Гибридно-автоматный подход к синтезу цифровых систем аритмического управления Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 681.51

ГИБРИДНО-АВТОМАТНЫЙ ПОДХОД К СИНТЕЗУ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ АРИТМИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ1

ГЛ. Рогачев2

2 Самарский государственный технический университет,

443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Обсуждаются вопросы использования гибридно-автоматного подхода к синтезу цифровых систем аритмического (.непериодического) управления. Рассмотрен ряд приме-ров, подтверждающих конструктивность предлагаемого подхода.

Ключевые слова: гибридный автомат, цифровая система управления, оптимизация Введение

Гибридно-автоматной моделью системы управления является направленный граф [1]. Вершина графа - это модель объекта управления, переходом же моделируется регулятор. Функционирование регулятора описывается меткой перехода, набором элементов вида «событие [условие] /действие». Использование такого подхода оказывается полезным при анализе систем управления с цифровыми регуляторами, которые являются в современных условиях доминирующим классом САУ. Гибридно-автоматная модель смешивает свойства непрерывной и дискретной частей системы. Это позволяет учитывать межтактовое поведение, что «...особенно важно в ситуациях, когда технические требования строги и требуется достичь возможных пределов» [2]. При синтезе систем управления с цифровыми регуляторами гибридноавтоматный метод также конструктивен. Действительно, основное внимание традиционно уделяется поиску закона управления (или действия перехода, по гибридноавтоматной терминологии). Несомненно, что действие перехода определяет поведение системы управления, но и условие перехода существенно влияет на него. Использование условия перехода как дополнительной степени свободы регулятора может привести к существенному выигрышу в качестве проектируемой САУ.

Основная часть

Гибридно-автоматный метод анализа и синтеза систем автоматического управления предполагает представление системы управления (разомкнутой, замкнутой одноконтурной или замкнутой многоконтурной) в виде одного из показанных на рис. 1 направленных графов. Вершина графа (состояние гибридного автомата) является моделью объекта управления непрерывным физическим процессом. Переходом гибридного автомата моделируется регулятор. Функционирование регулятора описывается меткой перехода, состоящей из триады «событие [условие] /действие», элементы которой определяются логикой работы системы управления. Каждый из этих элементов играет определенную роль. После наступления события изменение сигнала управления становится возможным, но не является неизбежным. Далее проверя-

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 08-08-00383а) и Целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы на 2009-10 гг.» (проест №2.1.2/4236).

2 Рогачев Геннадий Николаевич, кандидат технических наук, доцент,

ется условие. При истинности условия осуществляется переход. Переход сопровождается действием регулятора. Как правило, это действие заключается в вычислении управляющего сигнала и передаче его на объект управления.

Предлагаемая модель достаточно универсальна. Действительно, при разных методах реализации системы управления переход может выполняться различными способами. В качестве инициирующего переход события может выступать сигнал от оператора или другой системы (супервизорного управления, релейной защиты). Условие перехода может включать время (что справедливо для систем с дискретным временем, к которым можно отнести все цифровые САУ), состояние (в случае систем с дискретными событиями, релейных и проч.) или их комбинацию. Вычисление управляющего воздействия может осуществляться по различным алгоритмам, характерным для того или иного закона управления. Кроме того, передача управляющего воздействия может происходить с временными задержками, потерей части информации и наложением шумовой составляющей, что имеет место в реальных системах управления. Таким образом, гибридно-автоматная форма пригодна для описания различных классов систем управления. Резкая граница между системами с линейными регуляторами и системами с нелинейными регуляторами, системами с нечеткими регуляторами и системами с нейросетевыми регуляторами, дискретными по уровню и дискретными по времени системами, оптимальными системами и системами стабилизации, присущая традиционному подходу, отсутствует. Универсальность гибридно-автоматной формы представления позволяет использовать единый подход к анализу и синтезу различных типов систем управления. В соответствии с логикой работы САУ задаются (при анализе) или подлежат определению (при синтезе):

- события и условия перехода, инициирующего возможную смену сигнала управления;

- действие перехода, заключающееся в вычислении управляющего сигнала и передаче его на объект управления.

