CC BY
85GIPERGEOMETRIK FUNKSIYANING QO'LLANILISHI HAQIDA
Shahlo Shavkatovna Sayfullayeva
Buxoro davlat universiteti
ANNOTATSIYA
Maqolada Gaussning gipergeometrik funksiyasini amaliy ahamiyati haqida ma'lumotlar keltirilgan. Ikkita buzilish chizig'iga ega bo'lgan ikkinchi tartibli xususiy hosilali elliptik va giperbolik tipga tegishli tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechishda qo'llanilishi aniq misollar yordamida yoritib berilgan.
Kalit so'zlar: buzilish chizig'i, gipergeometrik funksiya, maxsus funksiya, regulyar yechim, boshlang'ich shart, umumlashgan yechim, Gyolder sharti.
Hozirgi vaqtda olib borilayotgan ko'plab ilmiy-amaliy tadqiqotlar buzilish chizig'iga ega va singulyar koeffisientli differensial tenglamalar uchun boshlang'ich va chegaraviy masalalarni o'rganishni taqozo etmoqda. Bu kabi tenglamalarga qiziqishning ortishi ularning o'qqa nisbatan simmetrik potensiallar nazariyasi, tomografiya, suyuqlik va gazlar dinamikasi va akustika, Maksvell-Eynshteyn tenglamalari kabi ko'pgina amaliy masalalarga tatbiq etilishi bilan izohlanadi. Bunday tenglamalarning murakkabligi va ularni yechishning umumiy analitik usullari to'la shakllantirilmaganligi sababli ushbu tenglamalarga oid tadqiqotlarni rivojlantirish dolzarbligicha qolmoqda.
Kasr tartibli operatorlarni xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun boshlang'ich va chegaraviy masalalarni yechishga tatbiq etish muhim ahamiyat kasb etmoqda. Bu kabi masalalarni yechishda yoki yechimlarning xossasini o'rganishda Gaussning gipergeometrik funksiyasining o'rni katta hisoblanadi [1].
Bundan tashqari, hozirgi vaqtda sonli usullarning keng rivojlanishi va shu yo'nalishda olib boriladigan tajribaning roli oshishi munosabati bilan nafaqat gipergeometrik funksiyalar, balki maxsus funksiyalarga ham qiziqish ortdi. Bu o 'z navbatida nazariy va amaliy fizikaning ko'plab muhim masalalarini hal qilish uchun ularni chuqur bilish kerakligini taqozo qiladi.
Maqolada Gaussning gipergeometrik funksiyasining ba'zi bir tadbiqlari haqida misollar bayon qilingan.
[2-3] maqolada
-(-y)mUxx + xmUyy = 0, m = const > 0 (1)
Tenglama uchun Koshi masalasi yechish haqida ba'zi bir mulohazalar bayon qilingan.
H — qaraloyotgan soha y = 0 o'qining 0A kesmasi va tenglamaning 0D: x + y = 0 , D A : xp + (—y)p = 1 , 2 p = m + 2 xarakteristikalari bilan chegaralangan bo'lsin.
Koshi masalasi. (1) tenglamani H da quyidagi boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimini toping:
U(x,y) = t(x), 0 < x < 1, (2)
lim Uv(x,y) = v(x), 0 < x < 1, (3)
y->-o
bunda t(x) ,v (x) — berilgan funksiyalar bo'lib, ular t(x) £ C[0 , 1 ] n C2( 0 , 1 ), v(x) £ C( 0 , 1 ] n C2 ( 0, 1 ) va v (x) funksiyasi 0( 0, 0 ) nuqtada 2 / (m + 2 ) dan kichik tartibli cheksizlikka intilishi mumkin.
(1) tenglama va (2)-(3) boshlang'ich shartlar tenglamaning xarakteristik o'zgaruvchilari
7! = xp — (—y) p, ^ = xp + (—y) p larda quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
i/| ,=f = t(! 1/2p), 0 < ! < 1 ,
2ß
lim 2 1 /pp(7i—7!) (7! ^ — ^ i,) = v( ! 1 / 2 p), 0 <! < 1 ,
[4, 32 bet] da keltirilgan usul yordamida Koshi masalasining yechimini yozib olamiz:
„ "(y —!) 1 - 2 "t( t 1 /2p)
Uc
,, , ( O — O 1 -2 "t(t 1/2 p) ^ , ■ ff'") = y1j(,,-t) 1 -"(t —!) 1 -"dt +
V
f t-1/2p
v(t 1/2p) dt■
^ (ri-t)ß(t-Oß
Ma'lumki, agar biror g (x) funksiya ( 0 , 1 ) oraliqda a tartibli Gyolder shartini
qanoatlantirsa, uni quyidagi ko'rinishda yozib olish mumkin [1, 33 bet]:
l
g (x) = g ( 1 ) + J( t — x) * - ( t) d t, (4)
X
bunda g 1 ( t) funksiya a — a 1 > 0 tartibli Gyolder shartini qanoatlantiradi.
