CC BY
11
УДК 517.987
DOI 10.18413/2075-4639-2019-51-2-280-286
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ДИВЕРГЕНТНОГО ТИПА ДЛЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
HYPERBOLIC SPHERICALLY SYMMETRIC FIRST ORDER EQUATION OF DIVERGENT TYPE FOR A VECTOR FIELD
Ю.П. Вирченко, А.А. Плесканев Yu.P. Virchenko, A.A. Pleskanev
Белгородский государственный национальный исследовательский университет, Россия, 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85
Belgorod National Research University, 85 Pobeda St., Belgorod, 308015, Russia
Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова, Россия, 308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46
Belgorod State Technological University named after V.G. Shukhov, 46 Kostykova St., Belgorod, 308012, Russia
Аннотация
В работе описан класс эволюционных уравнений первого порядка дивергентного типа для векторного поля a(x,t) , xGK3, t £ К, которые инвариантны относительно трансляций времени t£l и пространственных переменных, составляющих радиус-вектор х = (х1;Х2,Хз) £ К3, и которые, кроме того, ковариантным образом преобразуются при вращениях К3. Каждое уравнение этого класса полностью характеризуется парой дифференцируемых функций f и g, определенных на К+. В найденном классе уравнений выделен класс уравнений гиперболических по Фридрихсу. Для принадлежности уравнению, которое характеризуется парой функций f и g, этому классу необходимо и достаточно, чтобы имело место f'g > 0.
Abstract
It is described the class of evolutionary equations of the first order of divergent type for a vector field a(x, t), x £К3, t G К, which are invariant relative to time t G К and spatial translations and which are covariant relative to all group 03 transformations. Each equation of this class is fully characterized by a pair of differentiable functions f and g which are defined on К+. In the class of equations found, the class of hyperbolic Friedrichs equations is distinguished. Each equation that is characterized by a pair of functions f and g belongs to this class if and only if the fg > 0 takes place.
Ключевые слова: квазилинейные системы, гиперболичность, векторное поле, ковариантность, плотность потока поля, симметричные тензоры.
Keywords: quasilinear systems, hyperbolicity, vector field, covariance, field flux density, symmetric tensors.
Введение
В работах [Вирченко, Субботин, 2018а, б, в] поставлена задача об описании классов систем уравнений дивергентного типа, описывающих эволюцию фиксированных совокупностей полей на евклидовом пространстве, которые инвариантны относительно группы трансляций времени и группы трансляций пространства М3 и которые, кроме того, преобразуются ковариантным образом по представлениям группы ©3. Однако в этих
работах не ставился вопрос как о существовании решений у тех систем уравнений, которые получаются в результате решения такой задачи, так и об обладании этими решениями физически «разумных» свойств, необходимых для их использования при моделировании эволюции собственно физических систем, например, конденсированных сред. Настоящая работа направлена на восполнение этого пробела. Мы изучим простейшую ситуацию - эволюционное уравнение дивергентного типа
аДх, 0 = ОД*)(х, 0, У = 1,2,3 (1)
(Уу= З/Зху, ] = 1,2,3 ) для векторного поля а(х, 0, х £ М3Д £ М+, где функционал = [а] от поля а(х, - плотность потока этого поля представляется функцией от значений поля в фиксированной текущей пространственно-временной точке (х, Следовательно, уравнение (1) является, в этих условиях, векторным уравнением первого порядка, и поэтому представляет собой систему квазилинейных уравнений. В формуле (1) и далее используется правило тензорной алгебры суммирования по допустимым значениям повторяющихся векторных (в данном случае, нижних) индексов. Требование ковариантности векторного уравнения (1) относительно преобразований группы ©3 означает, что значениями плотности (х, ^ являются тензоры второго ранга в М3.
Настоящая работа посвящена нахождению таких условий на элементы класса Х-^М3) (см. [Вирченко, Субботин, 2019]) всех уравнений вида (1), которые выделяют в нем те уравнения, которые являются «разумными» с физической точки зрения. Известно, что эволюционные уравнения первого порядка, которые используются при описании сплошных сред, как правило, не описывают влияния на их динамику присущих им физических диссипативных механизмов. В этих условиях представляются разумными с физической точки зрения только так называемые системы уравнений гиперболического типа (см., например, [Годунов, 1979; Рождественский, Яненко, 1978]). Требование гиперболичности системы уравнений подразумевает, что все ветви &>у(к), } = 1,2,3 решения соответствующего дисперсионного уравнения, если пользоваться терминологией теоретической физики, для зависимости частоты от волнового вектора к £ М3 являются вещественными. Это требование связано с тем, что наличие мнимой части у какой-либо ветви из этих решений &>у(к), в некоторой области значений волнового вектора к, обязательно приводит, ввиду вещественности уравнения (1), к наличию комплексно сопряженного ему решения ш у(к). Тогда наличие мнимой части у &>у(к) приводит не только к наличию решений уравнения, стремящихся к равновесному нулевому значению, но также и к обязательному наличию решений а(х, t), обладающих ничем не обусловленным физически неограниченным возрастанием в некоторых областях изменения пространственной переменной х. Такое положение физически не разумно, так как типичное поведение любой большой физической системы связано с возрастанием энтропии, и поэтому всегда на эволюцию оказывают влияние физические диссипативные механизмы, учет которых необходим при математическом моделировании, если их влияние не пренебрежимо мало. В последнем случае эволюция системы должна носить обратимый характер по времени, и поэтому неограниченное возрастание решений недопустимо. Заметим, что возрастание решений а(х, t), но уже степенным образом относительно ^ возникает также при наличии совпадения значений каких-либо двух ветвей, &>у(к0) = ^(к0) при некотором значении к0 волнового вектора. В связи с этим, в теории систем квазилинейных уравнений гиперболическими называются такие системы, у которых дисперсионные зависимости &>у(к), } = 1,2,3 являются вещественными и недопустимо совпадение их значений в какой-либо точке ко.