событие

Ґ -ч объект [условие] /■' ..... ^ объект X 1 N. объект

управлення /действие о——- управлення >\ г управления

^ ^ (

со бытне(у СПОВНе]/деЙСТБНе

'событий [условнеї ]/действне1

событиеп [условие п]

/действие п

Рис. I. Универсальная гибридно-автоматная модель разомкнутой, замкнутой одноконтурной

и замкнутой многоконтурной САУ

Среди событий, вызывающих переход и, следовательно, смену сигнала управления, наиболее существенным является наступление некоторого момента времени. Такой принцип работы характерен для цифровых систем управления. Цифровая система автоматического управления (ЦСАУ) включает датчики, обеспечивающие ЦСАУ информацией о ходе протекания процесса, цифровой регулятор, вычисляющий реакцию ЦСАУ на следующем шаге управления, и исполнительные механизмы, эту реакцию обеспечивающие. В ЦСАУ процесс управления непрерывным объектом носит дискретный по времени характер. В случае упрощенного подхода к описанию

таких систем считают, что при наступлении события - очередного момента квантования — происходит мгновенное измерение выходного сигнала объекта, вычисление соответствующего управляющего сигнала и передача его на исполнительный орган. Этот сигнал будет в неизменном виде действовать на объект через исполнительный орган вплоть до наступления следующего события. В этом случае совокупность управляющих поведением системы событий — это последовательное достижение определенных моментов времени. ЦСАУ будет иметь условие перехода > Тк ] t где t

- текущее время, - момент очередного срабатывания регулятора. Традиционно моменты квантования полагают равноотстоящими, Тк = Т,К = 1,2,... Распространенность такого подхода объясняется тем, что при этом описание ЦСАУ предельно упрощается. Для линейных инвариантных во времени процессов замкнутая система становится линейной и периодической. Если к тому же состояние как дискретных, так и непрерывных элементов системы рассматривают лишь в дискретные моменты времени Тк,К = 1,2,..., то периодический характер ЦСАУ при этом игнорируют, и система может быть описана разностными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Этот упрощенный подход значительно облегчает анализ поведения ЦСАУ, однако не всегда соответствует истинному положению вещей. Действительно, в контроллерах систем реального времени задачи накладываются друг на друга и блокируются в ожидании общих ресурсов. Время выполнения самих задач может изменяться. В распределенных системах управления передача данных по сети происходит с задержками, величина и стабильность которых зависит как от протокола связи, так и сгг загруженности каналов. Для описания явления нестабильности периода квантования в цифровых системах используется специальный термин - джиттер (от англ. jitter - дрожание). Джиттер является одной из основных проблем при проектировании цифровых устройств, поскольку может ухудшить характеристики системы и даже привести к ее неустойчивости [3, 4]. Кроме того, упрощенный подход не позволяет учитывать поведение системы в промежутки времени между тактами (меж-тактовое поведение), что неприемлемо, когда технические требования строги и требуется обеспечить максимально возможное качество. Описать на требуемом уровне детализации поведение цифровой системы управления аналитическими методами затруднительно [5], наиболее естественным представляется путь имитационного моделирования [6].

Наоборот, в гибридно-автоматной модели органично смешиваются свойства непрерывной и дискретной частей системы. Колебания периода квантования легко могут быть учтены изменением условия перехода с выражения 1У > 1 на выражение

[t>TK + ДТк]^ где ДТк _ случайная величина с теми или иными параметрами. Разработка имитационной модели гибридной системы, характеризующейся переменным значением шага квантования, может вестись различными способами. Среди готовых инструментов моделирования можно выделить построенный на базе пакета MATLAB симулятор TrueTime [7]. Желающие оставаться в рамках стандартного набора MATLAB могут построить Simulink-модель, используя в качестве примера модель дискретной системы с переменным тактом квантования [8]. Еще один вариант, представляющийся наиболее естественным, заключается в применении наряду с Simulink программы Stateflow. Специально разработанный для моделирования дискретных управляющих устройств и систем, Stateflow дополняет и расширяет воз-

можности ЗнтшНпк. В 8шш1шк достаточно просто моделируются непрерывные объекты. Используя язык диаграмм состояний и переходов, в 81а1еЯо\у можно получить описание управляющей части моделируемой системы. При этом алгоритм управления может иметь сколь угодно высокую сложность, временные задержки могут быть как детерминированными, так и носить случайный характер.

Рассмотрим в качестве примера модель цифровой системы стабилизации неустойчивого объекта «перевернутый маятник» вида

(ІХ

— = Ах + Би

Ф _ у = Сх + Ои

А =

;С = [1 0\0 = [0]

(1)

в положении

функцию

Хр =

Цифровой вариант ПД-регулятора имеет передаточную

Ш(г) = 5 + (\-г~])/Ь, (2)

где А - шаг квантования. Модель ЦСАУ в 5іти1тк-8гаїеЯош примет следующий вид (рис. 2). Гибридно-автоматная ЗМеЙош-модель цифрового регулятора представлена на рис. 3. Эта модель реализует переменный шаг срабатывания в канале управления, изменяющийся случайным образом в соответствии с равномерным законом распределения от 140 до 260 мс. Переход из одного состояния в другое сопровождается вычислением нового значения сигнала управления, который действует

Р и с. 2. Модель цифровой системы : Р и с, 3. 81МеАо\у-модель цифрового

■ стабилизации маятника регулятора

В условиях, когда система функционирует преимущественно в переходных режимах, результат ее работы может оцениваться по критерию качества интегральной квадратичной ошибки (ИКО)

т

/=|є2л, (3)

ния. Полагая начальные условия *0 =

провели 400 испытаний. Результаты

где е = д:{1)-;с^(1) - ошибка системы, Т - время окончания процесса регулирова-

"0.1 _ 0

представлены на рис. 4 - 9. У цифровой системы с постоянным шагом квантования 200 мс / = 0.01164. Среднее значение критерия для цифровой системы с переменным шагом квантования равнялось 0.01207, разброс значений составлял примерно 5%. Те же испытания показали, что в некоторых случаях качество работы системы с переменным шагом квантования выше, чем у системы с постоянным шагом.