Ushbudan foydalanib va larni
l
t( t1 /2p) = ^ ( 1 ) + J (s — t) - "+£ ( (s) d s ( 5 )
t
1
t- 1 /2pv( t 1 /2p) = v1 ( 1 ) + J (s — t) " - 1+(s) ds, ( 6)
t
Ko'rinishida yozib olamiz [5], bunda £ > 0 - yetarlicha kichik son, ( (s) , (s) -0 < s < 1 da uzluksiz funksiyalar.
(5) va (6) dan foydalanamiz va integrallash tartibini o'zgartirib, quyidagini topamiz:
V s
Uo(f,iO = T!( 1 ) + J ^ (5) ds|(T!-t)ß- Ht-0 ß- ^5-t)- ß+£d t +
i i
/,(s)ds/(T-t)ß-Ht-öß-(S-trß+^t-
77 f
»7 s
/o2 (TT-9 1 - 2 ßVi ( 1 )-y2 J ^(5) ds|(T-t) - ß ( t - 0- ß(5-t) ß - 1+£d t
»7 s
- /2 J ^(5) ¿5 J (TT -t)- ß (t-0 - ß ( 5 t)ß - 1+£d t
bunda
[6, 69 bet] dagi formulaga asosan
l
F (a' C 'Z) = r(a)r(c — a) / ta " 1( 1 " 0 C "0 " 1( 1 " Zt) "
o
0 < ße a < ß e c, |arg ( 1 — z)| <77
n r(c)r(c — a — b) , F(a,b,c,z) = _ _ ^ F(a, b,a + b - c + 1,1 - z) +
r(c)r(a + b + c) , . ,
r(a)r(b)
c — a — b ^ 0 ,± 1 ,±2 ,. . ..,|arg ( 1 — z)| < 7
ekanligidan foydalanib
v
Uo (£7) = J P 1 (5) (5 — 0 £ (77 — 0 -ß^( 1 —//,//+ |)ds +
l
J p2 ( 5)(5 — 0- ß+£F (//,// + £, 1 + £, |)d5
V
1
+ J P 3 (5) (5 — 0£ (5 — 0- ßF (//,// + £, 1 + £, 5—|) d5 +
V
t ( 1 ) —2^p(7 —0 1 - 2 ßv ( 1 ) ( 7)
bo'lishini topamiz, bu yerda
7lr(ß)r(l -ß + E) 7ir(l-ß)r(ß + 8) ir ^
=-r(I+ö---iüü-
2y2 T(ß + g)r(l — 2ß)cosßn <p2<ß) = <p(s)--_ + ^-lp(s),
2y2r(ß + g)r(l — ß) <p3(s) =---cosßnip(s).
r(l + £)
(7) ifodadan % va r lar bo'yicha hosila olib, U o^ , U ov E C(A ) ekanligini va quyidagi baholarga ega bo'lishini aniqlaymiz [5]:
IU0 fl< c o ns t (] - %) ~ 2 ß, IU0 vl< c o ns t (] - %) ~ 2 ß.
Bu olingan baholar yordamida (1) tenglamaning Koshi masalasi yechimini umumlashgan yechim [4, 38 bet] bo'lishini va uning xossalarini qanoatiantirishini isbotlashda foydalanish mumkin.