Ввиду значительной технической сложности установления критерия гиперболичности векторного уравнения (1), в настоящей работе мы ограничиваемся установлением критерия наличия у него более слабого свойства, чем гиперболичность, а
именно, так называемой ^гиперболичности (гиперболичности по Фридрихсу) (см. [Годунов, 1979; Ма]ёа, 1983]).
Системы уравнений класса
Х1(М3). Опишем класс Х-^М3) всех уравнений первого порядка дивергентного типа вида (1) для векторного поля а(х, 0, у которых функция 5ур = 5ур[а] от значений этого поля в текущей пространственно-временной точке принимает тензорные значения. В этом случае функция 5ур [а] разлагается по базису тензорного представления, который, в условиях ковариантности, составляется из двух возможных в этом случае тензоров 5, а ® а,
5/рИ = /(ОДР +#(Оуар, <" = а2. (2)
Тогда класс всех квазилинейных систем класса Х1(М3) описывается следующей формулой
ау (х, 0 = [АОур + #(Оуар] (х, 0. (3)
Каждой системе (3) сопоставим линеаризованную (касательную) эволюционную систему для вариации у(х, ^ = 5а(х, ^ поля при его фиксированном значении а(х, £;),
г>у(х,0 = ^р)(а)Ур^, (4)
где набор матриц р = 1,2,3 дается формулой
У#)[а] = + #(ОаУар] = 2[/'(()5ур + ^'(()ауар] + + (5)
Дисперсионное уравнение, соответствующее уравнению (4), получается подстановкой г?у = ^у0)ехр(/^(к^ + /(к,х)). В результате, условием существования
(0) / (0) (0) (0)> вектора У(0) = , ^ ) является равенство нулю детерминанта
det( ^(к)5уг - = 0, (6)
р=1
что и представляет собой искомое дисперсионное уравнение.
Описание класса ¿-гиперболических систем
Согласно определению понятия ¿-гиперболичности (см., например, [Годунов, 1979;
Ма]ёа, 1983]) квазилинейных систем, для каждой из таких систем существует
(0)
положительно определенная симметричная матрица и>к , для которой матрицы являются симметричными. Такое определение понятия ¿-гиперболичности
ук
связано со следующим утверждением.
Теорема. Если для набора матриц А(р), р = 1 — т, которые являются функциями от значений функций и^ ] = 1 — т в текущей точке (х1, ..., хт, t), определяющих систему уравнений
п
^ V л(Р) ^ -7 1 р = 1 ^
для набора функций ...,хтД), ] = 1 — п, существует положительно определенная
симметричная матрица А0, (А0)^ = А® такая, что матрицы (А0А(р)).к являются симметричными, то спектральное уравнение
III
det( Я - > ^л}*0 ) = 0
Р = 1
матрицы ^М? имеет только вещественные решения при любых вещественных наборах , р = 1 — т.
Пусть матрица - симметрична при любом наборе чисел ^у, } = 1 — ш, где (^0)уЛ =
III
А = > ^ (¿00) ,к =
Р=1
Тогда она взаимно-однозначным образом связана с вещественной квадратичной формой (х,Л0Лх), х = (х1,..., хт). Рассмотрим матричный пучок АА0 — А0А с положительно определенной матрицей А0. Тогда при любом выборе набора чисел ^у, ] = 1 — ш, все решения уравнения det(ЛAo - АоА) = 0 вещественны (см., например, [Гантмахер, 2004]). Следовательно, так как
det А01 • ае^ЛА0 — А0А) = det(ЛA01Ao — А^1А0А) = det(Я — Л),
то последнее уравнение совпадает с уравнением det(Я — Л), = 0, все решения которого, таким образом, также вещественны.
Выясним, какие ограничения на выбор функций / и д необходимо наложить для того, чтобы соответствующее паре этих функций уравнение (3) было ¿-гиперболическим. Для решения поставленной задачи об описании класса ¿-гиперболических уравнений вида
(3) нужно найти такую симметричную положительно определенную матрицу Уд0), для которой матрица
П = > Ь 7/(°) г/?)
р=1
симметрична.
Положим, матрица (У0)уг = Уд0) имеет вид Ууг0) =/(0)(£)5уг + $(0)(£)ауаг с некоторыми дифференцируемыми функциями /(0) и ^(0) от £ = а2. Вычислим
^дМ? = (/(0)5/'г + ^(0)ауаг ) (2[/'5гр + #'агар] + + 5р^аг)) =
= 2/(0)/'5ура^ + /(0)^(5у^ар + 5р^ау) + +
+ [2(/(0)^'+^(0)/') + ^(0)(^ + 2^'()]а рауа^.
