31Система распознавания полностью работоспособна и показывает хорошие результаты.
Библиографический список
1. Charles C. Tappert, Ching Y. Suen, and Toru Wakahara, \The State of the Art in On-Line Handwriting Recognition," IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 12, No. 8, Aug. 1990, pp. 787-808.
2. T.L. Dimond, \Devices for Reading Handwritten Characters," Proc. of Eastern Joint Computer Conference, December 1957, pp. 232-237.
3. Малахов И.А., Богданов М.О, "Прикладная математика XXI века: современные проблемы математики, информатики и моделирования", "Распознавание символов на изображениях", 2019. - С. 3-4.
ГИБРИДНЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ КВАДРАТИЧНОЙ
ЗАДАЧИ О НАЗНАЧЕНИЯХ
Е.А. Нигодин
Кубанский государственный университет ул. Ставропольская 149, 350040, г. Краснодар, Россия
Ключевые слова: квадратичная задача о назначениях, гибридный алгоритм, генетический алгоритм, эвристический подход, эволюционный алгоритм, алгоритм оптимизации сорной травой.
Аннотация
Данная работа посвящена решению квадратичной задачи о назначениях с помощью гибридного алгоритма, использующего как принципы генетического, так и эволюционного алгоритма, проведению сравнительного анализа эффективности работы полученного алгоритма.
Генетические и эволюционные относится к классу эвристических алгоритмов и является весьма актуальным и известным направлением в области оптимизации и моделирования [1].
Цель работы состоит в создании эвристического гибридного алгоритма решения квадратичной задачи о назначениях, использующего принципы генетического алгоритма, и элементы эволюционного алгоритма, проведение экспериментальных исследований.
Есть множество п предприятий, которые могут быть
расположены в п местах. Для каждой пары мест задано расстояние и для каждой пары производств задан вес или поток (т. e. количество материала (сырья или продукции), перевозимого между двумя производствами). Требуется расставить производства по местам (два производства нельзя размещать в одном месте) таким образом, что сумма расстояний, умноженных на соответствующие потоки, будет минимальной [2].
Учитывая набор объектов и местоположений, наряду с потоками между объектами и расстояниями между местоположениями, цель задачи квадратичного назначения состоит в том, чтобы назначить каждый объект на определенное местоположению таким образом, чтобы минимизировать общую стоимость как показано в формуле (1):
Т^^феБп ?=1 7=1/17 (!)
где: N = {1,2, ...,п}; (2)
5П = ф: N (это множество всех перестановок); (3) Р = /¿у - это матрица размера п Хп, где /¿у - заданный поток между объектами { и у О = - это матрица размера п Хп, где - заданное расстояние между объектами { и у Задача является ^-трудной, так что не существует алгоритма, решающего задачу за полиномиальное время. Общее количество вариантов решения задачи определяется числом перестановок Я(п) = п\, превосходящим по скорости роста экспоненциальную зависимость, а также наличие существенных внутрисистемных связей, выражающихся в том, что вклад назначения каждого объекта в общие затраты зависит от назначения всех других объектов, привели к тому, что даже маленькие задачи могут потребовать большого времени вычисления. Было доказано, что задача не имеет аппроксимирующего алгоритма, работающего за полиномиальное время для любого (постоянного) множителя, если только не P = № [2]. Поэтому, применение эвристического гибридного алгоритма является рациональным подходом для решения задачи.
Используя терминологию генетического и эволюционного алгоритмов, сформулируем гибридный алгоритм в виде блок схемы. На рисунке 1 изображена блок-схема построенного
гибридного алгоритма.
Рисунок 1. Блок-схема гибридного алгоритма решения квадратичной
задачи о назначениях
Для исследования гибридного алгоритма решения квадратичной задачи о назначениях, была разработана программа производящая все необходимые вычисления, в которой можно загрузить задачу из файла, сгенерировать задачу произвольно, просмотреть матрицы расстояний, потоков и назначений, регулировать все параметры гибридного алгоритма. На рисунке 2 отображено главное окно программы - «Гибридный алгоритм». Сверху расположен граф, на котором отражено назначение предприятий (объектов) на соответствующие места. Синие вершины это назначенные заводы (объекты). Черными номерами обозначены места. Расстояния обозначаются цветом ребер в графе: чем темнее цвет, тем больше расстояние, чем светлее, тем меньше. Размер потока обозначен толщиной линий: чем толще линия, тем больше поток. Справа на рисунке отображен номер последнего поколения, лучшее найденное решение (хромосома), список назначений. Внизу отображены настройки алгоритма.