Yuqorida Gaussning gipergeometrik funksiyasining amaliy tadbig'i keng ekanligi aytib o'tilgan edi. Jumladan, ikkinchi tartibli ikkita buzilish chizig'iga ega bo'lgan xususiy hosilali elliptik tipga tegishli differensial tenglamalarning yechimini yozishda ham keng qo'llaniladi. [7] da ikkita buzilish chizig'iga ega bo'lgan ellitik tipdagi tenglamalar uchun
ymUxx + xmUyy = 0 (8)
uchun qo'yiladigan chegaraviy masalalarning ro'yxati keltirilgan. (8) tenglama uchun Dirixle masalasini yechimi yozishda foydalanilgan Grin funksiyasi ham gipergeometrik funksiya orqali yoziladi [8]:
(l\2ß
ao 4 (%,r;x,y) = q4 (%,r;x,y) -[^2) (%,r>x,y), {i-s)1~2ß
q4(^>r>x,y) = Yo 1 r2y F(l-ß,l-ß,2- 2ß,l-s),
24ß~2r2(l-ß) „ „ r2r2
Y01 = -¡——1-5 = 1-
(n r ( 2-2 ß ) )' (r2r2)'
r22 = (fP ± xP)2 + (77p ± yP)2, r324 = (fP ± xP)2 + (77p ± yP)2,
v P
r2 = X2P + y 2 P , XP = xP/r2 , yP = —
ro
q4 (% , r;x,y) - (8) tenglamaning fundamental yechimi.
Gipergeometrik funksiya uchun [6, 70 bet] da keltirilgan bahodan foydalanib,
ushbu
ymU xx + xmUyy = f(x, y , U , Ux, Uy) (9 )
amaliy ahamiyatga ega elliptik tipga tegishli bo'lgan kvazichiziqli tenglama uchun N D 2 masalasini berilgan f (x,y, U , U x, Uy) funksiyasiga tegishli shartlarni qo'ygan holda [7] yechish mumkin.
ND2 masalasi. H sohada (9) tenglamani quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimini toping:
U (x, y) = <p (x, y), (x, y) £ o, dU
l™nT- = v(4 (x,0) Ellt y->+0 ijy
Ul0 B= t (y) , ( 0 ,y)e/2, bu yerda p (x,y) , t (x) , v (y) - berilgan uzluksiz funksiyalar, v (y) funksiya О ( 0 , 0 ) va A ( 1 , 0 ) uqtalarda birdan kichik tartibli cheksizlikka intilishi mumkin, bunda p ( 1 , 0 ) = t ( 1 ) . Hozirgi vaqtda bu masala muallif tomonidan o'rganilmoqda. Yechimning mavjudligi va yagonaligini isbotlashda ketma-ket yaqinlashish printsipidan foydalanish rejalashtirilgan.
Yuqorida keltirilganlardan xulosa qilish mumkinki, gipergeometrik funksiya matematikaning differensial tenglamalar sohasida keng qo'llaniladi. Bu gipergeometrik funksiyaning keng amaliy ahamiyatga egaligini ko'rsatadi. Bunga misol qilib [9-25] ilmiy izlanishlarni keltirishimiz mumkin. Agar fizik jarayonlarni matematik modellarini tahlil qilsak, kvant mexanikasida differensial operatorlar yordamida aniqlanadigan standart (uzluksiz) Shryodinger operatorlariga [26-28] duch kelamiz. Bunday operatorlar ham matematik analizda o'rganiladigan maxsus funksiyalar orqali tadqiq qilinadi.
Maqolada keltirilgan masalalarni o'rganish tadqiqotchilardan (talabalardan) o'rganilayotgan muammolarni mustaqil muhokama qilish imkonini beradigan bilim, ko'nikma va malakalarga ega bo'lishni talab qiladi. Ushbu yo'nalishda tadqiqotchi va talablarga [29-30] maqolalarni o'rganish tavsiya qilinadi.
REFERENCES
1. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. - М.: Наука, 1970.- 294 с.
2. Жамолов Б.Ж., Раупова М.Х. О функции Римана вырождающегося уравнения гиперболического типа // Science and Education, scientific journal, 3:3 (2022), р.23-30.
3. Sayfullayeva Sh.Sh. Buzilish chizig,igа egа bo'^n elliptik vа giperbolik tipdаgi tenglаmаlаr hаqidа mа'lumotlаr // Science and Education, scientific journal, 3:3 (2022), р.38-45.
4. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. - Минск: Вышейшая Школа, 1977. - 159 с.
5. Исломов Б.И., Расулов Х.Р. Краевая задача для квазилинейного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Тезисы докладов «1- съезд математиков Казахстана», Шымкент, 11-14 сентября 1966. - с.106.
6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. - М.: Наука, 1973. -Т. 1. - 294 с.