(0) (р)
Из полученного выражения следует, что для того чтобы тензор и^ и^ был симметричен относительно индексов _/', необходимо и достаточно чтобы симметричным по } и к был тензор
2/(0)/'5ура, + (/(0)£ + (^(0)^)ау5р„ то есть коэффициенты при линейно независимых тензорах 5ура^ и 5р^ау должны
совпадать. Отсюда имеем равенство
2/(0)Г = я(/(0)+Я(0Ч). (7)
Найдем теперь условия, при которых симметричная 3 X 3-матрица
^0)=/(0)(0 5уг+^(0)(Оауаг
является положительно определенной. Для этого вычислим полином det(Я — У(0)). Коэффициентами этого полинома являются SpU0 > 0, ^р2и0 — SpU2)/2 и detU0 > 0, где первый и третий из них должны быть, с необходимостью, положительны,
SpU0 = 3/(0) + (^(0) > 0, (8)
detU0 = /(0)2(/(0) + ^(0)) > 0, (9)
Так как
SpU2 = 2/(0)2 + (/(0) + ^(0))2, то, на основании (8) и (9), второй коэффициент определяется выражением
1^2 — sp2Uo) = /(0)2 + 1[(/(0) + ^(0))2 — (з/(0) + ^(0))2]
= —/(0)(3/(0) + 2^(0)).
Таким образом, уравнение для собственных чисел матрицы У® принимает вид
Я3 — (з/(0) + ^(0))Я2 + /(0)(з/(0) + 2^(0))Я — /(0)2(/(0) + ^(0)) = 0. Записав его в виде
(Я — /(0))3 — ^(0)(Я — /(0))2 = 0, (10)
находим собственные числа А = /(0),/(0) + <#(0) матрицы У0. Таким образом, матрица У0 положительно определена при выполнении неравенств /(0) >0, /(0) + <"^(0) > 0.
Запишем теперь условие (7) в виде д = 2/'/(0)/(/(0) + <"^(0)) = 2/'(1 + _1
£д(0)//(0)) . Так как функции /(0) и $(0) могут быть выбраны произвольно с
соблюдением указанных для них ограничений, то, вводя произвольную неотрицательную
_1
функцию Л( £) = 2(1 + ^(0)//(0)) , получаем необходимое и достаточное условие ¿-гиперболичности уравнения векторного (3). Таким образом, мы доказали следующее основное утверждение настоящего сообщения.
Основная теорема. Для того чтобы квазилинейные уравнения класса Х1(М3), вся совокупность которых описывается уравнением (3) с произвольными функциями и g(Z) , ^ = а2, обладали свойством ^гиперболичности, необходимо и достаточно чтобы g = hf', где h - произвольная дифференцируемая, строго положительная функция при ^ > 0.
Заключение
Мы установили критерий ¿-гиперболичности для общего эволюционного уравнения для векторного поля а(х, *;). Исследования по установлению ¿-гиперболичности квазилинейных систем уравнений (см., например, [Куликовский и др. 2001; Куликовский, Слободкина, 1984, 1968]) направлены на то, чтобы выделить среди систем такого типа такие, которые могли бы описывать действительные эволюционные физические процессы в отсутствии механизмов диссипации. Свойство ¿-гиперболичности является более слабым по сравнению со свойством гиперболичности, так как оно не гарантирует отсутствие
совпадения значений спектральных зависимостей &>y(k), j = 1,2,3. Поэтому дальнейшее развитие теории, изложенной в настоящем сообщении, в смысле описания классов допустимых с физической точки зрения систем квазилинейных уравнений, удовлетворяющих фундаментальным условиям инвариантности относительно трансляций пространства и времени, а также условию трансформации при вращениях пространства Хх(М3), должно заключаться, прежде всего, в установлении критерия гиперболичности системы (1), описывающей эволюцию векторного поля.
Список литературы References
1. Андреев А.Ф. 1978. Магнитные свойства неупорядоченных сред. ЖЭТФ. 74, № 2: 786-797.
Andreev A.Ph. 1978. Magnetic properties non-ordered media. ZETP. 74, № 2: 786-797 (in
Russian).
2. Андреев А.Ф., Марченко В.И. 1976. Макроскопическая теория спиновых волн. ЖЭТФ. 70,№ 4: 1522-1532.
Andreev A.Ph., Marchenko V.I. 1976. Macroscopic theory of spin waves. ZETP. 70, № 4: 15221532 (in Russian).
3.Вирченко Ю.П., Субботин А.В. 2018. Математические задачи конструирования эволюционных уравнений динамики конденсированных сред. Дифференциальные уравнения и смежные проблемы. Материалы Международной научной конференции, Стерлитамак, 25-29 июня 2018, т. 2. Уфа, Риц БашГУ, с. 262-264.
Virchenko Yu.P., Subbotin A.V. 2018. Mathematical problems of evolution equations construction for condensed media dynamics. Differential equations and adjacent problems. Materials of International Scientific Conference, Sterlitamak, June 25-29, 2018, v. 2. Ufa, Ric BashSU, p. 262-264 (in Russian).
