CC BY
33
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЛАЗЕРНЫЕ ПУЧКИ ОБЩЕГО ВИДА И ИХ ИЗВЕСТНЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
А.А. Ковалев, В.В. Котляр Институт систем обработки изображений Российской академии наук, Самарский государственный аэрокосмический университет
Аннотация
Показано, что полученное недавно трехпараметрическое семейство точных решений параксиального волнового уравнения (типа Шредингера), которое названо гипергеометрическими лазерными пучками, включает в себя как частные случаи известные семейства лазерных пучков - гауссовые гипергеометрические лазерные пучки и элегантные пучки Лагерра-Гаусса.
Введение
Недавно авторами было рассмотрено новое семейство параксиальных лазерных пучков, комплексная амплитуда которых описывается конфлю-энтной гипергеометрической функцией [1]. Эти гипергеометрические пучки (ГГ-пучки), описываются трехпараметрическим семейством функций и является обобщением двухпараметрического семейства решений параксиального волнового уравнения (типа Шредингера), которые рассматривались в [2]. Также, эти ГГ-пучки [1] являются обобщением ранее рассмотренных гипергеометрических мод [3]. ГГ-моды обладают бесконечной энергией как и известные моды Бесселя, и на практике могут быть реализованы только приближенно. Недавно в [4] были рассмотрены гауссовые гипергеометрические пучки, которые обладают конечной энергией (хотя они уже не являются модами, так как при распространении меняют структуру поперечной интенсивности).
В данной работе показано, что ГГ-пучки являются обобщением гауссовых гипергеометрических лазерных пучков (ГГГ-пучков) [4] и хорошо известных элегантных пучков Лагерра-Гаусса (эЛГ-пучки) [5].
1. Общий вид гипергеометрических пучков
В работе [1] рассматриваются гипергеометрические лазерные пучки (ГГ-пучки), комплексная амплитуда которых описывается трехпараметрическим семейством функций. Эти пучки являются обобщением гипергеометрических мод [4] и двухпараметриче-ских гипергеометрических пучков [2]. В этом разделе мы кратко, следуя [1], повторим вывод ГГ-пучков.
Рассмотрим световое поле с начальной функцией комплексного пропускания вида:
Е-(ф) = 2пШ ехр+'у +'пф) , (1)
где (г, ф) - полярные координаты в начальной плоскости (г = 0), V и у - действительные параметры логарифмического аксикона, ст - радиус перетяжки гауссова пучка, п - целый порядок спиральной фазовой пластинки (СФП) (топологический заряд), т - целое число. Комплексная амплитуда (1) описывает световое поле с бесконечной энергией и с особенностью при г = 0 и т < 0. Несмотря на это в любой другой поперечной плоскости на расстоянии г
от начальной плоскости комплексная амплитуда светового поля, порожденная функцией (1), уже не будет иметь особенности и будет конечной.
При параксиальном распространении светового поля (1) его комплексная амплитуда на расстоянии г будет определяться преобразованием Френеля, которое в полярных координатах имеет вид:
* (е'z )=- £ Я * (
2nz •
I ik
<exp1—[р2 + r2 -2prcos(ср-е)] drckp,
(2)
где (р, 9) - полярные координаты в плоскости, отстоящей на расстоянии г от начальной плоскости, £=2л/Х - волновое число, X - длина волны.
При вихревом поле во входной плоскости, т.е. при Е (р, 6,0) = А (г) ехр ('пф), уравнение (2) примет вид:
Е (р, е, z) = (-i )"+1 — exp
ikp2 "27
+ine
xJ A (r )exp
(ikr2 ^
2z
JJ^ I rdr.
(3)
Известен справочный интеграл [6]:
да v+a
J xa-1 exp (-px2)jv (cx)dx = cvp ~2-v-1 0
xr( ^ jr-1 (v+1)1 Fi
(v + a , c2 ^ v +1, -
(4)
2 4p,
Тогда преобразование Френеля от (1) имеет вид: 1
Eynm ( ^ Z ) =
2nn !pwm+'y
ikp ~2z
n+1 Okp2 ^
exp
2 z
-+ine
1__
2a2 2z
(
\
n+m+2+iy
n + m + 2 + iy
(5)
4 F
n + m + 2 + i у
n +1, —
2
1
ik
2a2 2z
x
x
Обозначим z0 = кст2, q = (1 - й0/г)1/2. Тогда вместо (5) получим:
(0 г) =
(-/))
Г „ Л 0
( п ]m+''т
2п)!