7. Rasulov X.R., Sayfullayeva Sh.Sh. Buzilish chizig'iga ega bo'lgan elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo'yiladigan chegaraviy masalalar haqida // Science and Education, scientific journal, 3:3 (2022), р.46-54.
8. Менгзияев Б. некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения // Дисс. канд. физ.-мат. наук (Библиотека Математического института АН Республики Узбекистан). Ташкент, 1978.
9. Салохитдинов М.С., Расулов Х.Р. (1996). Задача Коши для одного квазилинейного вырождающегося уравнения гиперболического типа // ДАН Республики Узбекистан, №4, с.3-7.
10. Rasulov H. Boundary value problem for a quasilinear elliptic equation with two perpendicular line of degeneration // Центр научных публикаций (buxdu. uz) 5:5 (2021).
11. Расулов Х.Р. Об одной нелокальной задаче для уравнения гиперболического типа // XXX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам. Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2019, c. 197-199.
12. Rasulov X. Boundary value problem in a domain with deviation from the characteristics for one nonlinear equation of a mixed type // Центр научных публикаций (buxdu. uz) 7:7 (2021).
13. Расулов Х.Р. (1996). Задача Дирихле для квазилинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения // ДАН Республики Узбекистан, №12, с.12-16.
14. Расулов Х.Р. Об одной краевой задаче для уравнения гиперболического типа // «Комплексный анализ, математическая Физика и нелинейные уравнения» Международная научная конференция Сборник тезисов Башкортостан РФ (оз. Банное, 18 - 22 марта 2019 г.), с.65-66.
15. Rasulov X.R. (2020). Boundary value problem for a quasilinear elliptic equation with two perpendicular line of degeneration // Uzbek Mathematical Journal, №3, pp.117-125.
15. Xaydar R. Rasulov. On the solvability of a boundary value problem for a quasilinear equation of mixed type with two degeneration lines // Journal of Physics: Conference Series 2070 012002 (2021), pp.1-11.
16. Rasulov H. KD problem for a quasilinear equation of an elliptic type with two lines of degeneration // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 6:10 (2019), р.35-38.
17. Расулов Х.Р., Собиров С.Ж. Задача типа задач Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Scientific progress, 2:1 (2021), р.42-48.
18. Исломов Б., Расулов Х.Р. (1997). Существование обобщенных решений краевой задачи для квазилинейного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // ДАН Республики Узбекистан, №7, с.5-9.
19. Шукурова М.Ф., Раупова М.Х. Каср тартибли интегралларни хдсоблашга доир методик тавсиялар // Science and Education, scientific journal, 3:3 (2022), р.65-76.
20. Бозорова Д.Ш., Раупова М.Х. О функции Грина вырождающегося уравнения эллиптического типа // Science and Education, scientific journal, 3:3 (2022), р. 14-22.
21. Rasulov H. KD problem for a quasilinear equation of an elliptic type with two lines of degeneration // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 6:10 (2019), р.35-38.
22. Rasulov H. Boundary value problem for a quasilinear elliptic equation with two perpendicular line of degeneration // Центр научных публикаций (buxdu. uz) 5:5 (2021).
23. Rasulov Kh.R., Kamariddinova Sh.R. On the history of dynamic systems and ways to draw phase portraits // Science and education, scientific journal 2 (10), 2021, p.39-52.
24. Расулов Х.Р. Краевая задача для одного нелинейного уравнения смешанного типа // Центр научных публикаций (buxdu. uz) 7:7 (2021).
25. Расулов Т.Х,., Расулов Х.Р. (2021). Узгариши чегараланган функциялар булимини укитишга доир методик тавсиялар. Scientific progress. 2:1, 559-567 бетлар.
26. Расулов Т.Х. (2011). Существенный спектр одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке. Теоретическая и математическая физика. 166:1, С. 95-109.
27. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. (2015) Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами. Сибирские электронные математические известия. 12, С. 168-184.
28. Расулов Т.Х. (2012). Структура существенного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке. Вестн. Сам. гос. техн. ун -та. Сер. Физ.-мат. науки, 26:2, C. 24-32.
29. Расулов Х.Р. О некоторых символах математического анализа // Science and Education, scientific journal, 2:11 (2021), p.66-77.
30. Расулов Х.Р. О понятие асимптотического разложения и ее некоторые применения // Science and Education, scientific journal, 2:11 (2021), pp.77-88.