4.Вирченко Ю.П., Субботин А.В. 2018. Уравнения динамики конденсированных сред с локальным законом сохранения. Материалы V Международной научной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», 4-7 декабря 2018. Нальчик, КБР. Нальчик: ИПМА КБНЦ РАН, с. 59.
Virchenko Yu.P., Subbotin A.V. 2018. Equations of condensed dynamics with a local conservaton law. Materials of V International Scientific conference "Nonlocal boundary problems and adjacent problems of mathematical biology, informstics and physics", December 4-7, 2018. Nalchik, KBR. Nalchik: IPMA KBNC RAN, p. 59 (in Russian).
5.Вирченко Ю.П., Субботин А.В. 2018. Описание класса эволюционных уравнений дивергентного типа для векторного поля. Современные проблемы физико-математических наук. Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции с международным участием 2225 ноября 2018 г., г. Орёл. Часть 1. Орёл, ОГУ имени И.С. Тургенева, с. 83-86.
Virchenko Yu.P., Subbotin A.V. 2018. Description of a class of evolution equations of divergent type for a vector field. Modern physical and mathematical problems. Materials of IV Russian scientific conference with internatial participants, November 22-25, 2018, Orel . Part I. Orel, OSU, p. 83-86 (in Russian).
6.Вирченко Ю.П., Субботин А.В. 2019. Описание класса эволюционных уравнений ферродинамики. Итоги науки и техники. Современная математика. Тематические обзоры. С. 45-58.
Virchenko Yu.P., Subbotin A.V. 2019. Opisanie klassa evolyutsionnykh uravneniy ferrodinamiki [Description of a class of evolution equations of ferrodynamics]. Itogi nauki i tekhniki. Sovremennaya matematika. P. 45-58.
7. Волков Д.В., Желтухин A.A., Блиох Ю.П. 1971. Феноменологический лагранжиан спиновых волн. ФТТ. 13, № 6: 1668-1678.
Volkov D.V., Zheltukhin A.A., Bliokh Yu.P. 1971. Phenomenological lagrangian of spin waves. PTT. 13, № 6: 1668-1678 (in Russian).
8. Волков Д.В. 1973. Феноменологические лагранжианы. Физика элементарных частиц и атомного ядра. 4, № 1: 3-41.
Volkov D.V. 1973. Phenomenological lagrangian. Physics of elementary particles and atomic nucleus, 4, № 1: 3-41 (in Russian).
9.Гантмахер Ф.Р. 2004. Теория матриц. М., Физматлит, 560 с.
Gantmakher F.R. 2004. Teoriya matrits [Matrix theory]. Moscow, Fizmatlit, 560 p.
10.Годунов С.К. 1979. Уравнения математической физики. М., Наука, 392 с.
Godunov S.K. 1979. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ, 392 p.
11.Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. 2001. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М., Физматлит, 608 с.
Kulikovskii A.G., Pogorelov N.V., Semenov A.Yu. 2001. Matematicheskie voprosy chislennogo resheniya giperbolicheskikh sistem uravneniy [Mathematical problems connected with numerical solution of giperbolic equations systems]. Moscow, Fizmatlit, 608 p.
12. Куликовский А.Г., Слободкина Ф.А. 1984. Об устойчивости одномерных стационарных решений гиперболических систем дифференциальных уравнений при наличии точек обращения в нуль одной из характеристических скоростей. ПММ. 48 (3): 414-419.
Kulikovskii A.G., Slobodkina F.A. 1984. On the stability of one-dimensional stationary solutions of hyperbolic systems of differential equations containing points at which one characteristic velocity becomes zero. J. Appl. Math. Mech. 48 (3): 414-419 (in Russian).
13.Куликовский А.Г., Слободкина Ф.А. 1968. Equilibrium of arbitrary steady flows at the transonic points. ПММ. 31: 593-602;
Kulikovskii A.G., Slobodkina F.A. 1968. Equilibrium of arbitrary steady flows at the transonic points. J. Appl. Math. Mech. 31: 623-630.
14.Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. 1978. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М., Наука, 688 с.
Rozhdestvenskii B.L., Yanenko N.N. 1979. Quasilinear equations systems and their application to gas dynamics. Moscow, Nauka Publ, 392 p.
15.Majda A. 1983. The existence of multi-dimensional shock fronts. Memoirs of the American Mathematical Society. 43 (281): 1-94.
Ссылка для цитирования статьи Reference to article
Вирченко Ю.П., Плесканев А.А. 2019. Гиперболические сферически симметричные уравнения первого порядка дивергентного типа для векторного поля. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 51 (2): 280-286. Doi: 10.18413/2075-4639-2019-51-2-280-286.
Virchenko Yu.P., Pleskanev A.A. 2019. Hyperbolic spherically symmetric first order equation of divergent type for a vector field. Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics. Physics. 51 (2): 280-286 (in Russian). Doi: 10.18413/2075-4639-2019-51-2-280-286.
