предложенная гипотеза справедлива.

Блок-схемы алгоритмов содержат только стандартные логические блоки операторов для программирования на языке высокого уровня.

Эффективность алгоритма построения аксонометрии изделия проверяется студентами при решении практических задач и инженерами в процессе конструирования изделия.

Например, используя алгоритм предложенной структуры, студентами на практических занятиях решается задача построения аксонометрии амортизатора (Рис. 2). Результат показан на Рис. 3.

Студенты получают результат за отведенное время. Количество ошибок снижается примерно в два раза.

С технологией изготовления амортизатора (Рис. 4) можно познакомиться на Одесском заводе резиновых изделий.

Предложенный алгоритм построения аксонометрии изделия позволяет инженерам предприятия повысить качество конструкторской документации за счет исключения неточностей в изображениях.

Эффективность алгоритма общего подхода к решению типовых геометрических проблем проверяется студентами и инженерами при решении практических задач.

Е16 2 3 4 1

А

Е7

V

Е7

А - А

9 \ / ' 4

4- V - №

I ^

4 0

,Р2

Рис. 2. Двухмерная модель изделия: 1 - корпус; 2 - втулка: 3 - скоба; 4 - пластина.

Рис. 3. Построенная аксонометрия изделия и чертеж.

Рис. 4. Амортизатор АКСС-25М Одесского завода резиновых изделий.

Используя общий алгоритм предложенной структуры, решается позиционная задача определения линии пересечения двух поверхностей вращения (Рис. 5). Результаты решения задачи показаны на Рис. 6.

цилиндра.

Рис. 6. Результаты построения линии пересечения поверхностей вращения.

Выводы. 1. Выполненный сравнительный анализ доказал соответствие содержания и структур алгоритма построения аксонометрии изделия [7] и алгоритма общего подхода к решению типовых геометрических инженерных задач [5, 6, 12].

2. Предложенная гипотеза справедлива.

3. Таким образом, обоснована возможность применения разработанного алгоритма для построения аксонометрии изделия в бесконечном множестве видов аксонометрических проекций.

Литература

1. Браилов А. Ю. Особенности обучения инженерной графике в современных условиях / А. Ю. Браилов // Техшчна естетика i дизайн. - К.: Вшол, 2011. - Вип. 8. - С. 44—49.

2. Браилов А. Ю. Структура алгоритма решения позиционных задач / А. Ю. Браилов // Прикладна геометрiя та шженерна графша. - К.: КНУБА, 2011. — Вип. 88. - С. 100—105.

3. Браилов А. Ю. Структура алгоритма построения развертки поверхности / А. Ю. Браилов // Прикладна геометрiя та шженерна графша. - К.: КНУБА, 2012. — Вип. 89. - С. 94—100.

4. Браилов А. Ю. Структура алгоритма решения метрических задач / А. Ю. Браилов // Пращ Тавршського державного агротехнолопчного ушверситету. - Мел^ополь: ТДАТУ, 2013. -СПГМ-15. - С. 16-24.

5. Браилов А. Ю. Общий алгоритм решения типовых геометрических задач / А. Ю. Браилов // Прикладна геометрiя та шженерна графша. - К.: КНУБА, 2013.— Вип. 91. - С. 32—45.

6. Браилов А. Ю. Инженерная геометрия / А. Ю. Браилов - К.: Каравелла, 2013. - 456 с. (ISBN 978-966-2229-58-5).

7. Браилов А. Ю. Алгоритм построения аксонометрии изделия / А. Ю. Браилов // Сучасш проблеми моделювання: зб. наук. праць. - Мел^ополь: МДПУ iм. Б. Хмельницького, 2014.— Вип. 2. - С. 9—21.

8. Бубенников А. В., Громов М. Я. Начертательная геометрия. - М.: Высш. шк., 1973. - 416 с.

9. Михайленко В.Е., Ванин В.В., Ковалев С.Н. Инженерная и компьютерная графика. - К.: Каравелла, 2013. - 328 с.

10. Подкорытов А.Н., Галзман Е.Г., Перевалов В.Ф. Конспект лекций по инженерной графике (со структурно-логическими схемами и с алгоритмами графических построений при решении типовых задач) для студентов немеханических специальностей. - Одесса: ОГПУ, 1993. - 83 с.

11. Фролов С.А. Начертательная геометрия. - М.: Машиностроение, 1978. - 240 с.

12. Brailov А. Yu. The general approach to the solution of typical engineering geometrical problems // Proceedings of the Sixteenth International Conference on Geometry and Graphics (Innsbruck, AUSTRIA). - ISGG, 2014. - P. 106—109.

Summary

A. Yu. Brailov

HYPOTHESIS ABOUT CORRESPONDENCE OF THE ALGORITHM OF THE CONSTUCTION AXONOMETRY PRODUCTS TO GENERAL APPROACH FOR

SOLVING GEOMETRIC PROBLEMS

The persisting work discusses the essence of the problem of the proof of applicability of the developed algorithm to endless number of various types of axonometric projections. A necessary condition of solving the revealed contradiction is presented. A hypothesis on the correspondence of the developed algorithm to the level of generality of a given problem is formulated. A comparative analysis is presented for the content and structure of the developed algorithm for construction of the axonometric projection of the designed part and the algorithm of solution of typical geometrical engineering problems.