200

Р и с. 4, Качество работы системы стабилизации маятника:

1 - переменный шаг квантования, 2 - постоянный шаг квантования

0.011 0.0115 0.012 0.0125 I

Р и с. 5. Гистограмма распределения значения критерия качества

Р и с. 6. Программа изменения шага квантования, минимизирующая критерий (3)

Р и с. 7. Временные диаграммы работы системы с переменным шагом квантовая, l=^z2dt =0.0099

ния,

Полученная информация о наличии зависимости величины критерия качества от вектора моментов срабатывания Тк и о возможности улучшить качество работы системы за счет соответствующего выбора Тк позволяет сформулировать задачу поиска наилучшего аритмического управления. Предположим, что шаг квантования может целенаправленно изменяться в пределах + 30% от номинального значения 200 мс. Зафиксировав время окончания процесса регулирования 71=10 с и количество срабатываний или, иначе, размерность вектора Тк, найдем такое его значение, .которое обеспечивает для объекта (1) с регулятором (2) минимальное значение критерия (3). Это - задача условной оптимизации, которая может быть решена численно. Результаты расчетов дали значение вектора

Тк =[02600ф2600,0.1516;0.1400,0.1400;0.1400,0.1400,0.1400,0.1400,0.1400,0.1400;0.1400;0.1400,0,1406; 0.1514;02269-,02387;02600,02593;02125;0.1767;0.1541 ;0.1417;0.1400,0.1403;0.1498;0.1652;0.1860,02095; 02309;02457;02513;02483;02405;02314;02240;02195;02184;02203;02245;02302;02356;02405;02439;

02455;0246002456;02449;02444;02442]. В этом случае I = =0.0099, что на 17% пре-

о

восходит качество работы системы с постоянным шагом квантования.

Представляет определенный практический интерес и противоположная задача по определению такой программы изменения шага квантования во времени, которая предельно ухудшит качество работы системы. Результаты расчетов дали значение вектора

Тк =[0.1400,0.1400,02600,02600$2600;02600,02600,02600,02600,02600Д2600Д1400Д 1400,0.1 400,0.1400,0.1524;02220,02600,02600,02600,02600,02600$2600,02600,02081;0.1784;0.1641Д1583;0.1 586Д 1634;0.1718;0.1816,0.1908;0.1977;02010$2004;0.1967;0.1911Д1851 ;0.1794,0.1747,0.1713;0.1692Д1

т

682Д1680Д1683;0.1689Д1694Д1698Д1699]. При этом I = =0.0144, что на 25% хуже,

о

чем у системы с постоянным шагом квантования.

Р и с. 8. Программа изменения шага кван- Р и с. 9. Временные диаграммы работы тования, максимизирующая критерий (3) системы с переменным шагом квантования,

т

I = |е2(Й =0.0144 о

Рассмотрим теперь систему, в которой для управления объектом в виде двойного интегратора используется дискретный регулятор нулевого порядка с полной обратной связью по вектору состояния (рис. 10). Объект управления описывается системой ОДУ вида

Ос __

— - Ах + Ви ^ =

ск

0 О

1 О

\В =

;С = [0 \\0 = [О].

у-Сх + Вй

Управление и = -(«] + и2) = + К2х2) реализовано в виде двух дискретных

усилителей с коэффициентами передачи К] и К2 с экстраполяторами нулевого по-

рядка, шаг квантования которых равен 7] и Т2 соответственно. Гибридноавтоматная модель этой системы приведена на рис. 11, где дискретный регулятор представлен совокупностью двух переходов.