УДК 669.295;544.022.522
DOI 10.18413/2075-463 9-2019-51 -2-287-294
ЭВОЛЮЦИЯ МИКРОСТРУКТУРЫ И СВОЙСТВ СПЛАВА TI-6AL-4V ЛЕГИРОВАННОГО Fe И Мо В ХОДЕ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ 800°C
MICROSTRUCTURE EVOLUTION AND PROPERTIES OF TI-6AL-4V ALLOY DOPED WITH Fe AND Mo DURING DEFORMATION AT 800°C
Д.Н. Клименко, М.С. Озеров, Н.Д. Степанов, Н.Ю. Жеребцова, С.В. Жеребцов D.N. Klimenko, M.S. Ozerov, N.D. Stepanov, N.Yu. Zherebtsova, S.V. Zherebtsov
Белгородский государственный национальный исследовательский университет, Россия, 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85
Belgorod State University, 85 Pobeda St, Belgorod, 308015, Russia
E-mail: klimenko@mail.ru, ozerov@bsu.edu.ru, stepanov@bsu.edu.ru, zherebtsov@bsu.edu.ru
Аннотация
Изучена эволюция микроструктуры и механическое поведение двухфазных титановых сплавов Ti-6Al-4V и Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe в ходе одноосного сжатия на 70 % при 8000С. Пластическое течение для обоих сплавов характеризуется последовательными стадиями деформационного упрочнения, разупрочения и стационарного течения. Во время сжатия пластинчатая структура сфероидизируется, образуя частично или полностью глобулярную микроструктуру. Так, было обнаружено, что кинетика глобуляризации в Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe заметно выше, чем в Ti-6Al-4V, и после 70 % деформации глобуляризация составила ~ 100 % и ~ 30 %, соответственно. Это различие может быть обусловлено различием в энергии межфазной границы из-за легирования Р-стабилизирующими элементами.
Abstract
The alpha/beta titanium alloys Ti-6Al-4V and Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe were heat treated to produce a stable colony microstructure and were compressed in air at a nominal strain rate of 10-3 s-1 to a height reduction of 25, 50, or 70 % at 800 °C. Microstructure evolution and mechanical behavior of alpha/beta Ti-6Al-4V and Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe titanium alloys during uniaxial compression was studied. The plastic-flow response for both alloys is characterized by successive stages of strain hardening, flow softening, and steady-state flow. A higher content of beta stabilizers in Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe alloy results in a higher percentage of the beta phase, thicker alpha lamellae and greater mismatch between the alpha and beta lattices. During compression the lamellae spheroidized to produce a partially or entirely globular microstructure. Specifically globularization of the Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe microstructure was faster, that can be associated with easer loss of the initial Burgers-type coherency between the alpha and beta phases and the subsequent individual deformation of each phase. As a result after 70% deformation, the globalarized fraction was ~ 100% for Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe and ~ 30% for Ti-6Al-4V. This difference can be partially associated with different interphase energy due to doping of the Р-stabilizing elements.
Ключевые слова: титановые сплавы, деформация, эволюция микроструктуры, глобуляризация. Keywords: Titanium alloy, compression, microstructure evolution, globularization.
Введение
Слитки из титановых сплавов, как правило, обрабатываются в несколько этапов, чтобы разбить литую микроструктуру. Первоначальная горячая обработка и отжиг выполняются в бета-области, чтобы получить более однородную и тонкую структуру бета-зерна. В зависимости от скорости охлаждения после обработки в бета-области
формируются разнообразные так называемые трансформированные структуры, состоящие из колоний пластинчатого альфа-титана в пределах исходных бета-зерен.
Задача последующей горячей обработки в альфа/бета-области (обычно при температуре немного ниже температуры полиморфного превращения, при которой бета ^ альфа + бета) заключается в преобразовании такой пластинчатой микроструктуры в глобулярную, содержащую равноосные (глобулярные) альфа-частицы в трансформированной бета-матрице. Морфология равноосных альфа-частиц дает некоторые преимущества по сравнению с пластинчатой альфа-структурой, включая лучшую пластичность и сопротивление зарождению усталостных трещин при типичных условиях эксплуатации.
Снижение температуры деформации в альфа/бета-области за счет легирования ß-стабилизирующими элементами (например, Fe и Mo) может привести к повышению стабильности бета-фазы [Wert, Paton, 1983; Salishchev at el., 1993] и, таким образом, снижению возможной температуры деформации. Влияние легирования ß-стабилизаторами на механизм сфероидизации альфа/бета титановых сплавов с пластинчатой альфа-микроструктурой практически не изучено. Поэтому цель настоящей работы состояла в том, чтобы определить конкретные механизмы глобуляризации в сплавах Ti-6Al-4V и Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe в ходе одноосного сжатия при 800°C.
Материал и методика
В рамках данной работы исследовались альфа/бета титановый сплав Ti-6Al-4V и тот же сплав, легированный небольшим количеством ß-стабилизирующих элементов (0,5Fe и 0,75Mo), то есть сплав Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe. Для получения стабильной пластинчатой микроструктуры сплавы были подвергнуты следующей термообработке: отжиг при 955°С в течение 15 мин, нагрев до 1010°С и выдержка в течение 15 мин, охлаждение печи до 800°C и выдержка в течение 20 мин. После выдержки в течение 20 минут при температуре 800°C образцы закалялись в воду. После термообработки микроструктура сплавов состояла из альфа-ламелей с 24±2 % бета-фазы в форме очень тонких планок, разделяющих альфа-ламели. Из термообработанного материала были вырезаны образцы на сжатие в виде цилиндров диаметром 8 мм и высотой 12 мм. Образцы сжимались на воздухе при номинальной скорости деформации 10-3с-1 до степени высотной деформации 25, 50 или 70 % при 800°C в механической испытательной машине Satec LX300 (Instron). После деформации были подготовлены осевые срезы для определения микроструктуры в центральной части каждого образца с использованием просвечивающего электронного микроскопа JEOL JEM-2000EX (ПЭМ) и сканирующего электронного микроскопа Quanta 600 FEG (СЭМ).