Рисунок 2. Основное окно программы
Для данного алгоритма проводились тестирования как на произвольных наборах данных, так и на некоторых известных «эталонных» наборах данных - бенчмарках. К таким бенчмаркам относятся: задачи tai12a, tai15a, tai20a, tai25a и ch15a. Число в названии бенчмарка обозначает размер задачи. На рисунке 3 изображены найденные решения в зависимости от размера входных данных - задач (бенчмарков) для разработанного гибридного алгоритма и для алгоритма оптимизации сорной травой. Алгоритм оптимизации сорной травой - эвристический биоинспирированный алгоритм, который широко применяется для решения квадратичной задачи о назначениях, был опубликован в 2006 году - то есть является достаточно новым направлением в области биоинспирированных алгоритмов. Как видно на рисунке 3, гибридный алгоритм, разработанный в ходе решения поставленной задачи, показывает преимущество в точности над алгоритмом оптимизации сорной травой.
Рисунок 3. Сравнение точности гибридного алгоритма с методом
оптимизации сорной травой
Также, созданный алгоритм сравнивался с наилучшими результатами, полученными на данный момент среди всех алгоритмов для рассматриваемых наборов входных данных (бенчмарков). Для задачи tai12a алгоритм нашел решение 224416 - это решение полностью совпадает с наилучшим решением из всех известных на данный момент, для всех алгоритмов. То есть, на известном наборе входных данных tai12a разработанный алгоритм показывает такое же решение, как самый оптимальный алгоритм из всех известных, что показывает высокий потенциал гибридного алгоритма и его практическую значимость для решения поставленной задачи. Кроме того, на остальных рассматриваемых бенчмарках гибридный алгоритм показывает результаты очень близкие к наилучшим результатам среди всех алгоритмов (отклонение не более 4,2%), как показано в табл. 1.
Таблица 1 - Сравнение результатов гибридного алгоритма с лучшими результатами для известных наборов входных данных
tai12a tai15a tai20a tai25a ch15a
Наилучшее 224416 388214 703482 1167256 9896
Гибридный 224416 388988 723828 1215868 10070
Отклонение 0% 0,2% 2,89% 4,16% 1,76%
В результате экспериментальных исследований удалось выяснить, что разработанный гибридный алгоритм показывает отклонение в точности решения не более 4,2% от лучших решений известных на данный момент для определенных наборов входных данных (бенчмарков). Для некоторых бенчмарков алгоритм способен найти решение, совпадающее с лучшим решением среди всех алгоритмов. Созданный алгоритм имеет очевидную экономическую ценность, например, в размещении предприятий или складских помещений по местам, размещение связанных электронных компонентов на печатных платах или в интегральных схемах.
Библиографический список
1. Нигодин Е. А., Полупанова Е.Е., Поляков А.С. Генетический алгоритм решения задачи о назначениях. Сборник «Прикладная математика XXI века: современные проблемы математики, информатики и моделирования». КубГУ. - 2019, выпуск 1, часть 4, 245 с.
2. Michael R. Garey, David S. Johnson. . Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. — W. H. Freeman, 1979. 218 page.
ПОПУЛЯЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
КОММИВОЯЖЕРА
А.С. Поляков
Кубанский государственный университет ул. Ставропольская 149, 350040, г. Краснодар, Россия
Ключевые слова: популяционный алгоритм, гибридный алгоритм, генетический алгоритм, эвристический подход, эволюционный алгоритм, метод роя частиц, задача коммивояжера, алгоритм ближайшего соседа, муравьиный алгоритм.
Аннотация
В данной статье рассматривается популяционный гибридный алгоритм решения задачи коммивояжера. В статье приводится постановка задачи коммивояжера и подробный разбор данной проблемы, блок-схема