г0 Т2ст
zq
V ^ У
( У
к стр
v^/2qz у
ехр
/кр2 2г
\
+ /)9
) + т + 2 + /у Г1-:-IX (6)
(
х 1 ъ
) + т + 2 + /у
^ Л
, ) + 1, -
кстр
v^/2qz у
2Л
Выражение (6) описывает комплексную амплитуду параксиальных гипергеометрических лазерных пучков общего вида. Сокращенно: ГГ-пучки. Модуль комплексной амплитуды (6) пропорционален функции Куммера:
Кт (р, 0, г)|~ хЪ (а, Ъ, -х)
где х - комплексный аргумент:
х =
^ кстр ]
\flqz
(7)
(8)
Функция Куммера или конфлюэнтная гипергеометрическая функция имеет вид [7]:
!Ъ (а,Ъ, -х) = £ С, (-1)1 х1
1=0
где
С, =
Г( а +1) Г(Ъ)
(9)
(10)
Г (а) Г(Ъ +1)1! Г( х) - гамма-функция.
2. Гауссовые гипергеометрические пучки
В работе [4] рассмотрены гауссовые гипергеометрические пучки (ГГГ-пучки). Эти пучки обладают конечной энергией, но при распространении в пространстве, в отличие от ГГ-мод [3], они меняют вид поперечного распределения интенсивности, оставаясь радиально-симметричными пучками. Эти пучки не образуют ортогональный базис, в отличие от ГГ-мод. Покажем, что ГГГ-пучки являются частным случаем ГГ-пучков. Перепишем (6) с новым
обозначением м = Т2ст :
Е (', Ф', z КТ 1]"
У™1 ' 2п)! V zq2IV q У
кжг'
2qz
(
ехр
(/кг '2
2 z
) + т + 2 + / у
- + /)ф
) +1, -
Г| ) + т + 2 +11 |х (11)
2А
кмг' 2qz
При у = 0 вместо (11) получим в безразмерных единицах:
Е0„т (р', Ф', z) =
1
2п)! ^ - /
С 2 (с-/)- 2
хр' ехр
(
(/р'2
<1 Рх
С
) + т + 2
+ /)ф
) + т + 2 2
„'2 ]
(12)
,) +1, -
с(с-/)
/
где
р' = г'/ м,
С = z / z0,
z0 = км2 /2,
q2 = (С-1)/ С.
(13)
Положим в (13) т = ) + р и воспользуемся известным соотношением для конфлюэнтной гипергеометрической функции [7]:
!Ъ (а, Ъ, -х) = ехр (-х);Ъ (Ъ - а, Ъ, х), (14)
тогда вместо (12) получим:
Е0,и,и+р (р' Фz) =
)+1 Г| ) +1 + 2
2п
Г() +1)
хС2 (-/)Ч!р'"ехр
С-/
+ /)ф
(15)
<1 ъ
- р,)+1,
с(с-/)
Выражение (15) отличается от аналогичного выражения, полученного в [4] (кроме константы), только знаками перед мнимой единицей в ^ -',
(-/)"+' и /р'2. Действительно, в [4] рассмотрены ГГГ-пучки с комплексной амплитудой:
\НУС^рт = «рт (P, Ф, С) =
= Ср
хрт ехр [-/р 2/( + /)] ехр (г'тф)>
Г| 1 + \т\
Г(1 + |т|)
т"2 / )-[1+т+р12] -
(16)
м ъ
р I I 1
-—, т +1;
3. Элегантные пучки Лагерра-Гаусса Для того чтобы показать, что эЛГ-пучки [5] являются частным случаем ГГ-пучков, перепишем выражение для ГГ-пучков общего вида (6) при т = -1 и с учетом соотношения (14), выделив явно гауссову экспоненту:
X
Е ■ 6, г )=<-£ ()
( /т )-1+,у (1 \
V 2ст к стр
V ^ 1 №г/
( п +1 + /у хГ|-I ехр
ехр
(/V
2 г
+ /п6
( кстр )
72
V * )
(17)
<1Р
п +1 - /у
п +1,
( кстр )
2Л
v^/2 дг )
Далее воспользуемся известным соотношением для конфлюэнтной гипергеометрической функции [7]:
1р (-п, а +1, х) =
п!
(а + 1)п
^(х),
(18)
где (х) - присоединенные многочлены Лагерра, (а + 1) - символ Похгаммера. Из сравнения (17) и
(18) видно, что для того, чтобы получить моду Ла-герра-Гаусса с индексами (р, s), нужно чтобы выполнялись равенства:
п +1 = 5 +1, п +1 - /у
(19)
2
■ = - р.
При условии (19) вместо (17) получим:
Е
' (5+1 + 2 р)
(р, 6, г) = -
2п5! V гд
( Лг )-1+5+'+2 р
V ^ )
( к стр )
Лдг
ехр
(1кр_ 2г
+ /56
( 5 + 1 + 5 + 1 + 2 р
хГ|-:-I ехр
( кстр )
)
(20)
<1Р
( , Л
5 + 1 -(5 + 1 + 2 р ) ^ + 1 к стр
2 ' \j2gz
2
После несложных преобразований с учетом (18) вместо (20) окончательно получим:
Е-,( +1+ 2р),5,-1 (P, 6, Г) =
= (-')+' р!( Г0 )^Т2ст)5+2р (
2п V гд
wд
кстр \/2д.