Результаты и их обсуждение
Методом СЭМ выявлена микроструктура исследуемых сплавов, состоящая из колоний альфа-пластин в бета-матрице. Средняя толщина альфа-ламелей и бета-прослоек в сплаве Ti-6Al-4V составляла приблизительно 1,3 и 0,6 мкм соответственно (рис. 1а). Колонии альфа-пластин в сплаве Ti-6Al-4V-0,75Mo-0,5Fe заметно тоньше (0,7 мкм) с расстоянием между пластинками ~ 0,5 мкм (рис. 1б).
Инженерные кривые напряжения-деформации сплавов, сжатых при 800°С и номинальной скорости деформации 10-3с-1 (рис. 2), показали пиковое напряжение течения при деформации 5-10 % с последующим разупрочнением. Разупрочнение двухфазных титановых сплавов с пластинчатой альфа-микроструктурой на ранних стадиях деформации обычно объясняется поворотом ламелей в сторону «более мягкой» ориентации с низкими факторами Тейлора и/или передачей дислокационного скольжения через альфа/бета межфазные границы [Miller et al., 1999; Semiatin et al, 1999; Semiatin, Bieler, 2001; Bieler, Semiatin, 2002; Kim et al., 2005; Prakash et al., 2013; Park et al., 2014].
Рис. 1. Изображение исходной микроструктуры сплава Ti-6Al-4V (А) и Ti-6Al-4V-0,75Mo-0,5Fe
(Б) после термообработки Fig. 1. SEM micrograph of the initial microstructures of the Ti-6Al-4V (a) and Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe (b) program alloys
0 20 40 60
e, %
Рис. 2. Инженерная кривая напряжения-деформации одноосного сжатия при 8000С сплавов Ti-6Al-
4V (ВТ6) и Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe (ВТ6 Mo+Fe) Fig. 2. Flow curves obtained during deformation of the Ti-6Al-4V (ВТ6) and Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe (ВТ6 Mo+Fe) at 800 <C and a nominal strain rate 10-3 s-1
Основными особенностями эволюции микроструктуры обоих сплавов при сжатии были удлинение бета-зерен и поворот альфа-ламелей в направлении течения металла (Рис. 3,4). В Ti-6Al-4V наиболее интенсивный поворот пластин происходил на начальных этапах деформация (деформация от 0 до 25 %, см. рис. 3а). С другой стороны, сфероидизация (т. е. уменьшение длины альфа-ламелей и бета-прослоек) ускоряется только после деформации до 50 %, в течение которой поворот ламелей был незначительным (см. рис. 3б). Кривые напряжения-деформации демонстрируют стадию устойчивого течения при деформации до ~40 %, что аналогично деформационному поведению и сфероидизации в условиях сверхпластической деформации с сопутствующим увеличением протяженности вновь образующихся межфазных границ [Zherebtsov, 2004, Ma et al. 2012, Fan et al., 2018] и динамическим возвратом с почти постоянной плотностью дислокаций.
Рис. 3. Эволюция микроструктуры в сплавах Ti-6Al-4V (А-В) Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe (Г-Е) в ходе деформации при 800°C и скорости деформации 10-3 с"1 до уменьшения высоты (А, Г) 25, (Б, Д) 50
и (В, Е) 70 %. Ось сжатия вертикальная Fig. 3. Microstructure évolution in Ti-6Al-4V (А-В) Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe (Г-Е) alloys during déformation at 800°C and a strain rate of 10-3 s-1 to a height réduction of (А,Г) 25, (Б,Д) 50, and (В,Е)
70 %. The compression axis is vertical
Следует отметить, что в Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe уменьшение толщины альфа-пластин в течение деформации происходит более интенсивно на начальном этапе деформации, после чего уже не меняется, тогда как в Ti-6Al-4V наблюдается монотонное снижение толщины альфа-пластин в процессе всей деформации (рис. 4а). Доля глобулярных частиц значительно выше в сплаве Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe, причем разница увеличивается с деформацией (см. рис. 4а), поскольку при 70 % осадки сплав Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe глобуляризируется полностью, тогда как Ti-6Al-4V показывает всего 30 % глобулярных альфа-частиц.