Discrete Transfer Fcn2

Рис. 10. Simulink-модель системы управления Рис. 11. Г ибридно-автоматная

двойным интегратором с дискретным регулято- Stateflow-модель системы управления

ром нулевого порядка двойным интегратором с дискретным

регулятором нулевого порядка

При традиционном подходе к синтезу ЦСАУ априорно предполагается, что эффект квантования по времени имеет лишь негативные последствия. Считается, что качество ЦСАУ может лишь приближаться к качеству соответствующей аналоговой системы, никогда его не достигая. Причем ЦСАУ тем ближе к аналоговой системе, чем меньше шаг квантования. Предлагаемый подход предусматривает определение условия перехода при синтезе ЦСАУ. В частности, для свойственного ЦСАУ условия перехода вида \t > 7^-], где t — текущее время, Тк — момент выдачи очередного управляющего сигнала, можно ставить и решать задачу определения оптимального в каком-либо смысле шага квантования. Полагая = К2 = 1, Тх-Т2-Т, решим задачу выбора такого шага квантования Т, который обеспечит минимальное значение

критерия ИКО 1= s2dt, е = jc(2) для широкого диапазона изменения начальных

условий вектора состояний объекта. Имитационное моделирование поведения САУ показало, что в большинстве случаев качество дискретного регулирования выше, чем качество непрерывного (рис. 12, 13). Однако каждому значению начальных условий вектора состояний объекта соответствует свое оптимальное значение параметра Т (рис. 14), что трудно реализовать в реальных условиях.

Снимем теперь требование Тх~Тг~Т синхронности работы экстраполяторов и повторно решим задачу минимизации критерия ИКО. Расчеты показывают, что в широком диапазоне изменения значений вектора начальных условий наилучшее или близкое к наилучшему качество демонстрирует система с 7j =1.2 с и Т2 =0.1 с, зависимость критерия качества работы которой от начальных условий иллюстрирует рис. 15. Как следует из сравнения графиков (см. рис. 12, 13 и 15), эта система обладает преимуществом как перед системой с непрерывным регулятором, так и перед дискретной системой с синхронно работающими экстраполяторами. Выигрыш значителен и достигает 80%. На рис. 16 представлены временные диаграммы работы системы управления двойным интегратором с дискретным регулятором при разной частоте работы экстраполяторов (в качестве начальных условий взят вектор х(0) =[-5,-5]).

5

Р и с. 12, Качество системы управления двойным интегратором с дискретным регулятором при синхронной работе экстраполяторов

ф) -5

Рис. 13, Качество системы управления двойным интегратором с непрерывным регулятором

■■■"Г

Рис, 14. Зависимость оптимального шага квантования от начальных условий

Рис, 15. Качество системы управления двойным интегратором с дискретным регулятором при разной частоте работы экстраполяторов

Рис. 16. Временные диаграммы работы системы управления двойным интегратором с дискретным регулятором при разной частоте работы экстраполяторов

I

I

Заключение

Рассмотрены вопросы использования гибридно-автоматного подхода к синтезу цифровых систем аритмического управления. Приведены примеры, подтверждающие конструктивность предлагаемого подхода.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Рогачее Г.И. Гибридно-автоматный метод анализа и синтеза систем автоматического управления // Вестник СамГТУ. Сер. Технические науки. - 2006. — №41. - С. 43-47.

2. Гудвин Г.К Проектирование систем управления / Г.К. Гудвин, С,Ф. Гребе, М.Э. Сальгадо. — М: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2004.-911 с.

3. Walsh G.C., Ye И,, Bushnell L. Stability Analysis of Networked Control Systems. In Proc. American Control Conference, San Diego, USA, June 1999, pp. 2876-2880.

4. Zhang W„ Branicky M.S., Phillips S. M. Stability of Networked Control Systems. In IEEE Control Systems Magazine, vol. 21, no. 1, Februaiy 2001, pp. 84.99.

5. Branicky M, S., Liberatore V., Phillips S. M. Networked Control System Co-Simulation for Co-Design. In Proc. American Control Conference, Denver, USA, vol. 4, June 2003, pp. 3341-3346.

6. Cervin A., Arzert K.-K, Henriksson D., Camps M. L., Balbastre P., Ripoll I., Crespo A. Control Loop Timing Analysis Using TrueTime and Jitterbug. In Proceedings of the 2006 IEEE Computer Aided Control Systems Design Symposium, October 2006.

7. Henriksson D., Cervin A., Arzen K.-E. TrueTime: Simulation of control loops under shared computer resources // Proc. of the 15th I FAC World Congress on Automatic Control. - Barcelona, Spain, July 2002.

8. Черных И.В. Simulink: среда создания инженерных приложений. - М.: Диалог-МИФИ, 2003. - 496 с.

Статья поступила е редакцию 7 октября 2008 г.

UDC 681.51

HYBRID-AUTOMATA APPROACH TO SYNTHESIS OF DIGITAL ARYTHMIC CONTROL SYSTEMS

G.N. Rogachev

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100.

Questions of use of the hybrid-automata approach to synthesis of digital arythmic (acyclic) control systems are discussed. A number of the examples confirming constructibility of the offered approach is considered.

Key words: the hybrid automata device, a digital control system, optimization.

1 Gennadiy N. Rogachev, Candidate of Technical Sciences, Associate professor.