(21)
\ » ^ /
хехр
('к р2
2д г
+ /56
г(5)
( кстр )
Лдг
Выражение (21) имеет вид, несколько отличный от общепринятого вида элегантных пучков ЛГ [5]
Е (р, 6, г ) = (-/ Г
р+1 /
/'га2г0 )2
2 2 V д г
(22)
'кр212 ехр[ + /п6)Ы (-'кр
2д г
2д г
2д г
Выражение (22) имеет форму хп2 ехр (-х) Ь"р (х),
а форма выражения (21) отличается от (22) постоянными множителями и аргументом полинома Лагер-ра. Таким образом, обнаружена еще одна разновидность элегантных пучков ЛГ, которые являются частным случаем ГГ-пучков.
4. Численное моделирование
При численном моделировании преобразование Френеля от поля (1) вычислялось по методу прямоугольников и сравнивалось со значениями, получаемыми при использовании формулы (6). Таким образом было проверено полученное выражение (6).
Результаты моделирования приведены на рис. 1. Были использованы следующее значения параметров: длина волны X = 633 нм, радиус перетяжки Га-уссового пучка ст = 1 мм, порядок СФП п = 3 , показатель степенной составляющей амплитуды т = 0, расстояние вдоль оптической оси г = 500 мм.
Из рис. 1 видно, что при дифракции Гауссового пучка на СФП и логарифмическом аксиконе формируется кольцевое распределение интенсивности с дополнительными боковыми лепестками (кольцами). Радиус первого кольца и энергию боковых лепестков можно изменять, меняя параметр у .
На рис. 2 показаны радиальные распределения модуля амплитуды для элегантных пучков Лагер-ра-Гаусса при распространении в свободном пространстве. В выражении (21) были использованы следующее значения параметров: длина волны Х = 633 нм, радиус перетяжки Гауссового пучка ст = 10 мкм, порядок СФП п = 3 , показатель степенной составляющей амплитуды т = -1, параметр логарифмического аксикона у = -12/' (т.е. пучок эЛГ имеет индекс (4, 3)).
Такие картины дифракции могут быть получены про прохождении Гауссового пучка через спиральную пластинку и амплитудный фильтр с пропусканием, пропорциональным степенной функции р11.
Из рис. 2 видно, что элегантные пучки ЛГ не являются модами, т. к. структура поперечной интенсивности меняется (хотя и не сильно). Видно также, что энергия боковых лепестков существенно меньше, чем на рис. 1.
п
п
а) 0
б) в)
Рис. 1 Модуль комплексной амплитуды, описывающей дифракцию Френеля от функции (1), вычисленные с помощью интеграла (3) и аналитической формулы (6) при т = 0 : у = 0 (а), у = 5 (б), у = 20 (в)
4 р,тт
0,18
0,09
а) б)
в)
р, mm
Рис. 2 Распространение элегантных пучков Лагерра-Гаусса. Радиальные распределения модуля амплитуды при z = 100 мм (а), z = 300 мм (б), z = 500 мм (в)
Заключение
В работе показано, что полученное недавно трех-параметрическое семейство точных решений параксиального волнового уравнения (типа Шредингера), которое названо гипергеометрическими лазерными пучками, включает в себя как частные случаи известные семейства лазерных пучков: гауссовые гипергеометрические лазерные пучки и элегантные пучки Лагерра-Гаусса.
Благодарности
Работа выполнена при поддержке российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (грант СЯБР ЯиХ0-014-8а-06), а также гранта РФФИ 05-0850298 и 07-07-97600.
7.
Литература
Kotlyar, V. A family of hypergeometric laser beams / V. Kotlyar, A. Kovalev // J.Opt.Soc.Am. A (Early Posting, manuscript ID 87775, posted 15 November 2007). Ковалев, А.А. Параксиальные гипергеометрические лазерные пучки с особенностью в центре перетяжки / А. А. Ковалев [и др.] // Компьютерная оптика, 2007. - Т.31, № 1. - С. 9-13.
Kotlyar, V.V. Hypergeometric modes / V.V. Kotlyar [and other] // Opt.Lett., 2007. - V.32, no.7. - P. 742-744. Karimi, E. Hypergeometric-Gaussian modes / E. Karimi [and other] // Opt.Lett., 2007. - V.32. - P. 3053-3055. Takenaka, T. Propagation of light beams beyond the paraxial approximation / T. Takenaka, M. Yokota, O. FUku-mitsu // J.Opt.Soc.Am. A, 1985. - V.2. - P. 826-829. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Ма-ричев - М.: Наука, 1983.
Справочник по специальным функциям / под ред. М. Аб-рамовица, И. Стигана - М.: Наука, 1979.