По данным ПЭМ, фрагментация альфа-ламелей происходит в обоих сплавах либо деформацией сдвига, либо образованием поперечных дислокационных границ (рис. 5а). Последний процесс связан с непрерывной динамической рекристаллизацией в альфа-фазе. Действительно, снижение температуры приводит к более интенсивному формированию полос сдвига и выступов на межфазных границах (рис. 5а). На начальных этапах деформации плотность дислокаций в альфа-пластинах заметно выше, чем в бета-фазе. Пластины альфа-фазы делятся на фрагменты с малоугловыми границами, наклоненными примерно на 45° от оси деформации. В некоторых случаях эти границы имеют высокий уровень совершенства, что подтверждается типичным полосчатым контрастом. Также наблюдаются участки (суб)зеренной структуры, где (суб)границы имеют полосчатый контраст. Внутренняя структура бета-фазы также изменяется при деформации. В бета-прослойках формируются поперечные границы; на пересечении внутренних границ с межфазными образуются канавки (см. рис. 4б). Смешанная микроструктура, состоящая из остатков пластинчатой и глобулярной структуры, наблюдается после деформации до 70 % в обоих сплавах.
А
3
2,5
0,5
25 50 70
Степень деформаци,%
•TÍ-6AMV ^^Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe
0
0
Б
100 90 80 70 60 50 40
т
X л
н р
ОС
£ ю
о
^ 30 ос
о
20 10
25 50
Степень деформации,%
70
Ti-6Al-4V
■Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe
0
0
Рис. 4. Толщина альфа-пластин (А) и доля глобулярных частиц (Б) в зависимости от степени деформации для сплава Ti-6Al-4V и Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe при температуре деформации 800 ° C и начальной скорости деформации 10-3 с"1 Fig. 4. Thickness of alpha lamellae (А) and fraction of globular particles (Б) as a function of strain for Ti-6Al-4V and Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe alloys deformed at 800 qC and an initial strain rate
of 10-3 s-1
Основываясь на настоящих результатах, можно предположить, что межфазные альфа/бета границы, будучи изначально когерентными, легко пересекаются дислокациями, особенно теми, у которых вектор Бюргерса <a> параллелен направлению <111> в бета-фазе [Furuhara et al.,1995; Suri, 1999]. Деформация на начальных стадиях таким образом однородна в каждой колонии. Однако так как менее благоприятные системы скольжения в альфа-пластинах (для которых нет направления параллельного <111> в бета-фазе) также активны, остаточные дислокации генерируются на границе
раздела, тем самым способствуя потере точного соотношения Бюргерса между альфа и бета фазами с возрастающей деформацией. Кроме того, различные деформационные свойства альфа- и бета- фаз могут привести к неоднородному распределению деформации между фазами, в результате чего когерентность между 25 и 50 % деформации быстро теряется. Некогерентные альфа/бета межфазные границы становятся эффективными барьерами для движения дислокации, и каждая фаза деформируется отдельно. Такое ограничение деформации интенсифицирует образование поперечных границ внутри альфа-пластин, увеличивает разориентацию между соседними сегментами данной пластинки из-за поглощения дислокаций, и, наконец, приводит к сфероидизированной микроструктуре.
Рис. 5. Микроструктура сплава Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe после деформации при температуре 800 ° С до степени деформации 25 (а) и 70 % (б) (ПЭМ, светлопольное изображение) Fig. 5. TEM microstructure of Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe alloy after deformation at 800°C to 25
(a) or 70 % (b) (bright field image)
Анализ изображений, полученных методами просвечивающей и растровой микроскопии, показал, что эволюция микроструктуры сплава Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe отличается от Ti-6Al-4V (см. рис. 3 и 5). Более высокое содержание бета-стабилизаторов в сплаве Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe приводит к увеличению содержания бета-фазы и толщины альфа-пластин, а также к возрастанию степени несоответствия между альфа- и бета-решетками [Ильин, Носов, 1988]. Последнее может означать, что когерентность межфазных альфа/бета границ в сплаве Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe была изначально хуже, чем в Ti-6Al-4V, а следовательно, деформация развивается отдельно в каждой из фаз. Пластическое течение во время деформации локализовано в более мягкой (при этой температуре) бета-матрице [Ильин, Носов, 1988], которая ведет себя как обычный материал с ОЦК решеткой. Даже после 70 % деформации в бета-фазе в основном наблюдается малоугловые границы, по-видимому, из-за быстрого динамического возврата, что характерно для ОЦК-металлов. Динамический возврат в бета-матрице, возможно, приводит к более интенсивному разупрочнению сплава Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe, чем у Ti-6Al-4V (см. рис. 2). Поперечные дислокационные границы постепенно формируются в альфа-фазе, разделяя альфа-пластины на фрагменты (см. рис. 5). Однако наблюдаемые на изображениях ПЭМ после 70 % деформации (см. рис. 4б) границы преимущественно межфазные, в то время как внутрифазные альфа/альфа или бета/бета границы практически отсутствуют.
Заключение
Исследована эволюция микроструктуры и пластическое течение альфа/бета титановых сплавов Ti-6Al-4V и Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe в условиях одноосного изотермического сжатия при температуре 800 °C. Пластическое течение обоих сплавов описывается кривой деформации-напряжения с последовательными этапами упрочнения, разупрочнения и установившегося течения. Глобуляризация микроструктуры сплава Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe проходит быстрее, что может быть связано с более легкой потерей первоначальной когерентности типа Бюргерса между альфа и бета-фазами и последующей индивидуальной деформацией каждой фазы. Разориентировки границ в пределах каждой фазы увеличиваются до диапазона большеугловых границ из-за накопления дислокаций в ходе деформации. В сплаве Ti-6Al-4V эволюция микроструктуры альфа-фазы развивается аналогично сплаву Ti-6Al-4V-0.75Mo-0.5Fe, однако заметно медленнее. Так что после 70 % деформации в сплаве Ti-6Al-4V формируется смешанная структура, состоящая из остатков пластин альфа-фазы, ориентированных вдоль направления течения металла и глобулярных альфа частиц, доля глобулярных частиц составляет ~ 30 % . Между тем в сплаве системы Ti-Al-V-Mo-Fe при такой же степени деформации наблюдается формирование полностью глобулярной структуры, области с исходной пластинчатой микроструктурой не наблюдаются.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант No 18-48-310023
Список литературы References
1. Ильин А.А., Носов В.К. 1988. К вопросу о соотношении прочности а- и р-фаз в титановых сплавах при различных температурах. ДАН СССР, 302 (1): 134-138.
Il'in A.A., Nosov V.K. 1988. K voprosu o sootnoshenii prochnosti a- i р-faz v titanovyh splavah pri razlichnyh temperaturah. [On the question of the ratio of strength of the a- and р-phases in titanium alloys at different temperatures] DAN SSSR, 302 (1): 134-138.
2. Bieler T.R. and S.L. Semiatin. 2002. The origins of heterogeneous deformation during primary hot working of Ti- 6Al-4V. Int. J. Plast., 18: 1165-1189.
3. Fan X.G., H.J. Zheng, Y. Zhang, Z.Q. Zhang and P.E. Gao. 2018. Acceleration of globularization during interrupted compression of a two-phase titanium alloy. Materials Science and Engineering: A, 720: 214-224.
4. Furuhara T., T. Ogawa, and T. Maki. 1995. Atomic structure of interphase boundary of an а precipitate plate in a P Ti-Cr alloy. Phil. Mag. Lett., 72(3): 175
5. Kim J.H., S.L. Semiatin and C.S. Lee. 2005. Constitutive analysis of the high-temperature deformation mechanisms of Ti-6Al-4V and Ti-6.85Al-1.6V alloys. Materials Science and Engineering: A, 394 (1-2): 366-375.
6. Ma X., W. Zeng, F. Tian and Y. Zhou. 2012. The kinetics of dynamic globularization during hot working of a two phase titanium alloy with starting lamellar microstructure. Materials Science and Engineering: A, 548: 6-11.
7. Miller R.M., T.R. Bieler, and S.L. Semiatin. 1999. Flow softening during hot working of Ti-6Al-4V with a lamellar colony microstructure. Scripta Mater, 40: 1387
8. Park C.H., J.H. Kim, Y.T. Hyun, J.T. Yeom and N.S. Reddy. 2014. The origins of flow softening during high-temperature deformation of a Ti-6Al-4V alloy with a lamellar microstructure. Materials Science and Engineering: A, 582: 126-129.
9. Prakash D.G.L., P. Honniball, D. Rugg, P.J. Withers, J. Quinta da Fonseca and M. Preussa. 2013. The effect of P phase on microstructure and texture evolution during thermomechanical processing of а + P Ti alloy. Acta Materialia, 61: 3200-3213.
10. Salishchev G.A., O.R. Valiakhmetov and R.M. Galeev. 1993. Formation of submicrocrystalline structure in the titanium alloy VT8 and its influence on mechanical properties. J. Mater.Sci., 28: 2898-2902.
11. Semiatin S.L., V. Seetharaman and I. Weiss. 1999. Flow behavior and globularization kinetics during hot working of Ti-6Al-4V with a colony alpha microstructure. Mater. Sci. Eng. A., 263: 257-271.
12. Semiatin S.L. and T.R. Bieler. 2001. The effect of alpha platelet thickness on plastic flow during hot working of Ti-6Al-4V with a transformed microstructure. Acta Mater.,49:3565
13. Suri S. 1999. Room temperature deformation and mechanisms of slip transmission in oriented single-colony crystals of an a/p titanium alloy. Acta Mater, 47 (3): 1019
14. Wert J.A., and N.E. Paton. 1983. Enhanced superplasticity and strength in modified Ti-6AI-4V alloys. Metallurgical Transactions A, 14: 2535-2544.
15. Zherebtsov S.V.. 2004. Production of submicrocrystalline structure in large-scale Ti-6Al-4V billet by warm severe deformation processing. Scripta Mater., 51: 1147-1151.
Ссылка для цитирования статьи Reference to article
Клименко Д.Н., Озеров М.С., Степанов Н.Д., Жеребцова Н.Ю., Жеребцов С.В. 2019. Эволюция микроструктуры и свойств сплава TI-6AL-4V легированного Fe и Мо в ходе деформации при 800°C. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 51 (2): 287-294. Doi: 10.18413/2075-4639-2019-51-2-287-294.
Klimenko D.N., Ozerov M.S., Stepanov N.D., Zherebtsova N.Yu., Zherebtsov S.V. 2019. Microstructure evolution and properties of TI-6AL-4V alloy doped with Fe and Mo during deformation at 800°C. Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics. Physics. 51 (2): 287-294 (in Russian). Doi: 10.18413/2075-4639-2019-51-2-287-294.
